Phương pháp giải Toán về đường trung bình ..

Hớng dẫn học sinh giải Một số bài toán liên quan đến đờng trung bình của Tam giác A.. Đặt vấn đề Trong quá trình học tập bộ môn hình học học sinh lớp 8 còn bỡ ngỡ đối với các bài toán c

Hớng dẫn học sinh giải Một số bài toán liên quan đến đờng trung bình của Tam giác

A Đặt vấn đề

Trong quá trình học tập bộ môn hình học học sinh lớp 8 còn bỡ ngỡ đối với các bài toán chứng minh và còn gặp nhiều khó khăn trong việc giải các bài tập Vì vậy việc cung cấp cho các em các bài toán mẫu , hớng dẫn các em đa cho các em các bài toán cơ bản (bài toán gốc ) là việc làm hết sức cần thiết để các

em làm quen và học hỏi

Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã rút ra một số kinh nghiệm về việc “Hớng dẫn học sinh giải một số bài toán liên quan đến đờng trung bình của tam giác ”

B Giải quyết vấn đề

I> Khai thác bài toán gốc

Bài toán 1-1

Cho tam giác cân ABC (AB=AC) Gọi M là trung điểm của đờng cao AH, gọi D là giao điểm của cạnh AB với CM Chứng minh : AB=3AD

Nhận xét : Tam giác ABC cân (AB=AC)

Vậy đờng cao AH đồng thời là đờng gì ?

Dẫn đến HB=HC Đã có H là trung điểm

của BC Muốn làm xuất hiện đờng trung

bình ta làm nh thế nào?

( Kẻ AH // CD hoặc gọi E là trung điểm của

DB )

* Cách giải :

+C1 : Kẻ HE // CD Ta có : HE là đờng trung bình của tam giác BDC nên EB=ED(1)

DM là đờng trung bình của tam giác AEH nên DA=DE(2)

Từ (1) và (2) suy ra BE=ED=DA hay AB=3AD

+C2 : Gọi E là trung điểm của BD Chứng minh AD=DE=EB

Trong bài toán trên nếu thay điều kiện tam giác cân ABC bởi tam giác bất kỳ và

đờng cao AH bằng đờng trung tuyến ta có bài toán sau

2.Bài toán 1-2

Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Gọi I là trung điểm của AM.D là giao

điểm của CI và AB Chứng minh :BD = 2 AD

Nhận xét

Bài toán này dễ dàng đa về bài

toán 1 và cách giải hoàn toàn tơng

tự

Sau khi các em giải đợc bài toán này tôi mạnh dạn cho các em tiếp cận với các bài toán về tỷ số nhằm tạo hứng thú học tập và niềm vui đối với các em

=

A

M

H

D E



=

=

A

B

D

I

// //

_ _

3 Bài toán 1-3

Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AB=3AE Đoạn thẳng AM cắt CE tại I

a> Tính

IC

EI

b> tính tỷ số giữa diện tích hai tam giác AIC và diện tích tam giác ABC

Nhận xét

Ta nhận thấy giả thiết bài toán là kết luận

của bài toán 1 Vậy liệu I có phải là trung

điểm của AM không

Muốn tính

IC

EI

ta chọn đoạn thẳng trung gian và đa bài toán về bài toán 1

Cách giải

a> Gọi K là trung điểm của EB Ta có AE=EK=KB=

3

AB

Nối KM Ta có KM là đờng trung bình của tam giác BEC nên

EC =2KM (1)

EI là đờng trung bình của tam giác AKM nên KM = 2 EI (2)

Từ (1) và (2) suy EC = 2.2.EI =4EI =>

3

1



IC EI

b> Ta có : CI là trung tuyến tam giác ACM nên

2

1







ACM S

AIC S

(1) Mặt khác AM là trung tuyến tam giác ABC nên

2

1







ABC S

ACM S

(2)

Từ (1)và(2) suy ra

4

1 2

1 2

1









ABC S

AIC S

Vậy

4

1







ABC

S

AIC

S

II> Các bài toán áp dụng tính chất của đờng trung bình

1 Bài toán 2-1

Cho đoạn thẳng AC và một điểm B nằm giữa A và C Dựng các tam giác vuông cân ABD và BCE (vuông ở B và cùng nằm trên nửa mặt phẳng

bờ AC) Gọi M,N,P lần lợt là trung điểm của AD,DE,EC Chứng minh rằng : Tam giác MNP vuông cân

Phân tích bài toán

- Cần phân biệt khái niệm “điểm nằm

giữa” và “điểm nằm chính giữa” để tránh nhầm

lẫn

-Xác định xem tam giác

MNP vuông cân tại đâu (N)

-Muốn chứng minh tam giác MNP

vuông cân tại N cần chứng minh điều gì ?

( MNP =900 , MN=NP)

-Muốn chứng minh MN=NP cần chứng minh điều gì ?

Cách giải :

Ta có MN là đơng trung bình của tam giác DAE nên MN//AE,

AE=2MN (1)

A

I

E K

// //

P

E

M N D

Tơng tự NP là đơng trung bình của tam giác EDC nên

NP//CD , CD=2NP(2)

Xét △ABE và △DBC có : AB=BD (do △ABD cân )

ABE = DBC =900

BE=BC (Do △EBC cân )

Vậy △ABE=△DBC (c.g.c)=>AE=DC (3)

Từ (1) ;(2);(3)suy ra MN =NP (*)

Mặt khác MNB=AEB( đồng vị )mà AEB=DCB

(△ BDC=△ BAE) Nên MNB =DCB

Do Np//CD nên BNP = BDC

Vậy MNB+BNP =MND=DCB+BDC=900(**)

Từ (*)và(**)suy ra △MNP vuông cân tại N

2 Bài toán 2-2

Cho tam giác ABC vuông cân tại A P

là trung điểm của AB , trên cạnh AB lấy

một điểm M Gọi N là trung điểm của

MC E là giao điểm của đờng thẳng qua

B song song với AC Và đờng thẳng qua A

vuông góc với PN Chứng minh rằng tam

giác BME vuông cân

Cách giải

Gọi K là trung điểm của BC Ta có NK là đờng trung bình của tam giác CMB suy ra : BM=2NK(1);

NK//AB

Gọi I là giao điểm của PK và AE Do PK là đờng trung bình cuả tam giác ABC nên PK//AC mà AC//BE nên PK//BE Lại có PA=PB(gt) nên PI là đờng trung bình của tam giác ABE :

PI//BE và BE=2PI (2)

Xét△APIvà △PKN ta có:AP=KP=AB:2

API = PKN =900

PAI=IPN (Vì PAI+APN=APN+IPN=900)

Vậy △API= △PKN (g.c.g)=>PI=NK (3)

Từ (1);(2);(3) Suy ra BM=BE(*)

Ta có MBE=BAC=900 (**)(do BE//AC)

Từ (*) và(**)suy ra tam giác BME vuông cân tại B

3 Bài toán 2-3

Cho tam giác ABC ; M là một điểm nằm trên cạnh AB sao cho AB=4AM N

là trung điểm của AC và D là một điểm nằm trên tia đối của tia CB sao cho BC=2CD

Chứng minh rằng 3 điểm M , N , P thẳng hàng

I

A

B

N

Q

M P

A

M

K

E I

Cách giải

Gọi P là trung điểm của AB Ta có PA=PB=AB:2 Mặt khác theo giả thiết AB=4AM => AB=4MA=4MP NA=NC (gt) => MN là đờng trung bình của tam giác APC nên MN//CP(1)

Gọi Q là trung điểm của BC

Xét△PBC và△ NQD có : NQ=PB=AB:2

PBC=NQD(đồng vị )

BC=QD

Vậy △PBC= △NQD(c.g.c)=>PCB = NQD =>PC//ND(2)

Từ (1)và(2) suy ra M ,N,D thẳng hàng

Nhận xét : Qua bài toán này củng cố kỹ năng chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng cách sử dụng tiên đề Ơclit

- Bên cạnh việc cung cấp cho các em các bài tập sử dụng tính chất đờng trung bình của tam giác tôi còn hớng dẫn các em giải bài tập sử dụng tính chất đờng trung bình áp dụng vào tam giác vuông

III> Tính chất đờng trung bình áp dụng vào tam giác vuông

1 Bài toán 3-1

Cho tam giác cân ABC(AB =AC) phân giác BD Qua D vẽ đờng vuông góc với BD cắt BC ở E.Chứng minh rằng :BE=2CD

Phân tích bài toán

Để chứng minh BE= 2CD Ta tạo ra

một đoạn thẳng bằng BE:2 Sau đó chứng

minh đoạn thẳng này bằng CD

Cách giải

Gọi K là trung điểm của BE

Trong tam giác vuông BDE có DK là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DK=BE:2 (1)

Lại có tam giác BKD cân nên KBD=BDK

Mặt khác DKC =KBD + BDK =2 KBD =ABC=ACB

Suy ra tam giác DKC cân tại D : DK =DC (2)

Từ (1) và (2) suy ra DC=BE :2 hay BE=2CD

2 Bài toán 3-2

Cho tam giác ABC vuông ở A có AB<AC Kẻ đờng cao AH trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HB=HD Kẻ đoạn CI vuông góc với đờng thẳng AD , Chứng minh tam giác AHI cân

Cách giải

Ta có △ABD cân nên ABD =ADB

Lại có ACB+ABD =BCK+ADB =900 nên

ACB=BCK

Gọi K là giao điểm của CI và AH .Ta có

tam giác ACK cân (phân giác CH đồng thời

là đờng cao )nên AH=HK=AK:2(1)

Trong tam giác vuông IAK có IH là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IH=AK:2 (2)

Từ (1) và(2) suy ra AH=HI hay tam giác AHI cân tại H

C > Kết thúc vấn đề

A

D

E K

A

B

C

D H

K

I



Sau khi hớng dẫn các em giải các bài toán liên quan đến đờng trung bình tôi thấy các em nắm vững tính chất đờng trung bình và biết cách giải bài toán hình bằng cách đa về các bài toán cơ bản đã có trong sách giáo khoa .

Trên đây là một ý kiến nhỏ bản thân tôi đa ra chắc chắn còn nhiều khiếm khuyết Mong các quí thầy cô đồng nghiệp góp ý./