Kinh tế lượng phương sai của sai số thay đổi đại học thương mại

Phương sai của sai số thay đổi có thể do một trong các nguyên nhân sau:- Do bản chất của mối liên hệ của các đại lượng kinh tế.có nhiều mối quan hệ kinh tế có chứa hiện tượng này.. - Ngu

Phương sai của sai số thay đổi có thể do một trong các nguyên nhân sau:

- Do bản chất của mối liên hệ của các đại lượng kinh tế.có nhiều mối quan hệ kinh tế

có chứa hiện tượng này Chẳng hạn mối liên hệ giữa thu nhập và tiết kiệm, thông thường thu nhập tăng thì mưc độ biến động của hiện tượng cũng tăng

- Do kỹ thuật thu nhập và sử lý số liệu được cải tiến dường như giảm Kỹ thuật thu thập số liệu càng được cải tiến thì sai lầm phạm phải càng it hơn

- Do con người học được hành vi trong quá khứ Ví dụ như lỗi của người đánh máy càng it thì nếu thời gian thực hiện càng tăng

- Phương sai của sai số thay đổi cũng cũng xuất hiện khi có các quan sat ngoại lai Quan sat ngoại lai là các quan sat khác biệt rất nhiều (quá nhỏ hoặc quá lớn) với các quan sat khác trong mẫu Việc đưa vào hay loại bỏ các quan sat này ảnh hưởng rất lớn đến phân tích hồi quy

- Nguyên nhân khác đó là mô hình định dạng sai, có thể là do bỏ xót biến thích hợp hoặc dạng giải tích của hàm là sai

1.3 Hậu quả

Các ước lượng bình phương nhỏ nhất là ước lượng tuyến tính không chệch nhưng không hiệu quả

Các ước lượng của các phương sai là các ước lượng chệch => Làm giá trị của thông

kê T& F mất ý nghĩa

Các bài toán về ước lượng & kiểm định dự báo khi sử dụng thông kê T&F là không đáng tin cậy

II.Phát hiện sự tồn tại của hiện tượng phương sai của sai số thay đổi.

2.1 Phương pháp đồ thị phần dư

Đồ thị sai số của hồi quy (phần dư) đối với biến độc lập X hoặc giá trị dự đoán Ŷi

sẽ cho ta biết liệu phương sai của sai số có thay đổi không Phương sai của phần dư được chỉ ra bằng độ rộng của biểu đồ phân rải của phần dư khi X tăng Nếu độ rộng của biểu đồ rải của phần dư tăng hoặc giảm khi X tăng thì giả thiết về phương sai hằng số có thể không được thỏa mãn

Ta hồi quy mô hình hồi quy gốc: Yi = β1 + β2Xi + Ui

Phương pháp vẽ đồ thị:

B1.Ta hồi quy mô hình hồi quy gốc

Yᵢ = β1 + β2Xi + Uᵢ

Ta thu được phần dư eᵢ

B2.Sắp xếp các ei theo chiều tăng biến X nào đó

B3.Vẽ đồ thị phần dư eᵢ (eᵢ²) đối với X theo biến sắp xếp đó.( hoặc với Ŷᵢ trong trường hợp hồi quy nhiều biến)

(d )KL: Nếu độ rộng của phần dưu tăng khi X tăng thì kết luận có hiện tượng phương sai sai số thay đổi.

Như vậy để thực hiển kiểm định Park ta sẽ tiến hành các bước:

Bước 1: Ước lượng hồi quy gốc để thu được các phần dư ei

Bước 2: Ước lượng hồi quy lne i2 =lnσ2 +β2lnX i +v i

Nếu có nhiều biến giải thích thì ước lượng hồi quy này với từng biến giả thích hoặc với

Bước 3: Kiểm định gải thuyết H0: β2 = 0

Nếu H0 bị bác bỏ thì kết luận có phương sai của sai số thay đổi

2.3 Kiểm định Glejser

Kiểm định Glejser cũng tương tự như kiểm định Park Sau khi thu được phần dư ei từ hồi quy theo phương pháp bình phương nhỏ nhất, Glejser đề nghị hồi quy giá trị tuyệt đối của ei, e i đối với biến X nào mà có thể có kết hợp chặt chẽ với 2

i

σ Trong thực nghiệm Glejser sử dụng các hàm:

i i

e = β1 +β2 +

e i = β1 +β2 X i +v i

i i

X

e = β1 +β2 1 +

i i

X

e = β1 +β2 1 +

Nếu H0 : β2=0 bị bác bỏ thì kết luận có phương sai của sai số thay đổi

Nếu giá trị t tính được vượt điểm tới hạn t, chấp nhận giả thiết phương sai của sai số thay đổi, và ngược lại

2.4 Kiểm định Goldfield – Quant (G – Q)

Để đơn giản ta xét mô hình 2 biến Yi = β1 + β2Xi + Ui

Giả sử 2 2 2

i

σ =Bước 1: sắp xếp các gái trị quan sát theo chiều tăng của biến Xj

Bước 2: Bỏ c quan ở giữa theo cách:

Nếu n = 30: lấy c = 4 hoặc c = 6Nếu n = 60: lấy c =10

Các quan sát còn lại chia 2 nhóm, mỗi nhóm có

2

c

n− quan sát

Bước 3: Ước lượng mô hình với

2

c

n− quan sát đầu và cuối thu được RSS1 và RSS2

tương ướng với bậc tự do là:

2

22

k c n k c n

d = − − = − −

.Bước 4: Xây dựng TCKĐ:

Nếu giả thiết H0: phương sai của sai số ngẫu nhiên không đổi được thảo mãn thì F≈

F(d,d)

Wα = { f tn, f tn > fα(d,d)}

2.5 Kiểm định White

Xét mô hình sau đây: Yi = β1 + β2X2 + β3X3 + Ui (*)

Bước 1: Ước lượng (*) bằng OLS Thu được các phần dư tương ứng ei

Bước 2: ước lượng mô hình sau đây:

i

Bước 3: với H0: phương sai của sai số không đổi, có thể chỉ ra rằng: nR2 có phần xấp

xỉ χ2(df), df bằng số hệ số của mô hình (**) không kể hệ số chặn

Bước 4: Nếu nR2 không vượt quá giá trị χα2(df), thì giả thiết H0 không có cơ sở bị bác

bỏ Điều này nói rằng trong mô hình (**) thì:

β2 = β3 = … = β6 = 0 Trong trường hợp ngược lại gải thiết H0 bị bác bỏ

2.6 Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc.

Giả thiết: Phương sai sai số ngẫu nhiên Ui là phụ thuộc theo Y

i i

2 1

Theo nguyên lý xác suất bé ta có miền bác bỏ:

Wα ={ χ2:χ2 = nR2 >χ2 ( 1 )α }

b Kiểm định F

}:

{

)2,1(

~))ˆ(

ˆ(

) 2 , 1 (

0 2

2 2

n F se

F

α

αββ

Nếu bác bỏ Ho thì có hiện tượng phương sai sai số xảy ra

Phương trình có thể viết lại dưới dạng: (1)

Trong đó: = 1 Chia cả hai vế của (1) cho

hình đã được biến đổi để phân biệt với các tham số của ước lượng bình phương nhỏ nhất thông thường

Ta có mô hình mới có dạng:

(2)

Ta nhận thấy:

Vậy có phương sai không đổi Nên nếu chúng ta tiếp tục phương pháp bình

phương nhỏ nhất cho mô hình biến đổi (2) thì các ước lượng sinh ra từ đó sẽ là các ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất

• Ước lượng OLS:

Viết hàm hồi quy mẫu của (2):

;

3.2 Phương sai chưa biết.

- Có mô hình hồi qui tổng thể hai biến:

1+ β2 + = β1

i X

1+ β2 +Vi (1)

Trong đó Vi = là số hạng nhiễu đã được biến đổi ,và rõ ràng rằng E(Vi)2 = ,thực vậy:

E(Vi)2 = E = E(Ui)2 = = ,

 Như vậy tất cả các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển được thỏa mãn Ta áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất cho phương trình đã biến

đổi Chú ý rằng: Chú ý: Mô hình (1) có β2 là hệ số góc trong mô hình gốc và β1

là số hạng chặn trong hồi quy gốc Do đó để trở lại mô hình gốc ta nhân cả hai

i

i X

X

+

i

i X U

= β1

i X

1+ β2 X i + Vi ( * )

Trong đó Vi =

Khi đó: Var ,

Chú ý: Mô hình (*) làm mô hình không có hệ só chặn cho nên ta sẽ sử dụng mô hình

hồi qui qua gốc để ước lượng và ,sau khi ước lượng (*) chúng ta sẽ trở lại mô hình gốc bằng cách nhân cả hai vế của (*) với căn bậc hai của Xi

Giả thiết 3: Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của giá trị kỳ vọng của Y, nghĩa là : E( 2) = (E(Yi))2

Chia hai vế của mô hình cho E(Yi) :

= 1 (1 )

i Y E

i

X Y

E( )

12

Bước 2 :Ước lượng hồi qui (**), dù không chính xác là E(Yi /Xi) ,chúng chỉ ước lượng vững nghĩa là khi cỡ mẫu tăng lên vô hạn thì chúng hội tụ đến E(Yi/Xi) ,vì vậy phép biến đổi (**) có thể sử dụng trong thực hành khi cỡ mẫu tương đối.

Giả thiết 4: Dạng hàm sai

Đôi khi thay cho việc dự đoán về người ta định dạng lại mô hình chẳng hạnt hay cho việc ước lượng hồi qui gốc có thể chúng ta sẽ ước lượng hồi qui:

lnYi =β1+β2 lnXi +Ui (*) Việc ước lượng hồi qui (****) có thể làm giảm phương sai của sai số thay đổi do tác động của phép biến đổi loga Một trong ưu thế của phép biến đổi loga là hệ số góc

là hệ số co dãn của Y đốivới X

Lưu ý:

Khi nghiên cứu mô hình có nhiều biến giải thích thì việc chon biến nào để biến đỏi cần phải được xem xét cẩn thận

Phép biến đổi loga không dùng được khi các giá trị X hoặc Y âm

Có thể xảy ra tình trạng là bản thân biến gốc không tương quan nhưng tỉ số của các biến lại có thể tương quan

Khi chưa biết nó được ước lượng từ một trong các cách biến đổi trên Tất cả các kiểm định t, F mà chúng ta sử dụng chỉ có hiệu lực trong những mẫu lớn Do đó chúng ta phải cẩn thận khi giải thích các kết quả dựa trên phép biến đổi khác nhau trong các mẫu nhỏ

Kết luận: Để khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi ta có thể sử dụng 1 trong 4 cách phục trên đây Tuỳ từng mô hình ta có thể sử dụng các giả thiết để khắc phục riêng

B BÀI TẬP THỰC HÀNH TRÊN EVEWS.

Trên cơ sở lý thuyết đã trình bày ở trên, và để thuận tiện cho việc tìm hiểu về phương sai của sai số thay đổi Nhóm chúng tôi tiến hành nghiên cứu về hiện tượng phương

sai của sai số thay đổi bằng việc sử dụng dãy số về vệc chi tiêu cho ăn uống và thu nhập của 30 bạn sinh viên K47H như sau:

Xi : Thu nhập

Với mức ý nghĩa α = 5% hãy phát hiện hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi và khắc phục hiện tượng này

Lập mô hình hồi quy mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa các biến.

Ta có mô hình hồi quy tổng thể:

Dựa vào số liệu trên thực hiện mô hình hồi quy mẫu theo phương pháp OLS trên eviews theo các bước file wordfile hộp thoại xuất hiện chọn như hình sau và ấn enter:

Chọn quick empty group nhập giá trị X,Y vào bảng

Chọn quick Estimate equation khai báo biến phụ thuộc và biến độc lập Y C X enter Cho ta kết quả như sau:

Từ kết quả ước lượng trên ta có hàm hồi quy mẫu cần tìm là:

Ŷ i = -627994.7 + 0.794144X i

Ý nghĩa của các hệ số hồi quy:

: Khi thu nhập tăng lên 1 triệu đồng thì mức chi tiêu cho ăn uống tăng lên khoảng 627994.7 đồng

Với ước lượng mô hình trên ta thu được bảng giá trị phần dư ei và được lưu trong eviews với tên e ( Trên cửa sổ lệnh gõ Genr E = Resid enter):

Và biến Ŷi được lưu với tên yf (Trên cửa sổ lệnh gõ Genr YF = c(1)+c(2)*X enter):

I PHÁT HIỆN HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA SAI SỐ THAY ĐỔI:

1 Phương pháp đồ thị

Ta có đồ thị biểu diễn tương quan giữa X và e:

Nhìn đồ thị ta thấy , độ rộng của biểu đồ tăng lên khi X tăng , do đó có chứng cớ để cho rằng có phương sai sai số thay đổi khi X tăng

2 Phát hiện phương sai sai số thay đổi bằng các kiểm định

Ta thấy P-value (log(X)) = 0,0357 < α, với =0,05 thì ta bác bỏ giả thuyết Ho, chấp nhận H1, tức là có hiện tượng phương sai thay đổi

Ta thấy P-value = 0.0357 < α = 0.05, ta bác bỏ giả thuyết H0 => có hiện tượng phương sai sai số thay đổi

2.2 Kiểm định Glejer

Ta kiểm định với 1 trong 4 dạng hàm

Ta thấy P-value (SQR(X)) = 0,0163< α với =0,05 thì ta bác bỏ giả thuyết Ho, chấp

nhận H1, tức là có hiện tượng phương sai thay đổi

Giả sử kiểm định với hàm |e i | = β 1 + β 2 X i + Vi:

Sử dụng hàm ls ABS(E) C X Ta có bảng eview:

Ta thấy P-value (X) = 0,0129; với =0,05 thì ta bác bỏ giả thuyết Ho, chấp nhận H1, tức là có hiện tượng phương sai thay đổi

Dựa vào bảng kết quả trên ta có (F-statistic = 0.022983, )

Do đó: bị bác bỏ, hay

Kết luận: Với mức ý nghĩa ta có thể khẳng định phương sai của sai số bị thay đổi

III Khắc phục hiện tượng.

1 Phương sai sai số thay đổi và E Y( )i

Sử dụng hàm: LS (e^2) c (Yf^2) Ta có bảng eview:

Từ bảng kết quả ta nhận thấy xảy ra hiện tượng phương sai thay đổi, và phương sai của sai số tỷ lệ với bình phương của giá trị kỳ vọng của Y, nghĩa là thuộc giả thuyết 3.

Ta khắc phục mô hình bằng việc sử dụng giả thiết 3:

Hồi quy mô hình: 1 2

Ta được mô hình hồi quy gốc mới là:

Ŷ i = -507249.0 + 0.733257X i

Kiểm định lại mô hình vừa khắc phục:

Ta kiểm định bằng kiểm định White:

Dựa vào bảng kết quả trên ta có (F-statistic = 0.154950, )

Do đó: bị bác bỏ,

Kết luận: Với mức ý nghĩa có thể nói phương sai của sai số đồng đều

Kết luận: Với mức ý nghĩa α= 0.05 ta có thể nói rằng mô hình mới được khắc phục có phương sai của sai số đồng đều

2 Phương sai sai số thay đổi và X:

Từ cách tiếp cận Park, ta kiểm định c(2) =2

Ta thấy P-value = 0,2323 > 0,05 = α => suy ra chấp nhận Ho: β =2 2

Suy ra: Phương sai của sai số tỷ lệ với bình phương biến giải thích, tức thuộc giả thuyết 1

Ta khắc phục hiện tượng bằng sử dụng giả thiết 1:

Như vậy ta sẽ tiến hành hồi quy mô hình :

Như vậy ta được mô hình mới:

Ŷ i = -555546.5 + 0.758049X i.

Kiểm định lại mô hình bằng kiểm định White:

Cũng từ cách tiếp cận Park ta Kiểm định c(2)=1

Ta thấy P-value = 0,0866 > 0,05 = α => suy ra chấp nhận Ho: β =2 1

Suy ra: Phương sai của sai số tỷ lệ với biến giải thích, tức thuộc giả thuyết 2

Ta khắc phục hiện tượng bằng sử dụng giả thiết 2:

Như vậy ta sẽ tiến hành hồi quy mô hình : 1 2

Ta có mô hình hồi quy mới là:

Ŷ i = -594107.3 + 0.777613X i.

Kiểm định lại mô hình trên bằng kiểm định White:

3 Ta cũng có thể khắc phục mô hình theo giả thiết 4:

Chẳng hạn ta ước lượng mô hình hồi quy:

lnYi = β1 + β2lnXi + Ui

Kết quả hồi quy của logYi đối với logXi là:

Mô hình hồi quy:

log Ŷ i = -8.980996 + 1.566502logX i

Kiểm định bằng kiểm định White ta được:

Ta thấy không có hiện tượng phương sai sai số thay đổi

Kiểm định bằng kiểm định White ta được:

Ta thấy không có hiện tượng phương sai sai số thay đổi