Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng

Sở dĩnhư vậy là vì việc nghiên cứu hoàn thiện các phương pháp tính thuộc lĩnh vực Cơ học các môi trường liên tục không những bao gồm nghiên cứu hoàn thiệncách giải về mặt Toán học mà còn

Trần Thanh Khuê - K35 CN

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự cố gắng của bản thân, đặc biệt

là sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh đã

giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu để em có thể hoàn thành khóa luận

Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành nhất

tới thầy Khuất Văn Ninh, cũng như sự quan tâm, chỉ bảo, góp ý kiến của thầy

giáo, cô giáo trong tổ hình học, các thầy cô giáo trong khoa Toán đã giúp đỡ emhoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Do điều kiện có hạn và kinh nghiệm cũng như kiến thức của bản thân emcòn nhiều hạn chế cho nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Kínhmong các thầy cô giáo cùng bạn đọc nhận xét và góp ý kiến để em rút kinhnghiệm và có thể hoàn thiện, phát triển khóa luận về sau này

Một lần nữa, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lời chúc sức khỏe đếncác thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Trần Thanh Khuê

Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thanh Khuê - K35 CN

Trần Thanh Khuê - K35 CN

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìm hiểu,nghiên cứu của bản thân, cùng với sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của thầy giáo

PGS.TS Khuất Văn Ninh cũng như các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích

của khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận này không trùng với kết quả của các tác giả khác Nếu trùng

em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạnđọc để khóa luận ngày càng hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Trần Thanh Khuê

Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thanh Khuê - K35 CN

Trần Thanh Khuê - K35 CN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ khác nhau 1

Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn 5

2.1 Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn 5

2.2 Phần tử hữu hạn 22

2.3 Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn 23

2.4 Các dạng phần tử cơ bản thường dùng 24

2.4.1 Phần tử một chiều 24

2.4.2 Phần tử hai chiều 25

2.4.3 Phần tử ba chiều 25

2.5 Xấp xỉ trên phần tử tham chiếu 27

2.5.1 Định lý 27

2.5.2 Phần tử tham chiếu 27

2.5.3 Về phép biến đổi hình hoc giữa phần tử tham chiếu và phần tử thực 29

2.6 Xây dựng các hàm N(£˜ ) và N(£˜ ) 34

2.6.1 Phương pháp tổng quát 34

2.6.2 Tính chất của các hàm N(£˜ ) và N(£˜) 38

Chương 3: Ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn vào bài toán kỹ thuật 40 3.1 Tính chất cơ học tổng quát của bài toán đàn nhớt 40

3.2 Về một phương pháp giải bài toán đàn nhớt tuvến tính đẳng nhiệt 44

3.2.1 Nguyên lý tương ứng 44

3.2.2 Phát biểu bài toán biên đàn nhớt tuyến tính 45

3.2.3 Bài toán đàn hồi kết hợp 45

3.3 Giải bài toán đàn nhớt tuyến tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn 46

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thanh Khuê - K35 CN

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giai đoạn phát triển hiện nay của cơ học các môi trường liên tục liên hệchặt chẽ với sự hoàn thiện các phương pháp tính toán và việc sử dụng rộng rãimáy tính điện tử Quá trình giải quyết các bài toán kỹ thuật thường dẫn tới kếtcục phải giải các phương trình vi phân, các phương trình tích phân hoặc cácphương trình đại số Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng, việc hoàn thiện cácphương pháp tính về phương diện Toán học không hoàn toàn đồng nhất với việchoàn thiện các phương pháp tính trong Cơ học các môi trường liên tục Sở dĩnhư vậy là vì việc nghiên cứu hoàn thiện các phương pháp tính thuộc lĩnh vực

Cơ học các môi trường liên tục không những bao gồm nghiên cứu hoàn thiệncách giải về mặt Toán học mà còn có cả việc nghiên cứu hoàn thiện mô hìnhtính toán, cũng như hoàn thiện cách đặt bài toàn dựa vào những khái niệm Vật lý

và yêu cầu kỹ thuật sao cho bài toán vừa đơn giản, vừa phản ánh với thực tiễn.Người ta thường hay sử dụng rộng rãi các phương pháp biến phân làm công cụ

để hoàn thiện các phương pháp tính trong cơ học các môi trường iên tục Trong

số đó, Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp sai biến phân hiệu

quả được ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực của Cơ học các môi trường liêntục như cơ học kết cấu, động lực học và ổn định công trình, lý thuyết đàn hồi, lýthuyết dẻo, lý thuyết từ biến, cơ học chất lỏng và chất khí, cơ học đất,…

Phương pháp phần tử hữu hạn được xem như một công cụ vạn năng, tiệnlợi và được ứng dụng rộng rãi trong ngành xây dựng cơ bản, giao thông, thủylợi, chế tạo máy móc, chế tạo tàu thủy,chế tạo máy bay,…

Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng đặc biệt tiện lợi để giải cácbài toán ổn định và động lực học công trình Cần chú ý rằng, sử dụng máy tínhđiện tử để tính kết cấu phức tạp theo phương pháp phần tử hữu hạn không những

Trần Thanh Khuê - K35 CN 2

Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thanh Khuê - K35 CN

làm phát triển nhảy vọt các phương pháp tính rời rạc hóa khi ta thay thế các hệliên tục bằng các mô hình rời rạc, mà còn có thể tạo ra hiệu quả ngược lại, tức làcho phép lập được các phương trình vi phân xuất phát từ việc khảo sát các hệ rờirạc Nhờ đó tạo ra khả năng cho ta đơn giản hóa các bài toán hai chiều, ba chiều

về các bài toán một chiều

Với mong muốn được tìm hiểu những kiến thức cơ bản nhất về phươngpháp phần tử hữu hạn và những ứng dụng khác nhau của phương pháp để giảiquyết một số bài toán kỹ thuật như trên, tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu:

“Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng”.

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu: “Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng” trên

cơ sở đó nhằm nghiên cứu những vấn đề cơ bản nhất của phương pháp phần tửhữu hạn, áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn

- Cách giải một số bài toán kỹ thuật bằng phương pháp phần tử hữu hạn

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tìm kiếm tài liệu

- Nghiên cứu tài liệu

- Phân tích, tổng hợp kiến thức

- Thống kê toán học

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, kết luận thì luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ khác nhau

Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn

Chương 3: Ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn vào bài toán kỹ thuật

Trần Thanh Khuê - K35 CN 2

Khóa luận tốt nghiệp

Chương 1 Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ khác nhau

Cho X và Y là các không gian tuyến tính và T:X → Y là toán tử phi tuyến(không nhất thiết phải tuyến tính) Cho hàm ƒ ∈ Y, giả sử rằng ta cần tìm u ∈

X sao cho:

Đây là dạng tổng quát của phương trình toán tử trong các không gian

Theo khuôn khổ chung đó, những gì ta có thể nói về phương trình toán tử(1.1) là nó có lời giải duy nhất khi và chỉ khi toán tử T là khả nghịch và trongtrường hợp này lời giải duy nhất là u = T–1ƒ Ngược lại, phương trình (1.1)

có thể không có lời giải Do đó, ta có một vài câu hỏi như với những điềukiện nào thì phương trình này là giải được (điều kiện giải được) và nếu nhưvậy thì đó có phải là lời giải duy nhất (điều kiện duy nhất) và hơn thế nữa,nếu không xét đến tính duy nhất hay không thì làm thế nào tìm ra nghiệm(điều kiện tính toán) Rõ ràng, để trả lời các câu hỏi như vậy, ta cần mô tảchính xác hơn về phương trình, chẳng hạn như một số điều kiện bổ sung nếucần

Trong trường hợp đó, việc tìm cách giải cho phương trình (1.1) là rất khókhăn hoặc thậm chí là không có lời giải, người ta nghĩ tới việc tìm lời giải gầnđúng (xấp xỉ) của nó Điều này là có thể, tuy nhiên vấn đề đặt ra là tìm xấp xỉ tốtnhất

Xét phương trình (1.1), nếu cả hai không gian X và Y đều là các không giantuyến tính vô hạn chiều thì lời giải tốt nhất sẽ được xác định, và phương pháptiếp cận chung để tìm xấp xỉ tốt nhất như sau: Đầu tiên chúng ta chọn một dãycác không gian con tuyến tính {Xn } của X và một dãy các không gian contuyến

tính {Yn} của Y, chọn hai ánh xạ liên kết Pn : X → Xn và Qn: Y → Yn tương ứng

Trần Thanh Khuê - K35 CN 1

Khóa luận tốt nghiệp

Sau đó, ta dùng ánh xạ Qn: Y → Yn để xác định dãy toán tử Tn : Xn → Yn bởi:

Giả sử toán tử bất kì A được xác định trong không gian tuyến tính Z bất kì

Kí hiệu: A| ZO là hạn chế của A trên tập con ZO của Z Cuối cùng, ta sử dụng

(2) Nếu mỗi phương trình của (1.3) có một nghiệm un thì dãy nghiệm {un}

có hội tụ tới điểm đó hay không?

(3) Nếu dãy nghiệm {un} hội tụ tới một điểm cho trước thì giới hạn của nó

có là nghiệm (duy nhất) của phương trình (1.1) không?

Câu trả lời cho ba câu hỏi này dẫn đến lời giải xấp xỉ của phương trình toán tử (1.1) Để chính xác hơn ta đưa ra các định nghĩa sau:

Trong đó X ∗ là không gian liên hợp của X

Định nghĩa 1.2 Phương trình toán tử (1.1) được gọi là xấp xỉ duy nhất mạnh

(hoặc yếu) theo thuật toán xấp xỉ Γn nếu tồn tại một số nguyên N > 0 sao

Trần Thanh Khuê - K35 CN 3

Khóa luận tốt nghiệp

cho

phương trình toán tử (1.3) có nghiệm duy nhất un ∈ Xn với mỗi n ≥ N, và dãy{un} hội tụ mạnh (hoặc yếu) tới u ∈ X, trong đó u là nghiệm duy nhất của phương trình (1.1).

Định nghĩa 1.3 Phương trình toán tử (1.1) được gọi là xấp xỉ mạnh (hoặc yếu)

theo thuật toán xấp xỉ Γn nếu tồn tại một số nguyên N > 0 sao cho phương trình

toán tử (1.3) có nghiệm un ∈ Xn với mỗi n ≥ N, và dãy {un} có một dãy conhội tụ mạnh (hoặc yếu) tới u ∈ X, trong đó u là nghiệm duy nhất của phươngtrình (1.1)

Rõ ràng để xác định rõ nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ (mạnh hay yếu) củadãy các nghiệm xấp xỉ thì bốn phần tử trong thuật toán xấp xỉ Γn = {Xn,Pn

;Yn ,Qn } phải đáp ứng một số điều kiện nhất định Ví dụ như một điều kiệncần thiết là:

¯œ¯ ¯ ¯

n=1

Điều kiện này chứng tỏ rằng tập hợp các dãy {Xn }là trù mật trong X

Với thuật toán xấp xỉ tốt nhất, các toán tử Pn và Qn được nói đến ở trên

là toán tử tuyến tính Nếu Pn: X → Xn và Qn: Y → Yn là các toán tử chiếu tuyến

tính thì thuật toán xấp xỉ tương ứng sẽ đem lại một phương pháp chiếu được gọi

là thuật toán hình chiếu xấp xỉ

Đặc biệt, theo các điều kiện khác của toán tử T và của bốn phần tử trong thuật toán Γn = {Xn,Pn;Yn,Qn}, ta có sự phân loại sau:

i Nếu X = Y và Xn = Yn với mọi n = 1,2,… thì phương pháp chiếu được

gọi là phương pháp Galerkin.

ii Nếu Γ là toán tử tích phân hoặc vi phân và Xn là không gian của những

hàm trơn thì cho ta phương pháp phần tử hữu hạn.

iii Nếu X và Y là không gian các hàm xác định trong Ω ⊂ ℝ m và

Khóa luận tốt nghiệp

Qn: Y → Yn là toán tử nội suy xác định bởi

Đây là phương pháp Collocation.

iv Nếu X và Y là không gian Hilbert với tích vô hướng 〈∙,∙〉và

Đây là phương pháp Galerkin-Petrov Đặc biệt, nếu ƒ i = M $ i,

i = 1,2,… ,với toán tử tuyến tính M : X → Y được chọn thích hợp thì đây là

phương pháp moment Mặt khác, nếu T:X → Y là toán tử tuyến tính

và ƒ i = T$ i, i = 1,2,… ,thì nó là phương pháp bình phương tốithiểu, ví dụ trong trường hợp này các điều kiện trong (1.6) cùngtương đương với tối

thiểu

min

un ∈Xn ∥ Tun − ƒ ∥FHơn nữa, nếu X = Y và ƒ i = $ i,i = 1,2,… ,thì nó trở thành phươngpháp Bubnov-Galerkin

Khóa luận tốt nghiệp

Chương 2 Phương pháp phần tử hữu hạn

2.1 Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn.

Phương pháp phần tử hữu hạn tương tự như phương pháp Rayleigh-Ritz đểtìm nghiệm xấp xỉ cho những bài toán giá trị biên Ban đầu, nó được dùng trongcác ngành kỹ thuật, nhưng bây giờ nó còn được sử dụng để tìm nghiệm xấp xỉ cho những phương trình vi phân đạo hàm riêng trong các lĩnh vực của toán ứng dụng

Một ưu thế của phương pháp phần tử hữu hạn so với phương pháp sai phân hữu hạn là điều kiện biên của bài toán được xử lý tương đối dễ dàng Nhiều bài toán vật lý có điều kiện biên liên quan đến đạo hàm và dạng biên không đều.Điều kiện biên của loại này khó xử lý nếu sử dụng kỹ thuật của phương pháp saiphân hữu hạn bởi mỗi điều kiện biên liên quan đến một đạo hàm phải được xấp

xỉ bằng tỉ sai phân tại những điểm lưới và dạng biên không đều làm cho việc đặtcác điểm lưới khó khăn Phương pháp phần tử hữu hạn bao gồm điều kiện biên

là những tích phân trong một phiếm hàm được cực tiểu hóa, vì vậy thủ tục xây dựng những điều kiện biên của bài toán là độc lập

Ở đây, chúng ta xét phương trình vi phân đạo hàm riêng

&x (g(x,y)&x)

(q(x,y)

&y) + r(x,y)u(x,y) = ƒ(x,y) (2.1)

với (x,y) ∈ Ð , trong đó Ð là miền phẳng với biên S

Điều kiện biên:

được đặt trên khúc S1 của biên Trên đoạn còn lại của biên, S2, nghiệm u(x,y)cần tìm thỏa mãn:

Khóa luận tốt nghiệp

&x(x,y)cos8q(x,y) 1 + &

g2(x,y)(2.3)Trong đó 81 và 82 là các góc định hướng của pháp tuyến ngoài với biên tại điểm (x,y) (xem hình 2.1)

Hình 2.1

Những bài toán vật lý trong các lĩnh vực cơ học vật rắn và tính đàn hồi cóliên quan đến những phương trình vi phân đạo hàm riêng tương tự như phươngtrình (2.1) Nghiệm để bài toán loại này cực tiểu hóa một phiếm hàm nhất địnhtrên một lớp hàm được xác định bởi bài toán

Giả sử g,q,r và ƒ là những hàm liên tục trên Ð ∪ S, g và q có đạo hàmriêng cấp một liên tục, g liên tục trên S1, g1 và g2 liên tục trên S2 Giả

sử, thêm rằng, g(x,y) > 0,q(x,y) > 0, r(x,y) ≤ 0 và g1(x,y) > 0 thì nghiệm duy nhất của phương trình (2.1) cực tiểu hóa phiếm hàm sau:

Khóa luận tốt nghiệp

1I[w ]= fl {

1(x,y)w2

I[w ]xác định trên tập tất cả các hàm khả vi cấp hai liên tục w thỏa mãn phươngtrình (2.2) trên S1 Phương pháp phần tử hữu hạn lấy xấp xỉ nghiệm này bằng cách cực tiểu hóa phiếm hàm Itrên một lớp nhỏ hơn

Bước đầu tiên là chia miền đã cho ra thành một số hữu hạn các miền nhỏ,hay còn gọi là các phần tử, theo một quy định, hoặc là thành các hình chữ nhậthoặc các tam giác (xem hình 2.2)

Hình 2.2Tập hợp các hàm dùng cho xấp xỉ là tập hợp các đa thức xác định trên các miền con bậc cố định với x và y Phép xấp xỉ đòi hỏi những đa thức đó được ghép lại với nhau thành một hình để kết quả hàm số là liên tục khả tích hoặc đạo hàm bậc nhất hoặc bậc hai liên tục trên miền nguyên Những đa thức kiểu tuyến tính theo x và y:

$ (x,y) = a + bx + cy

Khóa luận tốt nghiệp

Ở đây, chúng ta giả sử rằng miền Ð được chia nhỏ thành những phần tửtam giác Tập hợp các tam giác được kí hiệu là D, và các đỉnh của những tamgiác này được gọi là các điểm nút Phương pháp tìm xấp xỉ cho bởi công thức:

m

+ q(x,y)[)

yi

i=1 m

Khóa luận tốt nghiệp

i=1

Để cực tiểu xảy ra, xét Inhư một hàm của y1, y2, …, yn, cần phải có:

&$j

&y (x,y)

i=1 Ð

− r(x,y)$ i(x,y)$j(x,y)}dxdy

+ ƒ g1(x,y)$ i(x,y)$j(x,y)dS]yi

Khóa luận tốt nghiệp

Hệ phương trình này có thể được viết dưới dạng tuyến tính:

Ac = btrong đó c = (y1,y2,… ,yn)t và A = (αij), b = (þ1,þ2,… ,þn)t được xác định bởi:

&$ i &$j &$ i &$j

αij = fl {g(x,y)

&x (x,y)

&x (x,y)+ q(x,y)

&y (x,y) &y (x,y)

Để bắt đầu quá trình chúng ta chia nhỏ D ra thành tập hợp các tam giác

T1,T2 ,… ,TM Với tam giác thứ i có 3 đỉnh, hay còn gọi là 3 điểm nút ta kí hiệu là:

(i) (i) (i)

Vj = (xj ,

yj) , j= 1,2,3

Để đơn giản ta viết Vj = (xj,yj) khi nói đến tam giác cố định Ti với mỗi đỉnh Vj chúng ta xét một đa thức tuyến tính:

(i) (i)

Nj (x,y) ≡ Nj(x,y) = aj + bjx + cjy

1 nếếu j= ktrong đó

Trần Thanh Khuê - K35 CN 1

Khóa luận tốt nghiệp

[1 x2 y2][bj] = [1]

2

với phần tử 1 xuất hiện ở hàng thứ jtrong véc-tơ vế phải (ở đây j= 2)

Cho E1,E2,… ,En là kí hiệu của những điểm nút nằm trong D ∪ S Với mỗi điểm nút Ek , chúng ta gắn với một hàm $ k mà tuyến tính trên mỗi tam giác có giá trị 1 ở Ek và 0 ở mỗi điểm nút khác Cách chọn này làm cho $ k đồng nhất

(x,y) mà giả thiết nhận giá trị 1 tại điểm (1,1) và giá trị 0

tại hai điểm (0,0) và (-1, 2) thỏa mãn:

Xem hình 2.4 là một đoạn phía trên bên trái của biên trong hình 2.2 Chúng

ta sẽ tạo ra những con số trong ma trận A tương ứng với những điểm nút trong hình này Để đơn giản, chúng ta giả thiết rằng E1 không phải là một trong cácđiểm nút trên S2

Khóa luận tốt nghiệp

Mối quan hệ giữa các điểm nút và các đỉnh của những tam giác trong đoạn này

= b(1), &$1 = c(1), &$ 3 = b(1) rà &$ 3 = c(1)

Khóa luận tốt nghiệp

y) dxdy

Tất cả những tích phân bội hai trên D quy về những tích phân bội hai trên các tam giác Thủ tục thông thường để tính tất cả các tích phân có thể và gộp chúng lại thành một số αij trong A Tương tự, tích phân bội hai có dạng:

Khóa luận tốt nghiệp

đó, những điểm nút thuộc về S2 có tích phân đường được cộng thêm vào chúng trong A và b

Thuật toán 2.1 thực hiên phương pháp phần tử hữu hạn trên một phương trình vi phân elip bậc hai Thuật toán thiết lập tất cả các giá trị của ma trận A và vecto b ban đầu là 0, sau đó tất cả các phép lấy tích phân được thực hiện trên tất

cả các tam giác, cuối cùng thêm những giá trị này vào cho phù hợp trong A và b

Thuật toán 2.1 : Phần tử hữu hạn

Xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng:

&x (g(x,y)&x) +

với các điều kiện biên:

&x (x,y)cos81 +

q(x,y)

&y

(x,y)cos82 + g1(x,y)u(x,y) = g2 (x,y)

trong đó S1 ∪ S2 là biên của D và 81, 82 là các góc định hướng của pháp tuyến với biên:

Bước 0: Chia miền D thành những tam giác T1,… ,TM sao cho:

T1,… ,TK là những tam giác không có cạnh nằm trên S1 hoặc S2; (Chú ý: K = 0 nghĩa là không có tam giác nào nằm trong D)

TK + 1,… ,TN là những tam giác có ít nhất một cạnh nằm trên S2;

TN + 1,… ,TM là những tam giác còn lại

(Chú ý: M = N nghĩa là tất cả các tam giác có cạnh nằm trên S2) Gắn nhãn 3 đỉnh của tam giác Ti là:

(i) (i) (i) (i) (i) (i)

(x1 ,

y1

), (x2 ,

y2 ), (x3 ,y3 )Gắn nhãn các điểm nút (các đỉnh) là E1,… ,Em , trong đó E1,… ,Ennằm trong D ∪ S2 và En+ 1,… ,Em nằm trên S1

Khóa luận tốt nghiệp

(Chú ý: n = m nghĩa là S1 không có điểm nút nào.)