Giải tích 11 – hàm số liên tục (tiết 69)

Hàm số liên tục tại một điểm: ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số f xác định trên và.. Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm nếu: Hàm số không liên tục tại được gọi là gián đoạn tại.. H1: Xét tí

Gi¸o viªn : L£ THÞ KIM UY£N

tæ to¸n - tin

Trường THPT Ngô Gia Tự

Câu 1: Cho các hàm số: và

Tính f(1), g(1), so sánh với

Câu 2: Xét hàm số Tính h(1) và so

sánh với

2 ( )

f x x

lim ( ), lim ( )

2

2 2

, 1 ( ) 1

1, 1

x

x

 





 



1

lim ( ).

x h x



2

3, 1 ( )

2, 1

x

g x

x x







  



1 Hàm số liên tục tại một điểm:

ĐỊNH NGHĨA:

Giả sử hàm số f xác định trên và Hàm số f

được gọi là liên tục tại điểm nếu:

Hàm số không liên tục tại được gọi là gián đoạn tại

H1: Xét tính liên tục của hàm số tại

a b

( ; ) x0  ( ; ) a b

x0

lim ( ) ( )







f x( ) x x0  0

Giải:



f (0) 0

lim ( ) lim 0

Do

0

lim ( ) (0)

Nên f(x) liên tục tại x = 0.

H2: Xét tính liên tục của hàm số tại







x khi x

f x

x 1 khi x 1

( )

1  1 x0 1

Giải:



f (1) 2

lim ( ) lim 1 2

Nên hàm số bị gián đoạn tại x = 1.

 

lim ( ) lim 1 0

Suy ra không tồn tại



1

lim ( )

2 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn:

ĐỊNH NGHĨA:

a) Giả sử hàm số f xác định trên tập J, trong đó J là một

khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc J.

b) Hàm số f xác định trên đoạn được gọi là liên tục trên đoạn nếu nó liên tục trên khoảng và:

Xét tính liên tục của hàm số trên đoạn

 

a b; 

 

a b;   a b; 

x alim ( )f x f a( ), lim ( )x b f x f b( ).

Ví dụ:

 

f x( ) 1 x2  1;1 

 

lim ( ) lim 1 1

Nên hàm số liên tục trên [-1; 1]

lim ( ) lim 1 0 1

Xét tính liên tục của hàm số trên đoạn

Ví dụ:

 

f x( ) 1 x2  1;1 

Với , ta có:

Hàm số xác định trên [-1; 1]

 

 

x0 1;1

Nên hàm số f liên tục trên (-1; 1)

 

lim ( ) lim 1 0 1

Ngoài ra, ta có:

Nhận xét:

– Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một

đường "liền nét".

– Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu khác 0) của hai hàm số liên tục tại một điểm là các hàm số liên tục tại điểm đó – Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng.

– Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx và

y = cotx liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ: Cho hàm số liên tục trên [-1; 3] có

đồ thị như hình vẽ

   

y f x( ) x3 3x2 1

a Tính f(-1), f(3) Hãy so sánh f(-1) và

f(3).

b Với M = 3 nằm giữa f(-1) và f(3), hãy tìm c(-1;3) sao cho f(c) = M.

3 Tính chất của hàm số liên tục:

Định lí: (Về giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] Nếu thì với số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm

sao cho f(c) = M c a b; 

Ý nghĩa hình học:



f a( ) f b( )

 



c a b;

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]

và M là số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm

số y = f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ

3 Tính chất của hàm số liên tục:

Hệ quả:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và thì với số thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho f(c) = 0 c a b; 

Ý nghĩa hình học:



f a f b( ) ( ) 0

 



c a b;

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]

và f(a) f(b)<0 thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại ít nhất tại một điểm có hoành độ

Chứng minh rằng phương trình có ít nhất 1 nghiệm

Ví dụ:

  

x3 x 1 0

Chứng minh rằng phương trình có ít nhất 1 nghiệm

Ví dụ:

  

x3 x 1 0

Tìm a, b sao cho f(a).f(b) < 0

Hàm số xác định và liên tục trên R

Kết luận: Phương trình có ít nhất 1 nghiệm

    

f x x3 x 1

 



c a b;

Chứng minh rằng phương trình có ít nhất 1 nghiệm

Ví dụ:

  

x3 x 1 0

Tìm a, b sao cho f(a).f(b) < 0

Hàm số xác định và liên tục trên R

Kết luận: Phương trình có ít nhất 1 nghiệm

    

f x x3 x 1

 



c a b;