NW359 360 DẠNG 19 số PHỨC và PHÉP TOÁN số PHỨC GV

Các phép toán về số phức.. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm hiệu của hai số phức 2.. DẠNG TOÁN 19: CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC... Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.. Hỏi G là điểm biểu diễ

Trang 1

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Các phép toán về số phức.

 Định nghĩa:

Khái niệm số phức

Số phức (dạng đại số): z= +a bi Trong đó , a b ��; a là phần thực, b là phần ảo

Hai số phức bằng nhau

Cho hai số phức z1= +a bi a b ; ( ��)

và z2= +c di c d ; ( ��)

Khi đó 1 2

� =

�

= � �� =

Phép cộng số phức

Cho hai số phức z1= +a bi a b ; ( ��)

và z2= +c di c d ; ( ��)

Khi đóz1+ = + + +z2 (a c) (b d i) ; z1- z2= -(a c) (+ -b d i)

Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của z= +a bi a b ; ( ��) là z= -a bi.

Mô đun của số phức

Với z= +a bi a b( , ��)

ta có z = a2+b2

BÀI TẬP MẪU Câu 1: Cho hai số phức z 3 i và w 2 3i Số phức z w bằng

A 1 4i B 1 2i C 5 4i D 5 2i

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm hiệu của hai số phức

2 HƯỚNG GIẢI:

B1:z 3 i

B2: w 2 3i

B3: Tính tổng phần thực và phần ảo

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn B

Ta có: z 3 i và w 2 3i Do đó z w    (3 i) (2 3 ) 1 2i   i

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1: Cho hai số phức z1  và 2 4i z2   Phần ảo của số phức 1 3 i z1iz2bằng

Lời giải Chọn D

z   i�z   i�iz i  i  i    i i

Suy ra z1iz2        2 4i  3 i 1 3i.

Vậy phần ảo của số phức z1iz2 là3.

DẠNG TOÁN 19: CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC

Trang 2

Câu 2: Cho hai số phức z1  và 1 8i z2   Phần ảo của số phức liên hợp 5 6 i z z2 iz1bằng

Lời giải Chọn C

z   i�z   i�iz i  i  i    i i

Suy ra z z 2 iz1      5 6i  8 i 13 5i�z 13 5i.

Vậy phần ảo của số phức liên hợp z z2 iz1 là5.

Câu 3: Cho hai số phức z1   và 2 3i z2 6 i Phần ảo của số phứcz iz 1z2bằng

z   i�iz i  i  i    i i

 

2

z  i�z   i�z iz      z i i    i

Vậy phần ảo của số phứcz iz 1z2 là8.

Câu 4: Cho hai số phức z1= + và 1 2i z2 = -2 3i Phần ảo của số phức liên hợpz=3z1- 2z2.

Ta có z=3z1- 2z2=3 1 2( + i)- 2 2 3( - i) (= +3 6i) (+ - +4 6i)=- +1 12 i

Số phức liên hợp của số phức z=3z1- 2z2là z=- +1 12i=- -1 12i.

Vậy phần ảo của số phức liên hợpcủa số phức z=3z1- 2z2là 12.

Câu 5: Cho hai số phức z1= -5 2i và z2 = -3 4i Số phức liên hợpcủa số phứcw= + +z1 z2 2z z1 2 là

A.54 26i . B.54 30i . C. 54 26i. D.54 26i .

Ta cóz1= -5 2i� = +z1 5 2i; z2= -3 4i�z2 = +3 4i.

Suy ra: w= + +z1 z2 2z z1 2= + + -5 2i 3 4i+2 5 2 3 4( - i)( + i)= -8 2i+2 23 14( + i)=54 26+ i

Vậy số phức liên hợpcủa số phứcw= + +z1 z2 2z z1 2 là w=54 26+ i=54 26- i.

Câu 6: Cho số phức z= -5 3i Phần thực của số phức ( )2

1

w= + +z z

bằng

Lời giải Chọn A

z= - i� = + �z i z = + i = + i+ i = + i.

Suy ra ( )2

w= + +z z = + + + +i i= + i

Vậy phần thực của số phức ( )2

1

w= + +z z

bằng 22

Trang 3

Câu 7: Cho hai số phức ( )3

z = - i+ - i và z2= + Phần thực của số phức 7 i w=2z z1 2 bằng

z = - i+ - i+ i - i = - i+ - i- + = -i i

Suy ra z z1 2 = +(2 5 7i) ( + = +i) 9 37i�z z1 2= -9 37 i

Do đó w=2 9 37( - i)= -18 74i.

Vậy phần thực của số phức w=2z z1 2 bằng 18.

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn ( ) ( )2

1 2+ i z=5 1+i Tổng bình phương phần thực và phần ảo của số

phức w= +z iz bằng:

Lời giải ChọnD

2

Suy ra w= + = -z iz (4 2i)+i(4 2+ i)= +2 2i

Vậy số phức w có phần thực bằng 2, phần ảo bằng 2 Suy ra 22+ = 22 8

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn (2 ) 2 1 2( ) 7 8

1

i

+

+ Kí hiệu , a b lần lượt là phần thực và

phần ảo của số phức w= + +z 1 i Tính P=a2+b2.

Ta có (2 ) 2 1 2( ) 7 8 (2 ) 7 8 2 1 2( )

( ) ( )

4 7 2

4 7

i

-+

Suy ra

4

3

a

b

� =

�

� =

�

Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z+2.z = -6 3i Tìm phần ảo b của số phức z

A.b=3 B.b=- 3 C.b=3i D.b=2

Lời giải ChọnA

Đặt z= +a bi a b ; ( ��)

, suy ra z = -a bi.

Theo giả thiết, ta có

�- =- �=

Vậy phần ảo b của số phức zlà 3

 Mức độ 2

Trang 4

Câu 1: Cho số phức z= +a bi a b ; ( ��)

thỏa mãn iz=2(z- -1 i)

Tính S=ab.

A.S=- 4 B.S=4 C.S=2. D.S=- 2.

Lời giải ChọnA

Đặt z= +a bi a b ; ( ��) , suy ra z = -a bi.

Ta có iz=2(z- -1 i) �i a bi( + )=2(a bi- - -1 i)� - + =b ai 2a- + -2 ( 2b- 2)i

4

Câu 2: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z =10(z+z)

và z có phần ảo bằng ba lần phần thực?

Lời giải ChọnC

Đặt z= +a bi a b ; ( ��) , suy ra z = -a bi.

Từ z z =10(z+z)�� +(a bi a bi) ( - )=10��(a bi+ ) (+ -a bi)��a2+b2=20 a ( )1 Hơn nữa, số phức z có phần ảo bằng ba lần phần thực nên b=3a ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , ta có

6 3

a

b

0 0

a b

� =

�

� =

Vậy có 2 số phức cần tìm là: z= +2 6i và z=0

Câu 3: Cho số phức z= +a bi a b ; ( ��)

thỏa (1+i z) +2z = +3 2 i

Tính P= +a b.

A.

1 2

P=

1 2

P

=-

Đặt z= +a bi a b ; ( ��)

, suy ra z = -a bi

Từ (1+i z) +2z = + ��3 2i � +(1 i a bi)( + )+2(a bi- )= +3 2i

1

2

a

a b

b

�

� =

�

�- =

�

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn 5z+ - = - +3 i ( 2 5i z)

Tính ( )2

P= i z

-

A.P=144 B.P=3 2. C.P=12. D.P=0.

Lờigiải ChọnC

Đặt z= +a bi a b ; ( ��) , suy ra z = -a bi.

Theo giả thiết, ta có 5z+ - = - +3 i ( 2 5i z) �5(a bi- )+ - = - +3 i ( 2 5i a bi)( + )

Trang 5

Do đó ( )2

3i z- 1 =- 12i Vậy ( )2

Câu 5: Cho số phức z a bi  a b, �� thỏa mãn z  2 i z  1 i 0 và z 1 Tính P a b  .

A.P 1. B.P 5. C.P3. D.P7.

Đặt z= +a bi a b ; ( ��)

, suy ra z = a2+b2

Ta có: z  2 i z 1 i 0�a  2 b 1i z i z

 

2 2

�

 

Từ  1 và 2 suy raa b  1 0�b a 1 Thay vào  1 ta được

2

�

Do đó z 3 4i có z  5 1 (thỏa điều kiện z 1).

Vậy P a b    3 4 7.

Câu 6: Tìm môđun của số phức z biết z  4 1 i z  4 3 iz

A.

1 2

z 

Ta có z  4 1 i z  4 3 iz �z3iz  4 z z i4i�1 3i z  z 4  z 4 i

Suy ra 1 3i z  z  4  z 4 i   2 2

10 z  z 4  z 4

�

2

10 z  z 4  z 4

8 z 32

� � z2 4 � z 2

Câu 7: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện

2 2

z  z z?

Lời giải ChọnD

Đặt z a bi  a b, �� , suy ra z a bi z  ,  a2b2 .

Ta có

2 2

z  z z  2 2 2

a bi a   b a bi

2 2

2ab b

 

�

� �

  

0 1 2

b a

��

��

�� 

� ��

�

�  

�

 b0�a0�z0.

Trang 6

2

1

2

b a

b

�

�

  �    � �

� 

�

1 1

2 2

1 1

2 2

�  

�

� �

�  

Vậy cĩ 3 số phức thỏa ycbt

Câu 8: Số phức z a bi   ( với a , b là số nguyên) thỏa mãn 1 3i z  là số thực và z 2 5i 1

Khi đĩ a b là

Lời giải ChọnB

Đặt z= +a bi a b ; ( ��)

Ta cĩ: 1 3i z   1 3i a bi       a 3b b 3a i .

Vì 1 3i z  là số thực nên b3a0 �b3a  1

2 5 1

z  i  � a  2 5 b i 1   2 2

a  b 

Thế  1

vào  2

ta cĩ:   2 2

a   a  �10a234a28 0

7 ( 5

a

�

� 

� loại) . Vậy a b    2 6 8

Câu 9: Cho số phức z a bi  (a, b là các số thực ) thỏa mãn z z 2z i 0 Tính giá trị của biểu

thức T a b  2

A.T 4 3 2 B.T  3 2 2. C.T  3 2 2. D.T  4 2 3.

Đặt z a bi  a b, ��, suy ra z  a2b2 .

Ta cĩ z z 2z i 0�a bi a bi   2a bi  i 0

a a  b a b a b i bi i  a a  b a b a b i bi i 

2 0

�

   

2

0 0

2 1

2 1 0

a a

b b

b



�



� ��    � �  � 

2 1

2

b b



� � �� � 

Suy ra T  a b2  3 2 2.

Câu 10: Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 1 3i 3 2 và  2

2

z i là số thuần ảo?

Trang 7

A.1 B.2 C.3 D.4.

Đặt z x yi  x y, �� Khi đó   2 2  

z i ��x y i��x  y  x y i

Theo giả thiết ta có  2

2

z i là số thuần ảo nên 2  2  2 

2

 

�

Với x y  thay vào 2 ( )1

ta được phương trình 2y2 0� y0�x2�z1 2.

Với x   y 2 thay vào ( )1

ta được phương trình

y

�= +

�

- - = � �=

-�

2

3

�     

�

�     

Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán

 Mức độ 3

Câu 1. Tính giá trị của biểu thức  2020

1

A i

A A21010. B A 21010. C A21010i. D A 21010i.

Ta có:  2

1i 2i Suy ra  2 1010  1010 1010 1010 1010

A��i ��  i  i  

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, gọi A B C, , .lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1  3 ,i

2 2 2 ,

z   i z3    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Hỏi G là điểm biểu diễn số5 i

phức nào trong các số phức sau:

A z   1 2i B z  2 i C z   1 i D z  1 2i

Vì A0; 3 ,  B 2; 2 ,  C  5; 1 �G 1; 2

Câu 3. Cho các số phức z1, z2 thoả mãn z1+z2 = 3, z1 = z2 =1 Tính z z1 2+z z1 2.

A z z1 2+z z1 2=0. B z z1 2+z z1 2=1 .

C z z1 2+z z1 2=2. D z z1 2+z z1 2=- 1

Ta có z1+z22=(z1+z2) (z1+z2) =(z1+z2) (z1+z2)= z12+z22+z z1 2+z z1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1

Trang 8

Câu 4. Kí hiệu z là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình0

2 2 10 0

z  z  Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức

2020 0

w i z ?

A M3; 1 . B M 3;1

C M3;1. D M 3; 1.

Ta có:

2 10 0

1 3

  

�

   � �  � Suy ra z0    1 3i

2021 0

wi z   i( 1 3 )i   3 i Suy ra : Điểm M 3; 1 biểu diễn số phức w

Câu 5. Trong tập các số phức, cho phương trình z26z m 0,m R� (1) Gọi m là một giá trị của0

m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z z thỏa mãn 1, 2 z z1 1z z2 2 Hỏi trong khoảng 0;20 có bao nhiêu giá trị m0� ?

Điều kiện để phương trình  1

có hai nghiệm phân biệt là: �۹9 m 0 m 9. Phương trình có hai nghiệm phân biệt z , 1 z thỏa mãn 2 z z1 1 z z2 2 thì  1

phải có nghiệm phức Suy ra  0�m9

Vậy trong khoảng 0; 20

có 10 số m 0

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A là điểm biểu diễn của số phức z  , B là điểm thuộc1 2i

đường thẳng y2 sao cho tam giác OAB cân tại O Tìm số z biểu diễn B

A z  1 2i B z   1 2i

C z 3 2 ,i z  3 2i. D z  1 2 ,i z 1 2i.

Ta có, A   1; 2 , B x; 2 , x�1

Để OAB cân tại O khi và chỉ khi OA OB

1

x



�

Do đó B1;2�z  1 2i

Câu 7. Xét các số phức z thỏa mãn z2i z  2

là số thuần ảo Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A 1; 1  . B .  1;1

C 1;1 . D  1; 1.

Gọi z x yi x y  , , ��

Điểm biểu diễn cho z là M x y ; 

Trang 9

Ta có: z2i z     2 x yi 2i x yi   2

x x y y i x��  y xy��

là số thuần ảo

  2   2 0

Vậy tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn có tâm I 1; 1

Câu 8. Gọi M N, lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z 1 ; ' 2 3i z   i Tìm số phức  có

điểm biểu diễn là Qsao cho MNuuuur3MQuuuur r0.

A

1

3i

  

B

4 5

3 3i

 

C

2 1

3 3i

  

D

2 1

3 3i

  

Vì M   1;1 ,N 2;3

Gọi Q x ; y

Ta có MNuuuur 1; 2 ;MQuuuur x 1; y 1  �3MQuuuur3x3;3y3

Ta có hệ phương trình

2

3

x x

y

� 

�

  

�

Câu 9. Cho số phức z a bi  , a b, ��thỏa mãn

1 1

z

z i 

 và

3 1

z i

 Tính P a b  .

A. P7. B P 1 C P1 D P2

Ta có

1 1

z

z i 

 � z  1 z i � a 1 bi   a b 1i �2a2b0(1).

3 1

z i

 � z  3i z i � a b 3i   a b 1i �b1 (2).

Từ (1) và (2) ta có

1 1

a b



�

� 

� Vậy P2.

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (2- i)(1+ + = -i) z 4 2i

.Tính môđun của z?

A z = 12- 32. B z = 12+32.

C z = 12+3i2 . D z = 12- 3i2 .

(2- i)(1+ + = -i) z 4 2 �i z= -(4 2i) (- 2- i)(1+ = -i) 1 3i

 Mức độ 4

Trang 10

Câu 1. Xét các số phức zthỏa mãn z  2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn của

các số phức

4 w 1

iz z





 là một đường tròn có bán kính bằng

1

iz

z



Đặt w x yi x y , ��

2 x  y 1  x4 y � 2x2y22y 1 x28x 16 y2

x y  x y  x  y 

Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường tròn có bán kính bằng 34

Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn z+ =3 5

và z- 2i = - -z 2 2i

Tính z

A z = 5. B z = 5. C z = 2. D z = 10.

Đặt z= +a bi a b,( , �R ).

Ta có:

+ = � + + =

� + 2+ 2=

g

z- 2i = - -z 2 2i � + -a bi 2i = + - -a bi 2 2i

g

a

-�- =

�

�-

=-�

� =

2 2 2 1

Thế a =1vào (*) ta được 16+b2=25�b2=9� z = 12+ =9 10.

Câu 3. Cho số phức z có phần ảo gấp hai phần thực và z+ =1 2 5

5 Khi đó mô đun của z là:

5

Đặt z= +a bi với a��,b�� Do z có phần ảo gấp hai phần thực nên b= 2a.

z+ =1 2 5� +a 2ai+ =1 2 5� a+12 + 2a 2=4

�5 2+2 + = � =-1 4 1� =- 2

Trang 11

Do đó z= - 1 2- i� z = 5

Câu 4. Cho số phức z có phần ảo khác 0 thỏa mãn z- (2+ =i) 10

và z z= 25 Tìm mô đun của

số phức w= + -1 i z

A.w = 13. B w = 5. C w = 29. D w = 17.

Đặt z= +a bi a( ι �,b 0)

Ta có:

a bi a bi

z z

�

25 25

r

;

�

3 4

25 25

� = + -1 = + -1 3 4+ =- -2 3 � = 13.

Câu 5. Tìm tất cả các số thực m biết ( )

i m z

-=

m

z z

-=2

2 trong đó i là đơn vị ảo.

A m=0;m=1 B m=- 1. C m=0;m=- 1. D " m

Phân tích: Vì z đang còn rất phức tạp, đặc biệt là dưới mẫu do đó chúng ta nghĩ ra việc làm

đơn giản nó về dạng chuẩn z= +a bi a b( , ��) sau đó tìm được z và thay vào biểu thức z z

Ta có

z

Như vậy:

m

-+

2

2 2 1

m

� =

�

� =

�

1

Câu 6. Cho số phức z thỏa điều kiện z2+ =4 z z( +2i)

Giá trị nhỏ nhất của z+i

bằng

Lời giải Chọn B.

Giã sử z= +x yi x y( , ��)

Trang 12

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

z2+ =4 z z+2i � z2- 2i 2 = z z+2i � z- 2i z+2i = z z+2i

( ) ( )

z i

�+ =

�

� �- =� 22 0 21

(1) � =- 2 Suy ra z i z i + = - 2i i+ = - =i 1

(2)� + -x yi 2i = +x yi � x2+ -(y 2)2= x2+y2 �x2+y2- 4y+ =4 x2+y2

y

� =1 Suy ra z+ = -i x yi+ =i x2+ -(1 y)2= x2 �0

, x" ��

Vậy giá trị nhỏ nhất của z+i bằng 0.

Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức 2z+ =i 2z- 3i+1

Tìm các điểm M biểu diễn số phức

z để MA ngắn nhất, với

;

A� ��

� �

�

� �

3 1

4 .

A

;

M��- - ��

�

�1 45�

B

;

M��- ��

�

�0 89�

C

;

M��- ��

�

�49 0�

D

�201 2320�

Gọi z x yi 

 

2z i  2z 3 1i �4x8y 9 0 d

, đường thẳng đi qua A vuông góc với d có pt:

8x4y 5 0.

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

�

�   

�

1 23

20 20

Câu 8. Phần ảo của số phức      2 3  2020

A 1 2 1010. B 21010

Số phức w là tổng của 2021 số hạng một cấp số nhân với u1=1;q= +1 i.

( )

( ) ( )

( )

-1010

2021

1010 1

2020

2

= + -1 21010 4252 2= + -1 21010 - = - 1+ 21010=- 21010+ -1 21010

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn z   2 z 2 8 Trong mặt phẳng phức, tập hợp những điểm M

biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

A  : 2 2 1

16 12

12 16

C     2 2

C x  y 

Lời giải

Trang 13

Chọn A

Gọi M x y ; 

, F1( 2;0) , F2(2;0).

z   z � x y  x y  �MF1MF2 8.

Do đó điểm M x y ;  nằm trên elip  E có 2a8� a4, ta có

F F  c�  c�c Ta có b2 a2   c2 16 4 12. Vậy tập hợp các điểm M là elip

 : 2 2 1

16 12

Câu 10 Cho các số phức z , 1 z , 2 z thỏa mãn 2 điều kiện 3 z1  z2  z3 2017 và z1  �z2 z3 0

Tính

1 2 2 3 3 1

P



 

A P2017. B P 1008,5. C P 2017 2 D P6051

2 1

2

2 2

3 3

2017 2017

2017

z z

z

z z

�



�

� 

�

Ta có

2

2 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1

P

2

2017 2017 2017 2017 2017 2017

2017

2017 2017 2017

2017

P

�

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	907,46 KB