Luận văn sư phạm Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng

Trong số đó, Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp sai biến phân hiệu quả được ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực của Cơ học các môi trường liên tục như cơ học kết cấu, động l

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự cố gắng của bản thân, đặc biệt

là sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh đã

giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu để em có thể hoàn thành khóa luận

Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành nhất

tới thầy Khuất Văn Ninh, cũng như sự quan tâm, chỉ bảo, góp ý kiến của thầy

giáo, cô giáo trong tổ hình học, các thầy cô giáo trong khoa Toán đã giúp đỡ em

hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Do điều kiện có hạn và kinh nghiệm cũng như kiến thức của bản thân em

còn nhiều hạn chế cho nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Kính

mong các thầy cô giáo cùng bạn đọc nhận xét và góp ý kiến để em rút kinh

nghiệm và có thể hoàn thiện, phát triển khóa luận về sau này

Một lần nữa, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lời chúc sức khỏe đến

các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Trần Thanh Khuê

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìm hiểu,

nghiên cứu của bản thân, cùng với sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của thầy giáo

PGS.TS Khuất Văn Ninh cũng như các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích

của khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận này không trùng với kết quả của các tác giả khác Nếu trùng

em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn

đọc để khóa luận ngày càng hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Trần Thanh Khuê

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ khác nhau 1

Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn 5

2.1 Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn 5

2.2 Phần tử hữu hạn 22

2.3 Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn 23

2.4 Các dạng phần tử cơ bản thường dùng 24

2.4.1 Phần tử một chiều 24

2.4.2 Phần tử hai chiều 25

2.4.3 Phần tử ba chiều 25

2.5 Xấp xỉ trên phần tử tham chiếu 27

2.5.1 Định lý 27

2.5.2 Phần tử tham chiếu 27

2.5.3 Về phép biến đổi hình hoc giữa phần tử tham chiếu và phần tử thực 29

2.6 Xây dựng các hàm và 34

2.6.1 Phương pháp tổng quát 34

2.6.2 Tính chất của các hàm và 38

Chương 3: Ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn vào bài toán kỹ thuật 40 3.1 Tính chất cơ học tổng quát của bài toán đàn nhớt 40

3.2 Về một phương pháp giải bài toán đàn nhớt tuvến tính đẳng nhiệt 44

3.2.1 Nguyên lý tương ứng 44

3.2.2 Phát biểu bài toán biên đàn nhớt tuyến tính 45

3.2.3 Bài toán đàn hồi kết hợp 45

3.3 Giải bài toán đàn nhớt tuyến tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn 46

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giai đoạn phát triển hiện nay của cơ học các môi trường liên tục liên hệ

chặt chẽ với sự hoàn thiện các phương pháp tính toán và việc sử dụng rộng rãi

máy tính điện tử Quá trình giải quyết các bài toán kỹ thuật thường dẫn tới kết

cục phải giải các phương trình vi phân, các phương trình tích phân hoặc các

phương trình đại số Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng, việc hoàn thiện các

phương pháp tính về phương diện Toán học không hoàn toàn đồng nhất với việc

hoàn thiện các phương pháp tính trong Cơ học các môi trường liên tục Sở dĩ

như vậy là vì việc nghiên cứu hoàn thiện các phương pháp tính thuộc lĩnh vực

Cơ học các môi trường liên tục không những bao gồm nghiên cứu hoàn thiện

cách giải về mặt Toán học mà còn có cả việc nghiên cứu hoàn thiện mô hình

tính toán, cũng như hoàn thiện cách đặt bài toàn dựa vào những khái niệm Vật lý

và yêu cầu kỹ thuật sao cho bài toán vừa đơn giản, vừa phản ánh với thực tiễn

Người ta thường hay sử dụng rộng rãi các phương pháp biến phân làm công cụ

để hoàn thiện các phương pháp tính trong cơ học các môi trường iên tục Trong

số đó, Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp sai biến phân hiệu

quả được ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực của Cơ học các môi trường liên

tục như cơ học kết cấu, động lực học và ổn định công trình, lý thuyết đàn hồi, lý

thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, cơ học chất lỏng và chất khí, cơ học đất,…

Phương pháp phần tử hữu hạn được xem như một công cụ vạn năng, tiện

lợi và được ứng dụng rộng rãi trong ngành xây dựng cơ bản, giao thông, thủy

lợi, chế tạo máy móc, chế tạo tàu thủy,chế tạo máy bay,…

Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng đặc biệt tiện lợi để giải các

bài toán ổn định và động lực học công trình Cần chú ý rằng, sử dụng máy tính

điện tử để tính kết cấu phức tạp theo phương pháp phần tử hữu hạn không những

làm phát triển nhảy vọt các phương pháp tính rời rạc hóa khi ta thay thế các hệ

liên tục bằng các mô hình rời rạc, mà còn có thể tạo ra hiệu quả ngược lại, tức là

cho phép lập được các phương trình vi phân xuất phát từ việc khảo sát các hệ rời

rạc Nhờ đó tạo ra khả năng cho ta đơn giản hóa các bài toán hai chiều, ba chiều

về các bài toán một chiều

Với mong muốn được tìm hiểu những kiến thức cơ bản nhất về phương

pháp phần tử hữu hạn và những ứng dụng khác nhau của phương pháp để giải

quyết một số bài toán kỹ thuật như trên, tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu:

“Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu: “Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng” trên

cơ sở đó nhằm nghiên cứu những vấn đề cơ bản nhất của phương pháp phần tử

hữu hạn, áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn

- Cách giải một số bài toán kỹ thuật bằng phương pháp phần tử hữu hạn

- Thu thập, tìm kiếm tài liệu

- Nghiên cứu tài liệu

- Phân tích, tổng hợp kiến thức

- Thống kê toán học

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, kết luận thì luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ khác nhau

Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn

Chương 3: Ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn vào bài toán kỹ thuật

Chương 1 Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ khác nhau

Cho và là các không gian tuyến tính và : → là toán tử phi tuyến

(không nhất thiết phải tuyến tính) Cho hàm ∈ , giả sử rằng ta cần tìm ∈

sao cho:

= (1.1)

Đây là dạng tổng quát của phương trình toán tử trong các không gian

Theo khuôn khổ chung đó, những gì ta có thể nói về phương trình toán tử

(1.1) là nó có lời giải duy nhất khi và chỉ khi toán tử là khả nghịch và trong

trường hợp này lời giải duy nhất là = Ngược lại, phương trình (1.1) có

thể không có lời giải Do đó, ta có một vài câu hỏi như với những điều kiện nào

thì phương trình này là giải được (điều kiện giải được) và nếu như vậy thì đó có

phải là lời giải duy nhất (điều kiện duy nhất) và hơn thế nữa, nếu không xét đến

tính duy nhất hay không thì làm thế nào tìm ra nghiệm (điều kiện tính toán) Rõ

ràng, để trả lời các câu hỏi như vậy, ta cần mô tả chính xác hơn về phương trình,

chẳng hạn như một số điều kiện bổ sung nếu cần

Trong trường hợp đó, việc tìm cách giải cho phương trình (1.1) là rất khó

khăn hoặc thậm chí là không có lời giải, người ta nghĩ tới việc tìm lời giải gần

đúng (xấp xỉ) của nó Điều này là có thể, tuy nhiên vấn đề đặt ra là tìm xấp xỉ tốt

nhất

Xét phương trình (1.1), nếu cả hai không gian và đều là các không gian

tuyến tính vô hạn chiều thì lời giải tốt nhất sẽ được xác định, và phương pháp

tiếp cận chung để tìm xấp xỉ tốt nhất như sau: Đầu tiên chúng ta chọn một dãy

các không gian con tuyến tính { } của và một dãy các không gian con tuyến

tính { } của , chọn hai ánh xạ liên kết : → và : → tương ứng

Sau đó, ta dùng ánh xạ : → để xác định dãy toán tử : → bởi:

= | (1.2)

Giả sử toán tử bất kì được xác định trong không gian tuyến tính bất kì

Kí hiệu: | là hạn chế của trên tập con của Cuối cùng, ta sử dụng

= , ∈ , = 1,2, … (1.3)

như là một dãy các phương trình toán tử xấp xỉ với phương trình toán tử chính

xác (1.1) Nếu có thuật toán tìm được dãy nghiệm { } của phương trình toán tử

(1.3) thì ta gọi nó là thuật toán xấp xỉ cho phương trình toán tử (1.1), và kí hiệu

nó bởi Γ = { , ; , }

Để việc xác định thuật toán xấp xỉ được hữu ích và hiệu quả, một số câu hỏi

quan trọng phải được giải quyết:

(1) Phương trình xấp xỉ (1.3) có một nghiệm (duy nhất) với mỗi n hay

không?

(2) Nếu mỗi phương trình của (1.3) có một nghiệm thì dãy nghiệm { }

có hội tụ tới điểm đó hay không?

(3) Nếu dãy nghiệm { } hội tụ tới một điểm cho trước thì giới hạn của nó

có là nghiệm (duy nhất) của phương trình (1.1) không?

Câu trả lời cho ba câu hỏi này dẫn đến lời giải xấp xỉ của phương trình toán tử

(1.1) Để chính xác hơn ta đưa ra các định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1 Trong không gian tuyến tính , chuẩn của nó kí kiệu là: ∥ ∥

Một dãy ∈ được gọi là hội tụ mạnh tới ∈ , kí hiệu là → hoặc đơn

giản là → , nếu

lim→ ∥ − ∥ = 0 Một dãy ∈ được gọi là hội tụ yếu tới ∈ , kí hiệu là → nếu

lim→ ( − ) = 0 , ∀ ∈ ∗ Trong đó ∗ là không gian liên hợp của

Định nghĩa 1.2 Phương trình toán tử (1.1) được gọi là xấp xỉ duy nhất mạnh

(hoặc yếu) theo thuật toán xấp xỉ Γ nếu tồn tại một số nguyên > 0 sao cho

phương trình toán tử (1.3) có nghiệm duy nhất ∈ với mỗi ≥ , và dãy

{ } hội tụ mạnh (hoặc yếu) tới ∈ , trong đó là nghiệm duy nhất của

phương trình (1.1)

Định nghĩa 1.3 Phương trình toán tử (1.1) được gọi là xấp xỉ mạnh (hoặc yếu)

theo thuật toán xấp xỉ Γ nếu tồn tại một số nguyên > 0 sao cho phương trình

toán tử (1.3) có nghiệm ∈ với mỗi ≥ , và dãy { } có một dãy con

hội tụ mạnh (hoặc yếu) tới ∈ , trong đó là nghiệm duy nhất của phương

trình (1.1)

Rõ ràng để xác định rõ nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ (mạnh hay yếu) của dãy

các nghiệm xấp xỉ thì bốn phần tử trong thuật toán xấp xỉ Γ = { , ; , }

phải đáp ứng một số điều kiện nhất định Ví dụ như một điều kiện cần thiết là:

= (1.4) Điều kiện này chứng tỏ rằng tập hợp các dãy { } là trù mật trong

Với thuật toán xấp xỉ tốt nhất, các toán tử và được nói đến ở trên là

toán tử tuyến tính Nếu : → và : → là các toán tử chiếu tuyến

tính thì thuật toán xấp xỉ tương ứng sẽ đem lại một phương pháp chiếu được gọi

là thuật toán hình chiếu xấp xỉ

Đặc biệt, theo các điều kiện khác của toán tử và của bốn phần tử trong

thuật toán Γ = { , ; , }, ta có sự phân loại sau:

i Nếu = và = với mọi = 1,2, … thì phương pháp chiếu được

gọi là phương pháp Galerkin

ii Nếu Γ là toán tử tích phân hoặc vi phân và là không gian của những

hàm trơn thì cho ta phương pháp phần tử hữu hạn

iii Nếu và là không gian các hàm xác định trong Ω ⊂ ℝ và :

→ là toán tử nội suy xác định bởi

( )( ) = ( ) ( )

Trong đó , , … , ∈ Ω, ( ) ∈ và { , … , } là một cơ sở của ,

khi đó phương trình toán tử xấp xỉ (1.3) trở thành:

Với mọi ∈ Ω, điều này tương đương với:

| = | , = 1,2, … , (1.5) Đây là phương pháp Collocation

iv Nếu và là không gian Hilbert với tích vô hướng 〈∙, ∙〉 và

= { , … , },

= { , … , } tương ứng, và và đều là toán tử chiếu trực

giao, khi đó phương trình toán tử xấp xỉ (1.3) tương đương với:

〈 − , 〉 = 0, = 1,2, … , (1.6) Đây là phương pháp Galerkin-Petrov Đặc biệt, nếu = , =

1,2, …, với toán tử tuyến tính : → được chọn thích hợp thì đây là

phương pháp moment Mặt khác, nếu : → là toán tử tuyến tính và

= , = 1,2, …, thì nó là phương pháp bình phương tối thiểu, ví dụ

trong trường hợp này các điều kiện trong (1.6) cùng tương đương với tối

thiểu

min∈ ∥ − ∥ Hơn nữa, nếu = và = , = 1,2, …, thì nó trở thành phương pháp

Bubnov-Galerkin

Chương 2 Phương pháp phần tử hữu hạn

2.1 Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn tương tự như phương pháp Rayleigh-Ritz để

tìm nghiệm xấp xỉ cho những bài toán giá trị biên Ban đầu, nó được dùng trong

các ngành kỹ thuật, nhưng bây giờ nó còn được sử dụng để tìm nghiệm xấp xỉ

cho những phương trình vi phân đạo hàm riêng trong các lĩnh vực của toán ứng

dụng

Một ưu thế của phương pháp phần tử hữu hạn so với phương pháp sai phân

hữu hạn là điều kiện biên của bài toán được xử lý tương đối dễ dàng Nhiều bài

toán vật lý có điều kiện biên liên quan đến đạo hàm và dạng biên không đều

Điều kiện biên của loại này khó xử lý nếu sử dụng kỹ thuật của phương pháp sai

phân hữu hạn bởi mỗi điều kiện biên liên quan đến một đạo hàm phải được xấp

xỉ bằng tỉ sai phân tại những điểm lưới và dạng biên không đều làm cho việc đặt

các điểm lưới khó khăn Phương pháp phần tử hữu hạn bao gồm điều kiện biên

là những tích phân trong một phiếm hàm được cực tiểu hóa, vì vậy thủ tục xây

dựng những điều kiện biên của bài toán là độc lập

Ở đây, chúng ta xét phương trình vi phân đạo hàm riêng

( , ) + ( , ) + ( , ) ( , ) = ( , ) (2.1)

với ( , ) ∈ , trong đó là miền phẳng với biên

Điều kiện biên:

( , ) = ( , ) (2.2)

được đặt trên khúc của biên Trên đoạn còn lại của biên, , nghiệm ( , )

cần tìm thỏa mãn:

( , ) ( , ) cos + ( , ) ( , ) cos + ( , ) ( , ) = ( , )

(2.3) Trong đó và là các góc định hướng của pháp tuyến ngoài với biên tại

điểm ( , ) (xem hình 2.1)

Những bài toán vật lý trong các lĩnh vực cơ học vật rắn và tính đàn hồi có

liên quan đến những phương trình vi phân đạo hàm riêng tương tự như phương

trình (2.1) Nghiệm để bài toán loại này cực tiểu hóa một phiếm hàm nhất định

trên một lớp hàm được xác định bởi bài toán

Giả sử , , và là những hàm liên tục trên ∪ , và có đạo hàm

riêng cấp một liên tục, liên tục trên , và liên tục trên Giả sử, thêm

rằng, ( , ) > 0, ( , ) > 0, ( , ) ≤ 0 và ( , ) > 0 thì nghiệm duy

nhất của phương trình (2.1) cực tiểu hóa phiếm hàm sau:

Tiếp tuyến Pháp tuyến

[ ] = 12 ( , ) + ( , ) − ( , )

+ ( , ) + – ( , ) +12 ( , ) (2.4) [ ] xác định trên tập tất cả các hàm khả vi cấp hai liên tục thỏa mãn phương

trình (2.2) trên Phương pháp phần tử hữu hạn lấy xấp xỉ nghiệm này bằng

cách cực tiểu hóa phiếm hàm trên một lớp nhỏ hơn

Bước đầu tiên là chia miền đã cho ra thành một số hữu hạn các miền nhỏ,

hay còn gọi là các phần tử, theo một quy định, hoặc là thành các hình chữ nhật

hoặc các tam giác (xem hình 2.2)

Tập hợp các hàm dùng cho xấp xỉ là tập hợp các đa thức xác định trên các

miền con bậc cố định với và Phép xấp xỉ đòi hỏi những đa thức đó được

ghép lại với nhau thành một hình để kết quả hàm số là liên tục khả tích hoặc đạo

hàm bậc nhất hoặc bậc hai liên tục trên miền nguyên Những đa thức kiểu tuyến

tính theo và :

Hình 2.2

thường được sử dụng với các phần tử tam giác, trong khi đa thức kiểu song

tuyến tính của và :

được sử dụng với các phần tử hình chữ nhật

Ở đây, chúng ta giả sử rằng miền được chia nhỏ thành những phần tử

tam giác Tập hợp các tam giác được kí hiệu là , và các đỉnh của những tam

giác này được gọi là các điểm nút Phương pháp tìm xấp xỉ cho bởi công thức:

trong đó , , …, là những mẩu đa thức tuyến tính độc lập tuyến tính và

, , …, là các hằng số Một vài hằng số này như , , …, dùng

để đảm bảo điều kiện biên, ( , ) = ( , ), thỏa mãn trên , những hằng số

còn lại , , …, để cực tiểu hóa phiếm hàm [∑ ]

Để cực tiểu xảy ra, xét như một hàm của , , …, , cần phải có:

= 0 , = 1,2, … , Lấy đạo hàm phương trình (2.5) ta được:

= ( , ) ( , ) ( , ) + ( , ) ( , ) ( , )

− ( , ) ( , ) ( , )+ ( , ) ( , ) ( , ) (2.6) với mỗi = 1,2, … , , = 1,2, … , và

với mỗi = 1,2, … ,

Lựa chọn các hàm cơ sở cụ thể là quan trọng bởi vì cách chọn thích hợp có

thể làm ma trận xác định dương Trong bài toán cấp hai (2.1) chúng ta giả

thiết rằng là một đa giác, vì vậy = và là tập hợp các đường thẳng tiếp

giáp nhau

Để bắt đầu quá trình chúng ta chia nhỏ ra thành tập hợp các tam giác

, , … , Với tam giác thứ có 3 đỉnh, hay còn gọi là 3 điểm nút ta kí hiệu

0 ếế ≠

Từ đây cho ta hệ phương trình tuyến tính có dạng:

11

010

với phần tử 1 xuất hiện ở hàng thứ trong véc-tơ vế phải (ở đây = 2)

Cho , , … , là kí hiệu của những điểm nút nằm trong ∪ Với mỗi

điểm nút , chúng ta gắn với một hàm mà tuyến tính trên mỗi tam giác có

giá trị 1 ở và 0 ở mỗi điểm nút khác Cách chọn này làm cho đồng nhất

với ( ) trên tam giác khi điểm nút là đỉnh được kí hiệu là ( )

Ví dụ 1: Giả sử bài toán phần tử hữu hạn gồm hai tam giác và cho trong

hình 2.3

Hàm tuyến tính ( )( , ) mà giả thiết nhận giá trị 1 tại điểm (1,1) và giá trị 0

tại hai điểm (0,0) và (-1, 2) thỏa mãn:



(1) 2 V

 1,2

(1) 1 V

 1,1

(2) 2

(2) 3 V

(2) 1 V

-

-

( )( , ) = 23 +13Một cách tương tự, hàm tuyến tính ( )( , ) mà giả thiết nhận giá trị 1 tại điểm

(1,1) và giá trị 0 tại hai điểm (0,0) và (1,0) thỏa mãn:

( )+ ( )(1) + ( )(1) = 1

( )+ ( )(0) + ( )(0) = 0

và

( )+ ( )(1) + ( )(0) = 0

Vì vậy ( ) = 0 , ( ) = 0, ( ) = 1 Hiển nhiên, ( )( , ) = Chú ý rằng

trên biên chung của và , ( )( , ) = ( )( , ) bởi vì =

Xem hình 2.4 là một đoạn phía trên bên trái của biên trong hình 2.2 Chúng

ta sẽ tạo ra những con số trong ma trận tương ứng với những điểm nút trong

hình này Để đơn giản, chúng ta giả thiết rằng không phải là một trong các

Mối quan hệ giữa các điểm nút và các đỉnh của những tam giác trong đoạn này

, = ( ) ( ) + ( ) ( )

+ ( ) ( ) + ( ) ( )

Tất cả những tích phân bội hai trên quy về những tích phân bội hai trên

các tam giác Thủ tục thông thường để tính tất cả các tích phân có thể và gộp

chúng lại thành một số trong Tương tự, tích phân bội hai có dạng:

Vì là một đỉnh của cả và , một phần của được xác định bởi

hạn chế với và phần còn lại được xác định bởi hạn chế với Thêm vào

đó, những điểm nút thuộc về có tích phân đường được cộng thêm vào chúng

trong và

Thuật toán 2.1 thực hiên phương pháp phần tử hữu hạn trên một phương

trình vi phân elip bậc hai Thuật toán thiết lập tất cả các giá trị của ma trận và

vecto ban đầu là 0, sau đó tất cả các phép lấy tích phân được thực hiện trên tất

cả các tam giác, cuối cùng thêm những giá trị này vào cho phù hợp trong và

Thuật toán 2.1: Phần tử hữu hạn

Xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng:

với các điều kiện biên:

( , ) = ( , ) , ( , ) ∈ cho ( , ) ∈ :

( , ) ( , ) cos + ( , ) ( , ) cos + ( , ) ( , ) = ( , )

trong đó ∪ là biên của và , là các góc định hướng của pháp tuyến

với biên:

Bước 0: Chia miền thành những tam giác , … , sao cho:

, … , là những tam giác không có cạnh nằm trên hoặc ;

(Chú ý: = 0 nghĩa là không có tam giác nào nằm trong )

, … , là những tam giác có ít nhất một cạnh nằm trên ; , … , là những tam giác còn lại

(Chú ý: = nghĩa là tất cả các tam giác có cạnh nằm trên )

Gắn nhãn 3 đỉnh của tam giác là:

( ), ( ) , ( ), ( ) , ( ), ( )Gắn nhãn các điểm nút (các đỉnh) là , … , , trong đó , … ,

nằm trong ∪ và , … , nằm trên

(Chú ý: = nghĩa là không có điểm nút nào.)

INPUT các số nguyên , , , , ; các đỉnh ( ), ( ) , ( ), ( ) ,

( ), ( ) với mỗi = 1, … , ; các điểm nút với mỗi = 1, … ,

OUTPUT các hằng số , … , ; ( ), ( ), ( ) với mỗi = 1, 2, 3 và =

for = 1, 2, 3 for = 1, … , (tính tất cả các tích phân bội hai trên các tam giác)

for = 1, 2, 3 for = 1, … , đặt ( ), = ∫ ( , ) ( )( , ) ( )( , ) ; đặt ( ) = ∫ ( , ) ( )( , )

Bước 6 For = + 1, … , thực hiện các bước 7-12 (ghép các tích phân trên

mỗi tam giác thành hệ tuyến tính.) Bước 7 For = 1, 2, 3 thực hiện các bước 8-12

Bước 8 Tìm sao cho = ( ( ), ( ))

Bước 9 If > then for = 1, … , − 1 do Các bước 10, 11

Bước 10 Tìm sao cho = ( ( ), ( ))

Bước 11 If ≤ then

if ≤ then đặt = + ( ), ;

= + ( ),else đặt = − ( ), ; else

if ≤ then đặt = − ( ),

Bước 12 If ≤ then đặt = + ( ), ;

= + ( ) Bước 13 For = + 1, … , thực hiện các bước 14-19 (ghép các tích phân

đường thành hệ tuyến tính.) Bước 14 For = 1, 2, 3 thực hiện các bước 15-19

Bước 15 Tìm sao cho = ( ( ), ( ))

Bước 16 If > then for = 1, … , − 1 do Các bước 17, 18

Bước 17 Tìm sao cho = ( ( ), ( ))

Bước 18 If ≤ then

if ≤ then đặt = + ( ), ;

= + ( ),else đặt = − ( ), ; else

if ≤ then đặt = − ( ), Bước 19 If ≤ then đặt = + ( ), ;

= + ( ) Bước 20 Giải hệ tuyến tính = , trong đó = , , = ( ), = ( ),

Ví dụ 2: Nhiệt độ ( , ) nằm trong miền hai chiều thỏa mãn phương trình

Laplace:

( , ) + ( , ) = 0 ê Xét miền cho trong hình 2.5 với điều kiện biên cho như sau:

( , ) = 4, ( , ) ∈ , ( , ) ∈ ; ( , ) = , ( , ) ∈ , ( , ) ∈ ; ( , ) = , ( , ) ∈ ;

( , ) = +

√2 , ( , ) ∈ , ( , ) ∈ ; trong đó / là đạo hàm theo hướng trong hướng của pháp tuyến với biên

của miền tại điểm ( , )

7

L

Đầu tiên chúng ta chia miền ra thành các tam giác theo gợi ý ở bước 0

của thuật toán Ví dụ, = ∪ và = ∪ ∪ ∪ ∪ Kí hiệu của

những tam giác được cho trong hình 2.6

Điều kiện biên ( , ) = 4 trên và có nghĩa là = 4 khi =

02.5

9

E E10 E11

Hình 2.6

Nghiệm của phương trình = là:

⎥

⎥

⎤

Nghiệm này cho ta xấp xỉ tới nghiệm của phương trình Laplace và điều

kiện biên trên những tam giác tương ứng:

Nghiệm thực của bài toán giá trị biên là ( , ) = + 4 Bảng 2.7 so sánh giá

trị của với giá trị của tại , với mỗi = 1, … , 5

Thông thường sai số của những bài toán eliptic bậc hai loại (2.1) với những

hàm hệ số trơn là (ℎ ), trong đó ℎ là đường kính lớn nhất của các phần tử tam

giác Chia nhỏ các hàm cơ sở song tuyến tính trên phần tử hình chữ nhật cũng

cho ta kết quả (ℎ ), trong đó ℎ là độ dài đường chéo lớn nhất của các phần tử

hình chữ nhật Các lớp hàm cơ sở khác có thể được sử dụng để cho kết quả

(ℎ ), nhưng cách xây dựng khá phức tạp Các định lý sai số cho phương pháp

phần tử hữu hạn khó phát biểu và áp dụng bởi độ chính xác của xấp xỉ phụ thuộc

vào tính liên tục của nghiệm và của biên

Phương pháp phần tử hữu hạn cũng có thể được áp dụng vào những

phương trình vi phân đạo hàm riêng loại parabol và hypebol, nhưng thủ tục cực

tiểu khó khăn hơn

2.2 Phần tử hữu hạn

Xét mọi bộ ba ( , , ∑) trong đó các mỗi thành phần , và ∑ có các thể

hiện và quan hệ như sau:

i K là một tập con compact thuộc Rn, khác rỗng có biên liên tục

Lipschitz

ii P là không gian véc-tơ hữu hạn (m) chiều, gồm các hàm xác định trên

K có giá trị thực

Định nghĩa 1.1: Tập hợp ∑ = { }, = 1, … , , của các điểm ∈ là

-duy nhất giải nếu:

∀ ∈ ℝ, = 1, … , , tồn tại duy nhất ∈ sao cho

( ) = , ∀ = 1, … , (2.8) Định nghĩa 1.2: Phần tử hữu hạn là mọi bộ ba ( , , ∑) sao cho -duy

nhất giải Hàm ∈ là hàm cơ sở của phần tử hữu hạn, xác định bằng:

= , 1 ≤ , ≤ (2.9)

Định nghĩa 1.3: Cho là hàm bất kỳ : → ℝ

Xét ánh xạ : { } →

↦ sao cho ( ) = ( ), = 1, … , (2.10)

Ta gọi: là -nội suy trên ∑

Nếu ta xét các hàm cơ sở của xác định bằng (2.9) thì ta có:

Nếu sử dụng xấp xỉ nút để xây dựng một hàm xấp xỉ ( ) cho toàn miền

xác định , nói chung sẽ gặp khó khăn sau:

i Xây dựng hàm xấp xỉ ( ) là khó khăn, vì việc chọn lựa chọn các điểm

nút (tương ứng với giá trị hàm ) là quan trọng

ii Bài toán sẽ rất khó khăn khi miền xác định là một miền phức tạp

iii Hàm xấp xỉ ( ) sẽ phải thỏa mãn các điều kiện trên toàn biên

Phương pháp xấp xỉ nút trên các miền con sẽ làm đơn giản hóa cấu trúc của

hàm xấp xỉ ( ) và rất thuận lợi cho các tính toán trên máy tính Ý tưởng

của phương pháp này như sau :

i Chia miền xác định của bài toán ra thành các miền con

ii Xây dựng hàm xấp xỉ ( ) khác nhau trên mỗi miền con bằng

phương pháp xấp xỉ qua nút như trên Mỗi hàm ( ) này có thể phụ

thuộc vào các biến nút của riêng miền con này

Phương pháp xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn là phương pháp xấp xỉ nút trên

các miền con, nhưng cần đáp ứng các yêu cầu sau: