Sử dụng phương pháp mô hình hóa toán học trong dạy học chủ đề hàm số bậc hai đại số 10

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018, trong dạy học Toán, một trong những năng lực cần hình thành cho học sinh HS là năng lực mô hình hóa MHH toán học [1].Theo [2], các

1 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Để thực hiện đổi mới căn bản, toàn diện GD-ĐT, đòi hỏi giáo dục phổ thông cần chuyển từ nền giáo dục theo hướng tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực người học Định hướng quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học

ở trường phổ thông là phát huy tính tích cực, tự lực và sáng tạo, phát triển năng lực hành động, năng lực hợp tác của người học Đó cũng là những xu hướng tất yếu trong giai đoạn hiện nay

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018, trong dạy học Toán, một trong những năng lực cần hình thành cho học sinh (HS) là năng lực

mô hình hóa (MHH) toán học [1].Theo [2], các thành tố của năng lực MHH trong dạy học Toán gồm:

- Đơn giản giả thiết toán học, loại bỏ các yếu tố phi toán học, xử lí điều kiện của bài toán;

- Làm rõ mục tiêu bài toán, hiểu tính thực tế của bài toán;

- Thiết lập vấn đề từ tình huống thực tế;

- Xác định biến, tham số, hằng số liên quan, tìm mối liên hệ giữa các biến số;

- Lựa chọn mô hình toán học;

- Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị, xử lí số liệu thực tế;

- Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn

Vậy, những yêu cầu cần đạt của năng lực này thể hiện thông qua việc thực hiện các hoạt động sau:

- Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu,

đồ thị,…) để mô tả các tình huống đặt ra trong bài toán thực tế;

- Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập;

- Thực hiện và đánh giá lời giải trong bối cảnh thực tiễn và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Thông qua hoạt động MHH toán học để mô tả các tình huống đưa ra, giải quyết các bài toán thực tiễn, giúp HS không những nắm vững kiến thức, mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn mà còn hình thành và phát triển năng lực MHH cho các em Trong chương trình môn Toán ở lớp 10, khái niệm “hàm số bậc hai” có mối liên hệ chặt chẽ với các hiện tượng thực tiễn và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học; có thể biểu diễn đồ thị của hàm số thông qua

hình vẽ, sơ đồ Do vậy, tôi chọn đề tài "Sử dụng phương pháp Mô hình hóa toán học trong dạy học chủ đề Hàm số bậc hai Đại số 10" làm Sáng kiến kinh

nghiệm của mình

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Trong dạy học Toán ở trường phổ thông, phát triển năng lực Mô hình hóa Toán học sẽ giúp học sinh hiểu được ý nghĩa của việc học Toán, biết vận dụng toán học vào thực tiễn Với cách tiếp cận đó trong dạy học những chủ đề với nội dung cụ thể trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông sẽ từng bước góp phần thực hiện đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục Việt Nam

Vì vậy mục đích mà SKKN hướng tới là giới thiệu để bản thân và đồng nghiệp tiếp cận với một phương pháp dạy học tích cực mà ở đó thấy được vai trò của Toán học trong việc ứng dụng để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Học sinh lớp 10A2, 10A6 trường THPT Lê Văn Hưu, huyện Thiệu Hóa, tỉnh Thanh Hóa

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Sưu tầm, tổng hợp tài liệu, nghiên cứu sách giáo khoa Toán Đại số 10 và các tài liệu liên quan

- Thực nghiệm: Tiến hành giảng dạy, kiểm tra mức độ, so sánh sự hứng thú tiếp thu bài của học sinh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Sử dụng phương pháp Mô hình hóa toán học trong dạy học chủ đề Hàm số bậc hai Đại số 10 2.1.1 Cơ sở lý luận của phương pháp dạy học Mô hình hóa Toán học

a Dạy học mô hình hóa toán học là gì?

Có nhiều quan niệm khác nhau về mô hình, nhưng có thể hiểu, mô hình dùng để mô tả một tình huống thực tiễn nhằm hướng tới một mục tiêu nhất định [2]

Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng, sử dụng ngôn ngữ toán học

để mô tả đối tượng nghiên cứu Mô hình sử dụng trong dạy học Toán có thể là hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử, MHH là quá trình tạo ra mô hình nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề và có thể coi là một quá trình khép kín

MHH toán học là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học [3] Theo Nguyễn

Thị Tân An: trong dạy học Toán, MHH cho phép HS kết nối toán học trong nhà trường với thực tiễn, cung cấp một bức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa hơn [4]

Theo [5], MHH toán học là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học Như vậy, có thể hiểu, MHH toán học là phương pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống xuất phát từ thực tiễn bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học, từ

đó vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học để giải quyết bài toán đặt ra MHH toán học giúp HS phát triển sự thông hiểu giữa các khái niệm và quá trình toán học; phát triển các kĩ năng hợp tác và nhận thức ở mức độ cao Do đó, GV cần đưa ra các dạng bài tập thực tiễn gắn với hoạt động MHH nhằm phát triển năng lực MHH cho học sinh

(Hình 1: Dạy học theo MHH Toán học)

b Quy trình mô hình hóa Toán học

Quá trình MHH các tình huống thực tế trong dạy học Toán sử dụng các công cụ và ngôn ngữ Toán học phổ biến như công thức, thuật toán, phương trình, hệ phương trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu Quy trình MHH gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây [2]:

* Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện các yếu tố (tham số) quan trọng có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn

* Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán sử dụng ngôn ngữ Toán học Từ đó thiết lập mô hình Toán học tương ứng

* Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ Toán học phù hợp để MHH bài toán và phân tích mô hình đó

* Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa

ra kết luận

Quá trình giải quyết vấn đề (GQVĐ) và MHH có những đặc điểm tương

tự nhau giúp rèn luyện cho HS những kĩ năng toán học cần thiết Do đó, chúng

hỗ trợ và bổ sung cho nhau

Quy trình MHH được xem là khép kín vì nó được dùng để mô tả các tình huống nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó lại được dùng để giải thích và cải

thiện các vấn đề trong thực tiễn Sử dụng MHH ở trường phổ thông nhằm giúp

HS giải quyết vấn đề bằng cách:

+) Thu thập, hiểu và phân tích các thông tin Toán học;

+) Áp dụng Toán học để mô hình hóa các tình huống thực tiễn

Do vậy, quá trình MHH được cụ thể hóa theo sơ đồ dưới đây:

Kết quả và dự

đoán về thực tiễn Lời giải có ý nghĩa trong thực tiễn không Lời giải Toán học

Diễn đạt bằng ngôn ngữ Toán học

Giả thuyết về tình huống

Vấn đề

thực tiễn

Có

Công cụ toán học Không

Hiểu tình huống trong thực tế

Xây dựng mô hình

Toán học Thực tiễn

(Hình 2: Quy trình MHH trong dạy học Toán)

Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, quy trình MHH ở trên luôn tuân theo một cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trở nên dễ hiểu hơn đối với HS ở trường phổ thông [4]

(Hình 3: Cơ chế điều chỉnh quá trình MHH)

Cơ chế điều chỉnh này thể hiện mối liên hệ mật thiết giữa Toán học với các vấn đề trong thực tiễn

Từ cơ chế điều chỉnh quá trình MHH, Theo [5] đề xuất các bước tổ chức một hoạt động MHH trong dạy học môn Toán như sau:

(Hình 3: Các bước tổ chức một hoạt động MHH Toán học)

- Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế

- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra

- Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ Toán học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó

- Bước 4: Sử dụng các công cụ Toán học thích hợp để giải bài toán

- Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình Toán học trong hoàn cảnh thực tế

- Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp

lí và tối ưu của mô hình đã xây dựng

- Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng

mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn

c Một số nguyên tắc trong phương pháp dạy học Mô hình hóa toán học

Đảm bảo tính khoa học

Các mô hình được thiết kế cần đảm bảo tính khoa học, tính chính xác và

mô tả được các tình huống trong thực tiễn HS sử dụng các phương pháp toán học để giải bài toán, từ đó đối chiếu kết quả với thực tiễn để điều chỉnh mô hình toán học cho phù hợp

Làm rõ tính ứng dụng của toán học trong thực tiễn

Toán học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng như trong sự phát triển của các ngành khoa học kĩ thuật, là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất Việc vận dụng toán học vào thực tiễn nghĩa là dùng những công cụ toán học thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm tìm những yếu tố chưa biết, biến đổi, sắp xếp các yếu tố đó nhằm đạt được mục tiêu đề ra

Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức

Tính khả thi của hoạt động MHH và hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được hiểu là khả năng thực hiện được (xây dựng được, sử dụng được) Điều này phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: Chương trình, sách giáo khoa, kế hoạch dạy học và quỹ thời gian thực hiện, trình độ, nhận thức chung của HS, khả năng và trình độ thực hiện của GV, sự tương hợp giữa các nội dung thực tiễn chứa đựng trong các tình huống, Vì vậy, các hoạt động và hệ thống các bài tập MHH cần được chọn lọc phù hợp về mức độ và số lượng Các bài tập MHH tình huống thực tiễn cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp

2.1.2 Cơ sở pháp lý của phương pháp dạy học mô hình hóa toán học

Một dấu mốc quan trọng trong việc giới thiệu MHH toán học vào nhà trường là nghiên cứu của Pollak năm 1979: Ảnh hưởng của toán học lên các môn học khác ở nhà trường Theo ông, giáo dục toán phải có trách nhiệm dạy cho học sinh cách sử dụng toán trong cuộc sống hàng ngày Từ đó, dạy và học MHH trong nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi toàn cầu Xu hướng đưa MHH toán học vào chương trình, sách giáo khoa với các mức độ khác nhau ngày càng gia tăng Chẳng hạn ở Đức, Hà Lan, Úc, Mĩ, MHH toán học là một trong những năng lực bắt buộc của chuẩn giáo dục quốc gia về môn toán Ở Singapore, MHH toán học được đưa vào chương trình toán năm 2003 với mục đích nhấn mạnh tầm quan trọng của MHH trong việc học toán cũng như đáp ứng các thách thức của thế kỉ XXI

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018 ở Việt Nam, trong dạy học Toán, một trong những năng lực cần hình thành cho học sinh (HS)

là năng lực mô hình hóa (MHH) toán học [1] Khi tham gia bồi dưỡng Module 2 tìm hiểu về các phương pháp dạy học tích cực thì Mô hình hóa toán học là một phương pháp được giới thiệu trong nhóm các phương pháp dạy học tích cực

2.1.3 Ưu điểm của phương pháp dạy mô hình hóa toán học

Tăng cường mối liên hệ toán học với thực tiễn

Hoạt động MHH toán học là một cách tiếp cận giúp HS vận dụng tri thức linh hoạt, tạo cơ hội cho các em học tập thông qua các vấn đề, tình huống gần gũi với thực tiễn Trong quá trình tìm hiểu và giải quyết các vấn đề thực tiễn, MHH toán học cho phép HS phát hiện bản chất của vấn đề và giải quyết những vấn đề đó; tạo một môi trường học tập đa dạng, mà trong đó HS được sử dụng các phương tiện toán học để giải quyết tình huống nảy sinh ở các lĩnh vực khác nhau

Phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn

Trong quá trình MHH toán học, HS được áp dụng các khái niệm đã học vào thực tiễn, sử dụng mô hình toán học để thể hiện vấn đề, giải quyết vấn đề, rút ra kết luận và đưa ra dự đoán Trong quá trình này, HS được phân tích, thử nghiệm, sửa chữa, bổ sung cho mô hình phù hợp hơn Như vậy, có thể nói, MHH toán học là một quá trình toán học có liên quan đến năng lực quan sát, suy luận, phân tích, diễn giải, tạo cơ hội cho HS phát triển năng lực giải quyết các vấn đề thực tiễn

Phát triển tư duy sáng tạo

Quá trình MHH toán học các tình huống thực tiễn cho thấy mối liên hệ giữa thực tiễn với các kiến thức toán học trong nhà trường Để thực hiện quá trình MHH, HS cần vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa,…, qua đó, tạo động cơ và

sự say mê học tập cho các em

Như vậy, có thể thấy rằng MHH toán học cho phép HS nhận thấy lợi ích của toán học, gắn toán học với các môn học khác, phát triển khả năng giải quyết vấn đề thực tiễn

2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

a Thực trạng

Một trong những giải pháp quan trọng nhằm nâng cao chất lượng đào tạo nguồn nhân lực là đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt áp dụng các PPDH tích cực, phát huy vai trò chủ động sáng tạo của học sinh là rất cần thiết.Trong

đó cần sử dụng hiệu quả và sáng tạo PPDH tích cực "lấy học sinh làm trung tâm", gắn nội dung môn học vào thực tiễn, kích thích hứng thú học tập của học sinh, rèn luyện khả năng tự định hướng, tự học cho học sinh nhằm phát triển tư duy phê phán, kĩ năng giải quyết vấn đề, ra quyết định, thức đẩy làm việc hợp tác, phát triển toàn diện kĩ năng sống ở người học Trong quá trình dạy học Toán

ở trường phổ thông rất nhiều bài toán liên quan đến thực tiễn đòi hỏi học sinh

phải vận dụng kiến thức toán học để giải quyết Việc vận dụng phương pháp dạy học tích cực MHH toán học vào dạy những phần kiến thức liên quan đến thực tiễn này là một nhiệm vụ cần thiết để đạt kết quả cao trong dạy học Mô hình hóa toán học giúp học sinh giải quyết được các bài toán trong thực tiễn bằng công cụ toán học, từ đó học sinh hứng thú trong học tập và yêu toán hơn

b Kết quả của thực trạng

Trước khi tôi vận dụng phương pháp dạy học Mô hình hóa toán học vào dạy các bài toán liên quan đến thực tiễn trong chương trình Toán phổ thông nói chung và trong chủ đề Hàm số bậc hai Đại số 10 nói riêng, thì học sinh ít hứng thú học tập Điều này đến từ cả hai phía: Từ phía thầy, ngại dạy các bài toán thực tế vì phải tìm mô hình chuyển đổi và cũng ít có bài tập thực tế trong sách

vở tham khảo Từ phía trò, gây tâm lí ngại với học sinh vì bài toán thực tế thường dài và học sinh không có nhu cầu tìm hiểu

Tuy nhiên nếu áp dụng MHH trong toán học để dạy cho học sinh thì các

em sẽ thấy Toán học không phải là nhàm chán, Toán học là chìa khóa giải quyết các vấn đề phức tạp trong thực tiễn một cách đơn giản và hiệu quả Đặc biệt trong thời đại của cuộc cách mạng công nghệ ngày nay, đòi hỏi các vấn đề thực tiễn phải được giải quyết khoa học, hiệu quả và mang tính khái quát

2.3 CÁC SKKN HOẶC CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

Sử dụng phương pháp Mô hình hóa toán học trong dạy học chủ đề Hàm số bậc hai Đại số 10

Vận dụng phương pháp Mô hình hóa toán học ta sẽ đi giải quyết một số bài toán trong thực tiễn liên quan đến chủ đề Hàm số bậc hai Đại số 10 sau đây:

2.3.1 Bài toán 1

Cổng Acxơ tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162m Trên thành cổng, tại vị trí có

độ cao 43m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với đất) Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng gần nhất một đoạn 10m Giả sử các số liệu trên là chính xác Hãy tính độ cao của cổng Acxơ (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng)

(Hình 4: Cổng Acxơ ở thành phố St Louis của Mỹ)

Các bước tiến hành:

Bước 1: Vấn đề thực tiễn: Chính là nội dung của bài toán thực tiễn 1.

Bước 2: Lập giả thuyết:

- Cổng Acxơ có hình dạng là một Parabol

- Khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162m

- Tại vị trí có độ cao 43m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất Vị trí chạm đất của đầu sợi dây cách chân cổng gần nhất một đoạn 10m

Từ giả thuyết, ta quy về toán học, giả sử ta chọn hệ tọa độ (Oxy) như hình

vẽ Bài toán đặt ra là tìm tung độ đỉnh của Parabol

(Hình 5: Parabol mô tả Cổng Acxơ ở thành phố St Louis của Mỹ) Bước 3: Xây dựng bài toán:

Tìm tung độ đỉnh của Parabol (P), biết (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là 0 và 162 và đi qua điểm M10;43?

Bước 4: Giải bài toán:

Giả sử gọi Parabol (P) cần tìm có dạng: y ax 2 bx c

Theo giả thiết thì (P) qua 3 điểm là 0;0 , 162;0 ,   M10;43

Nên ta có hệ phương trình:

2

43 1520 0

3483

760

a c













Suy ra ta được   43 2 3483

Vậy tung độ đỉnh của (P) là: 282123 185,6

Bước 5: Hiểu lời giải: Đối với bước này, vì là bài toán áp dụng hàm bậc hai đơn

giản nên học sinh sẽ dễ hiểu mà không cần phải giải thích nhiều

Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình: Với mô hình đặt ra như vậy, bài toán thực tiễn

về cổng Acxơ đã được giải quyết rất đơn giản, học sinh thấy được không cần phải dùng các thiết bị phức tạp để đo chiều cao của đỉnh cổng Acxơ mà chỉ cần dùng kiến thức toán học đơn thuần để tính được chiều cao của cổng Acxơ

Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán: Với bài toán đặt ra là tính chiều cao

của cổng Acxơ ở thành phó St Louis của Mĩ như ở trên, bằng cách MHH toán học ta đã tính được chiều cao của cổng Acxơ gần bằng 185,6 (m)

Bằng cách MHH toán học này chúng ta sẽ dễ dàng tính được chiều cao của một công trình xây dựng bất kỳ nào có hình dạng là một Parabol

2.3.2 Bài toán 2

Một đường hầm có dạng Parabol như hình dưới, biết chiều rộng đường hầm là 6m, chiều cao từ mặt đường đến đỉnh đường hầm là 8m và đường hầm chỉ cho phép xe lưu thông một chiều Một xe tải có chiều cao được tính từ mặt đường đến nóc xe là 4,8m và bề ngang thùng xe là 3,9m Liệu xe tải có đi vào đường hầm được không? Giải thích tại sao?