Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 và Đáp án

Trường THCS Tam Phước ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆNMôn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian phát đề Câu 1: 5điểm Rút gọn biểu thức: a.. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đườ

Trường THCS Tam Phước ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

(không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (5điểm) Rút gọn biểu thức:

a 2 ( a 1 ) 2

1 a

1

1

A







100

1 99

1 1

4

1 3

1 1 3

1 2

1 1 2

1 1

1 1

Câu 2: (4điểm) Cho x x 2 2005 y y 2 2005 2005







a Chứng minh y  y 2  2005    x  x 2  2005 

; (2điểm)

b Tính S = x + y (2điểm)

Câu 3: (3điểm) Giải phương trình 3  2 x  3  x

Câu 4: (3,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của

1 b

b 1 a

a







 với a > 1, b > 1

Câu 5: (4,5điểm)

Cho đường tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại

C cắt AB ở E Chứng minh rằng: Các tam giác KBC và OBE đồng dạng

ĐÁP ÁN

Câu1: a/

đ) 0)

a vì đ)

đ) (

đ) đ)

đ)

5 , 0 ( (

) 1 a ( a

1 a a 25 , 0 ( )

1

a

(

a

1 a

a

5 , 0 ( ) 1 a ( a

) 1 a a 25

, 0 ( )

1 a ( a

) 1 a ( ) 1 a (

a

a

5 , 0 ( )

1 a ( a

) 1 a ( ) 1 1 a a

(

a

5 , 0 ( )

1 a ( a

a ) 1 a ( ) 1 a ( a ) 1 a (

1 a

1

1

A

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

4

2 2

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2





















































































b/ Từ câu a suy ra

đ) đ)

:

đó

Do

đ)

1 ( 99 , 99 100

1 100 100

1 99

1

4

1 3

1 3

1 2

1 2

1

1

1

99

1 ( 100

1 99

1 1

4

1 3

1 1 3

1 2

1 1 2

1

1

1

1

B

5 , 0 ( 1 a

1 a

1 1 ) 1 a ( a

1 a a ) 1 a

(

1

a

1

1

2 2 2







































































































































Câu 2 :

a/ Ta thấy: x x 2 2005 x 2 2005 x 2005 ( 1 ) ( 0 , 5 đ)







Ta cĩ: x x 2 2005 y y 2 2005 2005 ( 2 ) ( 0 , 5 đ)







Từ (1) và (2) suy ra: y y 2 2005 x x 2 2005 ( 0 , 5 đ)











b/ Tương tự x x 2 2005 y y 2 2005 ( 3 ) ( 1 đ)











Cộng từng vế của (2) và (3), ta cĩ:

đ) đ)

đ) 25

, 0 ( 0 y x

S

:

ra

Suy

25 , 0 ( 0 y x 0

y)

(x

2

1 ( 2005 y

2005 x

) y x ( 2005 x

x 2005

y











































Câu 3: ĐKXĐ: 2x – 3  0 (0,25đ)

đ) 6.

x nhất duy nghiệm 1 có

pt

Vậy

đ) nhận) loại)

đ)

đ) đ)

đ)

5 , 0 (

5 , 0 ( ( 6 x

; ( 2 x 3 x 5 , 0 ( 0 ) 6 x )(

2

x

(

3

x

5 0 ( 0 12 x x 3 x 5 , 0 ( 9 x x 3

x

0 3

x

25 , 0 ( 3 x 3 x x 3 x

3

2 1

2 2









































































Câu 4 : Đặt a – 1 = x > 0, b – 1 = y > 0 (0,25đ), ta cĩ:

đ)

đ) đ)

5 , 0 ( 4 y

1 y x

1

x

5 , 0 ( y

1 y 2 y x

1 x 2 x 5 , 0 ( y

) 1 y ( x

)

1

x

(























































Với x > 0, y > 0 ta cĩ     2 nênA8

y

1 y , 2 x

1

minA = 8  x = y = 1  a = b = 2 (0,75đ)

Câu 5: Vẽ hình đúng 0,5đ

a/ Ta cĩ AK // CE (cùng vuơng gĩc với AC) (0,5đ)

đ) (2)

E B O C

B K nên B

với phụ

cùng B

có lại

Ta

đ) BC

KB

đ) E

C tgB

đ)

3

ˆ

5 , 0 ( )

1 ( BE

OB

1 ( KB

OB BC

BE B

tgO ˆ

75 ,

0 ( B

O

E

B

C

B

2

1 1



























Từ (1) và (2) suy ra KBC OBE (cgc) (0,5đ)