Kinh tế lượng - Phương sai sai số thay đổi.docx

Kinh tế lượng - Phương sai sai số thay đổi.d

PHẦN LÝ THUYẾT

1 Khái niệm, định nghĩa

Khi nghiên cứu mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển, chúng ta đưa ra giả thiết rằng:Phương sai của mỗi một ngẫu nhiên Ui trong điều kiện đã cho của biến độc lập Xi làkhông đổi, nghĩa là:

Var(Ui/Xi) = E(Ui)2 = 2 ¿Ngược lại với trường hợp trên là trường hợp: Phương sai có điều kiện Yi thay đổi khi Xithay đổi, nghĩa là Var¿ (trong đó các σ i2 là khác nhau)

2 Nguyên nhân

Phương sai thay đổi có thể do một trong số các nguyên nhân sau đây:

 Do bản chất của các mối liên hệ kinh tế: Có nhiều mối liên hệ kinh tế đã chứađựng hiện tượng này Chẳng hạn mối quan hệ giữa thu nhập và tiết kiệm, thôngthường thu nhập tăng thì mức độ biến động của tiết kiệm cũng tăng

 Do kỹ thuật thu thập số liệu được cải tiến, 2 dường như giảm Kỹ thuật thuthập số liệu càng được cải tiến thì sai lầm phạm phải càng ít hơn.

 Do con người học được hành vi trong quá khứ Chẳng hạn, lỗi của người đánhmáy càng ít nếu thực hành càng tăng…

Trường hợp phương sai không đồng đều thường gặp khi thu thập số liệu theo không gian(cùng thời điểm nhưng có nhiều đối tượng khác nhau, chẳng hạn như nhiều hộ tiêu dùng

ở những địa phương khác nhau, nhiều xí nghiệp, công ty khác nhau,….)

là các ước lượng bình phương nhỏ nhất có trọng số, Wi được định nghĩanhư sau:

Rõ ràng khi Wi¿w¿i) thì trung bình trọng số bằng trung bình thông thường

3.2 Phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát

Bây giờ ta trở lại trường hợp ước lượng OLS của β2 ở trên là ^β2 Hệ số ^β2 vẫn là ướclượng tuyến tính không chệch, nhưng không phải là tốt nhất Nguyên nhân là do giả thiếtphương sai của sai số là không đổi bị vi phạm

Vậy làm cách nào để khắc phục tình trạng đó, để trả lời câu hỏi này , chúng ta cần phânbiệt trường hợp đã biết hoăc chưa biết phương sai Trong phần nay chúng ta chi cần đưa

ra một phương pháp tổng quát để đưa mô hình không thỏa mãn giả thiết phương sai sai số

không đổi về mô hình thỏa mãn giả thiết này để làm cơ sở xem xét ảnh hương cua việc viphạm giả thiết.

Xét mô hình hai biến Y i=β1+β2X i+U i Trong đó tất cả các giả thiết cua mô hình hồi quytuyến tính cổ điển đều thỏa mãn trừ giả thiết phương sai sai số không đổi Phương trìnhnày có thể viết dưới dạng:

Y i=β1X 0 i+β2X i+U i (6.3.5)Trong đó X 0i=1(∀ i¿

Với mỗi I, chia cả hai vế của 6.3.5 cho σ i (σ i>0¿ta được:

I có phương sai không đổi

Do đó chúng ta có thể áp dụng phương pháp OLS cho mô hình hồi quy (6.3.7) và đượcgọi là phương pháp BPNN tổng quát Tìm được các hệ số hồi quy: ^β1¿= ´Y¿

5 Phát hiện phương sai sai số thay đổi

5.1 Phương pháp đồ thị phần dư

Bước 1: Ước lượng mô hình hồi quy gốc để thu được ei.

Bước 2: Sắp xếp các ei theo chiều tăng của biến Xij nào đó

Bước 3: Vẽ đồ thị của ei2 theo biến Xij đã sắp xếp đó Khi đó ta nhận được 5 dạng đồ thịsau:

Kết luận:

- Nếu X ij tăng mà giá trị của e i2 cũng tăng theo thì ta có thể khẳng định là mô hình cóphương sai của sai số thay đổi

- Nếu có dạng hình a) tức là khi X ij thay đổi, e i2 dao động xung quanh 1 vị trí nào đó, thì

có cơ sở để nói phương sai thuần nhất (đồng đều, không đổi)

5.2 Phương pháp sử dụng tiêu chuẩn kiểm định

5.2.1 Kiểm định Park

Kiểm định PARK là một phương pháp kiểm định hiện tượng phương sai của sai số thay đổi trong các mô hình hồi quy Như đã biết, đây là một phương pháp kiểm định cho kết quả khá chính xác, tuy nhiên hạn chế của phương pháp này là nó chỉ áp dụng được đối với mô hình hồi quy đơn

Trong đó Park đã tiến hành hình thức hóa phương pháp đồ thị cho rằng σ i2 là hàm nào đócủa biến giải thích X.Dạng hàm mà ông đề nghị là :

σ i2=σ2X i β2e v i(1)

Lấy ln của 2 vế ta được

lnσ i2=ln σ2+β2lnXi+vi(2)

Vì σ i2là chưa biết nên Park đã đề nghị sử dụng e i2thay choσ i2 và ước lượng hồi quy sau:

lnei2=ln σi2+β2ln X i+vi = β1+β2ln X i+v i (3)

Trong đó v i là số hạng ngẫu nhiên

Các bước tiến hành kiểm định Park

Bước 1: Ước lượng hồi quy gốc, cho dù có hay không tồn tại hiện tượng phương sai của

sai số thay đổi

Bước 2: Từ hồi quy gốc, thu được các phần dư sau đó bình phương chúng được e i2rồi đếnlấy lne i2

Bước 3: Ước lượng hồi quy trong đó biến giải thích ( X i)là biến giải thích trong hồi quygốc, nếu có nhiều biến giải thích có thể ước lượng hồi quy đối với mỗi biến giải thích,hoặc có thẻ ước lượng hồi quy đối với mỗi biến giải thích, trong đó với Y^i là Y i đã đượcước lượng

Bước 4: Kiểm định giả thiết H o : β2=0 nghĩ là không có hiện tượng phương sai của sai sốthay đổi Nếu có tồn tại mối liên hệ có ý nghĩa về mặt thống kê giữa ln e2 và lnX i Thì giảthiết H o:β2= 0 có thể bác bỏ trong trường hợp này ta phải tìm cách khắc phục.

Bước 5: Nếu giả thiết H o:β2= 0 được chấp nhận thì β1 trong hồi quy (3) có thể được giảithích như là giá trị của phương sai không đổi (β1=ln σ2)

5.2.2 Kiểm định Glejser

Kiểm định Glejser cũng tương tự như kiểm định Park Sau khi thu được phần dư ei từ hồiquy gốc theo phương pháp bình phuong nhỏ nhất Glejser đã đề nghị hồi quy giá trị tuyệtđối của ei đối với biến Xi nào đó mà có thể kết hợp chặt chẽ với σ i2 Trong thực nghiệmGlejser sử dụng hàm hồi quy phụ sau:

Cần lưu ý rằng kiểm định Glejser cũng có vấn đề như kiểm định Park như: E(Vi) ≠ 0, Vi

có tương quan chuỗi tuy nhiên Glejser cho rằng với mẫu lớn thì bốn mô hình trên cho takết quả tốt trong việc phát hiện phương sai sai số thay đổi Do vậy mà kiểm định Glejserđược sử dụng như một công cụ để chuẩn đoán trong mẫu lớn

5.2.3 Kiểm định tương quan hạng Spearman

Kiểm định tương quan hạng của Spearman

Định nghĩa:hệ số tương quan hạng Spearman r s được xác định như sau:

Thủ tục kiểm định như sau:

Bước 1: Ước lượng hồi quy trên tập số liệu đối với Y và X thu được phần dư e i

Bước 2: Xếp hạng |e i| và X i theo thứ tự giảm hoặc tăng, tính d= hạng|e i|- hạngX i sau đótính hệ số tương quan hạng Spearman

Bước 3: giả sử hệ số tương quan hạng của tổng thể là p i =0 và n>8 thì ý nghĩa của hệtương quan hạng mẫu r s có thể được kiểm định bằng tiêu chuẩn t sau:

5.2.4 Kiểm định Goldfeld – Quandt

Nếu giả thiết rằng phương sai của sai số thay đổi σ i2 có thể liên hệ dương với một trongcác biến giải thích trong mhhq thì ta có thể sử dụng kiểm định này

Các bước kiểm định Goldfeld - Quandt gồm các bước sau:

Bước 1: Sắp xếp các quan sát theo giá trị tăng dần về giá trị của biến X.

Bước 2: Bỏ c quan sát ở giữa theo cách sau:

Đối với mô hình 2 biến George G.Judge đề nghị:

C = 4 nếu cỡ mẫu khoảng n = 30

C = 10 nếu cỡ mẫu khoảng n = 60

Và chia số quan sát còn lại thành 2 nhóm, trong đó mỗi nhóm có n−c2 quan sát

Bước 3: Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất ước lượng tham số hàm hồi quy đối

với n−c2 quan sát đầu và cuối: thu được tổng bình phương các phần dư của RSS1, RSS2tương ứng Trong đó RSS1 đại diện cho RSS2 từ hồi quy tương ứng với các giá trị của Xinhỏ hơn RSS2 - ứng với các gái trị Xi nhỏ hơn Bậc tự do tương ướng

Chú ý rằng trong trường hợp các biến giải thích X nhiều hơn 1 thì việc sắp xếp các quansát trong kiểm định ở bước 1 có thể làm đối với một biến bất kỳ trong các biến giải thích

đó Chúng ta có thể tiến hành kiểm định Park đối với mỗi biến X

Chú ý : Theo kinh nghiệm của các nhà kinh tế lượng thì số quan sát bị loại bỏ khoảng20% tổng số quan sát mà không nhất thiết mà không phải bỏ đi các quan sát ở giữa.Trong trường hợp đó cần phải xác định số bậc tự do cho thích hợp Các thử nghiệm theophương pháp Monte Carlo thì c = 8 nếu n khoảng 30; c =6 nếu n khoảng 60

5.2.5 Kiểm định Breusch – Pagan – Godfrey (BPG)

Xét mô hình hồi qui k biến sau:

Yi = b1 + b2X2i + … + bkXki + Ui (1)

Giả sử i2 được mô tả như là một hàm số của các biến phi ngẫu nhiên Zi, Zi là cácbiến Xi (một số hoặc tất cả) có ảnh hưởng đến i2, có dạng:

i2 = f(Z2i, Z3i, …, Zmi)Giả định f(Z2i, Z3i, …, Zmi) có dạng tuyến tính:

i2 = a1 + a2Z2i + … + amZmi

nếu a2 = a3 = … = am = 0 thì i2 = a1 là hằng số

Do vậy, việc kiểm định xem liệu rằng i2 có thay đổi hay không, chúng ta có thể kiểmđịnh giả thuyết H0: a2 = a3 = … = am = 0

Kiểm định Breusch – Pagan – Godfrey qua các bước sau:

Bước 1: Ước lượng (1) bằng phương pháp OLS để thu được phần dư e1, e2, …, en

Bước 2: Tính

Bước 3: Xây dựng biến pi = ei /

Bước 4: Hồi quy pi theo các biến Zi dưới dạng:

pi = a1 + a2Z2i + … + amZmi + vi (*)trong đó vi là số hạng ngẫu nhiên của hồi qui này

Bước 5: Thu được ESS (tổng các bình phương được giải thích) từ (*) và xác định:

Giả thuyết rằng Ui có phân phối chuẩn và khi cỡ mẫu n tăng lên vô hạn thì q » c2

(m – 1).Tức là q sẽ xấp xỉ c2 với m – 1 bậc tự do

Như vậy, nếu trong áp dụng mà ta tính được q vượt giá trị tra bảng c2 với m – 1 bậc tự

do với mức ý nghĩa đã chọn, thì chúng ta bác bỏ giả thuyết H0 về phương sai đồng đều Ngược lại, chúng ta có thể chấp nhận nó

5.2.6 Kiểm định White

Kiểm định BJG cần U có phân bố chuẩn, White đề nghị một thủ tục không đòi hỏi U cóphân bố chuẩn kiểm định này là kiểm định tổng quát về sự thuần nhất của phương sai.Xét mô hình sau đây:

Y1=β1+β2X2+β3X3+U i(1)

Bước 1: Ước lượng (1) bằng OLS Từ đó thu được các phần tử dư tương ứng e i

Bước 2: Ước lượng mô hình sau đây:

R2 là hệ số xác định bội thu được từ (2).

Bước 3: Với H0: phương sai của sai số không đổi, có thể chia ra rằng: n R2 có phân xấp

xỉ χ2(df ) Df bằng số hệ số của mô hình (2) không kể hệ số chặn

Bước 4: Nếu n R2 không vượt quá giá trị χ2(df ) , thi giả thiết H0 không có cơ sơ để bác

bỏ Điều này nói trong mô hình (2): α1=α2= =α6=0 Trong trường hợp ngược lại giảthiết H0 bị bác bỏ.

Ta nhận thấy rằng bậc tự do của tăng nhanh khicos thêm biến độc lập Trong nhiềutrường hợp người ta có thể bỏ các số hạng có chứa tích chéo X i X j, i j Ngoài ra trườngtrường hợp có sai lầm định dạng, kiểm định White có thể đưa ra nhận định sai lầm làphương sai của sai số thay đổi trong trường hợp phương sai của sai số là đồng nhất

5.2.7 Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc

Kiểm định này dựa trên ý tưởng cho rằng phương sai của yếu tố ngẫu nhiên phụ thuộcvào các biến độc lập có hay không có trong mô hình, nhưng không biết rõ chúng lànhưng biến nào Vì vậy, thay vì xem xét quan hệ đó, người ta xét mô hình sau đây:

α i2

=α1+α2(E(Y i) )2

Trong mô hình trên, σ i2 và E(Yi) đều chưa biết, do đó sử dụng các ước lượng của nó là e i2

và Y^i2

Bước 1: Ước lượng mô hình ban đầu bằng OLS Từ đó thu được ei và Y^i

Bước 2: Ước lượng mô hình sau đây bằng OLS:

e i2=α1+α2Y^i2+v i

Từ kết quả này thu được R2 tương ứng Có thể sử dụng hai kiểm định sau đây để kiểmđịnh giả thiết:

H0: Phương sai của sai số không thay đổi

H1: Phương sai của sai số thay đổi

Như chúng ta đã biết, phương sai của sai số thay đổi làm cho các ước lượng không còn làước lương hiệu quả nữa Vì thế biện pháp khắc phục là hết sức cần thiết.Việc chữa chạycăn bệnh này phụ thuộc chủ yếu vào liệu, được biết hay chưa Ta phân biệt 2 trường hợp.

1 σ i2Đã biết

Khi đã biết chúng ta có thể dễ dàng khắc phục căn bệnh đó bằng cách sử dụngphương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số đã trình bày ở trên

2. σ i2Chưa biết

Trong nghiên cứu kinh tế việc biết trước σ i2nói chung là hiếm Vì vậy nếu chúng ta muốn

sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số thì chúng ta cần có những giảithiết nhất định về σ i2và biến đổi mô hình hồi quy gốc sao cho mô hình đã đươc biến đổinày thoả mãn giả thiết phương sai của sai số không đổi.Phương pháp bình phương nhỏnhất sẽ đươc áp dụng cho mô hình đã được biến đổi như đã chỉ ra trước đây, phươngpháp bình phương nhỏ nhất có trọng số là phương pháp bình phương nhỏ nhất áp dụngcho tập số liệu đã được biến đổi

Chúng ta sẽ minh họa cho các phép biến đổi này qua việc sử dụng mô hình hồi quy 2 biến

mà ta gọi là mô hình gốc:

Y i=β1+β2X i+U i

Giả sử mô hình này thỏa mãn các giả thiết của mô hình hồi quy tuyển tính cổ điển trừ giảthiết phương sai của sai số không đổi Chúng ta xét 1 số giải thiết sau về phương sai củasai số Những dạng này tuy chưa bao quát được tất cả nhưng phổ biến

Giả thiết 1: Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của biến giải thích.

E(U i2

)=σ2X i2 (6.41)Nếu bằng phương pháp đồi thị hoặc tiếp cận Park hoặc Glejser …chỉ cho chúng ta rằng

có thể phương sai U itỉ lệ với bình phương của biến giải thích X thì chúng ta có thể biếnđổi mô hình gốc theo cách sau:

Chia 2 vế của mô hình gốc cho X i(X i#0)

i theo X1

i Chú ý rằng trong hồi quy đã được biển đổi thì

số hạng chặn β2 là hệ số góc của phương trình hồi quy gốc và hệ số góc β1 là số hạngchặn trong mô hình hồi quy gốc Di đó để trở lại mô hình hồi quy gốc chúng ta phải nhân

cả 2 về của (6.38) đã được ước lượng với X i

Giả thiết 2: Phương sai của sai số tỉ lệ với biến giải thích X:

Với mỗi i chia cả 2 về của mô hình gốc cho √X i (với √X i>0)

Giả thiết 3: Phương sai cua sai số tỉ lệ với bình phương của giá trị kì vọng của Y, nghĩa

E(Y¿ ¿i)¿var(v¿¿i)=σ2¿

Nghĩa là nhiễu V i ,có phương sai không đổi điều này chỉ ra rằng hồi quy (6.44) thỏa mãngiả thiết phương sai không đổi của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển

Tuy nhiên phép biến đổi (6.44) vãn chưa thực hiện được vì bản thân E(Y¿ ¿i)¿phụ thuộcvào β1 và β2 trong đó β1 và β2lại chưa biết

Như chúng ta đã biết ^β i=^β1+ ^β2X ilà ước lượng của E(Y¿ ¿i).¿Do đó có thể tiến hành theo

2 bước sau:

Bước 1: Ước lượng hồi quy ban đầu bằng phương pháp bình phương bé nhất thông

thường, thu được Sau đó sử dụng để biến đổi mô hình hồi quy gốc thành dạng như sau:

Giả thiết 4 Hạng hàm sai

Đôi khi thay cho việc dự đoán về người ta định dạng lại mô hình ,Chẳng hạn thay choviệc ước lượng hồi quy gốc có thể chúng ta sẽ ước lượng hồi quy

lnY i=β1+β2ln X i+U i

Việc ước lượng hồi quy có thể làm giảm phương sai của sai số thay đổi do tác động củaphép biến đổi loga Một trong những ưu thế của phéo biến đổi loga là hệ số góc là hệ sốgóc β2 là hệ số co dãn của Y đối với X.

SL: Sản lượng lúa (nghìn tấn) – Là biến phụ thuộc

DT: Diện tích lúa (nghìn ha) – Là biến giải thích 1

NS: Năng suất lúa (tạ/ha) – Là biến giải thích 2

1 Phát hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi (mức ý nghĩa α = 5%))

Để phát hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi, trước tiên ta cần xác định hàm hồi quy mẫu:

^

SLi=^β1+ ^β2DT i+ ^β3NSi

Sau khi hồi quy ta được hàm hồi quy mẫu là:

^

SL i=3.912384−0.119308 DTi+3.359319 NSi

 Tính các phần dư ei

Tại cửa sổ Equation chọn Frocs  Make Residual Series…  Điền tên là ei, OK.

 Ước lượng các giá trị ^SL

Từ cửa sổ Equation hồi quy, chọn Forecast  Forecast name là gtsl, OK

Tạo biến e i2 bằng cách: Tại cửa sổ Workfile chọn Frocs  Generate Series…

Gõ vào ô Enter Equation: ei2 = ei^2 OK

1.1 Kiểm định Park

Tại vùng gõ lệnh ta gõ: LS LOG(EI2) C LOG(GTSL), Enter

Từ kiểm định Park ta nhận thấy: P – Value = 0.0347 < 0.05

 Kết luận: Có phương sai sai số thay đổi.

Hoặc:

KĐGT: {H0: Không có phương sai sai số thay đổi

H1:Có phương sai sai số thay đổi ↔{H0: β2=0

1.2 Kiểm định Glejser

Tại vùng gõ lệnh ta gõ: LS ABS(EI) C GTSL, Enter

Từ kiểm định Glejser ta nhận thấy: P – Value = 0.0193 < 0.05

 Kết luận: Có phương sai sai số thay đổi

Hoặc:

Từ kiểm định Glejser trên ta nhận được hàm hồi quy:

|e^i|=3.893900−0.028420 GTSL

Giống như kiểm định Park, ta có:

KĐGT: {H0: Không có phương sai sai số thay đổi

H1:Có phương sai sai số thay đổi ↔{H0: β2=0