Luận văn sư phạm Không gian định chuẩn lồi đều

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa modul lồi,đặc trưng lồi, không gian định chuẩn lồi đều và sự biểu diễn hữu hạn trongkhông gian định chuẩn lồi đều, với sự giúp đỡ

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Trần Thị Hà

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận là kết của nghiên cứu của riêng tôi và có sựhướng dẫn tận tình củaTh.S Hoàng Ngọc Tuấn.

Khóa luận với đề tài: “Không gian định chuẩn lồi đều” chưa từng đượccông bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Trần Thị Hà

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian định chuẩn 3

1.2 Không gian Hilbert 12

Chương 2 Không gian định chuẩn lồi đều 14

2.1 Modul lồi trong không gian định chuẩn 14

2.2 Sự biểu diễn hữu hạn trong không gian định chuẩn 23

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa modul lồi,đặc trưng lồi, không gian định chuẩn lồi đều và sự biểu diễn hữu hạn trongkhông gian định chuẩn lồi đều, với sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của

Th.S Hoàng Ngọc Tuấn tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu:

“Không gian định chuẩn lồi đều”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng một bài tổng quan về modullồi, không gian định chuẩn lồi đều và sự biểu diễn hữu hạn trong không gianđịnh chuẩn lồi đều

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu là :

- Nghiên cứu mối quan hệ giữa modul và đặc trưng lồi trong không gianđịnh chuẩn Nghiên cứu các đặc trưng của không gian định chuẩn lồi đều

- Nghiên cứu sự biểu diễn hữu hạn trong không gian định chuẩn lồi đều

4 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là modul lồi, không gian định chuẩn lồi đều và sựbiểu diễn hữu hạn trong không gian định chuẩn lồi đều

5 Phương pháp nghiên cứu

- Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu

- Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

7 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khóa luậnđược triển khai theo 2 chương:

Chương 1: Kiến thức mở đầu

Chương 2: Không gian định chuẩn lồi đều

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản vềkhông gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, một số tínhchất quan trọng và ví dụ minh họa về các không gian này

1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian vectơ trên trường K (K= R hoặc

K= C), ánh xạ k.k : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu:

(i) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X;

(ii) kxk = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ);

(iii) kλxk = |λ|kxk với mọi x ∈ X và với mọi vô hướng λ ∈ K;

(iv) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x,y ∈ X (bất đẳng thức tam giác).

Một không gian vectơ cùng với một chuẩn (X,k.k) được gọi là một

không gian tuyến tính định chuẩn (hay đơn giản là không gian định chuẩn).

Định nghĩa 1.2 Dãy điểm {xn} của không gian định chuẩn X gọi là hội

tụ tới điểm x ∈ X, nếu limn

→∞kxn− xk = 0 Ký hiệu limn

→∞xn = x hay xn → x

(n → ∞).

Định nghĩa 1.3 Dãy điểm {xn} của không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ

bản (hay dãy Cauchy), nếu lim

m ,n→∞kxm− xnk = 0.

Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X được gọi là không gian

Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Ví dụ 1.1 C [0,1], không gian các số giá trị thực liên tục trên đoạn [0,1]

là một không gian Banach với chuẩn

k f k∞ = sup{| f (t)| : t ∈ [0,1]} = max{| f (t) : t ∈ [0,1]|}

Thật vậy, dễ kiểm tra được C [0,1] là một không gian định chuẩn

Xét một dãy cơ bản { fn}∞n=1 trong C [0,1] Vì | fk(t) − fl(t)| ≤ k fk− flk,nên dãy { fn(t)}∞n=1 là một dãy cơ bản với mọi t Đặt f (t) = lim

n →∞( fn(t)).Khi đó f là liên tục và fn hội tụ đều đến f Cho ε > 0, có n0 sao cho

| fn(t) − fm(t)| ≤ ε với mọi t ∈ [0,1] và mọi n,m ≥ n0 Cố định n ≥ n0 vàcho m → ∞, ta được | fn(t) − f (t)| ≤ ε với mọi n ≥ n0 và mọi t ∈ [0,1].Lấy t0 ∈ [0,1] và ε > 0 cố định Chọn δ > 0 để fn0(t) − fn0(t0) < ε khi

|t −t0| < δ Thế thì

| f (t) − f (t0)| ≤ f (t) − fn0(t) + ...

Định nghĩa 1.9 Tập X0 6= /0 gọi không gian định chuẩn không< /sub>

gian định chuẩn X, X0 là không gian tuyến tính khơng gian X

và chuẩn. ..

Định nghĩa 1.18 Cho không gian định chuẩn X trường K Ta gọi không< /b>

gian I (X,P) phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian X không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) không. .. X∗ không gian liên hợp thứ haicủa không gian định chuẩn X ký hiệu X∗∗

Định lý 1.2 Nếu không gian liên hợp X∗ của khơng gian định chuẩn