Độ Sâu Stanley Của Iđêan Đơn Thức

Năm 1982 trong một bài báo đăng trên tạp chí Inventiones Mathematicae [8], Stanley đã đưa ra khái niệm mà nay được gọi là độ sâu Stanley sdepth của một môđun phân bậc trên một vành phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MẠC THỊ HUYỀN

ĐỘ SÂU STANLEY CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MẠC THỊ HUYỀN

ĐỘ SÂU STANLEY CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2015

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực vàkhông trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ choviệc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn

đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái nguyên, ngày 23 tháng 6 năm 2015

Người viết Luận văn

Mạc Thị Huyền

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Nguyên An

- giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp nàytôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu,nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thờigian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học

và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôivượt qua những khó khăn trong học tập

Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,Khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập.Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi đểtôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình

Thái nguyên, ngày 23 tháng 6 năm 2015

Người viết Luận văn

Mạc Thị Huyền

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Môđun phân bậc trên vành phân bậc 2

1.2 Iđêan đơn thức 6

Chương 2 Phân tích Stanley và độ sâu Stanley 12

2.1 Phân tích Stanley của môđun đa phân bậc 12

2.2 Độ sâu Stanley khi chia cho một phần tử 17

2.3 Độ sâu Stanley và phần tử chính quy 20

2.4 Độ sâu Stanley và dãy khớp ngắn 25

2.5 Phân tích Stanley của iđêan đơn thức không chứa bình phương và áp dụng 27 Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 35

Mở đầu

Richard P Stanley nổi tiếng bởi những đóng góp quan trọng cho Tổ hợp và liên hệ

nó với Đại số và Hình học, đặc biệt là những đóng góp trong lý thuyết phức đơn hình

Hai dạng phức đơn hình có vai trò trung tâm trong Tổ hợp là phức chia được và phức

Cohen-Macaulay Stanley đặt ra giả thuyết mọi phức Cohen-Macaulay là chia được

Năm 1982 trong một bài báo đăng trên tạp chí Inventiones Mathematicae [8], Stanley

đã đưa ra khái niệm mà nay được gọi là độ sâu Stanley (sdepth) của một môđun phân

bậc trên một vành phân bậc giao hoán Độ sâu Stanley là một bất biến hình học của

môđun và có liên hệ mật thiết độ sâu thông thường (depth) Stanley cũng đưa ra giả

thuyết sdepth(M) ≥ depth(M) J Herzog, A S Jahan và S Yassemi đã chỉ ra rằng giả

thuyết Stanley về độ sâu kéo theo giả thuyết Stanley về phức đơn hình Cho đến nay cả

hai giả thuyết này vẫn là những câu hỏi mở cần được giải quyết Luận văn này trình bày

một số vấn đề mở đầu về độ sâu Stanley như là: phân tích Stanley; một số tính chất cơ

bản; tìm hiểu một chặn dưới của độ sâu Stanley Các nội dung trong luận văn được trình

bày dựa theo tài liệu [5], [9], [11] Khi trình bày luận văn, tác giả đã cũng đã cố gắng

trình bày lại chi tiết các chứng minh, bổ sung thêm một số ví dụ và kết quả trong các

tài liệu tham khảo khác

Luận văn được chia thành hai chương Chương 1, chúng tôi trình bày kiến thức cơ

sở về môđun phân bậc trên vành phân bậc, lọc nguyên tố của một môđun Phần cuối

chương trình bày định nghĩa và các tính chất về iđêan đơn thức trên một vành đa thức

Đây là những công cụ cơ bản dùng cho các định nghĩa và chứng minh ở chương sau

Chương 2 trình bày về độ sâu Stanley của một môđun đa phân bậc trên vành đa

phân bậc Phần đầu chương trình bày về phân tích Stanley của môđun đa phân bậc và

của iđêan đơn thức Phần tiếp theo chỉ ra các tính chất của độ sâu Stanley với phần tử

chính quy hay không chính quy và dãy khớp Cuối cùng chúng tôi trình bày về phân

tích Stanley của iđêan đơn thức không chứa bình phương và áp dụng

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Môđun phân bậc trên vành phân bậc

Trong mục này ta kí hiệu S là vành giao hoán có đơn vị Trước hết ta trình bày

một số định nghĩa và kết quả về vành và môđun phân bậc

Định nghĩa 1.1.1 Cho (G, +) là một vị nhóm Abel Một vành phân bậc hoặc G-vành

phân bậc là một vành S nếu tồn tại một phân tích tổng trực tiếp S =L

i∈GSi như cácZ-môđun thỏa mãn SiSj ⊆ Si+ j với mọi i, j ∈ G

Nếu S là G-phân bậc và M là một S-môđun, thì M được gọi là G-phân bậc nếu tồn

tại một phân tích tổng trực tiếp M =L

i∈GMinhư một Z-môđun thỏa mãn SiMj⊆ Si+ jvới mọi i, j ∈ G

Một phần tử u ∈ M là thuần nhất, nếu tồn tại i ∈ G sao cho u ∈ Mi và khi đó i

được gọi là bậc của u, ta viết deg(u) = i Mỗi Mi được gọi là một thành phần thuần

nhấtcủa M có bậc i, với i ∈ G Do đó mọi phần tử m ∈ M có thể biểu diễn được duy

nhất dưới dạng m = ∑i∈Gmi, trong đó mi∈ Mi, chỉ hữu hạn mi6= 0 và được gọi là thành

phần thuần nhấtcủa m

Một môđun con N ⊆ M được gọi là thuần nhất, hay G-môđun con phân bậc nếu nó

được sinh bởi các phần tử thuần nhất ứng với G-phân bậc Điều kiện này tương đương

với một trong hai điều kiện sau:

(i) Với m ∈ M, nếu m ∈ N thì mỗi thành phần thuần nhất của m đều thuộc N;

(ii) N = ∑i∈G(N ∩ Mi)

Nếu N ⊆ M là một môđun con thuần nhất của M và ta có tập Ni = Mi∩ N thì

N =L

i∈GNi và môđun thương M/N =L

i∈GMi/Ni lại là một S-môđun G-phân bậc

Và từ đó ta cũng có khái niệm iđêan phân bậc

Cho I là iđêan bất kì của S Ta kí hiệu I∗ là iđêan sinh bởi các phần tử thuần nhất

u∈ I Nếu I phân bậc thì I∗= I

Định nghĩa 1.1.2 Cho S là một G-vành phân bậc và M, N là các S-môđun G-phân bậc.

Một S-đồng cấu ϕ : M → N là phân bậc có bậc d với d ∈ G, nếu ϕ(Mi) ⊆ Ni+d với mọi

i∈ G Ta gọi ϕ phân bậc, nếu nó là thuần nhất bậc 0

Hạt nhân Ker ϕ và ảnh Im ϕ của ánh xạ phân bậc ϕ cũng là các môđun G-phân

bậc

Nếu G là Z hoặc Zn, ta nói rằng S lần lượt là một vành phân bậc hoặc đa phân bậc,

và S-môđun M được gọi là S-môđun phân bậc hoặc đa phân bậc Trong cả 2 trường hợp

với G-vành phân bậc bất kì S =L

i∈GSi, thì ta có thể xác định một G-vành phân bậckhác với cố định t ∈ G thỏa mãn S(t) =L

i∈GS(t)i, trong đó S(t)i:= St+i

Ví dụ 1.1.3 Cho vành đa thức S = K[x1, x2, x3]

(i) Xét phân bậc deg x1 = deg x2 = deg x3= 1 Khi đó ta có vành phân bậc thông

thường Ta có S(1)= Kx1⊕ Kx2⊕ Kx3 Do đó dimKS(1)= 3 Một cách tổng quát S(a) là

tập hợp các đa thức thuần nhất bậc a (đối với 3 biến x1, x2 và x3)

(ii) Xét phân bậc deg x1 = deg x2 = (1, 0); deg x3 = (0, 1) Khi đó ta có vành

2-phân bậc hay còn gọi là vành song 2-phân bậc Ta có S(1,0)= Kx1⊕ Kx2; S(0,1)= Kx3; và

S(1,1)= Kx1x3⊕ Kx2x3 Do đó dimKS(1,0)= 2; dimKS(0,1)= 1 và dimKS(1,1)= 2 Một

cách tổng quát S(a,b) là K-không gian véctơ sinh bởi các đơn thức có bậc đối với x1, x2

Khi đó S là vành 3-phân bậc và ta có

S(1,0,0)= Kx1; S(0,1,0)= Kx2; S(0,0,1)= Kx3

Vì thế dimKS(1,0,0)= dimKS(0,1,0)= dimKS(0,0,1)= 1

Tổng quát, S(a,b,c)là không gian véctơ chiều 1 sinh bởi xa1xb2xc3

Đối với vành đa thức S, ngoài cách phân bậc như đã xét ở trên, còn nhiều cách

phân bậc khác Ví dụ như sau:

(iv) Xét phân bậc deg x1= deg x2= (2, 0); deg x3= (0, 1) Khi đó S(1,b)= 0 với

mọi b và

S(2,0)= Kx1⊕ Kx2; S(4,2)= Kx21x23⊕ Kx1x2x23⊕ Kx22x23

Vì thế dimKS(2,0)= 2; dimKS(4,2)= 3 Tổng quát, S(a,b)xác định như sau: nếu a lẻ thì

S(a,b)= 0 với mọi b Nếu a chẵn thì

S(a,b)= { f (x1, x2).xb3| f (x1, x2) thuần nhất bậc a/2 theo x1, x2}

Trong toàn bộ luận văn ta luôn xét phân bậc là thuần nhất như Ví dụ (iii)

Phần tiếp theo trình bày khái niệm và một số tính chất liên quan đến một iđêan

nguyên tố liên kết

Định nghĩa 1.1.4 Cho M là một S-môđun Một iđêan nguyên tố P của S được gọi là

một iđêan nguyên tố liên kết của M, nếu tồn tại một phần tử x ∈ M để P = 0 : x = Ann(x).

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là AssSM, hoặc Ass M nếu như

không cần thiết phải nhắc đến S Như vậy

Ass M = {P ∈ Spec S | ∃x ∈ M, P = Ann(x)}

Nhận xét Phần tử x làm cho 0 : x là một iđêan nguyên tố, thì x 6= 0.

Bổ đề 1.1.5 P là một iđêan nguyên tố liên kết của S-môđun M khi và chỉ khi tồn tại

một đơn cấu S-môđun từ S/P tới M, hay tồn tại môđun con của M đẳng cấu với S/P.

Bổ đề 1.1.6 Nếu N là một môđun con của của S-môđun M thì

Ass N ⊆ Ass M

Chú ý Khi S là vành Noether, I là iđêan của S Khi đó I có phân tích nguyên sơ

I = Q1∩ · · · ∩ Qr, với Qilà Pi-nguyên sơ và Ass(S/I) = {P1, , Pr}

Từ hai bổ đề trên ta chỉ ra sự tồn tại một lọc các môđun con có tính chất đặc biệt

Trước hết ta nhắc lại kết quả đối với môđun hữu hạn sinh

Mệnh đề 1.1.7 Cho M là một môđun khác 0, hữu hạn sinh trên một vành Noether S.

Khi đó tồn tại một dãy các môđun con

2.Quá trình trên sẽ dừng do M là một môđun Noether, và do đó ta xây dựng được dãy các

môđun con của M:

0 = M0⊂ M1⊂ · · · ⊂ Mn= M

thỏa mãn Mi/Mi−1∼= S/P

i với Pi∈ Spec S Ta có với mỗi j = 1, , nAss(Mj) ⊆ Ass(Mj−1) ∪ Ass(S/Pj) = Ass(Mj−1) ∪ {Pj}

Do đó Ass(M) ⊆ {P1, P2, , Pn} Mệnh đề được chứng minh

Bổ đề 1.1.8 Cho S là vành phân bậc, M là S-môđun phân bậc Khi đó

(i) Với mọi iđêan nguyên tố P, ta có P∗ là iđêan nguyên tố,

(ii) Nếu P ∈ Supp(M) thì P∗∈ Supp(M),

(iii) Nếu P ∈ Ass(M) thì P là phân bậc, hơn nữa P là linh hóa tử của một phần tử

thuần nhất.

Tương tự ta có kết quả cho môđun phân bậc Ta có thể đưa ra một cách chứng

minh khác như sau:

Mệnh đề 1.1.9 Cho M là môđun phân bậc hữu hạn sinh trên vành phân bậc Noether

S Khi đó tồn tại lọc

(0) = M0 ⊂ M1⊂ · · · ⊂ Mn= M

các môđun con phân bậc thỏa mãn Mi/Mi−1 ∼= (S/P

i)(li) với mỗi i = 1, , n, iđêan

thuần nhất Picủa S và li∈ G.

Lọc trên được gọi là lọc nguyên tố của M.

Chứng minh. Đặt

Σ = {N | N là môđun con của M có lọc nguyên tố}

Gọi N là phần tử tối đại của Σ (N tồn tại vì S là Noether và M là hữu hạn sinh) Giả sử

M 6= N Đặt N0= M/N Vì N0 6= 0 nên tồn tại Q ∈ AssSN0 Do đó N0 có môđun conphân bậc đẳng cấu với (S/Q)(l), l ∈ G Gọi M0 là nghịch ảnh của N trong M Khi đó

N M0và M0∈ Σ, vô lý Vậy M = N có lọc nguyên tố

1.2 Iđêan đơn thức.

Trong mục này ta xét một lớp iđêan đặc biệt trong vành đa thức nhiều biến S =

K[x1, , xn] với hệ số trên trường K là lớp iđêan đơn thức Ta đặt (a1, , an) ∈ Nn và

xa1

1 xan

n là một đơn thức

Định nghĩa 1.2.1 Iđêan I ⊆ K[x1, , xn] được gọi là iđêan đơn thức nếu nó sinh bởi

các đơn thức Tức là nếu có tập con A ⊆ Nn(có thể vô hạn) sao cho iđêan I bao gồm tất

trong đó ha1, ,an ∈ K[x1, , xn], (a1, , an) ∈ A Trong trường hợp này ta viết I =

(xa1

1 xan

n ; a1, , an ∈ A)

Ví dụ: I = (xy3, x3y2, x4y) là iđêan đơn thức

Nhận xét (i) Tập các đơn thức trong S kí hiệu là Mon(S) và tạo thành một K-cơ sở của

S

(ii) Tập các đơn thức thuộc I tạo thành một K-cơ sở của I Lớp các đơn thức còn

lại không thuộc I tạo nên một K-cơ sở của vành S/I Ta kí hiệu Ic ⊂ S là không giancon tuyến tính của S được sinh bởi tất cả các đơn thức không thuộc I Khi đó S = I ⊕ Ic

và S/I ∼= Ic là các không gian tuyến tính

(a1, , an) + Nn= {(a1, , an) + (c1, , cn) | (c1, , cn) ∈ Nn}

bao gồm số mũ của tất cả các đơn thức chia hết cho xa1

1 xan

n

Từ chú ý này và Bổ đề 1.2.2 cho ta hình ảnh mô tả các đơn thức trong một iđêan

đơn thức cho trước Chẳng hạn, nếu I = (xy3, x3y2, x4y), khi đó số mũ của các đơn thức

(ii) Mọi từ của f thuộc I;

(iii) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I.

Chứng minh. Rõ ràng có (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i) Để chứng minh (i) ⇒ (iii) ta có nhận xét

như bổ đề trên, mỗi từ của f phải chia hết cho xa1

Bổ đề 1.2.5 Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I, các từ của f đều

thuộc I.

Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ Bổ đề 1.2.3 Từ giả thiết suy ra tập tất cả các đơn

thức của các đa thức trong I sẽ sinh ra I Do đó điều kiện đủ được chứng minh

Kết quả sau đây chỉ ra với mọi iđêan đơn thức hữu hạn sinh, một trường hợp

đặc biệt của Định lý cơ sở Hilber Kí hiệu x = {x1, , xn}, a = (a1, , an) ∈ Nn và

xa= xa1

1 xan

n là một đơn thức

Bổ đề 1.2.6 (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I = (xa, a ∈ A) bao giờ cũng viết

được dưới dạng I = (xa(1), , xa(s), trong đó a( 1), , a(s) ∈ A) Nói riêng I là hữu

hạn sinh.

Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo số biến n

Khi n = 1 ta có I = (xa; a ∈ A ⊆ N) Chọn b ∈ A là số nhỏ nhất Khi đó xb chia hếtmọi đơn thức xa với a ∈ A Vậy ta có ngay I = (xb)

Giả sử n > 1 và bổ đề đúng với không quá n − 1 biến Đặt x0 = {x1, , xn−1}.Như vậy mỗi đơn thức trong K[x] đều có thể viết dưới dạng x0αxqn, trong đó α ∈ Nn−1

và q ∈ N Gọi J là iđêan của vành K[x0] sinh bởi các đơn thức x0α sao cho tồn tại

xmn để x0αxmn ∈ I Theo giả thiết quy nạp thì J sinh bởi hữu hạn các đơn thức, tức là

J = (x0α(1), , x0α(s)) Theo định nghĩa, với mỗi i = 1, , s tồn tại mi ∈ N sao cho

.

từ Jm−1: x0αm−1 (1)xnm−1, , x0αm−1 (sm−1)xm−1n

Thật vậy, ta giả sử đơn thức x0αxqn ∈ I Khi đó có hai trường hợp: Nếu q ≥ m thì theocách xây dựng J, x0α phải chia hết cho x0α(i) nào đó, và do đó ta có x0α(i)xmn chia hết cho

một đơn thức ở dòng thứ nhất ở trên Nếu q ≤ m − 1 thì x0αxqn sẽ chia hết cho một đơn

thức ở dòng thứ q + 2 ở trên Theo Bổ đề 1.2.2 và Hệ quả 1.2.4 thì I được sinh bởi các

đơn thức liệt kê ở trên

Như vậy I được sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức

xβ (1)1 , , xβ (1)n , , xβ (r)1 , , xβ (r)n

Sử dụng Bổ đề 1.2.2 lần nữa, ta thấy mỗi đơn thức xβ ( j)1 , , xβ ( j)n chia hết cho xγ ( j)1 , , xγ ( j)n

nào đó với γ( j) ∈ A Từ đó có ngay kết quả J = (xγ (1)1 , , xγ (1)n , , xγ (r)1 , , xγ (r)n )

Từ Bổ đề 1.2.2 và Bổ đề 1.2.6 suy ra mỗi iđêan đơn thức I chỉ có một tập sinh tối

tiểu gồm các đơn thức Đặt G(I) = J được gọi là tập sinh đơn thức tối tiểu của I Mỗi

đơn thức trong tập sinh này được gọi là đơn thức sinh của I.

Sử dụng Bổ đề 1.2.5 ta có tổng, tích và giao của các iđêan đơn thức cũng là các

iđêan đơn thức Ngoài ra nếu ta có I và J là các iđêan đơn thức, thì

G(I + J) ⊆ G(I) ∪ G(J), G(IJ) ⊆ G(I)G(J)

Hơn nữa ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.2.7 Cho I, J là hai iđêan đơn thức Khi đó I ∩ J và I : J là các iđêan đơn

thức Nếu I = (m1, , mr) và J = (n1, , ns), mi, nj là các đơn thức, thì

(i) I ∩ J = (BCNN(mi, nj) | 1 ≤ i ≤ r; 1 ≤ j ≤ s).

(ii) I : nj = (mi/ UCLN(mi, nj) | 1 ≤ i ≤ r) Do đó I : J có thể tính được theo công

thức I: J = ∩sj=1(I : nj) và (i).

Chứng minh. Ta đã biết I : J = ∩sj=1(I : nj) Do đó chỉ cần chứng minh I ∩ J là đơn

thức, và các công thức tính ở (i) và (ii) đúng Giả sử f ∈ I ∩ J và m là một từ của f Vì

I, J là các iđêan đơn thức nên theo Bổ đề 1.2.5 ta có m ∈ I và m ∈ J Do đó m ∈ I ∩ J.

Lại theo Bổ đề 1.2.5, I ∩ J là iđêan đơn thức

Để chứng minh (i), nhận xét rằng bao hàm thức ⊇ là hiển nhiên Cho đơn thức

m∈ I ∩ J Theo Bổ đề 1.2.2, m chia hết cho mi và nj nào đó Do đó m chia hết choBCNN(mi, nj) Suy ra m ∈ (BCNN(mi, nj)|1 ≤ i ≤ r; 1 ≤ j ≤ s), và ta có (i)

Chứng minh (ii) tương tự với chú ý rằng

UCLN(mi, nj) BCNN(mi, nj) = minj

Ta được điều cần chứng minh

Ví dụ 1.2.8 Cho I = (x21, x1x22, x2x23) và J = (x31x2, x2x3) là các iđêan đơn thức trongvành đa thức S = R[x1, x2, x3] trên trường K Khi đó

I+ J = (x21, x1x22, x2x3), I∩ J = (x31x2, x21x2x3, x1x22x3, x2x23),

IJ= (x51x2, x21x2x3, x41x23, x1x32x3, x31x22x23, x22x33), I : J = (x21, x1x2, x3)

Bổ đề sau tuy đơn giản nhưng hay được sử dụng

Bổ đề 1.2.9 Giả sử m, n là hai đơn thức không chứa biến chung và m1, , mr là các đơn thức Khi đó

(m1, , mr, mn) = (m1, , mr, m) ∩ (m1, , mr, n)

Chứng minh. Chỉ cần chứng minh ⊇ Nếu đơn thức u ∈ (m1, , mr, m) ∩ (m1, , mr, n)

chia hết cho mi nào đó, i ≤ r, thì u ∈ (m1, , mr, mn) Trong trường hợp ngược lại, vì

u∈ (m1, , mr, m), nên theo Bổ đề 1.2.2 phải có m|u Tương tự n|u Vì m, n không

chứa biến chung nên mn|u Do đó u ∈ (m1, , mr, mn)

Kết quả này giúp ta tìm được phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức I và từ đó

tìm được tập iđêan nguyên tố liên kết của vành S/I

Chương 2

Phân tích Stanley và độ sâu Stanley

Cho K là một trường và S = K[x1, , xn] là một vành đa thức n biến trên trường

K Cho I ⊂ S là một iđêan đơn thức, và u ∈ S là một đơn thức thỏa mãn u là chính quy

trên S/I Trong chương này, ta tìm hiểu phân tích Stanley của Zn-môđun phân bậc dạngS/I Sau đó tìm hiểu độ sâu Stanley khi chuyển từ S/I sang S/(I, u) và ngược lại

2.1 Phân tích Stanley của môđun đa phân bậc

Trước tiên ta định nghĩa độ sâu Stanley của một môđun đa phân bậc

Định nghĩa 2.1.1 Cho K là một trường và S = K[x1, , xn] là một vành đa thức n biếntrên trường K Cho M là một S-môđun đa phân bậc hữu hạn sinh (Zn-phân bậc) Cho

m∈ M là một phần tử thuần nhất trong M và Z ⊆ {x1, , xn} Ta kí hiệu mK[Z] là không gian con của M sinh bởi tất cả các phần tử mv trong đó v là một đơn thức trong

K-K[Z]

(i) Một K-không gian con đa phân bậc mK[Z] ⊂ M được gọi là không gian Stanley

chiều |Z|, nếu mK[Z] là một K[Z]-môđun tự do

(ii) Một phân tích Stanley của M là một biểu diễn của K-không gian vectơ M như

một tổng trực tiếp hữu hạn của các không gian Stanley

(iii) Số

sdepth(M) := max{sdepth(D) : D là một phân tích Stanley của M}

được gọi là độ sâu Stanley của M.

Ví dụ 2.1.2 (i) Xét iđêan I = (x12x2) ⊂ S = K[x1, x2] Hình 2.1 biểu diễn một phân tíchStanley của I và Ic Miền màu xám biểu diễn iđêan I Một phân tích Stanley của iđêan

I là I = x21x2K[x1, x2] Vì S là vành đa thức 2 biến và I ⊂ S là một iđêan chính, do đó

sdepth(I) = 2 Trong Hình 2.1 đường kẻ màu xanh biểu diễn các không gian Stanley

chiều 1 Một phân tích Stanley của môđun S/I là

Ic = K[x1] ⊕ x2K[x2] ⊕ x1x2K[x2]

Điều này kéo theo 1 ≤ sdepth(S/I) ≤ 2 Nếu sdepth(S/I) = 2, thì I ∩ Ic 6= {0}, mâuthuẫn Vậy sdepth(S/I) = 1

Hình 2.1:

(ii) Cho iđêan đơn thức I = (x1x22, x21x2) của S = K[x1, x2], thì x21x2K, x31x2K[x1],

x1x22K[x2] và x21x22K[x1, x2] là các không gian Stanley với số chiều lần lượt là 0, 1, 1 và

2 Trong Hình 2.3, điểm màu đỏ, cam và xanh gồm có các số mũ của các đơn thức lần

lượt trong x31x2K[x1], x1x22K[x2] và x21x22K[x1, x2] Do đó x21x2K chỉ gồm 1 đơn thức là

x21x2 Số mũ của đơn thức này là một điểm màu tím trong Hình 2.3

Luôn tồn tại ít nhất một phân tích Stanley của I Ví dụ

D1: I = x21x2K ⊕ x31x2K[x1] ⊕ x1x22K[x2] ⊕ x21x22K[x1, x2]

D2 : I = x21x2K ⊕ x31x2K ⊕ x41x2K[x1] ⊕ x1x22K[x2] ⊕ x21x22K[x1, x2],

D3: I = x1x22K[x2] ⊕ x21x2K[x1, x2]

là các phân tích Stanley của I

Hình 2.2: Các điểm màu xanh kí hiệu số mũ của các đơn thức thuộc iđêan I = (x1x22, x 2

1 x2) của S = K[x 1 , x2] Hình 2.3: Các điểm màu tím, đỏ, cam và xanh gồm số mũ của các đơn thức lần lượt thuộc

x21x2K, x31x2K[x1], x1x22K[x2] và x21x22K[x1, x2].

Hình 2.4: Hình a biểu diễn phân tích Stanley D 2 , Hình b biểu diễn D 3

Do đó, ta có sdepth(D1) = 0, sdepth(D2) = 0, sdepth(D3) = 1 Từ sự phân tíchD3

ta có 1 ≤ sdepth(I) ≤ 2 Nếu sdepth(I) = 2 thì I là iđêan chính, vô lý Vậy sdepth(I) = 1

Ta có thể xác định một phân tích Stanley cũng như độ sâu Stanley của Ic Độ sâu

Stanley của Icđược kí hiệu là sdepth(S/I), thay cho sdepth(Ic) Ta có

D : Ic = x1x2K ⊕ K[x1] ⊕ x2K[x2]

là một phân tích Stanley của Ic Do đó ta có sdepth(D) = 0 Nhân bất kì đơn thứcnào với x1x2 đều là phần tử của I nên x1x2K luôn là không gian Stanley của Ic Từ đó

sdepth(S/I) = 0

(iii) Cho I = (x1x2, x1x3) là một iđêan đơn thức trong vành đa thức S = K[x1, x2, x3]

Khi đó một phân tích Stanley của S/I là Ic= K[x2, x3]⊕x1K[x1] Ta có 1 ≤ sdepth(S/I) ≤

3 Ta được sdepth(S/I) = 1, thật vậy ta có một không gian Stanley x1K[x1] có chiều 1

và vì x1nhân x2hoặc x3thuộc I, nên không gian Stanley này không thể chứa một không

gian Stanley có chiều lớn hơn 1 Một phân tích Stanley của I là I = x1x2K[x1, x2, x3] ⊕

x1x3K[x1, x3] Do vậy sdepth(I) = 2 Vì nếu sdepth(I) = 3 thì I là iđêan chính, vô lý

Phần tiếp theo ta trình bày một số tính chất liên quan đến lọc nguyên tố

Cho I ⊂ S là một iđêan đơn thức Đặt

F : I = I0 ⊂ I1⊂ · · · ⊂ Ir= S

là một Nn-lọc nguyên tố phân bậc của S/I với Ii/Ii−1 ∼= S/P

Fi(−ai) trong đó Fi ⊂{1, , r} và (PFi) = (xj : j ∈ Fi) Theo [1] lọc nguyên tố F này của S/I cảm sinhmột phân tích Stanley

Định lý 2.1.3 Cho M là một S-môđun Zn- phân bậc hữu hạn sinh Nếu