chuyen de phuong phap Toan

Định nghĩa Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, và x đượ

CHUYÊN ĐỀ:

CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ

HỆ THỐNG LÝ THUYẾT

1 Hàm số y = f(x )

1.1 Định nghĩa

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi

x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của

x, và x được gọi là biến số

Khi y là hàm số của x, ta viết y = f(x)Giá trị của f(x) tại x0 kí hiệu là f(x0)Khi hàm số được cho bằng công thức y=f(x), ta hiểu rằng biến số x chỉ lấy những giá trị mà tại đó f(x)

xác định

1.2 Tính chất

Cho hàm số y = f(x) xác định với

- Với và mà thì hàm số đồng biến trên A

- Với và mà thì hàm số nghịch biến trên A

- Nếu t > 0 thì hàm số đồng biến trên (a,b)

- Nếu t < 0 thì hàm số nghịch biến trên (a,b)

1.3 Đồ thị

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x,f(x)) trên mặt phẳng toạ độ

2 Hàm số bậc nhất y ax b a = + ( ≠ 0)

2.1 Định nghĩa

Hàm số bậc nhất là hàm được cho bởi công thức y ax b a b R a = + ( , ∈ , ≠ 0)

2.2 Tính chất

Hàm số y = ax + b xác định với và có tính chất:

- Đồng biến trên R nếu a > 0

- Nghịch biến trên R nếu a < 0

x R

∀ ∈

+ Trùng với đường thẳng y = ax nếu b=0

Ví dụ:

Vẽ đồ thị hàm số y = 2x và y = 2x + 3 (với a > 0) và y = -x+1(với a<0)

- Đồ thị hàm số y = 2x đi qua O(0,0) và A(1,2)

- Đồ thị hàm số y = 2x + 3 đi qua B(0,3) và C

- Đồ thị hàm số y = -x + 1 (với a < 0) đi qua E(0,1) và

F(0,1)

3 ( ,0) 2

−

Giá trị nhỏ nhất của hàm số tại x = 0.

- Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0,

Giá trị lớn nhất của hàm số tại x = 0

3.2 Tính chất của hàm số y ax m a = 2 + ( ≠ 0)

Ta suy ra từ tính chất của hàm số

- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0

Giá trị nhỏ nhất của hàm số tại x = 0

- Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0,

Giá trị lớn nhất của hàm số tại x = 0

3.3 Tính chất của hàm số y ax bx c a = + + ≠2 ( 0)

Dựa vào tính chất của 2 hàm số trên

Ví dụ:

Vẽ đồ thị hàm số (với a > 0) y x = 2

Vẽ đồ thị hàm số (với a < 0)y = − x2

HỆ THỐNG BÀI TẬP

I.Một số các bài toán về tỉ lệ thuận, tỉ lệ

nghịch

 Xác định hệ số tỉ lệ

 Điền các cặp giá trị của x, y vào bảng thoả mãn

yêu cầu bài toán

 Nhận dạng hai đại lượng có tỉ lệ với nhau

không

 Một số bài toán thực tế

Dạng 1: Xác định hệ số tỉ lệ.

Cho hai đại lượng x, y tỉ lệ thuận (tỉ lệ nghịch) với nhau: với x = a, y = b

+ hãy tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x

+ Hãy biểu biễn y theo x với hệ số tỉ lệ vừa tìm được

B2: Thay các giá trị x, y ở trên ta có:

(Đối với trường hợp tỉ lệ nghịch thì: k = a.b )

Kết luận: Hệ số tỉ lệ của y đối với x là: ( k = a.b)

B3: Biểu diễn y theo x ta được: ; ( )

a

=

b k

Thay các giá trị x = 6,y = 4 ở trên ta có:

Biểu diễn y theo x ta được:

y = x

Bài tập áp dụng:

Bài 1:< /tr 52/SGK/Toán7/Tập 1>

Cho biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số

Hỏi x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ nào

Bài 2 :< /tr 57/SGK/Toán7/Tập 1>

Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ 3,5 Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ nào

Bài 3: <Bài 4/tr 43/SBT/ Toán 7/ Tập 1>

Cho biết x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 0,8 và y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là 5 Hãy chứng tỏ rằng x tỉ lệ thuận với z và tìm hệ số tỉ lệ

Bài 4: <Bài 19/tr 45/SBT/ Toán 7/ Tập 1>

? 2

3 5

k =

? 2

Dạng 2: Điền các cặp giá trị của x, y vào bảng thoả mãn yêu

cầu bài toán.

Cho hai đại lượng x, y tỉ lệ thuận ( tỉ lệ nghịch ) với nhau

Điền các cặp giá trị của x, y vào bảng thoả mãn yêu cầu bài

D a vào c p ( x, y ) = ( 2, - 4 ) suy ra ta tìm đ ự ặ ượ c

D a vào c p ( x, y ) = ( 2, - 4 ) suy ra ta tìm đ ự ặ ượ c

2) Cho hai đại lượng x, y tỉ lệ nghịch với nhau Hãy

điền các giá trị của y vào bảng

Cho hai đ i lạ ượng x, y t l ngh ch v i nhau Hãy ỉ ệ ị ớ

đi n các giá tr c a y vào b ng sau:ề ị ủ ả

60

y

x

=

a) Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng trên ;

b) Hai đại lượng m và V có tỉ lệ thuận với nhau hay

không ? Vì sao ?

Bài 3: <Bài 3/tr 43/SBT/ Toán 7/ Tập 1>

Bài 4: <Bài 7/tr 43/SBT/ Toán 7/ Tập 1>

Dạng 3: Nhận dạng hai đại lượng có tỉ lệ với nhau

y tỉ lệ thuận với nhau

B3. Ngược lại ta khẳng định x và y không tỉ lệ thuận với nhau

2) Cho bảng giá trị x, y xác định xem x, y có tỉ lệ nghịch

với nhau không:

Bài tập áp dụng:

Bài 1:<Bài 8/tr 44/ SBT/ Toán 7/ Tập 1>

Hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau không nếu:

Bài 2:<Bài 25/tr 46/ SBT/ Toán 7/ Tập 1>

Bài 3: <Bài 16/tr 60/ SGK Toán 7/ Tập 1>

Dạng 4: Một số bài toán thực tế.

Cách giải:

B1.Ta xác định các đại lượng tỉ lệ với nhau

B2. Dựa vào dữ kiện bài toán tìm hệ số tỉ lệ

B4. Kết luận

Ví dụ: <Bài 8/tr 56/ SGK Toán 7/ Tập 1>

Học sinh của 3 lớp cần phải trồng và chăm sóc 24 cây xanh Lớp 7A có 32 học sinh, lớp 7B có 28 học sinh, lớp 7C có 36 học sinh Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh, biết rằng số cây xanh tỉ lệ với số

Bài tập áp dụng:

Bài 1 :<Bài 11/tr 44/ SBT/ Toán 7/ Tập 1>

Biết rằng 17 lít dầu hoả nặng 13,6kg Hỏi 12kg dầu hoả

có chứa được hết vào chiếc can 16 lít không ?

Bài 2 :<Bài 12/tr 44/ SBT/ Toán 7/ Tập 1>

Chu vi của hình chữ nhật là 64cm Tính độ dài của mỗi

cạnh biết rằng chúng tỉ lệ với 3 và 5

Bài 3 :<Bài 27/tr 46/ SBT/ Toán 7/ Tập 1>

Cho biết 5 người làm cỏ 1 cánh đồng hết 8 giờ Hỏi 8 người ( với cùng năng suất như nhau ) làm cỏ cánh

đồng đó hết bao nhiêu giờ ?

II Một số bài toán liên quan về

tính giá trị hàm số:

*) Nhận dạng hàm số

*) Tính giá trị hàm số

Dạng 1: Nhận dạng hàm số.

Cho bảng giá trị của x, y, xác định xem y có phải là

hàm số của x hay không

Để y là hàm số của x cần có các điều kiện sau:

* x và y đều nhận các giá trị số

*Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x

* Với mỗi giá trị của x không thể tìm được nhiều hơn 1 giá trị tương ứng của y

* Nếu tất cả các giá trị của x cho 1 giá trị của y thì y

được gọi là hàm hằng

Cách giải:

- B1 Xét tất cả các cặp giá trị (x,y) cho trong bảng

- B2 So sánh các cặp giá trị (x,y) cho trong bảng

- B3 Nếu x và y thoả mãn các điều kiện trên thì y là hàm

Ví dụ: <Bài 24/tr 63/ SGK/ Toán 7/ Tập 1>

Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không

nếu bảng các giá trị tương ứng của chúng là:

a) Ta thấy với mỗi giá trị của x ta xác định được

một giá trị của y Do đó y là hàm số của x

b)Ta thấy tại giá trị x = 4 xác định được 2 giá trị

Bài tập áp dụng:

Bài 1: <Bài 27/tr 64/ SGK/ Toán 7/ Tập 1>

Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không nếu bảng các giá trị tương ứng của chúng là:

a) Tại giá trị x = 5 ta có: y = hay f(5) =

Tại giá trị x = -3 ta có: y = hay f(-3) = -4

b) Với x = 2 ta có: y = – 2 = 2 hay f(2) = 2

Tương tự ta tính được f(1), f(0), f(-1), f(-2)

f(1) = 12 - 2 = -1f(0) = 0 – 2 = -2

12 ( )

y f x

x

12 5

12 5

III Các bài toán liên quan đến hàm số thường gặp

* Vẽ đồ thị hàm số

* Kiểm tra điểm có thuộc đồ thị hàm số không.

* Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

* Xác định biểu thức hàm số.

* Xác dịnh hệ số góc của hàm số.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cuả hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x, y) trên mặt phẳng toạ độ

1) Hàm số bậc nhất:

- Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua gốc toạ độ

- Đồ thị hàm số là đường thẳng

- Cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng b

- Cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng

- Song song với đường thẳng y = ax nếu

- Trùng với đường thẳng y = ax nếu b=0

ax+b(a 0)

y = ≠

b a

−

0

b ≠ ax( 0)

y = a ≠

Cách làm:

• Đồ thị của hàm số là một đường thẳng đi

qua gốc toạ độ

• B1 Khi vẽ ta xác định thêm một điểm thuộc đồ thị và

điểm này khác điểm gốc O

• B2 Ta cho x một giá trị khác 0 và tìm giá trị tương

ứng của y Cặp giá trị đó là toạ độ của điểm thứ hai

2) Hàm số bậc hai: ; ,

Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở chỉ xét

hàm số do đó ta chỉ xét các bài tập liên quan

đến hàm số

Đồ thị hàm số

Là một đường cong đi qua O(0,0) và nhận Oy làm trục đối xứng Đường cong đó được gọi là Parabol đỉnh O

- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên Ox, O(0,0) là điểm thấp nhất

- Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới Ox, O(0,0) là điểm

Dạng 2: Xác định xem những điểm

Có thuộc đồ thị hàm số không?

Cách làm:

-B1 Thay x1, x2, , xn, vào hàm số để xác định y1, y2,… , yn.

-B2 So sánh y1, y2,… , yn- vừa tìm được với các giá trị y1, y2,

… , yn đã cho xem có giống nhau hay không

Ví dụ 2: Cho hàm số , xác định xem ba điểm sau có thuộc đồ thị hàm số không? A(1, 9); B(-1, -2); C(2,12)

y = x

Bài tập áp dụng:

Bài 1:<Bài 60/ Tr 55/ SBT/ Toán 7/ Tập 1>

Trong các điểm A(6; -2), B(-2; -10), C(1; 1), D, E(0;0)

có những điểm nào thuộc đồ thị hàm số:

a)

b) y = 5x.

Bài 2:<Bài / Tr 77/ SGK/ Toán 7/ Tập 1>

13

y = − x

Dạng 3: Xác định hàm số đồng biến hay nghịch biến:

Cách giải:

+ Hàm số xác định với và có tính chất:

- Đồng biến trên R nếu a > 0

- Nghịch biến trên R nếu a < 0

+ Hàm số xác định với

- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng

biến khi x > 0

Giá trị nhỏ nhất của hàm số ymin= 0 tại x = 0

- Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch

Ví dụ 2: Xác định a,b để hàm số sau đồng biến? a)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số ymin= 0 tại x = 0.

Vì 4 > 0 => Hàm số là đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0

Giá trị lớn nhất của hàm số ymax= 0 tại x = 0.

d) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị của m tìm được ở câu c

Cho hàm số y = ax + b Hãy xác định biểu thức hàm

số biết đồ thị hàm số qua điểm A(0,8), B(2,3)

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho hàm số bậc nhất y = ax + b (a0) Hãy xác định biểu thức của hàm số biết đồ thị của nó song

song với trục tung và qua điểm B(2,1)

Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = ax + b (a0) Hãy xác định biểu thức của hàm số biết đồ thị của nó song

song với trục hoành và qua điểm B(5,1)

Bài 3: Cho đường thẳng y = (k+1) + k (1)

Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) đi qua gốc toạ độ Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4

- Đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm

số khi và chỉ khi a1= a2

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = ax + 3 và hàm số y = -2x Hãy xác định a để đồ thị hai hàm số là song song,

vuông góc?

Bài giải

1 ( 2) 1

2

a − = − ⇒ =a

Ví dụ 2:

Cho hàm số Xác định hệ số a trong các trường hợp sau: a) Đồ thị của nó qua điểm A(3,12)

b) Đồ thị của nó qua điểm B(-2, 3)

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hàm số y =

a) Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng

y = - 2x + 3 tại điểm A có hoành độ bằng 1

b)Vẽ đồ thị của hàm số y = - 2x + 3 v à hàm số y = ax2 với giá trị của a vừa tìm được trên cùng một mặt phẳng toạ độ

Bài 2: Cho hai hàm số y = kx và hàm số y = x + 3

Xác định k để đồ thị hai hàm số song song, vuông góc

Bài 3: Cho hàm số y = (k+3)x +k

a)Xác định k để đồ thị hàm số song song với trục tung.

B)Xác định k để đồ thị hàm sô song song với trục hoành.

2

ax

Bài 5: Hàm số

1.Một số Ví dụ:

ợc cho trong bảng sau:

t(giờ) 0 4 8 12 16 20

T(độ) 20 18 22 26 24 21

Trả lời: Nhiệt độ cao nhất lúc 12 giờ, thấp nhất lúc 4 giờ.

Câu hỏi: Quan sát bảng, nhiệt độ trong ngày cao nhất khi nào?

Thấp nhất khi nào?

VD2:(SGK_63) Khối lượng m(g) của 1 thanh kim loại đồng chất có khối lượng

riêng là 7,8g/cm 3 tỉ lệ thuận với thể tích V(cm tỉ lệ thuận với thể tích V(cm 3 ) theo công thức:

m = 7,8V

Câu hỏi:

Trong VD này có bao nhiêu đại lượng

biến thiên? Quan hệ giữa các đại lượng

y = kx.

VD3(SGK_63) Thời gian t(h) của một vật chuyển động đều trên quãng đường 50km tỉ lệ nghịch với vận tốc v (km/h) của nó theo công thức t= 50/v

Câu hỏi: Dựa vào công thức trên,

hãy cho biết thời gian và vận tốc

là hai đại lượng quan hệ với nhau

như thế nào?

Trả lời: Quãng đường không đổi thì thời gian và vận tốc

là hai đại lượng tỉ lệ nghịch vì công thức có dạng: y = a / x

?2 (SGK_63)Tính và lập bảng các giá trị tương ứng của t khi v = 5 ; 10 ; 25 ;

50

v(km/h) 5 10 25 50

Nhận xét : Trong VD1:

- Nhiệt độ T(ºC) phụ thuộc vào sự thay đổi của thời gian t.

- Với mỗi giá trị của t ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của T.

Ta nói T là hàm số của t.

Tương tự: Trong VD2 ta nói m là hàm số của V

Trong VD3 ta nói t là hàm số của v

2 Khái niệm hàm số

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị

• x và y đều nhận các giá trị số.

• Đại lương y phụ thuộc vào đại lượng x.

• Với mỗi giá trị của x không thể tìm được nhiều hơn một giá trị tương ứng của y.

1 Kh¸i niÖm hµm sè.

2 Mét sè l­u ý.

3 Chó ý SGK_63.

KiÕn thøc cÇn nhí

Bài 24 (SGK_63) Các đại lượng tương ứng của x và y được cho trong bảng sau

Đại lượng y có phải là hàm số của x không?

x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

y 16 9 4 1 1 4 9 16

x -6 -4 -3 2 5 6 12 f(x) = 12/ x