BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9)

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)

ĐỀ SỐ 1

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9 - Năm học 2015-2016

MễN :TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phỳt

(Đề thi gồm 5 cõu, 1 trang)

12

a) Cỏc điểm O, M, N, P cựng nằm trờn một đường trũn

b) CMR: Tứ giỏc CMPO là hỡnh bỡnh hành và CM.CN = 2R2

c) Khi M di chuyển trờn đoạn AB thỡ P di chuyển ở đõu ?

Cõu 5 (1.0 điểm)

Cho một bàn cờ vua 8x8 Hỏi rằng quân mã có thể đi nớc đầu tiên từ ô dới cùng bên trái

và kết thúc ở ô trên cùng bên phải hay không? Với điều kiện nó phải đi qua tất cả các ô trên bàn

cờ và mỗi ô chỉ đi qua đúng một lần

-Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 1)

0.75 0.25

b) Đặt :  

 

11

39 4n 5 119

    (4)

Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26Vậy số cần tìm abc 675

0.25

0.5 0.25

N

NMP NOP  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)

Suy ra MNO NOP    ; do đó, OP//MC

Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành

c) 1 điểm

Vì MP = OC = R không đổi

Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB Do M chỉ chạy trên đoạn AB nên

P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên

0.5 0.5

Câu 5

1 điểm Ta tô các ô trên bàn cờ xen kẽ các màu đen trắng như bàn cờ vua và nước đi của quân mã là đường chéo của hình chữ nhật 2x3

Do sự “ bình đẳng màu “ nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng ô

dưới cùng bên trái có màu trắng

Từ cách đi của con mã ta nhận thấy rằng sau mỗi nước đi con mã sẽ sang một

ô khác màu với ô mà nó đang đứng Vì thế sau một số lẻ nước đi con mã sẽ ở

ô màu đen , sau một số chẵn nước đi con mó sẽ ở ô màu trắng

Trở lại bài toán ta thấy rằng đi từ ô dưới cùng bên trái lên ô trên cùng bên

phải cần đi 63 nước đi Vì thế ô trên cùng bên phải sẽ cần mang màu đen

Điều này là vô lý Vậy quân mã không thể đi từ ô dưới cùng bên trái nên ô

trên cùng bên phải như yêu cầu của đầu bài được

LỚP 9 - Năm học 2015-2016

MÔN: TOÁNThời gian làm bài: 150 phút

x x 3x 3x 2015



b Cho biểu thức: P  1 x 1 x 1 x       2  1 x 1 x 1 x       2 với x     1; 1  

Tính giá trị của biểu thức P với x   1

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R) H là một điểm di động trên đoạn

OA (H khác A) Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M.Gọi K là hình chiếu của M trên OB

a Chứng minh HKM   2AMH 

b Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E OD,

OE cắt AB lần lượt tại F và G Chứng minh OD.GF = OG.DE

c Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R

Câu 5 (1 điểm)

Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 50 điểm

Chú ý:

- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm

- Điểm bài thi

2

Ta có: ) 2 1 x 2 1 x 1 x x 2x 1 2 1 x 1 x 1 x

1 x 1 x) 2 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 x

x x a

Khơng mất tính tổng quát giả sử x1x2

khi đĩ từ giả thiết   2 2

1; 2 0;1 1 1 2 2 1; 1 1 2 1 2 0

x x   x x x x  x x x x Dẫn tới

1 1 1

1

H

K O A

Thay x y; vào (1) và biến đổi: 2t2 k k( 1) 504 (2)

Xét thấy VT của (2) luôn chẵn; VP của (2) là số lẻ vì k(k+1) chẵn (Tích 2 số nguyên liên tiếp) Vậy dấu “=” của (2) không thể xẩy raKhông tồn tại cặp

 A1 O1  tứ giác AMGO nội tiếp (5)

Từ (4), (5) ta có 5 điểm A, D, M, G, O cùng nằm trên một đường tròn

D

H O A

M

Trên đoạn MC lấy điểm A’ sao cho

MA’ = MA  AMA ' đều

Vậy giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB

Gọi I là giao điểm của AO và BC  AI  3 R  AB 3  AB  R 3

- Nếu tất cả 98 điểm còn lại đều nằm trong (C1) thì hiển nhiên bài toán được chứng minh

- Xét trường hợp có điểm B nằm ngoài (C1)

A' I

H O A

M

chứa không ít hơn 50 điểm.

( Đề thi gồm 05 câu 01 trang)

Câu 1 (2 điểm).

a) Cho a  3 5 2 3  3 5 2 3 Chứng minh rằng: a2 -2a – 2 = 0

b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c    abc  4 Tính giá trị củabiểu thức: A a(4 b)(4 c) b(4 c)(4 a) c(4 a)(4 b) abc

Câu 2 (2 điểm) Giải các phương trình sau:

2

h

b) Cho đường tròn (O), dây cung AB cố định M là một điểm chuyển động trên cung AB Qua

trung điểm K của đoạn MB kẻ KP vuông góc với AM Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cung AB thì KP luôn luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5 (1 điểm)

Cho một bảng kẻ ô vuông kích thước 7 x 7 (gồm 49 ô vuông đơn vị) Đặt 22đấu thủ vào bảng sao cho mỗi ô vuông đơn vị có không quá một đấu thủ Hai đấu thủ được gọi là tấn công lẫn nhau nếu họ cùng trên một hàng hoặc cùng trên một cột Chứng minh rằng với mỗi cách đặt bất

kì luôn tồn tại ít nhất 4 đấu thủ đôi một không tấn công lẫn nhau

- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm

- Điểm bài thi

Trong Δ vuông AHC thì

AH = HCtgα =



sin 2

h

=



 cos sin 4

M

C

Tia AO cắt (O) tại A1 thì A1 là điểm cố định

MA1// KP ( vì cùng vuông góc với AM)

PK cắt A1B tại I thì KI là đường trung bình của ΔMBA1

nên I là trung điểm BA1 Mà B và A1 cố định

-Hết -ĐỀ SỐ 4

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9 - Năm học 2015-2016

MÔN: TOÁNThời gian làm bài: 150 phút

( Đề thi gồm 3 câu, 2 trang)

a Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2  xy y  2  x y2 2

b Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+ b+ c = 3

2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M là điểm trên cung AC (không chứa B) Vẽ

MH  BC tại H, MK AC tại K Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, KH Chứng minh rằng PQM 90   0

Câu 5 (1.0 điểm)

Lấy 4 điểm ở miền trong của một tứ giác cùng với 4 đỉnh của tứ giác ta được 8 điểm trong đó không có bất kì 3 điểm nào thẳng hàng Biết diện tích tứ giác bằng 1 Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 8 điểm thỏa mãn trên có diện tích không vượt quá 1

10.

(2.0

điểm)

a 1.0 điểm

Thêm xy vào hai vế: x22xy y 2 x y2 2xy  (x y )2 xy xy( 1)

Ta thấy xy và xy + 1 là hai số nguyên liên tiếp, có tích là một số chính

phương nên tồn tại một số bằng 0

Từ giả thiết a + b + c= 3, ta có bất đẳng thức cần chứng minh có dạng

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 abc(a b c ) abc(a b c)(a b c )

3 1

(ab bc ca) (a b c ) 9

K

Ta có AMD AKD 90     0  Tứ giác AMKD nội tiếp  D KMN   

Do AMB AHB 90     0 Tứ giác AMHB nội tiếp

Suy ra B NMH     D B 2B KMN NMH           2B KMN (1)   

Tứ giác AKCH (có AKC AHC 180 )     0 nội tiếp đường tròn đường

kính AC nên KOH KAH    (góc ở tâm và góc nội tiếp)

KAH C 180     D C  KAH D B    KOH 2B (2) 

Từ (1)(2) suy ra KMH KOH     tứ giác KHOM nội tiếp

suy ra KOM KHM   

0.25

0.250.250.25

Q K S

Từ đó chứng minh được MAP MKQ (c.g.c)  MPA MQK   

Do đó, tứ giác PSMQ nội tiếp  PQM MSP 90     0

Vậy PQM 90   0

0.50.5

0.50.250.25

Câu 5

(1.0

điểm)

1.0 điểm

Xét một cách chia tứ giác thành các tam giác có các đỉnh là một trong 4

đỉnh của tứ giác hoặc 1 trong 4 điểm nằm trong tứ giác sao cho 2 tam

giác bất kì thì các cạnh của chúng không có điểm chung khác với 2 đầu

mút

Ta sẽ chứng minh luôn tồn tại 10 tam giác

Giả sử có n tam giác (n nguyên dương)

Khi đó tổng các góc của n tam giác là n.1800 (1)

Tổng các góc xung quanh 4 điểm nằm trong tứ giác là 4.3600, tổng các

góc của tứ giác là 3600 (2)

Từ (1)(2) ta có: n.1800= 4.3600+ 3600 Suy ra n= 10

Vì diện tích tam giác bằng 1 nên luôn tồn tại một tam giác có diện tích

không vượt quá 1

10

0.25

0.250.25

0.25

Chú ý:

- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa

- Điểm bài thi: 10.0 điểm

-Hết -ĐỀ SỐ 5

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9 - Năm học 2015-2016

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

( Đề thi gồm 05câu,01 trang)

a) Cho phương trình x + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0 (1) (x là ẩn số, m là tham số).2

Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của (1) Tìm m để x1 x2 17

2 Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B Kẻ tiếp tuyến chung CD (C(O’), D  (O’)),

CD không song song với OO’ Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu của C, D trên OO’ Chứng minh rằng : OAO' HAK   

Câu 5 (1.0 điểm)

Trên mặt phẳng cho n điểm (n > 3) trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Chứng minh

rằng tồn tại 3 điểm mà đường tròn đi qua chúng không chứa trong một điểm nào khác

2 2

x 4 x(x 4) 0

) 4 4

)(

4 4

( ) 4 )(

4 (

) 4 (

) 4 (

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x

x x x x x x A

4 4

2 4

  m     m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân

biệt với mọi m

Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với m nên

0.25

0.5

Suy ra py2

 x2

Mà x, y nguyên dương và p là một số nguyên tố nên y2

 x2 hay y  xTương tự : x  y

0.25

0.25b) 1.0 điểm

Do đó, BKI vuông tại K (theo định lí Pitago đảo)

Suy ra tứ giác ABKI nội tiếp, do đó BIK BAH BCA 40       0

0.250.250.250.25

K H

Ta có: IA IE= IC2= IO IH

Ta lại chứng minh được tứ giác AEOH nội tiếp nên: AHK E OAE      (1)

Tương tự: tứ giác AFKO’ nội tiếp nên AHK AFO' O'AF      (2)

Mặt khác: OAO' 180   0  OAE O'AF    (3)

Và HAK 180   0  AHK AKH    (4)

Từ (1) (2) (3) (4) suy ra OAO' HAK   

0.25

0.250.50.25

0.50.25

Giả sử trong các điểm đã cho tồn tại 2 điểm A1; A2 sao cho tất cả các điểm

còn lại thuộc một nửa mặt phẳng bờ A1A2

Ta có, trong tập hợp n-2 góc có dạng A A A 1 i 2 trong đó Ai là một trong n- 2

điểm còn lại

Do số góc là hữu hạn, nên tồn tại góc A A A 1 k 2lớn nhất

Khi đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác A1AkA2 không chứ trong bất kì một

điểm nào khác

0.250.250.25

0.25

Chú ý:

- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa

- Điểm bài thi: 10.0 điểm

-Hết -ĐỀ SỐ 6

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9 – Năm học 2015 – 2016

MÔN : TOÁNThời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

1 (

) (

y x y x

Câu 4 (3 điểm).

Cho (O,R) đường kính AB cố định, điểm H thuộc OB sao cho HB =2 HO kẻ dây CD vuông góc với AB tại H , gọi E di động thuộc cung nhỏ BC , ( điểm E khác E và B ), AE giao với CD tại I

a) Chứng minh AD 2 =AI AE

b) Tính AI.AE –HA.HB theo R

c)Xác định vị trí của E để khoảng cách từ điểm H đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEI nhỏ nhất

Câu 5 (1,0 điểm)

ở sáu đỉnh của một lục giác lồi có ghi 6 số chẵn liên tiếp theo chiều kim đồng hồ Ta thay đổicác số như sau : mỗi lần chọn một cạnh bất kỳ rồi cộng với mỗi số ở hai đỉnh cạnh đó với cùngmột số nguyên Hỏi sau các lần thay đổi như thế thì 6 số mới ở đỉnh lục giác có bằng nhaukhông ? vì sao ?

Hết

-ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 6)

Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016

MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 5 trang)



x 1 2y  2 y x 1

1 (

) (

y x y x

y y x

x y

x

y y x x y

x

y x y x

K

HO

MD

C

B

Hd

a)Tam giác ADB vuông tại D nên AD2 = AH.AB

mặt khác AIH ABE gg( ) nên AI.AE = AH AB vậy

b) ADB vuông tại D có DHAB nên DH2 = AH.BH nên

AI.AE- AH.HB =AD2 –DH2 = AH2 = (AB-BH)2

(2R-2

3R)2 = 16 2

c, Gọi giao điểm IM cắt DB tại K

Từ D kẻ một đường vuông góc với CD, cắt EB tại M ta có tứ giác

IEMD nội tiếp nên DIM DEM mà DEM IDB ( hai góc nội tiếp

chắn 2 cung bằng nhau ),nên DIM IDB  IDK cân tại K nên IK

=KD ta lại có KDM KMD ( cùng phụ với 2 góc bằng nhau ) DKM

cân tai K ,nên KD =KMvậy IK =KM mà tam giac IEM vuông tại E có

EK là trung tuyến KE=KI =KM =KD vậy K là tâm đường tròn ngoại

tiếp tứ giác IEMD hay K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DIE

Ta đặt sáu số a1,a2,a3,a4,a5,a6 vào 6 đỉnh của lục giác đó 0,25

do 6 số này là 6 số chẵn liên tiếp xếp theo chiều kim đồng hồ nên a1,a2

là 2 số chẵn liên tiếp ;a3,a4 là 2 số chẵn liên tiếp a5,a6 là 2 số chẵn liên

tiếp vậy ( a2- a1) +( a4 – a3) + (a6 –a5) =6 0,25

Do mỗi lần ta cộng với 1 cạnh cùng một số nguyên lên hiệu của 2 số

ở hai đỉnh đó luôn bằng 2

0,25

Do đó ,sau các lần đổi ta không thể có 2 số nào kề nhau có hiệu bằng

không, tức là không tồn tại 6 số ở đỉnh lục giác đều bằng nhau 0,25

Hết

-ĐỀ SỐ 7

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9-Năm học 2015-2016

MÔN: ToánThời gian làm bài : 150 phút

( Đề thi gồm 5 câu,01 trang)

b)Chứng minh :AM.ED= 2OM.EA

c)Xác định vị trí điểm E để tổng :OM ON

AM DN đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5( 1điểm )2.Năm người thợ tên là : Da, Điện, Hàn, Tiện và Sơn làm 5 nghề khác nhau trùng với

tên của tên của 5 người đó nhưng không có ai tên trùng với nghề của mình Tên của bác thợ da trùng với nghề của anh vợ mình và vợ bác chỉ có 2 anh em Bác Tiện không làm thợ sơn mà lại là em rể của bác thợ hàn Bác thợ sơn và bác thợ da là 2 anh em cùng họ Hãy cho biết bác Da và bác Tiện làm nghề gì?

Hết

-ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ (ĐỀ SỐ 7 )

LỚP 9-Năm học 2015-2016

3 )(

2 (

) 2 )(

1 (

x

x x

0,5

C©u 2

(2 ®)

a)Tìm các giá trị của m để :x 1 2x x 1 2x m1  2  2  1  2 (x x1, 2

là 2 nghiệm của phương trình (1)

x y

b c ta

t a

b a tc

t b

a c tb

t b

E

a)E thuộc đường tròn đường kính CD nên CED  0

90 hay MED  0

90Suy ra MOD=MED  0

90 nên O,M thuộc đường tròn đường kính MD hay 4 điểm O,M,E,D cùng thuộc một đường tròn

c)Tương tự chứng minh trên ta có

E là điểm chính giữa của cung nhỏ AD

Vậy giá trị nhỏ nhất của OM ON

AM DN = 2khi E là điểm chính giữa của cung nhỏ AD

Bác Tiện không làm thợ sơn Bác Tiện là em rể của bác thợ hàn nên

bác Tiện không làm thợ hàn  Bác Tiện chỉ có thể là thợ da hoặc thợ

bác thợ hàn mà vợ bác Tiện chỉ có 2 anh em Điều này vô lí.

MÔN:TOÁNThời gian làm bài: 150 phút

( Đề thi gồm 5 câu, 1trang)

Bài 4 (3 điểm)

Cho đường tròn (O, R) đường kính AB cố định C là điểm cố định nằm giữa A, O Điểm

M di động trên đường tròn (O, R)

1) Tìm vị trí điểm M trên (O, R) tương ứng lúc độ dài CM lớn nhất và nhỏ nhất.

2) Gọi N là điểm trên đường tròn (O, R) sao cho góc MCN bằng 900 Gọi K

là trung điểm của MN Chứng minh rằng khi M di động thì KO2+ KC2

0,25 0,25

0,25 0,25 0,5

Đặt a x b y c z =t (t khác 0)nên x=at; y=bt; z=ct

Thế vào (1) ta có 2t2=t nên t=0 (loại) hoặc t= 0,5

0.25

nên CM lớn nhất bằng CB (không đổi) khi O thuộc CM tức là M B

Vì K là trung điểm dây cung MN nên OK MN

Xét OKM vuông tại K nên OK2KM2 OM2 R2 không đổi

3) Gọi I là trung điểm của CO xét KCO vẽ KH vuông góc vơi CO

CKH

 vuông tại H nên CK2 KH2CH2

Xét KOH vuông tại H nên KO2 KH2OH2

122

Nếu - x2 +2x+3 < 0 thì 4n2<(2x2+x+1)2 nên (2x2+x) <2n<(2x2+x+1) khi

đó 2n không là số nguyên tố nên - x2 +2x+3 0

ĐỀ SỐ 9

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9 - Năm học 2015-2016

MÔN:Toán 9Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 4 (3 điểm)

Cho đường tròn (O, R) đường kính AB cố định C là điểm cố định nằm giữa A, O Điểm

M di động trên đường tròn (O, R)

4) Tìm vị trí điểm M trên (O, R) tương ứng lúc độ dài CM lớn nhất và nhỏ nhất.

5) Gọi N là điểm trên đường tròn (O, R) sao cho góc MCN bằng 900 Gọi K

là trung điểm của MN Chứng minh rằng khi M di động thì KO2+ KC2

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ (ĐỀ SỐ 9 )

0,25 0,25 0,5

Tương tự a,b,c khác 0 ta cộng 3 vế phương trình

Đặt a x b y c z =t (t khác 0)nên x=at; y=bt; z=ct

Thế vào (1) ta có 2t2=t nên t=0 (loại) hoặc t= 0,5

Vì K là trung điểm dây cung MN nên OK MN

Xét OKM vuông tại K nên OK2KM2 OM2 R2 không đổi

3) Gọi I là trung điểm của CO xét KCO vẽ KH vuông góc vơi CO

CKH

 vuông tại H nên CK2 KH2CH2

Xét KOH vuông tại H nên KO2 KH2OH2

122

Chú ý: - Trên đây chỉ trình bày 1 cách giải, nếu HS làm theo cách khác đúng thì vẫn

cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm.

- HS làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm Phần trên làm sai, nếu áp dụng phần sai này để làm phần dưới mà đúng thì không cho điểm kết quả

- Điểm của bài thi là tổng điểm của tất cả các ý đúng trong bài và không làm tròn.

ĐỀ SỐ 10

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9 - Năm học 2015-2016

MÔN:Toán 9Thời gian làm bài: 150 phút

2 2

a) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình xy2 2 xy x   32 y

b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab6bc2ac7abc Tìm giá trị nhỏ nhất

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A

và C khác O) Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D Trên cung

BD lấy điểm M (M khác B và M khác D) Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng

CD tại E Gọi F là giao điểm của AM và CD

1 Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân