Đặt vấn đềKhi hớng dẫn học sinh giải các bài tập toán, tôi nhận thấy một điều: Đại đa số học sinh tìm lời giải cho các bài toán một cách thụ động, không chủ động, sáng tạo trong t duy lo
Trang 1Đặt vấn đề
Khi hớng dẫn học sinh giải các bài tập toán, tôi nhận thấy một điều:
Đại đa số học sinh tìm lời giải cho các bài toán một cách thụ động, không chủ
động, sáng tạo trong t duy logic, lập luận không rõ ràng, mạch lạc
Xảy ra điều trên là do nhiều nguyên nhân, chẳng hạn nh: hiểu, nắm lý thuyết lơ mơ, không biết phân tích giả thiết, kết luận của bài toán để dẫn đến
đờng lối giải quyết bài toán,
Để phần nào khắc phục đợc điều này, trong phạm vi bài viết này, tôi xin nêu ra một trong những việc tôi đã thực hiện trong quá trình giảng dạy, đó là: "Hớng dẫn học sinh giải một số bài toán đại số bằng phơng pháp lợng giác" Trên cơ sở học sinh đã nắm vững các kiến thức lợng giác kết hợp với việc tìm tòi các khía cạnh của mỗi bài toán, để rồi "quy lạ về quen" sẽ dẫn đến
đờng lối giải quyết bài toán, thông qua các thí dụ và một số bài tập tơng tự; ở các thí dụ tôi chỉ nêu ra lời giải bằng phơng pháp lợng giác mà không nêu ra lời giải bằng các phơng pháp khác
Tuy nhiên trong phạm vi của bài viết này, tôi cũng chỉ đề cập đ ợc một số vấn đề nhỏ và còn có thể còn những chỗ cha thực sự hợp lý Tôi rất mong đợc sự đóng góp để có một cách khai thác tốt bài toán thuộc loại này
Trang 2Nội dung
A Cơ sở lý thuyết cần nhớ để vận dụng:
1) Nếu gặp biểu thức dạng x k (k>0) thì ta có thể đặt x = k sin hoặc x = cos
2) Nếu gặp biểu thức dạng x2 + y2=k2 thì ta có thể đặt x=k sin , y=k cos
3) Nếu gặp biểu thức dạng x2 + k2 thì ta có thể đặt x = k tg
4) Nếu gặp x k thì ta có thể đặt x =
Chú ý: Tuỳ từng bài toán cụ thể; cần chọn góc đợc đa vào thích hợp
để tránh sai lầm trong lập luận
B Các thí dụ:
* Thí dụ 1: Cho hàm số y = x (4x2+m)
Hãy tìm m để y 1 khi x 1
Bài giải:
Vì x 1 nên ta đặt x =- cos, chọn
2
;
0 khi đó ta có y = x (4x2+m) = cos (3 cos2 m) = 4cos3 + cos = 4cos3 - 3cos +(m+3)cos
= cos 3 + (m+3) cos
+ Nếu m = -3, ta có y=cos3y =cos3 1 Nên m = -3 thích hợp + Nếu m +3 > 0 m < -3, thì với t =0, ta có y=1+(m+3)>1 y > 1 Nên m > -3 không thích hợp
+ Nếu m +3 < 0 m < -3, thì với t = , ta có y=-1+<-1y > 1 Nên m
<-3 không thích hợp
Kết luận: Giá trị cần tìm là m = -3.
* Thí dụ 2: Phơng trình 8x (2x2-1)(8x4-8x2+1)=1 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [0;1]?
Bài giải:
Do 0 x 1, nên đặt x = cos , chọn
2
;
0 ta đợc phơng trình:
8 cos (2 cos2 -1)(8cos4 -8cos2 + 1)=1
8 cos cos2 [2.(2cos2 -1)2-1] =1
8 cos cos2 (2cos22 -1) =1
Trang 3 8 cos cos2 cos4 =1 (*)
Nếu = 0, ta đợc 8 =1 vô lý 0 và 0 < sin > 0
Do đó (*) 8 sin cos cos2 cos 4 = sin
sin8 =sin
) ( ) 2
( 9 2
) ( 7
2 2
8
2 8
Z l l
Z k k l
k
Để 0 < thì k =1, l =0 và l = 1
Do vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm
* Thí dụ 3: Giải và biện luận phơng trình:
4x3 - 3x=m(1) với m 1
Bài giải(1):
Vì m 1, nên tồn tại 3 để cos 3 = m
Do đó (1) 4x3-3x = cos3 4x3 - 3x = 4cos3 -3cos
4(x3-cos3) - 3(x-cos) = 0
4(x -cos)(x2+xcos + cos2) - 3 (x-cos) = 0 (x -cos)(4x2+4xcos + 4cos2 - 3) = 0
0 3 cos 4 cos 4 4
cos
2 2
x x
x
(2)
Giải (2)
(2)
3 2 cos
3
2 cos 3
cos sin
2
3 cos
2 1
x x
Kết luận: Phơng trình đã có nghiệm:
x=cos
3 2
x = cos
3 2
* Thí dụ 4: Chứng minh:
3 1
a
Trang 4Bài giải:
Vì:
1
1 0
1
0 1
2
2
a
b a
b
Nên ta đặt:
, cos
, cos
y b
x a
Khi đó vế trái trở thành:
) cos 1 )(
cos 1 ( cos cos 3 cos
1 cos cos
1
.
= cosx siny cosy sinx 3 cosx cosy sonx siny
= cosx siny cosy sinx 3 cosx cosy sinx siny
= sin(xy) 3 cos(xy) 1 32 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
3
1 ) (
; 0 , cos cos
y x tg
y x
y b
x a
x b
x b
x x a
6
7 cos 6 cos
; 0 , cos
*Thí dụ 5: (Đề 122 - Câu III2)
Chứng minh rằng nếu x 1 thì (1+x)n+(1-x)n2n với mọi n2, nN
Bài giải:
Vì x <1, nên đặt x = cos , chọn (0;)
Khi đó: (1+x)n+(1-x)n = (1+cos )n+(1-cos )n
n n
2 2
sin 2 cos 2 2 sin 2 cos 2 2 sin 2 2
cos
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = 1
* Thí dụ 6: (Đề 94 - Câu II2)
Trong các nghiệm (x; y, z, t) của hệ:
20 25
16
2 2
2 2
yt xz
t z
y x
Nghiệm nào là cho x + z đạt giá trị lớn nhất
Bải giải:
Vì: x2+y2 = 16 và z2 + t2 =25 Nên ta đặt:
cos 4
sin 4
y
x
và
sin 5
cos 5
t z
chọn x [0;]
chọn y [0;]
Trang 5Khi đó bất phơng trình của hệ trở thành:
4 sin 5cos +4cos.5sin 20
20 (sin cos + cos sin ) 20 sin ( +) 1
sin ( +) = 1 + = + k2 (kZ))
Ta có: x + z = 4 sin + 5 cos = 4 sin + 5 cos
41
5 sin
41
4 41
= 41 sin với
41
5 sin
41
4 cos
Do đó: max (u+z) = 41 khi
2 2
2 2
k
l
(k,lZ))
Hay:
41
25 sin
5 sin 5
41
20 cos
5 cos 5
41
20 sin
4 cos 4
41
16 cos
4 sin 4
t z y x
* Thí dụ 7: Cho x2+y2+2x-2y+1=0 (1)
Chứng minh:
3 1 2 3 1 2 2 2 2
)
(
3 2 2
Bài giải:
Từ (1) ta có x2 +y2 - 2x - 2y + 1=0
(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1
Nên ta đặt:
1 cos
1 sin cos
1
sin 1
y
x y
x
Do đó vế trái của (2) trở thành:
(sin 1 ) (cos 1 ) 2 3 1 sin 1 2 3 1 cos 1
Trang 6
2 (sin 1 )(cos 1 ) 2
= 3 (sin 2 cos 2 ) 2 3 sin 3 2 3 cos 3 2 3 sin
2 3+2 3.cos + 2 3-2cos - 2 + 2 sin cos+ 2cos +
+ 2sin +2 - 2 = - 3 (cos 2 -sin 2 ) +2sin.cos
= - 3.cos2 +sin2
2 2 sin 2 2
cos 2
3 2
sin
2
1
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
1 2 2 sin
1 cos
1 sin
y x
(x,y) là các cặp số (0;1), (1;0), (2;1), (1;2)
* Thí dụ 8: Cho bốn số a, b, x, y tuỳ ý
Chứng minh rằng rằng: ax+by a2 b2 x2 y2 (1)
Bài giải:
+ Nếu a = b = 0 hoặc x = y = 0 thì (1) đúng
+ Nếu a2 + b2 > 0 và x2 + y2 > 0 thì
(1) 2 2. 2 2 2 2. 2 2 1
y b
a
b y
x
x b a
a
(2)
2
2 2 2
2
b b
a
2 2 2 2 2
y y
x x
Nên ta đặt:
sin
cos
2 2
2 2
b a
b b a
a
và
sin
cos
2 2
2 2
y x y
y x x
Khi đó (2) cos cos + sin sin 1
cos(-) 1 Hiển nhiên đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b = x = y
Trang 7Chú ý: Sử dụng kết quả trên ta chứng minh đợc bài toán: "Cho 2n số a1,
a2, ,an, b1, b2, ,bn(nN,m n 1) Chứng minh rằng:
2 1
1 2 2
1 2 2 2
2 2 2 2 1
2 b a b a n b n (a a a n) (b b b n)
* Thí dụ 9: Giải bất phơng trình:
(2a)x 2 +2x+3+(1-a)x 2 +2x+3 (1+a2)x 2 +2x+3 (1) với 0 < a < 1
Bải giải:
Đặt a =tg , chọn 0 < < hay 0 < <
cos 2 1 2 1 1
1
; sin 2 1 2 2 1
2
2
2
2 2
2
tg a
a tg
tg a
a
Và do vậy nếu chia cả hai vế của (1) cho (1+a2)x2 +2x+3
Ta đợc: (sin) x2 +2x+3 + (cos) x2 +2x+3 1
(sin)(x+1)2 +2 + (cos)(x+1)2 +2 1
Mà: (x+1)2 + 2 2 với mọi x Nên:
(sin)(x+1)2 +2 sin2 (2) (cos)(x+1)2 +2 cos2 (3)
Cộng các vế tơng ứng của (2), (3) ta đợc:
(sin)(x+1)2 +2 + (cos)(x+1)2 +2 sin2 + cos2 =1
Vậy bất phơng trình (1) nhận mọi x làm nghiệm
* Thí dụ 10: (Đề thi ĐH Bách Khoa - 1983)
1
cos 2 sin ) 1 (
2
2
x
a x a x
Bài giải:
Đặt x = tg b, chọn b
2
; 2
1
2 sin
1
1
2 2
2
a b tg
tgb a
b tg
b tg
cos 2bsina sin 2bcosa 1
sin(a+2b) 1 Hiển nhiên đúng.
Trang 8Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
) ( 2 2 4
2
; 2 ,
Z k k
a b
b tgb x
* Thí dụ 11: Chứng minh:
2 2
2 2
2
c a b
a
b a c
a
c a
(1)
Bài giải:
Đặt a= tg , b =tg, c= tg
Khi đó:
(1)
2 2
2 2
2
tg tg tg
tg
tg tg tg
tg
tg tg
(2)
Mặt khác: tgx-tgy=; 1+ tg 2 x =
áp dụng vào (2) ta có:
(2)
cos
1 cos 1
cos cos
) sin(
cos
1 cos 1
cos cos
) sin(
cos
1 cos
1
cos cos
)
sin( -)sin( -)+sin(-) (3)
Lại có sin( ) sin ( ) ( ) =
= sin( ) cos( ) cos( ) sin( )
sin( ) cos( ) cos( ) sin( )
sin sin( ) visin( ) 1 , cos( ) 1 (4)
Từ (3) và (4), ta có điều cần chứng minh:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 ) cos(
) sin(
0 ) 2 2 sin(
) 2 2 sin(
, ,
tg a
a=b=c
* Thí dụ 12: Với a 1, b 1 Chứng minh:
1 1
2
ab b a
(1)
Bài giải:
Trang 9Vì: cosx 1 1, nên đặt a =
2
3
; 2
;
2
3
; 2
;
Khi đó vế trái của (1) trở thành:
cos cos 1 cos cos
) sin(
cos cos
1 cos
cos 1
2 2
tg
= sin( +) 1 Hiển hiên đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 ) sin(
cos
1
; cos 1
a
) 2
; 1
; 0 ( 2
cos
1
; cos 1
k k
b a
C Bài tập tơng tự.
1 Cho y = x + -m Tìm m để y 0 với mọi x thuộc tập xác định
2 (Đề thi ĐH khối A - 1987) Trong những nghiệm (x,y,z,t) của hệ:
12 16
9
2 2
2 2
yz zt
t z
y x
Nghiệm nào làm cho x + z đạt giá trị lớn nhất
3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
2 2
4
) 1 (
1
x
x y
4 (Đề thi ĐH miền Bắc năm 1972)
Chứng minh - u (y-x)+v(x+y) - với x,y là các số thực thoả mãn
x2+y2=1, u2+v2=1
5 (Đề 65- Câu III1) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x2+x + 12 = 36
6 (Đề tuyển sinh vào trờng ĐH Cần Thơ - Năm 1997)
Cho phơng trình: -x2+2x + 4 = m -3
Trang 10a) Giải phơng trình khi m = 12.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
7 (Đề tự ôn - Báo THTT- tháng 5- năm 2004): Cho bất phơng trình
x
a + = 4
8 (Đề 69 - CâuII2) Cho bất phơng trình:
) 6 )(
4 ( x x x2 -2x +m (1) Tìm m để (1) đúng với mọi x [-4;6]
9 (Đề 59 - Câu II1) Cho phơng trình:
) 6 )(
3 ( 6
a) Giải phơng trình khi m =3 b) Tìm m để (1) có nghiệm
10 (Đề 149-Câu III2) Cho bất phơng trình:
- 4 x2 -2x+a-18 (1) a) Giải (1) khi a = 6
b) Tìm a để (1) đúng với mọi x [-2; 4]
11 (Đề tuyển sinh ĐH Kinh tế năm 1999) Cho phơng trình:
=a a) Giải phơng trình khi a = 3
b) Tìm a để phơng trình có nghiệm
12 Cho hàm số y = 8x4-8x2+m
a) Tìm m để y 1 khi x 1
b) Với giá trị m vừa tìm đợc Hãy chứng tỏ rằng phơng trình 8x4 -8x2+m=0 có đúng 4 nghiệm khác nhau trên đoạn [-1;1]
13 Phơng trình: 265x9-576x7+432x5-120x3+9x=0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (-1;0)
14(Đề 11- Câu III2): Tìm giá trị lớn nhất của: f(x) = + Sử dụng giải
phơng trình: + = x2-6x+11
15 Cho 3 số x,y,z thoả mãn xy + yz + zx = 1 và x, y, z (0;1) Chứng minh bất đẳng thức:
2
3 3 1
1
z y
y x
x
Trang 1116 Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x3+ = x
17 Gi¶ sö: a2 + b2 =1, c2 + d2 =1, ac +bd = 0
Chøng minh a2+c2=1, b2 + d2=1, ab+cd =0
18 Gi¶ sö: x2 + y2 0 Chøng minh:
-
19 Chøng minh r»ng víi mäi a R, n Z), n 2
- (1+a2)n (2-a)n +(1-a2)n (1+a2)n
3
1 1 2 1
1 1
2
x x
21 Gi¶i hÖ :
1
2
2
2 y x
y x y x
22 Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh:
x + < b (a > 0; b > 0)
23 Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh:
(a+b) - (a-b) = a2+b2
24 Cho x, y, z d¬ng tho¶ m·n:
16
3
2 2
2 2
z yz y
z xz x
Chøng minh xy + yz + zx 8
25 (§Ò 146) Chøng minh:
2
1 ) 1 )(
1 (
) 1 )(
( 2
1
2
b a
ab b
a
26 Chøng minh r»ng víi mäi x tho¶ m·n 1 x 5, ta cã
+ 2
Trang 12Kết luận
Đối với mỗi một dạng toán thì việc hớng dẫn học sinh xuất phát từ những kiến thức cơ bản đã biết để tìm ra cách giải tơng ứng là một việc làm cần thiết Vì nh thế họ sẽ nắm đợc ngọn nguồn bản chất của vấn đề và không thụ động khi giải toán
Với những bài toán thuộc loại toán nói trên, với cách hớng dẫn học sinh xuất phát từ các kiến thức lợng giác, liên hệ với giả thiết, kết luận của bài toán gặp phải Từ đó giúp học sinh có cách xử lý thích hợp, sáng tạo trong từng trờng hợp cụ thể Cách làm này đã đợc tôi áp dụng truyền đạt cho học sinh các lớp 12I, 12P khoá học 1998-2001, lớp 11M khoá học 2002-2005, lớp 11H; 11K khoá học 2003-2006 Kết quả là đa số các em
đã tiếp thu kiến thức một cách vững vàng và tự tin khi gặp các bài toán đại
số có dấu hiệu giải đợc bằng phơng pháp lợng giác, tạo cho học sinh tính năng động, cải biến đợc hành động học tập, chủ động, tự tin, phát triển t duy độc lập sáng tạo, rèn luyện đợc kỹ năng giải toán Khi kiểm tra về vấn
đề này thì hơn 50% học sinh đạt kết quả từ khá trở lên, và đ ợc các thầy cô giáo trong Tổ toán của trờng rất ủng hộ cách làm này và mạnh dạn đem
áp dụng đối với lớp của mình./
Trang 13Nga S¬n, th¸ng 5 n¨m 2005
Ngêi thùc hiÖn
NguyÔn V¨n KÕ