BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 7)

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH( PHẦN 7)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH( PHẦN 7)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH( PHẦN 7)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH( PHẦN 7)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH( PHẦN 7)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH( PHẦN 7)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH( PHẦN 7)

ĐỀ SỐ 1

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9 - Năm học 2015-2016

MÔN :TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút

(Đề thi gồm 5 câu, 1 trang)

Bài 1( 2.0 điểm)

1.1) Chứng minh rằng với x > 0, x 1, biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

1

x

x x x

x

x

x

1.2) Cho x 3 5 2  3 5 2 Tính giá trị của biểu thức f x( )x33x

1 1 2

1 2

B Sin

A Sin

Bài 5 ( 1.0 điểm)

Nền nhà hình chữ nhật được lát kín bằng các viên gạch hình chữ nhật kích thước 1x3 và 3miếng hình chữ nhật 1x1 Hỏi có thể lát lại nền nhà ấy chỉ bằng một loại gạch 1x3 hay không ?

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 1)

- Thí sinh làm bài theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của bài đó

- Điểm của bài thi là tổng điểm của các bài làm đúng và không được làm tròn

x x x

x x x

x

x x

= - 2 (đpcm !)

0,25 đ

0,25 đ0,5 đ

0,25đ 0,25đ

2.2 ( 1.0 điểm)

Giải phương trình x2 - x - 2 1 16x 2   ĐKXĐ: 1

x 16

TH1: k chẵn  A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 là một số lẻ

 A không chia hết cho 2

 A không chia hết cho 16 (loại) (1)TH2: k lẻ, ta có:

A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)

4.1 ( 1.0 điểm)

Tứ giác AEDF có góc DEA bằng góc EAF bằng góc AFD

bằng 900

Tứ giác AEDF là hình chữ nhật mà có AD là tia phân giác của góc A nên

tứ giác AEDF là hình vuông

Xét AED vuông cân tại E ÁP dụng định lý Pitago ta có

AD2=AE2+ED2 => AD2 =2AE2

AE= 2

2

d

Vậy chu vi tứ giác AEDF bằng 2 2d

Diện tích tứ giác AEDF bằng 2

2

d

0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ

4.2 ( 1.0 điểm)

Ta có SABC = SABD+ SACD

0,25đ 0,25đ

4.3 ( 1.0 điểm)

Kẻ BH vuông góc với AD tại H

Xét ABH vuông tại H

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hay tam giác ABC đều, trái giả thiết

tam giác ABC vuông

2

1 2

1 2

5

(1.0 đ)

Ta có nhận xét sau: Nền nhà có ít nhất một kích thước là số nguyên chia

hết cho 3 Thật vậy , giả thiết phản chứng không phải như vậy, khi đó

hoặc kích thước của nền nhà có dạng:

a) 3k + 1; 3q + 1, khi đó diện tích S của nền nhà là:

S = ( 3k + 1)(3q + 1)  S không chia hết cho 3

b) 3 k + 1; 3q + 2, khi đó diện tích S của nền nhà là:

S = ( 3k + 1)(3q + 2)  S không chia hết cho 3

c) 3 k + 2; 3q + 2, khi đó diện tích S của nền nhà là:

S = ( 3k + 2)(3q + 2)  S không chia hết cho 3

Như thế ta luôn có S không chia hết cho 3 ( 1)

Mặt khác, vì nền nhà đã cho lát kín được bằng các viên gạch 1x3 và 3

viên 1x1 Do đó S = 3n + 3, ở đây n là số viên gạch 1x3 dùng Như thế lại

có S chia hết cho 3 ( 2)

Từ ( 1) và (2) suy ra vô lý, vậy giả thiết phản chứng là sai Nhận xét được

chứng minh

Quay trở lại bài toán: Lát viên gạch 1x3 theo chiều cạnh của hình chữ

nhật có kích thước chia hết cho 3 Làm như vậy sẽ lát kín được nền nhà đã

cho mà chỉ phải dùng một loại gạch có kích thước 1x3

Vậy có thể lát lại nền nhà ấy chỉ bằng một loại gạch 1x3

Bài 1 (2,0 điểm)

1 (1,0 điểm) Giải phương trình x2 x12 1 x 36

2 (1,0 điểm) Tìm kZ để các nghiệm của phương trình sau là các số hữu tỉ

kx  k x k  

Bài 3 (2,0 điểm):

1 (1,0 điểm) Tìm các số nguyên dương x, y biết (x + y)5 = 120y + 3

2 (1,0 điểm) Cho a, b > 0, thỏa mãn ab > 2015a + 2016b

Chứng minh a + b >  2015 20162

Bài 4 (3,0 điểm):

1 (1,0 điểm) Tam giác ABC đều, cạnh a nội tiếp đường tròn (O; R) Điểm M tùy ýthuộc đường tròn Chứng minh MA2 + MB2 + MC2 = 6R2

2 (2,0 điểm) Tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao

BD, CE, gọi I là trung điểm DE, tia AI cắt đường tròn (O) tại điểm M khác A Gọi N là điểmđối xứng của M qua BC

a Chứng minh AD BN

b Chứng minh các góc BNC và DNE bằng nhau

Bài 5 (1,0 điểm) Cho đường gấp khúc khép kín có độ dài bằng 1 Chứng minh rằng luôn tồn tại

- Điểm bài thi không làm tròn.

Từ giả thiết, suy ra 1 > 2015 2016

b  a ,suy ra: a > 2015a 2016

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ABMC, ta có:

MA.BC = MB.AC + MC.AB

Suy ra MA.a = (MB + MC).a  MA = MB + MC, vậy (1)

2 Giả sử H là giao điểm BD và CE

Dễ thấy BNC BMC 1800 BAC EHD BHC  , nên tứ giác 0,25đ

H

BHNC nội tiếp, suy ra NBD NCE (1).

Dễ chứng minh AEI  AMB (g.g) và ADI  AMC (g.g)

0,25đ0,25đ

Từ (1) và (4) suy ra hai tam giác BND và CNE đồng dạng

(c.g.c), suy ra các góc BND và CNE bằng nhau

Suy ra các góc BNC và DNE bằng nhau

0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ

Xét bài toán trên: Trên đường gấp khúc lấy 2 điểm A, B sao

cho A, B chia đường gấp khúc thành 2 phần bằng nhau và bằng

0,5

+ Suy ra AB ≤ 0,5 (Vì độ dài đoạn thẳng AB luôn nhỏ hơn hoặc

bằng độ dài đường gấp khúc nối hai điểm AB)

+ Gọi trung điểm AB là O

+ Xét C là một điểm bất kỳ thuộc đường gấp khúc thì ta

D

hơn hoặc bằng độ dài đường gấp khúc nối hai điểm AC và độdài đoạn thẳng BC luôn nhỏ hơn hoặc bằng độ dài đường gấpkhúc nối hai điểm BC, mà độ dài đường gấp khúc nối hai điểm

AB bằng 1

2)+ Từ (1), (2) suy ra:

112

( Đề thi gồm 05 câu 01 trang)

Bài 1(2 điểm).

1 Tính giá trị biểu thức A (3x 38x2 2)2016 với

3

( 5 2) 17 5 38x

1 Tìm các giá trị của m để phương trình:

x2 –(m – 5)x + m – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1

2 Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

(x y)(x y ) 63(x y)(x y ) 203

1 Giả sử a, b, c, d, là bốn số nguyên bất kì Chứng minh rằng:

(b – a)(c – a)(d – a)(d – b)(d – c)(c – b) chia hết cho 12

2 Cho x, y, z là các số thực không âm bất kì Chứng minh:

x(x - z)2 + y(y – z)2  (x – z)(y – z)(x + y – z)

Bài 4(3 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm thuộc đường tròn H

là hình chiếu của C trên AB Vẽ đường tròn tâm I có đường kính CH, cắt AC và BC theothứ tự tại M và N

1 Chứng minh OC vuông góc với MN

2 Vẽ đường kính COK của đường tròn (O) Gọi P là trung điểm của HK Chứng minh rằng P là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNB

3 Cho AB cố định Xác định vị trí của điểm C để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giácAMNB lớn nhất

Bài 5(1 điểm) Trên mặt phẳng cho 25 điểm sao cho từ ba điểm bất kì trong số chúng đều

tìm được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng tồn tại một hình

tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm.

- Thí sinh làm bài theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

- Điểm bài thi không làm tròn.

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1 khi và chỉ khi

phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

   Vậy với m  7 2 5thì phương trình (1) có hai

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (5; 2); (2; 5) 0,25

Bài 3

(2điểm)

1 (1 điểm)

Đặt A = (b – a)(c – a)(d – a)(d – b)(d – c)(c – b)

Vì 12 = 3.4 mà 3 và 4 là hai số nguyên tố cùng nhau nên để chứng

minh A chia hết cho 12 ta cần chứng minh A chia hết cho 3 và A chia

- Xét phép chia bốn số nguyên a, b, c, d cho 3 Theo nguyên lí

Dỉrichlet luôn tồn tại hai số có cùng số dư trong phép chia cho 3, suy

ra hiệu của chúng chia hết cho 3 Do đó A chia hết cho 3



0,25

- Nếu B  0, do x, y, z 0 ta có A  0  B => (1) đúng 0,25

- Nếu B > 0 ta sẽ chứng minh (x – z)(y – z) > 0 và x+ y – z > 0 (3)

Thật vậy, giả sử (x – z)(y – z) < 0 và x + y – z < 0

Từ (x – z)(y – z) < 0 => x > z hoặc y > z => x + y > z => x+ y-z > 0

mâu thuẫn với x + y – z < 0 Vậy (3) đúng 0,25

Vì C thuộc đường tròn đường kính AB nên ACB 90  0

Xét tam giác MIC có IM = IC (bán kính (I))

C

B A

=> tam giác MIC cân tại I => CMI ACI  0,25

Xét tam giác BOC có OB = OC (bán kính (O))

=> tam giác BOC cân tại O =>B OCB  0,25

Mà ACI B  (cùng phụ với CAB)nên CMI OCB  0,25

Ta lại có: CMI CNI 90   0 nên OCB CNI 90   0 Vậy OC  MN 0,25

2 (1 điểm)

Từ CMI ACI  và ACI B  (c/m a) => CMI B  hay CMN NBA 

Nối OP, IP Xét tam giác CHK có I là trung điểm của CH (do I là tâm

đường tròn đường kính CH) và P là trung điểm của HK(gt)

=> IP là đường trung bình của tam giác CHK => IP // CK 0,25

Mà CK  MN(do OC  MN - c/m a) nên IP  MN=> IP là đường

Chứng minh tương tự ta có OP là đường trung trực của AB

Vậy P là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNB 0,25

3 (1 điểm)

Nối AP Ta có PA là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNB

Xét tam giác AOP vuông tại O Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

<=> OC  AB <=> C là điểm chính giữa của cung AB

Vậy khi C là điểm chính giữa của cung AB thì bán kính đường tròn

Bài 5

(1điểm)

- Xét điểm A và hình tròn tâm A bán kính bằng 1 Nếu tất cả 24 điểm

còn lại đều nằm trong (A; 1) thì hiển nhiên bài toán được chứng minh 0,25

- Xét trường hợp có điểm B nằm ngoài (A; 1) Ta có AB > 1

Xét hình tròn tâm B bán kính bằng 1 Giả sử C là một điểm bất kì

khác A và B Ta chứng minh C phải thuộc một trong hai hình tròn

Thật vậy, giả sử C không thuộc cả hai hình tròn (A; 1) và (B; 1)

=> AC > 1 và BC > 1 Theo trên ta có AB > 1 Như vậy có bộ ba

điểm A, B, C trong đó không có bất kì hai điểm nào có khoảng cách

giữa chúng nhỏ hơn 1 Điều này trái với giả thiết, chứng tỏ C thuộc

Vậy cả 25 điểm đó đều thuộc vào (A; 1) và (B; 1) Theo nguyên lí

Dỉrichlet phải có ít nhất một hình tròn chứa không ít hơn 13

điểm(đpcm)

0,25

-Hết -ĐỀ SỐ 4

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9 - Năm học 2015-2016

MÔN: TOÁNThời gian làm bài: 150 phút

( Đề thi gồm 3 câu, 2 trang)

Bài 1 (2,0 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức M = x3 – 6x với x = 20 + 14 2 + 20 - 14 23 3

b) Cho 100 số tự nhiên a a1, , ,2 a100 thỏa mãn điều kiện:

a) Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên

b) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 19b - a3 23 +19c - b3 23 +19a - c3 23 3(a + b + c)

ab + 5b cb + 5c ac + 5a 

Bài 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác cân ABC (AB = AC;Â< 900), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại B

và C Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M M B;C  Gọi I; H; K lần lượt

là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK, Q là giao điểm của

MC với IH

a) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK.

b) Gọi (O1) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp MPK vàMQH Chứng minhrằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2 )

c) Gọi D là trung điểm của BC; N là giao điểm thứ hai của (O1),(O2 ) Chứng minh rằngM,N,D thẳng hàng

Bài 5 ( 1,0 điểm)

Sau một bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng Hệ thống camera

tự động đếm thấy có tất cả 66 cái bắt tay

Hỏi trong phòng có bao nhiêu người?

2 1

Giả sử trong 100 số tự nhiện đã cho không có hai số nào bằng nhau

x y

22

1

x y

a + 20b 19b + ab(a + b) 20b - ab(a + b) 19b - a

b(20b - ab - a ) 19b - a b(20b - 5ab + 4ab - a ) 19b - ab[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b - a

b(4b - a)(a + 5b) 19b - a (4b - a)(ab + 5b ) 19b - a19b - a

C

Chứng minh tia đối của tia MI là phân giác của HMK

Vì ABC cân tại A nên ABCACB

Gọi tia đối của tia MI là tia Mx

Ta có tứ giác BIMK và tứ giác CIMH nội tiếp

Ta có: MHI MCI (cùng bằng12 sđ IM )

mà MQP MCI  ( c/minh trên)

  1 

2

Hai tia QP;QH nằm khác phía đối với QM

 PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O2) tại tiêp điểm Q (1)

Chứng minh tương tự ta có PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O1) tại

c (1 điểm)

Gọi E; E’lần lượt là giao điểm của NM với PQ và BC

Ta có PE2 = EM EN ( vì PEM NEP )

QE2 = EM EN ( vì QEM NEQ )

tay với n-1 người còn lại

Mỗi “Cái bắt tay” phải có 2 người với nhau ( 2 lần )

Như vậy n người sẽ có n(n-1) lần bắt tay Và số “Cái bắt tay” là

529 2312( / )11( )

ĐỀ SỐ 5

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9 - Năm học 2015-2016

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

( Đề thi gồm 05câu,01 trang)

Bài 1 (2,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức: A = 3 2

a) Tìm số tự nhiên n để n 18 và n  41 là hai số chính phương

b) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0a b c, , 2 và a+b+c=3 Chứng

minh a3b3c3 9.

Bài 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) đường kính BC Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác

ABC nhọn AB, AC cắt đường tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D Trên cung

BC không chứa D lấy F (F  B, C) AF cắt BC tại M, cắt đường tròn (O;R) tại N (N  F)

và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại P (P  A)

a) Giả sử BAC 600, tính DE theo R.

b) Chứng minh AN.AF = AP.AM

c) Gọi I, H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD, BC Các đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K Tìm vị trí của F trên cung BC để biểu thức

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 7)

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 5)

0,25

0,25b)1.0 điểm

0

2014  x  2014  y  2015  x  2015  y 

Mà x y 0 nên (2) vô lý vì VT(2) luôn khác 0

Nếu x=y dễ thấy (1) đúng Vậy x = y

0,250,25

0,25

0,25a)1,0 điểm

Trang 25

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 7)

Chứng minh được (2)  (x+y)(x+z)(z+x) = 0Với: x + y = 0  x  x    1 0 x   1 x 1 5

2

mãn)

Với: x + z = 0  x  2 0   x  2 ( không thỏa mãn)

Với: y + z = 0  x   1 2 0  - vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm: 1 5

0.250.25

0.25

0.25

b, 1.0 điểm

Trang 26

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 7)

Vì vai trò của a, b, c như nhau, không mất tính tổng quát giả sử: a b c 

Khi đó vì 0a b c, , 2 và a+b+c=3 nên ta có 0 a1  a3 a

O B

D

C A

APEADE (2 góc nội tiếp chắn cung AE)

ABM ADE (Cùng bù với góc EDC)

Suy ra: ABM APE nên tam giác APE đồng dạng với tam giác ABM

0,25

Nên AE AM AE AB AM AP

0,25 Tương tự chứng minh tam giác ANE đồng dạng với tam giác ABF

Trang 27

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 7)

Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên FHK FCK ( cùng bằng FBD ), suy

Lý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên:DK BH

Ta thấy với n là số chính phương thì n là số tự nhiên, nếu n khác số

chính phương thì n là số vô tỉ, nên n không có dạng ,5

Do đó ứng với mỗi số n  N* có duy nhất một số nguyên an gần n nhất

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 7)

đẳng thức tương đương với : k2 – k + 1

0.25 Hết

ĐỀ SỐ 6

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9 – Năm học 2015 – 2016

MÔN : TOÁNThời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 7)

1 Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của phương trình x 2 ax 1 0  (1)(a0) với một nghiệm của phương trình x2bx  (2)(b1 0 0) là nghiệm của phương trình x2abx  (3) thì:1 0

1 4( 1)( 2)

1 Cho ba đường tròn   O1 , O và 2  O Giả sử   O1 , O tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và2

  O1 , O lần lượt tiếp xúc trong với 2  O tại M M Tiếp tuyến của đường tròn 1, 2  O tại điểm I cắt1

đường tròn  O lần lượt tại các điểm , ' A A Đường thẳng AM cắt lại đường tròn 1  O tại điểm 1 N ,1

đường thẳng AM cắt lại đường tròn 2 O tại điểm 2 N 2

a Chứng minh rằng tứ giác M N N M nội tiếp và đường thẳng 1 1 2 2 OA  N N 1 2

b Kẻ đường kính PQ của đường tròn  O sao cho PQ vuông góc với AI (điểm P nằm trên cung

Bài 5: (1,0 điểm)Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3

màu xanh, đỏ, tím Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc cácđiểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu

… HẾT………

Trang 30