chuyen de rut goc bieu thuc va bai toan lien quan

GV nên nêu chú ý cho học sinh khi làm dạng bài này như sau: - Rút gọn từng phân thức là các hạng tử của biểu thức nếu có thể trước khi quy đồng mẫu.. Một số dạng biểu thức thường gặp: T

Tailieumontoan.com



Sưu tầm và tổng hợp

CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ BÀI TOÁN

LIÊN QUAN

Thanh Hóa, ngày 6 tháng 5 năm 2020

+) Số âm không có căn bậc hai

- Với số a không âm, số a được gọi là căn bậc hai số học của a

- Với A là một biểu thức đại số, ta gọi A là căn thức bậc hai của A

- Biểu thức A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm

- Nhân các căn bậc hai: A B = A B A ( ≥0,B≥0)

- Khai phương một thương: A A A B ( 0, 0)

B = B ≥ >

- Chia căn bậc hai: A A (A 0,B 0)

B

4 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

- Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với A ≥0 và B ≥0 thì A B A B2 =

Với A<0 và B ≥0 thì A B2 = −A B

- Đưa thừa số vào trong dấu căn: Với A ≥0 và B ≥0 thì A B = A B2

Với A <0 và B ≥0 thì A B= − A B2

- Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai: Với A B ≥ 0và B ≠0 thì A AB

- Căn bậc ba của một số thực a là số thực x sao cho: =x3 a kí hiệu là , 3 a

- Mọi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba Căn bậc ba của số dương là số dương; của một số âm là số âm; của 0 là 0

- Các công thức liên quan đến căn bậc ba:

.

C

B A C

−)

B DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

B3: Rút gọn phân thức thu được và kết luận

GV nên nêu chú ý cho học sinh khi làm dạng bài này như sau:

- Rút gọn từng phân thức là các hạng tử của biểu thức (nếu có thể) trước khi quy đồng mẫu

- Yêu cầu “Rút gọn biểu thức P” có thể được thay bởi “Chứng minh P = ”

Ta có thể chia bài toán rút gọn biểu thức thành các nhóm bài tập như sau:

2 Một số dạng biểu thức thường gặp:

Ta có thể chia bài toán rút gọn biểu thức thường gặp thành các nhóm bài tập như sau:

2.1 Nhóm 1: Mẫu là các biểu thức có dạng liên hợp bậc hai

Lưu ý cho học sinh khi mẫu là các biểu thức có dạng x − 1; x + 1; x − 1 thì chọn mẫu chung là x – 1; hoặc x − 2; x + 2; x − 4thì chọn mẫu chung là x – 4;

−

=+

=

( x − 3 )( 6 x + 3 ).

x 3 3

2.2 Nhóm 2: Mẫu là các biểu thức có dạng nhân tử

Lưu ý cho học sinh khi mẫu là các biểu thức có dạng ax + b x a x ; + b thì chọn mẫu

chung là ax + b x = x a x ( + b )

Ví dụ: Với x > 0, cho hai biểu thức:

1

x A

x

= + và

x

+

= + , suy ra A : B

Vậy A : B = x

x + 2 với x > 0

2.3 Nhóm 3: Mẫu là các biểu thức có dạng tam thức bậc hai

Lưu ý cho học sinh khi mẫu là các biểu thức có dạng x + a ; x + b x ; + ( a + b ) x + ab

x

−

= + với x≥0,x≠9,x≠4.

Lưu ý cho học sinh khi mẫu là các biểu thức có dạng x − 1; x + x + 1; x x − 1 thì chọn mẫu chung là x x − = 1 ( x − 1 )( x + x + 1 ); hoặc x + 1; x − x + 1; x x + 1thì chọn mẫu chung là x x + = 1 ( x + 1 )( x − x + 1 );

x x

1x

xxx1x

1xx.1x

21

xx

2x2x

x x

≥



 ≠



C CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA ẨN

Phương pháp giải:

B1: Đối chiếu giá trị đã cho của ẩn với điều kiện xác định của biểu thức

B2: Thay giá trị của ẩn thỏa mãn ĐKXĐ vào biểu thức và tính giá trị của biểu thức B3: Kết luận

Chú ý: - Nếu giá trị của ẩn là một biểu thức chứa căn bậc hai thì ta phải biến đổi để đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu hoặc đôi lúc ta phải trục căn thức ở mẫu

3 Tính giá trị của biểu thức P khi:

3.1 x là nghiệm của phương trình 5 − − = x 1 2

3.2 x là nghiệm của phương trình: 2

x − 3x 11 + = + x 1 3.3 x thỏa mãn biểu thức M = x − 4 x + 1đạt giá trị nhỏ nhất

3.4 giá trị nguyên của x thỏa mãn:x2 + − x 16 4.25 = y (y ∈)

+ +

= = =

Vậy P = 3

2 khi x = 4 1.2 Ta có x = 4

Vậy khi = 3 − 5

2

4 +

1.5 Ta có x = 9 + 80 − 9 − 80 2 = + 5 2 − − 5 4 = (thỏa mãn ĐKXĐ)

Thay x = 4 vào biểu thức P ta có: P 4 1 2 1 3

2 2 4

+ +

= = =

Vậy P = 3

2 khi x = 9 + 80 − 9 − 801.6 Ta có x = 310 6 3 + −3 10 6 3 − = 3(1 + 3)3 +3 (1 − 3)3

= + (1 3) (1 + − 3) 2 = (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy P 2 1 2 2

2 2

+ +

= =1.7 Ta có:

3 3

3 3

1351813

+ +

= =

Thay x = 4 vào biểu thức A ta có: A 4 4 1 3 1

1

3 9

3 Tính giá trị của biểu thức P khi:

x x

Thay x = 4 vào P, ta có : 4 1 3

2 4

P = + =

3.2 Xét phương trình: 2

x − 3x 11 + = + x 1 Điều kiện 2

x − 3x 11 0 + ≥ (thỏa mãn mọi x) 2

+ +

= =

3.3 Ta có: M = ( x + − 1 2 )2 − ≥ − 5 5 với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ

Dấu “=” xảy ra khi x = 3 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy Mmin =− 5 ⇔ x = 3

Với x = 3 ta có: P 3 1 3 3

3 3

5

x

x

Vì x nguyên và x > 0; x ≠ 1nên x = 4 (thỏa mãn)

Thay x = 4 vào biểu thức P ta có: P 4 1 2 1 3

2 2 4

+ +

= = = +) Với y ≥ 1; y∈ ta có 4.25 100y ⇒ x2 + − x 16 100 

⇒ x x ( + 1)có tận cùng là chữ số 6

⇒ x x ( + = 1) k k 2 3 với k ∈  *

⇒ + − = − = + + −

+ − + −

2 2

.( 1) 16 2 3 16 (10 2)(10 3) 16 =100k 50 10

= 10(10k 5 1)

x x k k k k

k k

⇒ x2 + − x 16không chia hết cho 100 Vậy không có giá trị y ≥ 1; y∈ thỏa mãn

Vậy với x có giá trị nguyên thỏa mãn:x2 + − x 16 4.25 = y(y ∈) thì P 3

2

=

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIẾN KHI BIẾT BIỂU THỨC THỎA MÃN MỘT ĐẲNG

THỨC CHO TRƯỚC Phương pháp giải:

B1: Tìm điều kiện (nếu có)

B2: Giải phương trình từ đẳng thức cho ở đề bài để tìm ẩn

B3: Kiểm tra điều kiện của ẩn và kết luận

Ví dụ: Cho biểu thức 1

3

x P

2 Cho Q = 1

3

x x x

− +

− Gọi A = Q : P 2.1 Tìm x để A = 7

−

⇔ = ⇔ =

Vậy không có giá trị nào của x để P = 1

1.3 3

2

2 3

x

x x x

3 9

( )

2 4

9( ) 3

x x

1( )

4( TM) 2

DẠNG 3: TÌM X THỎA MÃN MỘT BẤT ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC

Phương pháp giải:

B1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)

B2: Biến đổi bất đẳng thức cho trước về dạng f (x) 0

B3: Suy luận về dấu của f(x) và g(x) để tìm x

B4: Kết hợp với điều kiện xác định và kết luận

Vậy không có giá trị của x thỏa mãn P ≥ 1

1.6 Với điều kiện x > 0; x ≠ 1 ta có:

DẠNG 4: SO SÁNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC P VỚI MỘT SỐ HOẶC MỘT BIỂU

THỨC CHO TRƯỚC Phương pháp giải: So sánh giá trị của biểu thức P với số a cho trước

B1: Xét hiệu P – a và biến đổi hiệu thành dạng f (x)

+

=+ với x ≥ 0; x ≠ 9

+ −

− = − = <

+ + ⇒ − < ⇒ P 1 0 P P .( − < 1) 0 Vậy P2 < P

x

A x

− ≥ ⇒ ≥ +

Nhận xét: Trong các bài toán có liên quan của bài toán rút gọn biểu thức, ta gặp

nhiều bài toán có nguồn gốc từ bài toán so sánh một biểu thức với một số hoặc một biểu thức, cụ thể như sau:

Loại 1 Chứng minh rằng P > a hoặc P < a hoặc P ≥ a hoặc P ≤ a

P – P<0 thì P2 < P hoặc Nếu 2

P – P≤0 thì P2 ≤ P Cách 2

DẠNG 5: BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN

LOẠI 1 TÌM CÁC GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC P CÓ GIÁ TRỊ

B2: Suy luận vì a nguyên và x nguyên nên P có giá trị nguyên khi và chỉ khi b f x ( ),

từ đó suy ra f(x) là ước của b

=+ với x≥0;x≠4

Tìm các giá trị nguyên của x để:

1 Biểu thức P có giá trị nguyên

2 Biểu thức A = P x có giá trị nguyên

Vì 3 ∈, x ∈ nên để P ∈thì 6

x 2 ∈ +  ⇒ 6  x + 2 hay x 2+ ∈Ư(6) {1; 1;2; 2;3; 3;6; 6} = − − − −

Vậy với x = 0 thì C có giá trị nguyên

*Cách khác: Vì x + 4 là số nguyên nên C có giá trị nguyên khi 4 x ∈, mà

x ∈ ⇒  x ∈ 

Vì C có giá trị nguyên nên C xcó giá trị nguyên

Để C xcó giá trị nguyên thìx + ∈ 4 U(16), mà x + ≥ 4 0nên x = 0 hoặc x = 12

Thử lại ta có x = 0 thỏa mãn bài ra

Nhận xét: Trong một số trường hợp đề bài có thể cho dưới các dạng sau:

+) Tìm x nguyên để biểu thức P có giá trị là số nguyên dương

+) Tìm x nguyên để biểu thức P có giá trị là số nguyên không dương

+) Tìm x nguyên để biểu thức P có giá trị là số tự nhiên…

Trường hợp này ta vẫn có thể thực hiện các bước như trên, sau đó tính giá trị của biểu thức P ứng với từng giá trị của x tìm được, từ đó tìm giá trị của x thỏa mãn yêu cầu của đề bài

LOẠI 2 TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC P CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Phương pháp giải:

B1: Đánh giá để tìm hai số a, b sao cho a < < P b (có thể xảy ra dấu “ ≥ ” hoặc “ ≤ ”) B2: Tìm các giá trị nguyên của P thỏa mãn điều kiện a < < P b

B3: Lần lượt cho P bằng giá trị nguyên đã tìm được ở bước 2 để tìm x

B4: Kiểm tra giá trị của x tìm được với điều kiện xác định và kết luận

Ví dụ 2: Cho biểu thức 2 1

1

x P x

x x

++ có giá trị là số nguyên

Vì P có giá trị nguyên nên P ∈ − { 1;0;1}

Với P = -1 ta có 3 x = ⇔ = 0 x 0 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Nhận xét: Đối với dạng bài này quan trọng nhất là tìm được a và b sao cho a < P < b, a

càng lớn và b càng nhỏ thì việc tìm x càng đơn giản

Ta có thể tìm a, b thông qua việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1

P

3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = - P = − +x x−1

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C =2 x 2 x 3

Dấu “=” xảy ra khi

2

102

Dấu “=” xảy ra khi 1 1

Dấu “=” xảy ra khi

2

102

6.3 Biểu thức đưa được về dạng: P =(a x b) m c

Ta có P 2 m c≥ + với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định

B3: Dấu “=” xảy ra khi (a x+b)= m

a x+b Tìm x để dấu “=” xảy ra

B4: Kiểm tra giá trị của x với điều kiện xác định và kết luận

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1

2

x x x

Kết hợp với điều kiện xác định ta có Pmin = 2 5−5 khi x= −9 4 5

DẠNG 7: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Phương pháp:

B1: Biến đổi phương trình về dạng phương trình cơ bản đã học

B2: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn ĐKXĐ

Đặt x = t > 0 ta có phương trình 2 ( ) ( )

t + − t m 1 + = 0 ** để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm dương

TH1: Để PT (**) có 1 nghiệm dương, 1 nghiệm âm thì: - (m+1) < 0 hay m > -1

TH2: Để phương trình (**) có 2 nghiệm dương không xảy ra vì b 1 0

D BÀI TẬP TỰ LUYỆN CÓ HƯỚNG DẪN

NHÓM 1: Mẫu là các biểu thức có dạng liên hợp bậc hai

Bài 1: Cho biểu thức 3 6 4

1 3.3.

2

B = −

3.4 B > - 2

Thay 9

16

x= vào biểu thức P ta có

91116

79

116

3

−

=2.4 x= 7+4 3+ 7 4 3− = +2 3+ −2 3=4 thỏa mãn ĐKXĐ

Thay x = 4 vào biểu thức P ta có 4 1 1

3

4 1

+ Vậy với x = 4 thì P 1

Đối chiếu với điều kiện xác định ta có: x = 0 thì P có giá trị nguyên

Bài 2: Cho biểu thức 1 1 3 1

âm phân biệt khác 1

TH1: Phương trình (*) có 1 nghiệm t = 0 ta có:

m = 2 (t/m)

TH2: Phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1:

2 2

x x

x x

x1133x

1x3x

2.3 x là nghiệm của phương trình x− =1 2x−5

2 4 x là giá trị làm cho biểu thức P= −x 4 x+6 đạt giá trị nhỏ nhất

4 Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên

5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P

6 Tìm m để có giá trị của x thỏa mãn P = m

= +

1P

x

x x

x

+

=

+

< + ⇔ + x + 2 x + > 2 0 luôn đúng với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ

Bài 8 Cho biểu thức 1 : 2

x P

<

+

5 Chứng minh rằng không có giá trị nguyên nào của x để P có giá trị là số nguyên

6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

4 Tìm các giá trị nguyên của x để

4.1 P có giá trị nguyên khi x = 0

2+ 3 Tìm x để P = 4

Ta có

3

42

2

1 1

4.2 Với – 1 ĐS: Với x≥0;x≠1;x≠9 thì 3 3 1 1

33

x

x

+3

13

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 3 1, 1

19

3 6 10

50

2 Tìm x để K = 1

3 Tính giá trị của K khi x = 2 3

2

−

93

x x

x x

x x

≤+ Suy ra K ≤1

Vậy với x≥0,x≠1 thì K ≤1

5 Vậy với x≥0,x≠1 ta có 4 0

4

x K

x

+Suy ra GTNN của K =0 khi x=0

Vậy GTNN của K =0 khi x=0, GTLN của K =1 khi x= 4

Bài 19 Cho hai biểu thức A x 2

Hướng dẫn:

1 Rút gọn được

2

x B

Từ đó tìm được x=25 (thỏa mãn điều kiện)

Bài 20 Cho hai biểu thức: 1 1

4

x A

+

=+ với x>0,x≠9

+ >

và giải ra ta được x<4

x

'' ''=

Kết hợp điều kiện ta được 0< <x 4

NHÓM 2: Mẫu là các biểu thức có dạng nhân tử

Bài 22 Cho biểu thức: M x x 1 x x 1 x 1 ; x 0; x 1

x x

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi x = 1.

Bài 24 Cho biểu thức 1 2 1

Hướng dẫn

1 Ta có 1

2

x P

2

1 1

−+ nguyên

x

90;

2:1x

1x

1:1

42

x x

x x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 1 , 9 x

Suy ra x+ 2− ≤x 2 Dấu " "= xảy ra khi 2x= − ⇔ =x x 1 (loại)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 31: Cho biểu thức 4 8x : 1 2

16

m m m

Vậy GTNN của P là 48 4 3= khi x=36.

Bài 32: Cho biểu thức P x 1 : x 1 1 x

m m

3 Tính giá trị của P biết x = 19 8 3− 4 Tìm x nguyên để P nguyên

5 Chứng minh rằng P< P 6 Tìm giá trị lớn nhất của P

x x

3 Tính giá trị của P biết x=19 8 3−

Với x=19 8 3− (thỏa mãn điều kiện)

( ) ( )

:

11

P

x x

Vậy GTNN của A là 1 khi x = 0

Bài 37 Với x > , cho hai biểu thức 0 1

1

x A

1 Tính giá trị của A khi 4 7

NHÓM 3: Mẫu là các biểu thức có dạng bậc hai đầy đủ

Bài 38 Cho biểu thức:

4 Tìm x nguyên để P có giá trị là số nguyên

5 Tìm giá trị nhỏ nhất của P với x > 1

x

=

− nguyên thì x−1 nguyên Mà

11

Bài 42: Cho biểu thức: 2 1 3 2 1

Bài 43: Cho biểu thức 3 1 : 9 3 2

Dấu "=" xảy ra khi x=9(không thỏa mãn điều kiện)

Vậy không tồn tại giá trị nhỏ nhất của Q thỏa mãn đề bài

Bài 44: Cho biểu thức 1 : 3 x 2 2

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi

10

22.5310

m m m

.2

12

x P

1 Rút gọn P 2 Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0

3 Tìm x để P = x 4 Tìm x nguyên để P là số nguyên âm

3 Ta có ( )

2 2

Vậy GTNN của P x là 4 khi x=0

Bài 48: Cho biểu thức 3x 3 3 1 2 1 1

Vì x Z∈ nên P là số tự nhiên khi

1 2; 1;1; 2

1 2; 1;1; 2 2

Kết hợp điều kiện ta có x∈{ }4, 9 thì P là số tự nhiên

Bài 49: Cho biểu thức 2 5 : 1 3

x P

x x

P có giá trị nguyên khi x ∈ { } 0;4

Bài 50: Cho biểu thức P =

53

522

Z

( 1 2)( 1) 0 11 11

42

x x

x x

41

x x

Vậy GTLN của A là 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

6 Tìm giá trị nguyên của x để 1 1

Bài 51: Cho biểu thức 2 1 : 1

x x

xx

1x1

x

1:11x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 1 1

x x

xxx1x

1xx.1x

21

xx

2xx

x x

Dấu “=” xảy ra khi x= 1(thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy GTLN của P là 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Bài 56: Cho biểu thức 2 2x 2( 1)

⇒ ≥ + (theo bất đẳng thức cô – si)

x x

Vậy GTNN của A là 2 3+3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= +7 4 3

Bài 57 Cho các biểu thức

1

x A

x

−

=+ với x≥0 Giải P x.( − = −1) 9 ta tìm được x=16 (TM)

E BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 1 Cho b > a > 0 Xét biểu thức:

Kết hợp đkxđ và x nguyên suy ra x = 3 thì P nhận giá trị nguyên

Bài 3 Đề thi HSG 9 năm 2009 – 2010 (Thanh Xuân)

1

x x x x x x x x P

1 Tìm điều kiện để P có nghĩa, sau đó rút gọn P

2 Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của P

x x

+

=+ +

2 Với 0; 1; 1

2

x≥ x≠ x≠ thì x+ x≥0;x+ x+ ≥ > ⇒ ≥1 1 0 P 0

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (thỏa mãn)

Vậy Pmin = 0 khi x = 0

Bài 4 (Không chứa căn) – Đề thi chuyên Sư phạm năm 2010 (toán chung)

−

=+

2 Để P có giá trị nguyên thì 2P có giá trị nguyên 2 3 6 3 15

x P

Thử lại, ta thấy đều thỏa mãn

Bài 5 Đề thi chuyên Sư phạm 2012 (Toán chung)

Cho biểu thức

a b a b a b P

Vì b > 0 nên theo bđt Cô si, ta có: P≥2 2+2

Bài 6 Cho các số dương a, b và 22

1

ab x

1 Chứng minh rằng biểu thức P xác định Rút gọn biểu thức P

2 Khi a và b là các số dương thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Dấu “=” xảy ra khi: ( )2

+

=+

2 Với a≥0;a≠1 thì a+ ≥ >1 1 0; a+ ≥ > ⇒ >2 2 0 P 0

a P

x x

>



⇔  ≠

Vậy với m> −1;m≠1 thì có các giá trị của x thỏa mãn P x = −m x

Bài 11 Cho biểu thức 4 8 : 1 2

x

=

− vào bất phương trình ta có: −4mx> +x 1 1