Đại số 10 – mệnh đề

Mệnh đề chứa biến Nhìn chung, mệnh đề chứa biến là khẳng định có chứa tham số hoặc biến x, y, n, a, b… chưa xác định được đúng, sai, chỉ xác định được đúng, sai với giá trị cụ thể của b

I Mệnh đề Mệnh đề chứa biến

Xét các câu sau, hãy cho biết câu nào là câu khẳng định.

1 Thủ đô của Việt Nam là Hà Nội.

2 Thành phố New York nằm ở nước Campuchia.

3 Bây giờ là 1 giờ phải không?

5 Ngon quá!

4 Số 15 là số lẻ.

6 n chia hết cho 3.

7 Nam và Minh đang tranh luận về loài dơi.

Tui là câu hỏi

Câu tường thuật

I Mệnh đề Mệnh đề chứa biến

Dưới đây là những câu khẳng định.

1 Thủ đô của Việt Nam là Hà Nội.

2 Thành phố New York nằm ở nước Campuchia.

Vậy mệnh đề là gì?

 Định nghĩa:

mệnh đề đúng mệnh đề sai.

I Mệnh đề Mệnh đề chứa biến

Xét các câu khẳng định sau:

Đ S?

Với n = 5 ta được mệnh đề “5 chia hết cho 3” (Sai)

Với n = 9 ta được mệnh đề “9 chia hết cho 3” (Đúng) 1) “n chia hết cho 3”

2) “2 + x = 7” Đ S?

(Sai) (Đúng)

Các câu khẳng định trong ví dụ này

là những mệnh đề chứa biến.

I Mệnh đề Mệnh đề chứa biến

Nhìn chung, mệnh đề chứa biến là khẳng định có chứa tham số hoặc biến (x, y, n, a, b…) chưa xác định được đúng, sai, chỉ xác định được đúng, sai với giá trị

cụ thể của biến, tham số.

2 Mệnh đề chứa biến

Ví dụ: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến.

a) 2 + 3 = 7

b) x + y >1

d) 4 + x = 3 f) Tình yêu là gì?

e) 2 − 5 0 <

c) x2 ≥ 0

Chú ý:

- Mệnh đề chứa biến không phải là mệnh đề

- Không phải câu khẳng định nào có tham số đều là mệnh

MĐCB

MĐCB

II Phủ định của một mệnh đề

Ví dụ: Xét hai mệnh đề sau:

MĐ1: “Dơi là một loài chim”

MĐ2: “Dơi không phải là một loài chim”

Xét tính đúng sai của hai mệnh đề này.

Nếu P đúng thì sai P

Cho mệnh đề P, phủ định của P kí hiệu là P

Nếu P sai thì đúng P

MĐ2 được gọi là mệnh đề phủ

định của MĐ1 và ngược lại.

Đ S

II Phủ định của một mệnh đề

Chú ý: Để phủ định một mệnh đề ta chỉ cần thêm (hoặc bớt) từ không trước vị ngữ của mệnh đề đó.

Ví dụ: Phủ định các mệnh đề sau:

P: “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”

Q: “15 không chia hết cho 5”

P: “Hà Nội không là thủ đô của Việt Nam”

Q: “15 chia hết cho 5”

Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau và phát

Trong môn Ngữ văn các em đã được học các câu có cấu trúc quan hệ nguyên nhân – hệ quả như:

Nếu trời mưa thì đường ướt.

Nếu tôi cố gắng học tập thì tôi sẽ đạt kết quả cao.

Trong toán học, những câu có cấu trúc “Nếu… thì…”

nối các mệnh đề với nhau được gọi là mệnh đề kéo theo.

III Mệnh đề kéo theo

Cho 2 mệnh đề P và Q Mệnh đề có dạng “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo Kí hiệu: P ⇒ Q.

Mệnh đề P ⇒ Q còn được phát biểu là “P kéo theo

Q” hoặc “P suy ra Q”.

Ví dụ: P: Trái đất không có nước.

Q: Trên trái đất không có sự sống.

P ⇒ Q: Nếu trái đất không có nước thì trên trái đất

không có sự sống.

III Mệnh đề kéo theo

Ví dụ: Phát biểu mệnh đề kéo theo và xác định tính đúng, sai của nó:

a) P: 2 < 3, Q: 6 < 7.

b) P: Tôi là chim, Q: Tôi biết bay

c) P: ∆ABC là tam giác vuông, Q: ∆ABC có một góc lớn hơn 90 độ.

P ⇒ Q: Nếu 2 < 3 thì 6 < 7.

P ⇒ Q: Nếu tôi là chim thì tôi biết bay.

P ⇒ Q: Nếu ∆ABC là tam giác vuông thì ∆ABC

có một góc lớn hơn 90 độ.

Đ

S

Đ

III Mệnh đề kéo theo

Chú ý: Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Ví dụ: “2 < 3 kéo theo 5 >6” là mệnh đề sai.

⇒ Mệnh đề sai

Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P ⇒ Q,

Điều kiện cần, điều kiện đủ

Ví dụ: Định lí: “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì

tứ giác ABCD là hình chữ nhật”.

III Mệnh đề kéo theo

và ta có thể phát biểu: P là điều kiện đủ để Q.

Tứ giác ABCD là hình vuông ABCD là hình chữ nhật

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật là điều kiện cần để ABCD là hình vuông.

IV Mệnh đề đảo Hai mệnh đề tương đương

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P.

Ví dụ. Cho mệnh đề: “Nếu ABC là một tam giác đều thì

ABC là một tam giác cân”.

 Định nghĩa:

Mệnh đề đảo:

“Nếu ABC là một tam giác cân thì

ABC là một tam giác đều”.

P Q

Q P

S Đ

Cho biết tính đúng, sai của các mệnh đề trên.Nhận xét: Mệnh đề đảo của một mệnh đề

đúng không nhất thiết là đúng.

Trong trường hợp mệnh đề thuận và mệnh đề đảo đều đúng, ta có 2 mệnh đề tương đương

IV Mệnh đề đảo Hai mệnh đề tương đương

Nếu P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng ta nói P và Q là 2 mệnh

đề tương đương Kí hiệu P ⇔ Q và đọc là:

 Định nghĩa:

P tương đương Q, hoặc

P khi và chỉ khi Q, hoặc

P là điều kiện cần và đủ để Q.

IV Mệnh đề đảo Hai mệnh đề tương đương

Ví dụ: Phát biểu mệnh đề sau dùng điều kiện cần và đủ a) ∆ABC có góc A bằng 90 0 ⇔ ∆ABC vuông tại A.

b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.

* ∆ABC có góc A bằng 90 0 là điều kiện cần và đủ để

∆ABC vuông tại A.

* Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để nó là một hình thoi.

V Kí hiệu ∀ và ∃

Đối với một số mệnh đề toán học, thay vì phát biểu thành lời một cách rõ ràng, người ta có thể dùng kí hiệu

để viết lại mệnh đề đơn giản và gọn gàng hơn.

Ví dụ. Mệnh đề “Mọi số thực đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng 0” ta có thể viết thành:

Kí hiệu ∀ đọc là “với mọi”.

a Kí hiệu ∀

∀x∈R: x 2 ≥ 0 hay x 2 ≥ 0, ∀x∈R.

Mệnh đề “∀x∈ R: |x| ≥ 0”được phát biểu thành lời là:

c Mọi số thực đều có giá trị tuyệt đối lớn hơn hoặc bằng 0.

b Với mọi số x thuộc vào tập hợp số nguyên, giá trị

tuyệt đối của x lớn hơn hoặc bằng 0.

a Có một số thực x mà giá trị tuyệt đối của nó lớn hơn 0.

d Mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0.

V Kí hiệu ∀ và ∃

a Kí hiệu ∀

Ví dụ:

b Kí hiệu ∃

Mệnh đề “Có một số nguyên nhỏ hơn 0” có thể được viết lại như sau:

∃ n ∈ Z : n < 0

Kí hiệu ∃ đọc là có một, tồn tại một hay có ít nhất một

Chú ý: Kí hiệu ∃ mang ý nghĩa có ít nhất chứ không phải duy nhất, tức là có thể có 1, 2, 3 hoặc nhiều hơn.

V Kí hiệu ∀ và ∃

Mệnh đề “Có một số cộng với 6 bằng 0”được kí hiệu là:

c Phủ định của mệnh đề chứa ∀, ∃

Dùng kí hiệu ∀ để viết lại mệnh đề sau:

P: Mọi số thực đều có bình phương không âm.

Tồn tại một số tự nhiên mà bình phương của nó cộng 1 bằng 3.

- Mệnh đề là gì?

- Mệnh đề chứa biến có phải là mệnh đề không?

- Để phủ định một mệnh đề ta phải làm gì?

- Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi nào?

- Trong mệnh đề P ⇒ Q, P là điều kiện cần hay điều kiện

Mệnh đề P là điều kiện đủ của mệnh đề Q

Hai mệnh đề P và Q tương đương khi và

Bài tập 4 Phát biểu mỗi mệnh đề sau dùng khái niệm

“điều kiện cần và đủ”

a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết

cho 9 và ngược lại.

b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.

b) Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.