Công thức nghiê ̣m... Có hai nghiê ̣m dương.. Tìm nghiê ̣m kia.. Có hai nghiê ̣m dương.. Có hai nghiê ̣m cùng dương.
Trang 1Chương III Phương trình - Hê ̣ phương trình
A TÓM TẮT PHÂN LÝ THUYẾT.
I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Phương trình : ax b+ =0 (1)
0
a≠ Phương trình (1) có nghiê ̣m duy nhất : x b
a
= −
0
a= b≠0 Phương trình (1) vô nghiê ̣m
0
b= Phương trình (1) thỏa với mo ̣i x
II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1 Công thức nghiê ̣m.
Phương trình : ax2+ + =bx c 0 (2)
2 4
0
∆ < Phương trình (2) vô nghiê ̣m ∆ <' 0 Phương trình (2) vô nghiê ̣m
0
∆ = (2) có nghiê ̣m kép:
2
b x a
= − ∆ =' 0 (2) có nghiê ̣m kép: x b'
a
= −
0
∆ > (2) có hai nghiê ̣m phân biê ̣t
1,2
2
b x
a
− ± ∆
(2) có hai nghiê ̣m phân biê ̣t
1,2
' '
b x
a
− ± ∆
=
Chú ý : '
2
b
b = ; Nếu ac<0thì phương trình (2) có hai nghiê ̣m phân biê ̣t.
2 Đi ̣nh lí Viet.
- Nếu phương trình bâ ̣c hai ax2+ + =bx c 0 (a≠0)có hai nghiê ̣m x x thì :1; 2
b
a
= + = − và P x x1 2 c
a
- Nếu S= +x1 x2 và P x x= 1 2 và S2−4P≥0thì x x là nghiê ̣m của phương trình1; 2 x2−Sx P+ =0
Chú ý : + Nếu a b c+ + =0thì phương trình (2) có hai nghiê ̣m : x 1;x c
a
+ Nếu a b c− + =0thì phương trình (2) có hai nghiê ̣m : x 1;x c
a
= − = −
+ Nếu phương trình (2) có hai nghiê ̣m x x thì : 1; 2 2 ( ) ( )
ax + + =bx c a x x− x x−
3 Dấu các nghiê ̣m của phương trình bâ ̣c hai : ax2+ + =bx c 0 (a≠0)
- Phương trình ax2+ + =bx c 0 (a≠0) có hai nghiê ̣m trái dấu P c 0
a
⇔ = <
- Phương trình ax2+ + =bx c 0 (a≠0) có hai nghiê ̣m cùng dấu 0
0
P
∆ ≥
⇔ >
- Phương trình ax2+ + =bx c 0 (a≠0) có hai nghiê ̣m cùng dương
0 0 0
P S
∆ ≥
⇔ >
>
Trang 2BÀI TẬP TOÁN 10 NGUYỄN THANH LAM
- Phương trình ax2+ + =bx c 0 (a≠0) có hai nghiê ̣m cùng âm
0 0 0
P S
∆ ≥
⇔ >
<
- Phương trình ax2+ + =bx c 0 (a≠0) có ít nhất mô ̣t nghiê ̣m không âm
0 0 0 0
P
P S
≤
∆ ≥
⇔ >
>
- Phương trình ax2+ + =bx c 0 (a≠0) có ít nhất mô ̣t nghiê ̣m dương
0 0 0 0
0 & 0
P S P
=
>
⇔ <
∆ ≥
> >
- Phương trình ax2+ + =bx c 0 (a≠0) có đúng mô ̣t nghiê ̣m không âm
0 0 0
P S
<
⇔ ∆ = ≥
- Phương trình ax2+ + =bx c 0 (a≠0) có đúng mô ̣t nghiê ̣m dương
0 0 0 0 0
P S P S
=
≥
⇔ <
∆ =
>
Chú ý :
- Phương trình ax2+ + =bx c 0 (a≠0) có hai nghiê ̣m x x phân biê ̣t cùng dương 1; 2
0 0 0
P S
∆ >
⇔ >
>
- Phương trình ax2+ + =bx c 0 (a≠0) có hai nghiê ̣m x x phân biê ̣t cùng âm 1; 2
0 0 0
P S
∆ >
⇔ >
<
III PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN
1 Phương trình bâ ̣c bốn quy về phương trình bâ ̣c hai.
Dạng 1 Phương trình trùng phương : ax4+bx2+ =c 0 (a≠0)
Cách giải : Đă ̣t t=x2 với t≥0, phương trình thành : at2+ + =bt c 0
Chú ý :
Phương trình : at2+ + =bt c 0 Phương trình trùng phương : ax4+bx2+ =c 0
Có 2 nghiê ̣m dương Có 4 nghiê ̣m ( hai că ̣p nghiê ̣m đối nhau)
Có 1 nghiê ̣m dương Có 2 nghiê ̣m ( mô ̣t că ̣p nghiê ̣m đối nhau)
Có 2 nghiê ̣m âm
Vô nghiê ̣m Có 1 nghiê ̣m (kép) âm
Vô nghiê ̣m
Trang 3Dạng 2 Phương trình : (x a x b x c x d+ ) ( + ) ( + ) ( + ) =k , trong đó : a b c d+ = + và k ≠0
Cách giải : Đă ̣t t= +( x a x b) ( + )với ( )2
4
a b
≥ − ; phương trình thành : t2 +(ab cd t abcd k+ ) + − =0
Dạng 3 Phương trình : ( ) (4 )4
x a+ + +x b =k (k ≠0)
Cách giải : Đă ̣t t x a b2 x a t u
x b t u
+ = +
+
= + ⇒ + = −
với : 2
a b
Phương trình thành : t4+12u t2 2 +2u4− =k 0 ( phương trình trùng phương )
Dạng 4 Phương trình : ax4+bx3+cx2± + =bx a 0 (a≠0)
Cách giải : Chia hai vế cho x và đă ̣t 2 t x 1
x
= ± ; phương trình thành : at2+ + +bt c 2a=0
2 Phương trình chứa dấu giá tri ̣ tuyê ̣t đối.
- Đi ̣nh nghĩa : A A A 00
≥
= − <
neáu neáu
=
= ⇔ = ⇔ = −
- Dạng 2 2 2
0
0
A
A B
≥
=
= ±
3 Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức.
A B
A B
≥
= ⇔ =
- Dạng 3 3 A B= ⇔ =A B3
4 Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.
Các bước để giải mô ̣t phương trình chứa ẩn ở mẫu :
Bước 1 Tìm điều kiê ̣n xác đi ̣nh : Tìm các giá tri ̣ của ẩn mà ta ̣i đó các nếu có giá tri ̣ bằng 0
Bước 2 Quy đồng mẫu và rút go ̣n : Tìm mẫu chung và quy đồng mẫu rồi rút go ̣n để đưa về da ̣ng quen
thuô ̣c
Bước 3 Giải phương trình : ( chú ý : khi giải phương trình, không phải lúc nào cũng áp dụng được phép biến đổi tương đương Trong nhiều trường hợp ta phải thực hiê ̣n các phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế của phương trình với một đa thức Lúc đó để loại nghiê ̣m ngoại lai, ta phải thử lại các nghiê ̣m vừa tìm được.)
B PHẦN BÀI TẬP Bài 1 Giải và biê ̣n luâ ̣n các phương trình sau :
1 ( ) ( )2
4 m mx( − = −3) 2 x 5 m x( −4m)+ + = −x 3 2 mx 6 m x m(3 − ) = −x 2
7 m mx( − =1) (2m+3) x+1 8 m2(1− =x) m x( + +2) 3 9 m mx( − =1) 4(m−1) x−2
Trang 4BÀI TẬP TOÁN 10 NGUYỄN THANH LAM
10 m x2( − =1) m x(2 +1) 11 m m x( 2 − = −1) 1 x 12 m2(1−mx) =4 2( x m+ +3)
13 m x( + =2) 3x m+ 2−3 14 (2m2−3) x+ =1 5x m+ −1 15.m x2( − =1) 4m x( + −1) 9m+4
Bài 2 Giải và biê ̣n luâ ̣n các phương trình sau :
1 (m−2) x2−2(m+1)x m+ =0 2 (m2−1) x2−2(m+1) x+ =1 0
3 ( x−2) (mx+ −2 m) =0 4 x2−(m+1) x+2m− =2 0
5 x2−2(m−1) x m+ − =1 0 6 mx2−(2m+1) x+3m− =1 0
7 (m−3)x2 −2 3( m−4) x+7m− =6 0 8 mx2+2(m−4) x m+ + =7 0
9 (m−1) x2+7x− =12 0 10 mx2−2(m+3) x m+ + =1 0
11 (m+1) x−1( x− =1) 0 12 (mx−2 2) ( mx x− + =1) 0
Bài 3 Tìm m để phương trình có hai nghiê ̣m x x thỏa điều kiê ̣n :1; 2
1 x2−10mx+9m=0 ; thỏa : x1=9x2 2 x2+(m−1) x m+ + =6 0 ; thỏa : 2 2
x +x =
3 3x2−2(m+1) x+3m− =5 0 ; thỏa : x1=3x2 4 x2−4x m+ − =1 0 ; thỏa : x13+x23 =40
5 x2+(4m+1) x+2(m− =4) 0; thỏa :x1− =x2 17 6 (m+1) x2−(m−1) x m+ =0 thỏa : x1 =2x2
Bài 4 Tìm m để phương trình có hai nghiê ̣m phân biê ̣t x x thỏa điều kiê ̣n :1; 2
1 mx2−2(m−1) x+3(m− =2) 0 ; thỏa :x1+2x2 =1
2 (m+3) x2−3mx+2m=0 ; thỏa :2x1− =x2 3
Bài 5 Tìm m để phương trình (m−1) x2−2(m+1)x m+ + =2 0
a Có hai nghiê ̣m dương
b Có đúng mô ̣t nghiê ̣m dương
Bài 6 Tìm m để phương trình (m−1) x2+2(m−3) x m+ + =3 0
a Có hai nghiê ̣m trái dấu
b Có hai nghiê ̣m âm phân biê ̣t
c Có đúng mô ̣t nghiê ̣m âm
Bài 7 Tìm m để phương trình mx2−2(m+1) x m+ + =1 0
a Có nghiê ̣m
b Có ít nhất mô ̣t nghiê ̣m dương
Bài 8 Tìm m để phương trình (m+2)x2−2(m−1) x m+ − =2 0
a Có mô ̣t nghiê ̣m x= −1 Tìm nghiê ̣m kia.
b Có đúng mô ̣t nghiê ̣m dương
c Có hai nghiê ̣m phân biê ̣t cùng dấu
d Có tổng bình phương hai nghiê ̣m bằng 3
e Có hai nghiê ̣m x x thỏa 1; 2 x1−x2 =2
Bài 9 Tìm m để phương trình x2−2(m+7) x m+ 2− =4 0
a Có hai nghiê ̣m trái dấu
b Có hai nghiê ̣m cùng dấu
c Có hai nghiê ̣m dương
Bài 10 Tìm m để phương trình (m−1) x2−2(m−3) x m+ − =4 0
a Có hai nghiê ̣m trái dấu
b Có hai nghiê ̣m cùng dương
c Có hai nghiê ̣m cùng âm
d Có hai nghiê ̣m cùng bé hơn 2
Trang 5Bài 11 Tìm m để phương trình mx −2(m−3) x m+ − =4 0
a Có đúng mô ̣t nghiê ̣m dương
b Có đúng mô ̣t nghiê ̣m không dương
Bài 12 Giải các phương trình sau :
1 ( 2 ) (2 2 )
x − x+ + x − x+ − =
3 2x−9 x+ =4 0 4 ( 2 )2 ( 2 )
5 4x4−9x2+ =2 0 6 x4−5x2−36 0=
7 2x4+11x2+ =5 0 8 x4+8x2+ =12 0
9 ( ) (4 )4
11 ( ) (4 )4
13 ( ) (4 )4
1 97
15 ( x+6) (x−4) (x+3) (x− +1 110 0) = 16 ( x−1) (x x+1) (x+ =2) 3
17 x4+ −x3 10x2+ + =x 1 0 18 x4−5x3+8x2−5x+ =1 0
19 6x4+25x3+12x2−25x+ =6 0 20 ( x−1) (x+5) (x−3) (x+ =7) 297
21 ( x−1) (x+2) (x+3) (x+ +6) 40 0= 22 ( x+3) (x+4) (x+5) (x+ =6) 8
23 ( x−1) (x+5) (x−3) (x+ +7) 63 0= 24 ( x+4) (x+6) (x−2) (x−12) =25x2
25 ( x+1) (x+2) (x+3) (x+ =4) 120 26 ( x+3) (x−6) (x−4) (x+ =2) 4x2
27 2 1 2 3 210
2x x 1 2+ x x 3= 2x x 7
− + − + − + 28 x x( −2) (x+2) (x+ + =4) 6 0
Bài 13 Giải các phương trình sau :
1 2x− = +1 x 3 2 3x− = −4 4 5x 3 2x− = −3 3 2x
4 x+ =7 12 5 2x− =1 3 6 5x+ =3 2x−1
7 1 3− x = +x 4 8 3x+ =1 6x+5 9 5x− = −2 2 5x
10 ( )2
x + = x + 11 1− x =1 12 x =2x+1
13 7x− =3 18 14 5x− = −3 4x 15 17x−13 = 29 3− x
Bài 14 Giải các phương trình sau :
1 − +x2 2x+ = −4 x 2 2 3x+ −1 x+ =4 1
3 x+ x+11+ x− x+11 4= 4 x2−4x= 2x2 − +8x 12 6−
5 312− +x 314+ =x 2 6 25−x2 = −x 1
7 3x2−9x+ + =1 2 x 8 x2−2x− =4 2−x
9 4x2−12x−5 4x2−12x+ + =11 15 0 10 ( x+4) (x+ −1) 3 x2+5x+ =2 0
11 312− +x 3 4+ =x 4 12 3 x− +1 3 x− =2 3 2x−3
13 3x2−2x+ +8 3x2−2x+15 7= 14 x2+ + +x 7 x2+ + =x 2 3x2+3x+19
Bài 15 Giải các phương trình sau :
1 2 ( )2
2
15 1
1
6x+5 3x+2 x+ =1 35
3 x2 12 2 x 1 6
+ + + ÷=
4 3+ +x 6− −x (3+x) (6−x) =3
Trang 6BÀI TẬP TOÁN 10 NGUYỄN THANH LAM
5 x3 13 6 x 1
+ = + ÷
2 2