có đáy ABCD là hình chữ nhật.. Biết tam giácSAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, AD a= 2.. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD.. Gọi M là trung điểm
Trang 1Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
Họ và tên học sinh:………
Số báo danh: ………
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
Môn: Toán – Lớp 11 – Tự luận Thời gian làm bài: 90 phút (8 câu)
Ban: A – B
Học sinh viết câu này vào giấy làm bài: “Đề thi dành cho các lớp 11CT, 11CL, 11CH, 11CS, 11CTi, 11A, 11B”
Câu 1: (1 điểm) Tính
2
1
x
→
Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
( )
2
(khi 1) 1
(khi 1)
x
liên tục trên ¡
Câu 3: (1 điểm) Chứng minh phương trình x4 +x3 +mx2 +x m(2 − +1) msin( )πx =1
có nghiệm với mọi tham số m.
Câu 4: (1 điểm) Giải bất phương trình
( x2 −5x+2) ( x2 +3x − ≥2) 0
Câu 5: (1 điểm) Tính đạo hàm các hàm số sau:
a
( ) 2 3 1
1
f x
x
=
−
b f x( ) = sinx x+ 2
Câu 6: (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 3 2 2
y x= − x +
biết tiếp
tuyến song song đường thẳng
d y= x+
Câu 7: (1 điểm) Cho hàm số 1
x y
x
= +
Chứng minh:
a 2x y3 ′ − y x3( +2) =0
b 2x y3 ′′+3y x′( 2 − y2) − y3 =0
Trang 2Câu 8: (3 điểm) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật Biết tam giác
SAB
đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, AD a= 2.
Gọi H
là trung điểm AB.
a Chứng minh SH ⊥( ABCD)
b Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD)
c Gọi M
là trung điểm của SC Tính khoảng cách giữa các đường thẳng HC và
MD
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
1
Tính
2
1
lim
x
→
− +
− +
1
2
1
2 1
lim
( 1) 2 3 lim
x
x
→
→
=
Chú ý: nếu chỉ đúng tử số hay mẫu số thì cho 0.25
0.5
2 1
lim
x
x
→
−
=
0.25
1
8
2
Định m để hàm số
( )
2
(khi 1) 1
(khi 1)
x
liên tục trên ¡
1
(1) m
lim ( ) lim
0.25
2
lim ( ) lim
1
f x
x
+ + − −
=
−
0.25
Trang 32 2
2 1
2 2 2 1
lim
1 2
7 3
1
x
x
x
x
+
+
→
→
+ + − − −
=
−
+ + +
1
2 1
4
x
x
x
+
+
→
→
+
f x = ∀ ∈ −∞m x
nên f x( )
liên tục tại mọi x0 ∈ −∞( ;1)
1;
1
x
+ + − −
−
nên f x( )
liên tục tại mọi x0 ∈ +∞(1; )
0.25
( )
f x
liên tục trên ¡ khi và chỉ khi f x( ) liên tục tại x=1
lim ( ) lim ( ) (1)
7 m
4
⇔ = −
Nếu học sinh không lập luận ý liên tục trên 2 khoảng (−∞ ;1)
và (1; +∞)
mà làm đúng liên tục tại x=1
thì cho tối đa 0.75
0.25
3
Chứng minh phương trình x4+ +x3 mx2 +x m(2 − +1) msin( )πx =1
có nghiệm với mọi m
1
Cách 1:
π π
0.25
;
Ta có: f x( )
liên tục trên ¡
0.25
( )1 3
( )1
f − = −m
0.25
Trang 4( ) ( )1 1 3 2 0
Suy ra phương trình luôn có nghiệm
0.25
Cách 2:
π π
0.25
Đặt
;
Ta có: f x( )
liên tục trên ¡
0.25
( )0 1
( )2 9
0.25
( ) ( )0 2 9 0
⇒ − = − <
Suy ra phương trình luôn có nghiệm
0.25
4
Giải bất phương trình
( x2 −3x+2) ( x2 +3x − ≥2) 0
1
Cách 1:
Đặt
f x = x − x+ x + x−
Tập xác định: D= −∞ − ∪( ; 3] [0; +∞)
( )
f x
liên tục trên (−∞ − ; 3]
và [0; +∞)
0.25
Kết luận: x≤ − ∨ ≥ ∨ =4 x 2 x 1
Cách 2:
0.25
Trang 51 2 1 2
≤ − ∨ ≥ − ≤ ≤ − ∨ ≤ ≤
0.5
⇔ ≤ − ∨ = ∨ ≥
Học sinh giải đúng mỗi hệ cho 0,25, giao nghiệm được 0,25
Học sinh giải đúng 2 bất phương trình bậc 2 cho thêm 0,25 (tổng điểm
là 0.5)
0.25
5a Tính đạo hàm các hàm số sau:
a
( ) x2 3x1 1
f x
x
− +
=
−
0.5
1
f x
x
− +
′ =
−
Chú ý: học sinh không cần thu gọn vẫn cho đủ điểm
0.5
5b
2 sin
f x
x x
+
′ =
+
0.5
6
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 3 2 2
biết tiếp tuyến song song đường thẳng
: 9 7
1
Ta có:
2
Gọi 0
x
là hoành độ tiếp điểm, Tiếp tuyến song song d ⇒ y x′( )0 = 9
Chú ý: nếu học sinh ghi dấu “⇔” thì tha không trừ điểm ở đây
0.25
2
x = −
: Phương trình tiếp tuyến là: y=9x+7 (loại)
x =
: Phương trình tiếp tuyến là: y=9x−25 (nhận)
Chú ý: nếu học sinh không loại thì tối đa là 0.75
0.25
7.a
Cho hàm số 1
x y
x
= +
Chứng minh: 2x y3 ′ − y x3( +2) =0
0.5
1 1
2
x x
y
+
;
0.25
Trang 6( ) ( ) ( )3 ( )
+
0.25
7.b
Chứng minh: 2x y3 ′′+3y x′( 2− y2) − y3 =0 0.5
′ − + =
Chú ý: Nếu học sinh tính tiếp y′′ và đúng thì cho 0.25
0.25
′′ ′
′′ ′
′′ ′
′′ ′
0.25
8a.
Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật Biết tam giác
SAB
đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy,
2
AD a=
Gọi H
là trung điểm AB. Chứng minh SH ⊥( ABCD)
1
SAB
∆
Ta có:
SAB ABCD SAB ABCD AB
SH ABCD
SH AB
SH SAB
⊥
⊥
0.5
8b.
Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) 1
Ta có: HC là hình chiếu của SC lên (ABCD)
·
(SC ABCD, ) (SC HC· ; ) SCH·
(vì
SCH <
)
0.25
Trang 7Ta có:
2
a
3 2
a
tan
3
SH SCH
HC
30
SCH
0.25
8c
Gọi M
là trung điểm của SC Tính khoảng cách giữa các đường thẳng
HC
và MD
1
Dựng DF CH/ / , F∈AB
Dựng ME SH/ / , E CH∈
Ta có: CH/ /(MDF)
, MD⊂(MDF)
Chú ý: Học sinh dựng mặt phẳng và chuyển khoảng cách giữa 2
đường thẳng thành khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cho 0.25.
0.25
Dựng EG⊥FD
tại G , EK ⊥MG
Trang 8Ta có: DF⊥EG
, DF ⊥ME ⇒DF ⊥(MEG) ⇒DF ⊥EK
Ta có: EK ⊥DF EK, ⊥MG⇒EK ⊥(MDF)
Chú ý: Học sinh dựng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cho 0.25.
Ta có:
3 2
a
,
2 2 3
CDFH
EG
DF
0.25
Ta có:
155
0.25
