phương pháp tọa độ trong không gian!
Trang 1Phương pháp tọa độ trong không gian
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
ĐN: Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian
2 2 2
1 2 3
1 2 2 3 3 1
II TỌA ĐỘ CỦA 1 ĐIỂM
1 M x y z( , , ) ⇔ OM x y z( , , )⇔OM = ⋅x e1+y⋅e2 + ⋅z e3
2 Tọa độ các điểm đặc biệt
Cho
1 1 1
2 2 2
3 3 3
, ,
A x y z
⇒ Trung điểm của AB có tọa độ là: I 1 2, 1 2, 1 2
x +x y +y z +z
Điểm chia AB tỉ số k là điểm thoả mãn JA k
JB
=
J
III TỌA ĐỘ CỦA 1 VÉCTƠ
1 Định nghĩa:
1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3
Nếu
1 1 1
2 2 2
, ,
A x y z
thì AB=(x2 −x y1, 2−y z1, 2 −z1)
2 Phép toán: a±b=(a1±b a1, 2 ±b a2, 3 ±b3) ;
α ⋅ ± β ⋅ = α ⋅ ± β ⋅ α ⋅ ± β ⋅ α ⋅ ± β ⋅
1
e
z
y
2
e
3
e
O
x
L
M
M’
K
H
Trang 2Chương IV Hình giải tích – Trần Phương
IV TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ĐỘ DÀI
1 a b⋅ = a ⋅ b cos(a b, )
; 2 a b⋅ =a b1 1+a b2 2+a b3 3
;
3 a ⊥b ⇔a b⋅ =0⇔a b1 1+a b2 2+a b3 3 =0
1 2 3; 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
;
2 1 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
=
;
1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
=
V TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ: a=(a a a1, 2, 3);b =(b b b1, 2, 3);c =(c c c1, 2, 3)
2 3 3 1 1 2
2 Tính chất: a ⊥ p⊥b
; a
cùng phương b
[a b] 0
2 3 3 1 1 2
sin ,
, ,a b c
đồng phẳng ⇔ [a b⋅]⋅ =c 0
VI CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH:
( 1, 1, 1) (; 2, 2, 2); ( 3, 3, 3); ( 4, 4, 4)
( )2
2 2
ABC
S∆ = AB AC = AB AC − AB AC⋅
;
6
ABCD
V = AB AC ⋅AD
;
,
AD
V ′ = AB AD⋅AA′
hép
Trang 3
Phương pháp tọa độ trong không gian
BÀI TẬP
Bài 1 Cho A(3; 4; 1 ;− ) B(2; 0; 3 ;) C(−3; 5; 4) Tìm độ dài các cạnh của ∆ABC
Tìm cosin của các góc A, B, C Tìm diện tích ∆ABC
Bài 2 Cho A(2;1; 1 ,− ) B(3; 0;1 ,) C(2; 1; 3− ) và D∈Oy Biết thể tích V của
ABCD là 5 Tìm tọa độ D
Bài 3 Cho ∆ABC với A(1; 2; 1 ,− ) B(2; 1; 3 ,− ) C(−4; 7; 5) Tính độ dài đường
phân giác trong góc B
Bài 4 Cho a=(2; 3;1 ,) b=(5; 7; 0 ,) c=(3; 2; 4− )
CMR: , ,a b c
không đồng phẳng Cho d =(4;12; 3− )
Hãy phân tích vectơ d
theo 3 vectơ , ,a b c
Bài 5 Cho A(1; 0;1 ,) B(−1;1; 2 ,) C(−1;1; 0 ,) D(2; 1; 2− − ) CMR: A, B, C, D là 4
đỉnh của tứ diện Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D Tính V ABCD, suy ra độ dài đường cao AH của tứ diện
Bài 6 Cho A(1; 2; 4 ,) B(2; 1; 0 ,− ) C(−2; 3; 1− ) Gọi M(x y z, , ) ∈ (ABC) Tìm hệ
thức liên hệ giữa , ,x y z
Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là hình bình hành và tính S ABCD
Bài 7 Cho A(1; 0;1 ,) B(−2;1; 3 ,) C(1; 4; 0) Gọi M(x y z, , ) ∈ (ABC)
Tìm hệ thức liên hệ giữa , ,x y z Tìm trực tâm H của ∆ABC
Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
Bài 8 Cho tứ diện ABCD với A(; 2;3;1 ,) B(1;1; 2 ,− ) C(2;1; 0 ,) D(0; 1; 2− ),
đường cao AH Tìm tọa độ H và AH
Bài 9 Cho A(− 2; 2; 2 ,) (B 0; 3 2; 3 2 ,) (C − 2; 3+ 2; 3− + 2)
CMR ∆ABC vuông tại A Tìm điểm D sao cho ABDC là hình vuông Tính thể tích của hình hộp đáy ABDC và cạnh bên là AO
Bài 10 Cho A(1;1;1 ,) B(4;1; 5 ,) C(4; 6; 5 ,) D(1; 6;1) Xác định hình dạng của tứ
giác ABCD Tính khoảng cách từ O đến (ABC)
Trang 4Chương IV Hình giải tích – Trần Phương
Bài 11 Cho A(−1; 2; 3 ,) B(1; 0; 2 ,) C(−1; 2; 4 ,− ) D(0; 5; 0)
CMR: ABCD là hình tứ diện Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên BD Tính cosin của góc nhọn tạo bởi cạnh đối AB và CD của tứ diện ABCD
Bài 12 Cho A(−1; 2; 4 ,.) B(1; 0; 2 ,) C(−1; 2; 3), D(0; 4; 2)
CMR: ABCD là hình tứ diện trực tâm
Tìm tọa độ trực tâm của ABCD
Bài 13 Cho hình chóp SABC với A(1; 2; 1 ,− ) B(5; 0; 3 ,) C(7; 2; 2),
( ),
SA⊥ ABC S∈Oyz Tính tọa độ S
Xác định tọa độ giao điểm của Ox, Oy với (ABC)
Bài 14 Cho A(1; 2; 1− ) Tìm B đối xứng với A qua Oxy , C đối xứng với A qua
trục Oz Tính S ABC
2
Tìm a
biết a =50
; a
cùng phương u
và a tạo với k(0; 0;1)
một góc nhọn
Bài 16 Cho A(1; 2; 1 ,− ) B(4; 3; 5) Xác định m∈Ox sao cho M cách đều A, B
Bài 17 Cho A(1; 2; 1 ,− − ) B(−5;10; 1 ,− ) C(4;1;1)
Chứng minh: A, B, C không thẳng hàng Tìm tọa độ trực tâm ∆ABC
Tìm tọa độ trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
Bài 18 Cho A(− −4; 1; 2 ,) B(3; 5; 1− ) Tìm C biết trung điểm AC thuộc Oy, trung
điểm BC thuộc Oxz
Bài 19 Cho A(−1; 2; 7 ,) B(5; 4; 2− ) AB cắt Oxy tại M Điểm M chia đoạn AB
theo tỉ số nào? Tìm tọa độ M
Bài 20 Cho a(3; 2; 2 ,) b(18; 22; 5− − )
Tìm c
biết c =14,c ⊥a c, ⊥b
, c tạo với
(0; 0;1)
k
một góc tù
Bài 21 Cho v≠0
Gọi , ,α β γ là 3 góc tạo bởi v
với Ox Oy Oz, , Chứng minh rằng: cos2α +cos2β +cos2γ = 1