5 GTLN, GTNN TRÊN số PHỨC

Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức +Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z =1... Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z i+.. Gọi A và B lần lượt là giá

Câu 5: Cho số phức z thỏa z ≥ 2 Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức +

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= + +1 z 3 1−z

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z =1 Gọi M và mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P= + +z 1 z2− +z 1 Tính giá trị của M m

A 13 3

39

13.4

Câu 8: Gọi z= +x yi x y ,( ∈R) là số phức thỏa mãn hai điều kiện z−22+ +z 22 =26 và

Câu 10: Cho số phức z thỏa z =1 Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T= + +z 1 2 z−1

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn z2−2z+ =5 (z− +1 2i)(z+ −3 1i ) Tính min | |w , với

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z− =1 2 Tìm giá trị lớn nhất của T = + + − −z i z 2 i

Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z− −2 3i =1 Giá trị lớn nhất của z+ +1 i là

Câu 17: Cho số phức z thoã mãn z− − =1 i 2 Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của z− +2 i Giá trị của biểu thức P=2A B+ 2 gần bằng

7 10

470.5

Câu 21: Xét số phức z thỏa mãn z− −2 3i =1 Tìm giá trị lớn nhất của z+ +i 1

2 11

i z i

++ =

A 1+ 13 B 2+ 13 C 4 D 6

Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn: z(1+ − +i) 1 2i =2 Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của z+ +1 3i Khi đó 2A2−B có giá gần nhất bằng 2

Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn: z+ −1 2i =2 5 Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của z i+ Khi đó A B có giá trị bằng

Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn: z− + =1 i 2 Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của z+2 Khi đó A2+B có giá trị bằng2

Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z− −1 2i =4 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của z+ +2 i Giá trị của T =M2+m là2

Câu 30: Cho số phức z= +x yi x y( , ∈ ℝ) thỏa mãn điều kiện z+ − + + −1 i z 2 3i = 5 Gọi M m ,

lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P=x z Tổng 2 M +2m bằng

i là số thực Gọi M m lần ,lượt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1−z2 Tính A=M2+m 2

Câu 45: Cho z z1, 2 là nghiệm của phương trình 6 3− +i iz = 2z− −6 9i thõa mãn 1 2 8

5

z z Gọi ,

M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1+z2 Tính P=M +m

Câu 46: Cho số phức z z1, 2 thoả mãn z1− −3 4i =1, z2+ =1 z2−i và 1 2

Câu 47: Cho số phức z thoả mãn z không phải là số thực và 2

2

=+

z w

Câu 50: Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M M Số phức, ′ w=z(4 3 )+ i

và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là , ′N N Biết rằng M M N N là , ′, , ′bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của z+ −4i 5

Câu 51: Cho số phức z1 thỏa z1+ − =1 i z1 , số phức z2 thỏa

A 3+ 26 B 9 2 6+ C 6 2 26+ D 3− 26

Câu 53: Cho số phức z2017− = Gọi 1 1 P= z Tính A=2017 max( P)−2017 min( P)

A. A =2017.20162 B. A=2017.20173 C. A =2017.20172 D. A =2017

Câu 54: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2−2z+ =5 (z− +1 2i)(z+ −3 1i ) Tìm giá trị nhỏ nhất

là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z1−z2 Tính giá trị của biểu thức T=M+m?

Câu 70: Cho số phức z1= +1 3i, z2 = − −5 3i Tìm điểm M x y biểu diễn số phức ( ); z3, biết rằng M

nằm trên đường thẳng x−2y+ =1 0 và số phức w 3= z3− −z2 2z1 có giá trị nhỏ nhất?

Câu 79: Cho số phức z Kí hiệu , , , A B C D lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z z z, , 4 3( + i)

và z(4 3+ i) Biết , , ,A B C D là bốn đỉnh của một hình chữ nhật Hỏi giá trị nhỏ nhất của

m m i , trong đó m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho 1

Câu 83: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z+ − + − −2 i z 2 3i =2 5 Gọi M m lần lượt là giá trị ,

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z , tính M −m

A. 5 13 4 5

5

− B. 13− 5 C. 13− 2 D. 2 15− 2

Câu 84: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z+ − + − −2 i z 2 3i =2 5 Gọi M m lần lượt là giá trị ,

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Tính giá trị M m

4 655

Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z+ − + − −2 i z 2 3i =2 5 Gọi M m lần lượt là giá trị ,

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun của z , tính 2017 2017

Câu 86: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z+ − + − −2 i z 2 3i =2 5 Gọi M m lần lượt là giá trị ,

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun z+ −1 2i, tính M +m

A 5 10 5

5

− B 10− 2 C 2 10− 2 D 2 10 3 2−

Câu 88: Cho số phức z thỏa điều kiện z+ − + − −2 i z 2 3i =2 5 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn ,

nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z+ −1 2i Tính M m

4,4

Câu 91: Gọi z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình z2+2(m+1)z+m2+ =1 0, với mlà tham số

thực Biết giá trị lớn nhất của biểu thức

z −z = Hỏi giá trị lớn nhất của z1+z2 là?

5

Câu 95: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z +1 5 5= , z2+ −1 3i = z2− −3 6i Hỏi giá trị nhỏ nhất của

=+

z z

i z i

++ =

M = −z w

2 2 Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2.

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z =1 Tìm giá trị lớn nhất Mmax và giá trị nhỏ nhất Mmin của biểu

thức M = z2+ + +z 1 z3+1

Vậy, giá trị nhỏ nhất của Plà1

2, xảy ra khi z= −2 ; i giá trị lớn nhất của P bằng 3

2 xảy ra khi z=2 i

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z =1 Gọi M và mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P= + +z 1 z2− +z 1 Tính giá trị của M m

A 13 3

39

13.4

Đặt z= +x iy x y ,( ∈R) Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x2+y2 =36

Đặt x=3cos , t y=3sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

Câu 10: Cho số phức z thỏa z =1 Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T = + +z 1 2 z−1

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn z2−2z+ =5 (z− +1 2i)(z+ −3 1i ) Tính min | |w , với

Gọi z= +a bi (với , ∈ ℝa b ) khi đó ta được

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z− =1 2 Tìm giá trị lớn nhất của T = + + − −z i z 2 i

x y nên điểm M biểu diễn cho số

phức z nằm trên đường tròn tâm I( )2;3 bán kính R=1

11;

⇔ w− + i = w− − i Gọi A(4; 2 ;− ) ( )B 1;3 và M w( ) suy ra MA=MB nên tập hợp

điểm M là trung trực của AB có PT là: 3x−5y− =5 0( )d

Câu 17: Cho số phức z thoã mãn z− − =1 i 2 Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của z− +2 i Giá trị của biểu thức P=2A B+ 2 gần bằng

Hướng dẫn giải:

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I( )1;1 bán kính R= 2

Gọi K(2; 1− ) khi đó A= − +z 2 imax =IK+ =R 5+ 2; B= 5− 2

Gọi K(2; 1− ) suy raAmax =IK+ =R 5

i z i

++ =

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I( )0;2 bán kính R=1

Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn: z(1+ − +i) 1 2i =2 Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của z+ +1 3i Khi đó 2A2−B2có giá gần nhất bằng

Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn: z+ −1 2i =2 5 Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của z i+ Khi đó A B có giá trị bằng

Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn: z− + =1 i 2 Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của z+2 Khi đó A2+B có giá trị bằng2

Hướng dẫn giải:

Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z Xét điểm F(−2;0) và E(1; 1− ⇒) EM = 2

Ta có: FE−EM ≤MF≤FE+EM ⇔ 10− 2≤MF≤ 10+ 2⇒A2+B2 =24

Chọn C

Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z− −1 2i =4 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của z+ +2 i Giá trị của T =M2+m là2

Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z− − =2 i 1 Giá trị lớn nhất của z−1 là

Câu 30: Cho số phức z= +x yi x y( , ∈ ℝ) thỏa mãn điều kiện z+ − + + −1 i z 2 3i = 5 Gọi M m ,

lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P=x z Tổng 2 M +2m bằng

Suy ra f x( ) là hàm số đồng biến trên [− −2; 1] ( )

⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức 2017

z là đường tròn tâm I( )0;1 có bán kính R=1

2017 2017

Do (x A−y A−1)(x B−y B− > ⇒1) 0 A B, cùng thuộc một phía so với đường thẳng d

⇒ GọiA' là điểm đối xứng của A qua d

Ta có: MA MB+ =MA'+MB≥A B' Dấu " "= xảy ra khi

Do (x A−y A−1)(x B−y B− < ⇒1) 0 A B, khác phía so với đường thẳng d

Ta có: MA MB+ ≥AB Dấu " "= xảy ra khi 3 1; 2 5

Dễ dàng nhận thấy ABCD là hình thoi

Gọi M x y( ; ) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy⇒M chạy tung tăng trong

Ta lại có HN là hình chiếu của ON trên BC

HB là hình chiếu của OB trên BC

HClà hình chiếu của OC trên BC

i là số thực Gọi M m lần ,lượt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1−z2 Tính A=M2+m2

0 0 0

AO

AO AB

M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1+z2 Tính P=M +m

Hướng dẫn giải:

Đặt z= +a bi a b( , ∈ ℝ) Ta có: ( ) (2 )2 ( )

6 3− +i iz = 2z− −6 9i ⇔ a−3 + b−4 =1 C Trong mặt phẳng phức Oxy , gọi , A B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z z1, 2 và ,I H lần

lượt là tâm đường tròn ( )C , trung điểm AB

Dấu " "= xảy ra:

Khi OH đạt giá trị nhỏ nhất thì , ,O H I thẳng hàng theo thứ tự đó

Khi OH đạt giá trị lớn nhất thì , ,O I H thẳng hàng theo thứ tự đó

Câu 46: Cho số phức z z1, 2 thoả mãn z1− −3 4i =1, z2+ =1 z2−i và 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

z w

124

nhất Dễ thấy, OM nhỏ nhất khi M ≡M' (M’ là giao

điểm của OI với đường tròn như hình vẽ) Tức là

10; 2

Ta có: M và M' đối xứng nhau qua trục Ox, N và N' đối xứng nhau qua trục Ox

''

Trong mặt phẳng phức Oxy gọi , , A B C

lần lượt là điểm biểu diễn của số phức

Ta có: 2w− + +1 i 3w− + ≤ ⇔2 i 2 2AE+3AF≤2 với E(1; 1− ) F(2; 1− )

Mà 2AE+2AF≥2EF=2 vậy dấu " "= xảy ra khi w= −2 i

⇒ =P AB+BC+CA Ta có A thuộc góc nhọn được tạo bởi 2 đường thẳng ( ) ( )∆1 , ∆2

Gọi A A1, 2 lần lượt là điểm đối xứng của A qua ( ) ( ) 1

16 105

C Không tồn tại điểm C⇒ Không tồn tại Pmin

Câu 52: Cho số phức z z1, 2 thỏa z+ − =1 i z và z1−z2 =6 2, số phứcw w1, 2 thỏa điều kiện

A 3+ 26 B 9 2 6+ C 6 2 26+ D 3− 26

Hướng dẫn giải:

Trong mặt phẳng phức gọi ,A B lần lượt là

điểm biểu diễn số phức

Trong mặt phẳng phức gọi , ,X C D lần lượt

là là điểm biểu diễn số phức w w w, ,1 2

( )2 : 6 0

⇒ ∈ ∆w x− − =y loại đi điểm Y(4; 2− )

Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn số phức u

Ta có E(−2;1 ,) (F 1; 2− ⇒) 2u+ − +2 i 3u− +1 2i ≤6 2⇒2ME+3MF≤6 2

Mà 2ME+2MF ≥2EF =6 2 Vậy dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi MF= ⇔0 M(1; 2− )

⇒ =P MA MB MC+ + +MD với AB=2CD=6 2 Ta cần tìm Pmin

Gọi ,E F lần lượt là định thứ tư của hình bình hành MCDE MBAF ,

Gọi E' là điểm đối xứng của E qua ( )∆2 , F' là điểm đối xứng của F qua ( )∆1

''

D Không tồn tại Pmin do w≠ −4 2i

Câu 53: Cho số phức z2017− = Gọi 1 1 P= z Tính A=2017 max( P)−2017 min( P)

A A =2017.20162 B A =2017.20173 C A =2017.20172 D A =2017

Hướng dẫn giải:

Ta có: maxP=max z > ⇔0 maxP2017=max z2017 =max z2017

Mặt khác ta cũng có: minP= z > ⇔0 minP2017=min z2017=min z2017

Gọi z2017= +a bi a b( , ∈ ℝ)⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức 2017

Ta có: ( )

22

αα

MA +MB = MI ′ + Suy ra P Max ⇔MI Max′ ⇔I′ là hình chiếu vuông

góc của M trên AB ⇔ M I I ′, , thẳng hàng.Vì ta thấy IA IB= ⇒MA=MB nên xảy ra dấu

là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z1−z2 Tính giá trị của biểu thức T =M+m?

Vì chỉ có duy nhất một số phức thỏa mãn nên hai đường tròn ( )C1 có I1( )1;1 , R1= 2 và đường tròn ( )C2 có I m n2( ); , R2 = 2 tiếp xúc nhau

Câu 70: Cho số phức z1= +1 3i, z2 = − −5 3i Tìm điểm M x y( ); biểu diễn số phức z3, biết rằng M

nằm trên đường thẳng x−2y+ =1 0 và số phức w 3= z3− −z2 2z1 có giá trị nhỏ nhất?

9 8cos 4sin 9 8cos 4sin

Khi đó ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của P=MO+MA MB+

Dự phía ngoài tam giác OAB tam giác đều ABC, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt

OC tại D , theo bất đẳng thức Ptoleme cho bốn đểm M , A , B , C ta có:

Vậy gá trị nhỏ nhất của Pmin =6 2+ 3

Câu 77: Cho số phức z= +a bi (a≥0,b≥0) thỏa mãn a b− − ≤2 0, a+4b−12 0≤ Hỏi giá trị lớn

Câu 79: Cho số phức z Kí hiệu , , , A B C D lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z z z, , 4 3( + i)

và z(4 3+ i) Biết , , ,A B C D là bốn đỉnh của một hình chữ nhật Hỏi giá trị nhỏ nhất của

biểu thức z+ −4i 5 là?

Hướng dẫn giải

Chọn C

Với z= +a bi a b, ,( ∈ ℝ)

Ta có: A a b( ); , B a b( ;− ),C(4a−3 ;3b a+4b), D(4a−3 ; 3b − −a 4b)

Do đó ,A B đối xứng qua trục hoành; , C D đối xứng qua trục hoành và AB/ / DC

Theo giả thiết , , ,A B C D là bốn đỉnh của một hình chữ nhật khi và chỉ khi có a≠0và b≠0

0

35

m m i , trong đó m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho 1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M ≡ ⇒ = + ⇒A z 1 i z = 2

Câu 82: Cho hai số phức z , 1 z thỏa mãn 2 z =1 3, z =2 4, z1−z2 = 37 Gọi M ,

m lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 1

Câu 83: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z+ − + − −2 i z 2 3i =2 5 Gọi M m lần lượt là giá trị ,

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z , tính M −m

A 5 13 4 5

5

− B 13− 5 C 13− 2 D 2 15− 2

Câu 84: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z+ − + − −2 i z 2 3i =2 5 Gọi M m lần lượt là giá trị ,

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Tính giá trị M m

4 655

z đạt giá trị nhỏ nhất ⇔OM ngắn nhất⇔M ≡M1, với M1 là hình chiếu vuông góc của

M lên đoạn NP (quan sát hình hoặc nhận xét góc NOP tù do ON OP < 0 nên M1 thuộc đoạn NP)

z đạt giá trị lớn nhất ⇔OM =OP (quan sát hình hoặc so sánh ON v OP à )

Phương trình NP x: −2y+ = 4 0

Vậy ( , ) 13 4 4 65.

55

Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z+ − + − −2 i z 2 3i =2 5 Gọi M m lần lượt là giá trị ,

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun của z , tính 2017 2017

Câu 87: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z+ − + − −2 i z 2 3i =2 5 Gọi M m lần lượt là giá trị ,

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z+ −1 2i, tính M−m

5

− B 10− 2 C 2 10− 2 D 2 10 3 2−

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Câu 88: Cho số phức z thỏa điều kiện z+ − + − −2 i z 2 3i =2 5 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn ,

nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z+ −1 2i Tính M m

Phương trình đường thẳng : 2

2

x

AB y = + , với x ∈ −[ 2;2]

Câu 91: Gọi z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình z2+2(m+1)z+m2+ =1 0, với mlà tham

số thực Biết giá trị lớn nhất của biểu thức

z −z = Hỏi giá trị lớn nhất của z1+z2 là?

Và z2+ −1 3i = z2− −3 6i ⇔8c+6d=35 Vậy N thuộc đường thẳng : 8∆ x+6y=35

Dễ thấy đường thẳng ∆ không cắt ( )C và z1−z2 =MN

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho bộ ba điểm (I M N, , ) ta có

= thì u =1, u +2 4 = 34 Ta cần tìm P= +u 1

Sử dụng định nghĩa mô đun ta có

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( )2

1 1

=+

[ ] ( ) ( )

1;1

4 13 5 10

7 2 10Max

Chọn A

4 2

z z

2 2

Câu 102: Cho Gọi và là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

i z i

++ =

M = −z w