NW359 360 DẠNG 19 số PHỨC và PHÉP TOÁN số PHỨC GV

DẠNG TOÁN 19: CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨCI.. Các phép toán về số phức.. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm hiệu của hai số phức 2... Vậy cĩ 3 số phức thỏa ycbt... Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu

Trang 1

DẠNG TOÁN 19: CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Các phép toán về số phức.

 Định nghĩa:

Khái niệm số phức

Số phức (dạng đại số): z= +a bi Trong đó a b, Î ¡

; a là phần thực, b là phần ảo

Hai số phức bằng nhau

Cho hai số phức

z = +a bi a bÎ ¡

và

z = +c di c d Î ¡

Khi đó

1 2

ì = ïï

= Û íï =

ïî

Phép cộng số phức

Cho hai số phức

z = +a bi a bÎ ¡

và

z = +c di c d Î ¡

Khi đó

( ) ( )

1 2

z + = + + +z a c b d i

;

( ) ( )

1 2

z - z = -a c + -b d i

Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của

;

z= +a bi a bÎ ¡

là z= -a bi

Mô đun của số phức

Với

z= +a bi a bÎ ¡

ta có

2 2

BÀI TẬP MẪU

Câu 1: Cho hai số phức z= +3 i

và w= +2 3i

Số phức z w−

bằng

A 1 4i+

B 1 2i−

C 5 4i+

D 5 2i−

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm hiệu của hai số phức

2 HƯỚNG GIẢI:

B1:

3

z= +i

B2: w= +2 3i

B3: Tính tổng phần thực và phần ảo

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn B

Ta có: z= +3 i

và w= +2 3i

Do đó z w− = + − +(3 i) (2 3 ) 1 2i = − i

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1: Cho hai số phức 1

2 4

và 2

1 3

Phần ảo của số phức 1 2

z +iz

bằng

Trang 2

Lời giải Chọn D

z = − ⇒i z = + ⇒i iz =i + i = i + = − +i i

Suy ra z1+iz2 = − + − + = − −2 4i ( 3 i) 1 3i

Vậy phần ảo của số phức 1 2

z +iz

là−3

1 8

và 2

5 6

Phần ảo của số phức liên hợp 2 1

z= −z iz

bằng

Lời giải Chọn C

z = − ⇒ = + ⇒i z i iz =i + i = i + = − +i i

Suy ra z z= −2 iz1= + − − + = + ⇒ = −5 6i ( 8 i) 13 5i z 13 5i

Vậy phần ảo của số phức liên hợp 2 1

z= −z iz

là−5

2 3

và 2

6

Phần ảo của số phức 1 2

z iz= −z

bằng

A.−4i

z = + ⇒i iz =i + i = i + = − +i i

( )

2

z = ⇒i z = − ⇒ =i z iz − = − + − −z i i = − + i

Vậy phần ảo của số phức 1 2

z iz= −z

là8

1 2

và 2

2 3

Phần ảo của số phức liên hợp 1 2

Ta có

1 2

z= z - z = + i - - i = + i + - + i =- + i

Số phức liên hợp của số phức 1 2

là z=- +1 12i=- -1 12i

Vậy phần ảo của số phức liên hợpcủa số phức 1 2

là −12

5 2

và 2

3 4

Số phức liên hợpcủa số phức 1 2 1 2

2

w= + +z z z z

là

A.54 26i+

C.− −54 26i

D.54 26i−

Trang 3

Ta có 1 1

z = - iÞ z = + i

Suy ra: w= + +z1 z2 2z z1 2= + + -5 2i 3 4i+2 5 2 3 4( - i)( + i)= -8 2i+2 23 14( + i)=54 26+ i

Vậy số phức liên hợpcủa số phức 1 2 1 2

2

w= + +z z z z

là w=54 26+ i=54 26- i

Câu 6: Cho số phức z= -5 3i Phần thực của số phức

( )2 1

w= + +z z

bằng

Lời giải Chọn A

z= - iÞ z = + Þi z = + i = + i+ i = + i

Suy ra ( )2

w= + +z z = + + + +i i= + i

Vậy phần thực của số phức

( )2 1

w= + +z z

bằng 22

Câu 7: Cho hai số phức

( )3

1 4 3 1

z = - i+ - i

và 2

7

Phần thực của số phức 1 2

2

w= z z

bằng

z = - i+ - i+ i - i = - i+ - i- + = -i i

Suy ra z z1 2 = +(2 5 7i) ( + = +i) 9 37iÞ z z1 2= -9 37 i

Do đó

2 9 37 18 74

Vậy phần thực của số phức 1 2

2

w= z z

bằng 18

Câu 8: Cho số phức z

thỏa mãn

( ) ( )2

1 2+ i z=5 1+i

Tổng bình phương phần thực và phần ảo của số phức w= +z iz bằng:

Lời giải ChọnD

Ta có

2

Suy ra

(4 2) (4 2 ) 2 2

w= + = -z iz i +i + i = + i

Vậy số phức w có phần thực bằng 2, phần ảo bằng 2 Suy ra

2 2

2 + =2 8

Trang 4

thỏa mãn

(2 ) 2 1 2( ) 7 8

1

i

+

Kí hiệu a b, lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức w= + +z 1 i Tính

2 2

P=a +b

Ta có

(2 ) 2 1 2( ) 7 8 (2 ) 7 8 2 1 2( )

( ) ( )

4 7 2

4 7

i i i

-+

-

Suy ra

4

3

a

b

ì = ïï

= + + = + Þ íï =ïî ¾¾® = + =

thỏa mãn z+2.z = -6 3i Tìm phần ảo b của số phức z.

A.b=3 B.b=- 3 C.b=3i D.b=2

Lời giải ChọnA

Đặt

;

z= +a bi a bÎ ¡

, suy ra z = -a bi

Theo giả thiết, ta có

ï- =- ï =

Vậy phần ảo b của số phức zlà 3

 Mức độ 2

Câu 1:Cho số phức z= +a bi a b ; ( Î ¡ )

thỏa mãn iz=2(z- -1 i)

Tính S=ab.

Lời giải ChọnA

Đặt

;

z= +a bi a bÎ ¡

Ta có

iz= z- - i Û i a bi+ = a bi- - - i Û - + =b ai a- + - b- i

4

Câu 2: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z =10(z+z)

và z có phần ảo bằng ba lần phần thực?

Lời giải ChọnC

Trang 5

Đặt

;

z= +a bi a bÎ ¡

Từ

z z= z+z ¾¾® +a bi a bi- = éëa bi+ + -a bi ùûÛ a +b = a ( )1 Hơn nữa, số phức z có phần ảo bằng ba lần phần thực nên b=3a

( )2

Từ

( )1

và

( )2 , ta có

6 3

a

b

ïî

hoặc

0 0

a b

ì = ïï

íï = ïî

Vậy có 2 số phức cần tìm là: z= +2 6i và z=0

Câu 3: Cho số phức

;

z= +a bi a bÎ ¡

thỏa

(1+i z) +2z = +3 2 i

Tính P= +a b.

A.

1 2

P=

1 2

P

=-

Đặt

;

z= +a bi a bÎ ¡

Từ

(1+i z) +2z = + ¾¾3 2i ® +(1 i a bi)( + )+2(a bi- )= +3 2i

1

2

a

a b

b

ìïï = ï

ì - =

ïî ï =-ïïïî

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn

5z+ - = - +3 i 2 5i z

Tính

( )2

P= i z

-

A.P=144 B.P=3 2

Lờigiải ChọnC

Đặt

;

z= +a bi a bÎ ¡

Theo giả thiết, ta có

5z+ - = - +3 i 2 5i zÛ 5 a bi- + - = - +3 i 2 5i a bi+

Do đó

( )2

3i z- 1 =- 12i

Vậy

( )2

Câu 5: Cho số phức z a bi= + (a b, ∈¡ )

thỏa mãn z+ + −2 i z ( )1+ =i 0

và

1

z >

Tính P a b= +

A.P= −1

Lời giải

Trang 6

Chọn D

Đặt

;

z= +a bi a bÎ ¡

, suy ra

2 2

Ta có: z+ + −2 i z (1+ = ⇔ + + +i) 0 (a 2) (b 1)i= +z i z

( ) ( )

2 2



+ =

Từ ( )1

và( )2 suy raa b− + = ⇔ = +1 0 b a 1

Thay vào ( )1

ta được

2





Suy ra b=4

Do đó z= +3 4i

có

5 1

z = >

(thỏa điều kiện

1

z >

)

Vậy P a b= + = + =3 4 7

Câu 6: Tìm môđun của số phức z biết z− = +4 (1 i) z − +(4 3 iz)

A.

1 2

z =

2

z =

4

z =

1

z =

Ta có z− = +4 (1 i) z − +(4 3 iz) ⇔ +z 3iz= + +4 z z i− ⇔ +4i (1 3i)z= + +z 4 ( z −4 i) Suy ra (1 3i+ )z = z + +4 ( z −4 i) ( ) (2 )2

2

8 z 32

4

z

Câu 7: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện

2 2

z = z +z

?

Lời giải ChọnD

Đặt z a bi= + (a b, ∈¡ )

, suy ra

2 2 ,

z a bi z= − = a +b

Ta có

2 2

z = z +z ( )2 2 2

a bi a b a bi

⇔ + = + + − ⇔2abi b− = + −2 b2 a bi

2 2

2ab b

= −



0 1 2

b a

 =



 = −

⇔ 





• b= ⇒ =0 a 0⇒ =z 0

Trang 7

2

1

2

b a

b

 =



 = −



1 1

2 2

1 1

2 2

 = − +



⇒ 

 = − −



Vậy cĩ 3 số phức thỏa ycbt

Câu 8: Số phức z a bi= +

( với a, b là số nguyên) thỏa mãn (1 3i z− )

là số thực và

2 5 1

z− + i =

Khi đĩ a b+

là

Lời giải ChọnB

Đặt

;

z= +a bi a bỴ ¡

Ta cĩ: (1 3i z− ) = −(1 3i a bi) ( + ) = + + −a 3b (b 3a i)

Vì (1 3i z− )

là số thực nên b−3a=0⇒ =b 3a ( )1

2 5 1

z− + i = ⇔ − + −a 2 (5 b i) =1 ( ) (2 )2

Thế ( )1

vào ( )2

ta cĩ: ( ) (2 )2

a− + − a = ⇔10a2−34a+28 0=

7 ( 5

a

= ⇒ =





⇔

 =

 loại)

Vậy a b+ = + =2 6 8

Câu 9: Cho số phức z a bi= +

(a, b là các số thực ) thỏa mãn

z z + z i+ =

Tính giá trị của biểu thức

2

T a b= +

A.T =4 3 2−

B.T = +3 2 2

C.T = −3 2 2

D.T = +4 2 3

Đặt z a bi= + (a b, ∈¡ )

, suy ra

2 2

Ta cĩ z z +2z i+ = ⇔ +0 (a bi a bi) + +2(a bi+ )+ =i 0

2 0

a a b

a a b a

a a b a b a b b i



+ + + =

2

0 0

2 1

2 1 0

a a

b b

b b b

b

=



=

⇔ + + = ⇔ = − +

Trang 8

2 1 2 1

2 1

2

b b

+





Suy ra

2 3 2 2

T = + = −a b

Câu 10: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

1 3 3 2

z+ − i =

và ( )2

2

z+ i

là số thuần ảo?

Đặt z x yi= + (x y, ∈¡ )

z+ − i = ⇔ x+ + y− =

z+ i =x+ y+ i =x − +y + x y+ i

Theo giả thiết ta có ( )2

2

z+ i

là số thuần ảo nên

2

= +



Với x y= +2

thay vào

( )1

ta được phương trình

2

2y = ⇔ = ⇒ =0 y 0 x 2⇒ =z1 2

Với x= − +( y 2)

thay vào

( )1

ta được phương trình

y

é = + ê

- - = Û ê =

-ê

( ) ( )

2

3



⇒  = − + + −



Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán

 Mức độ 3

Câu 1. Tính giá trị của biểu thức ( )2020

1

A= +i

A

1010 2

A=

1010 2

A= −

1010 2

A= i

1010 2

A= − i

Ta có: ( )2

1+i =2i

Suy ra

( )2 1010 ( )1010

1010 1010 1010

A= +i  = i = i = −

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, gọi A B C, , .lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức 1

3 ,

z = − i

2 2 2 ,

z = − i z3 = − −5 i

Gọi Glà trọng tâm của tam giác ABC Hỏi G là điểm biểu diễn số phức nào trong các số phức sau:

A z= − −1 2i

B z= −2 i

C z= − −1 i

D z= −1 2i

Lời giải

Trang 9

Chọn A

Vì A(0; 3 ,− ) (B 2; 2 ,− ) (C − − ⇒5; 1) G(− −1; 2)

Câu 3. Cho các số phức

z1

,

z2

thoả mãn

z1+z2 = 3

,

z1 = z2 =1

Tính

z z1 2+z z1 2

A

z z1 2+z z1 2=0

z z1 2+z z1 2=1

C

z z1 2+z z1 2=2

z z1 2+z z1 2=- 1

Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

z1+z22= z1+z2 z1+z2 = z1+z2 z1+z2 = z12+z22+z z1 2+z z1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1

Câu 4. Kí hiệu 0

z

là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình

2 2 10 0

z + z+ =

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức 2020

0

w i= z

?

A M(3; 1− )

B M( )3;1

C M(−3;1)

D M(− −3; 1)

Ta có:

2 10 0

1 3

= − +

 + + = ⇔  = − − Suy ra z0 = − +1 3i.

2021 0

w=i z = − +i( 1 3 )i = − −3 i

Suy ra : Điểm M(− −3; 1)

biểu diễn số phức w

Câu 5. Trong tập các số phức, cho phương trình

z − z m+ = m R∈

Gọi 0

m

là một giá trị của

m

để phương trình (1)

có hai nghiệm phân biệt 1 2

,

z z

thỏa mãn 1 1 2 2

z z =z z

Hỏi trong khoảng (0;20)

có bao nhiêu giá trị 0

?

A 20

Điều kiện để phương trình ( )1

có hai nghiệm phân biệt là: ∆ = − ≠ ⇔ ≠9 m 0 m 9. Phương trình có hai nghiệm phân biệt z , 1 z thỏa mãn 2 z z1 1 =z z2 2 thì ( )1

phải có nghiệm phức Suy ra ∆ < ⇔ >0 m 9

Vậy trong khoảng (0; 20)

có 10 số m 0

Trang 10

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A là điểm biểu diễn của số phức z= +1 2i

, B là điểm thuộc đường thẳng y=2

sao cho tam giác OAB cân tại O Tìm số z biểu diễn B

A z= +1 2i

C z= +3 2 ,i z= − +3 2i

D z= − +1 2 ,i z= +1 2i

Ta có, A( ) ( )1;2 , B x; 2 , x≠1

Để ∆OAB

cân tại O khi và chỉ khi OA OB=

1

x

=



Do đó B(−1; 2)⇒ = − +z 1 2i

Câu 7. Xét các số phức z thỏa mãn

(z+2i z) ( )+2

là số thuần ảo Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A (1; 1− )

B ( )1;1

C (−1;1)

D (− −1; 1)

Gọi z x yi x y= + , ,( ∈¡ )

Điểm biểu diễn cho z là M x y( ; )

Ta có:

(z+2i z) ( )+ = + +2 (x yi 2i x yi) ( − +2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

=x x+ +y y+ +i x − y+ −xy

là số thuần ảo

⇔x x+ +y y+ =

( ) (2 )2

⇔ x+ + y+ =

Vậy tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn có tâm I(− −1; 1)

Câu 8. Gọi M N, lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z= +1 ; ' 2 3i z = + i

Tìm số phức ω

có điểm biểu diễn là Qsao cho MNuuuur+3MQuuuur r=0.

A

1

3i

ω = −

B

4 5

3 3i

ω= +

C

2 1

3 3i

ω= − −

D

2 1

3 3i

ω = +

Trang 11

Vì M( ) ( )1;1 ,N 2;3

Gọi Q x( ); y

Ta có MNuuuur=( )1; 2 ;MQuuuur= −(x 1; y 1− ⇒) 3MQuuuur=(3x−3;3y−3)

Ta có hệ phương trình

2

3

x x

y

 =





Câu 9. Cho số phức z a bi= +

, (a b, ∈¡ )

thỏa mãn

1 1

z

z i− =

−

và

3 1

z i

+

Tính P a b= +

A. P=7

Ta có

1 1

z

z i− =

− ⇔ − = −z 1 z i ⇔ − +a 1 bi = + −a (b 1)i ⇔2a−2b=0

(1)

3 1

z i

+ ⇔ − = +z 3i z i ⇔ + −a (b 3)i = + +a (b 1)i ⇔ =b 1

(2)

Từ (1) và (2) ta có

1 1

a b

=



 =

 Vậy P=2

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (2- i)(1+ + = -i) z 4 2i

.Tính môđun của z?

A

z = 12- 32

z = 12+32

.

C

z = 12+3i2

z = 12- 3i2

(2- i)(1+ + = -i) z 4 2 Ûi z= -(4 2i) (- 2- i)(1+ = -i) 1 3i

 Mức độ 4

Câu 1. Xét các số phức zthỏa mãn

2

z =

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn của

các số phức

4 w 1

iz z

+

= +

là một đường tròn có bán kính bằng

Ta có

4

1

iz

z

+

Trang 12

Đặt w= +x yi x y( , ∈¡ )

2 x y 2y 1 x 8x 16 y

( ) (2 )2

Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường tròn có bán kính bằng 34

Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn

z+ =3 5

và

z- 2i = - -z 2 2i

Tính

z

A

z = 5

z = 2

Đặt

, ,

z= +a bi a bÎ R

Ta có:

Û + 2+ 2=

g

z- 2i = - -z 2 2i Û a bi+ - 2i = + - -a bi 2 2i

g

a

-é - = ê Û

ê - =-ë

2 2 2 1

Thế a=1

vào (*) ta được 16+b2=25Þ b2=9Þ z = 12+ =9 10

Câu 3. Cho số phức z có phần ảo gấp hai phần thực và

z+ =1 2 5

5 Khi đó mô đun của z là:

5 5

Đặt

z= +a bi

với aÎ ¢,bÎ ¡

Do z có phần ảo gấp hai phần thực nên b= 2a

( ) ( )

z+ =1 2 5Û a+2ai+ =1 2 5Û a+12 + 2a 2=4

Û 5 2+2 + = Û1 4 =- 1Þ = - 2

Trang 13

Do đó

z= - 1 2- iÞ z = 5

Câu 4. Cho số phức z có phần ảo khác 0 thỏa mãn

( )

z- 2+ =i 10

và z z. = 25

Tìm mô đun của

số phức w= + -1 i z

A.

Đặt

( , )

z= +a bi aÎ ¡ b¹ 0

Ta có:

( )( )

a bi a bi

z z

ïî

25 25

r

;

ïî

2 2

3 4

25 25

( )

Þ = + -1 = + -1 3 4+ =- -2 3 Þ = 13

i m z

-=

và

z z=2

-2 trong đó i là đơn vị ảo

A m=0;m=1

B m=- 1

D "m

Phân tích: Vì z đang còn rất phức tạp, đặc biệt là dưới mẫu do đó chúng ta nghĩ ra việc làm

đơn giản nó về dạng chuẩn z= +a bi a b( , Î ¡ )

sau đó tìm được z và thay vào biểu thức z z.

Ta có

z

Như vậy:

m

-+

2

2 2

2

2 1

m

é = ê

ê = ë

1

Trang 14

Câu 6. Cho số phức z thỏa điều kiện

( )

z2+ =4 z z+2i

Giá trị nhỏ nhất của

z+i

bằng

Lời giải Chọn B.

Giã sử

( , )

z= +x yi x yÎ ¡

z2+ =4 z z+2i Û z2- 2i 2 = z z+2i Û z- 2i z+2i = z z+2i

( ) ( )

z i

z i z

é + = ê

Û ê - =ë 22 0 21

(1) Û z=- 2i

Suy ra

z i+ = - 2i i+ = - =i 1

(2)

( )

Û + - 2 = + Û 2+ - 22= 2+ 2 Û 2+ 2- 4 + =4 2+ 2

y

Suy ra

( )

z+ = -i x yi+ =i x2+ -1 y 2= x2 ³ 0

," Î ¡x

Vậy giá trị nhỏ nhất của

z+i

bằng 0

Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức

z+ =i z- i+

Tìm các điểm M biểu diễn số phức

z

để MA ngắn nhất, với

;

Aæ öç ÷

÷

çè ø134

A

;

Mæç-ç - ÷ö÷

÷

5 1 4

B

;

Mæçç - ÷ö÷

÷

çè ø

9 0 8

C

;

Mæç- ö÷

÷

9 0 4

D

Mæç ö÷

20 20

Gọi z x yi= +

( )

2z i+ = 2z− + ⇔3 1i 4x+8y+ =9 0 d

, đường thẳng đi qua A vuông góc với d có pt:

8x−4y− =5 0.

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

 − − =



1 23

20 20

w= + + + +i i + +i + + +i

bằng:

A

1010

1 2−

1010 2

−

C

1010 2

D.1

Lời giải

Trang 15

Chọn A

Số phức wlà tổng của 2021 số hạng một cấp số nhân với

;

u1=1q= +1 i

( )

( ) ( )

( )

-1010

2021

1010 1

2020

2

= + -1 21010 4252 2= + -1 21010 - = - 1+ 21010=- 21010+ -1 21010

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn

z+ + − =z

Trong mặt phẳng phức, tập hợp những điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

A

( ): 2 2 1

16 12

( ): 2 2 1

12 16

C ( ) ( ) (2 )2

C x+ + −y =

Gọi M x y( );

, 1

( 2;0)

, 2

(2;0)

F

z+ + − = ⇔z x+ +y + x− +y = ⇔MF1+MF2 =8

Do đó điểm M x y( );

nằm trên elip ( )E

có 2a= ⇔ =8 a 4,

ta có

Ta có

2 2 2 16 4 12

b =a − = − =c

Vậy tập hợp các điểm M là elip ( ): 2 2 1

16 12

Câu 10 Cho các số phức 1

z

, 2

z

, 3

z

thỏa mãn 2 điều kiện 1 2 3

2017

và 1 2 3

0

z + + ≠z z

Tính

1 2 2 3 3 1

1 2 3

P

=

+ +

A P=2017.

B P=1008,5.

C

2

2017

P=

D P=6051.

2 1

2

2 2

3 3

2017 2017

2017

z z

z

z z



 =



Trang 16

Ta có

2

2 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1

P

2

1 2 3

2017 2017 2017 2017 2017 2017

2017

2017 2017 2017

z z z

2017

P

⇒ =

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	907,46 KB