Luận văn sư phạm Không gian Afin - ơclit 4 chiều

LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Đinh Văn Thủy, các thầy cô trong tổ Hình học – Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, cùng các bạn sinh viên khoa Toán đã nhiệt tình giú

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Đinh Văn Thủy, các thầy cô trong tổ Hình học – Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, cùng các bạn sinh viên khoa Toán đã nhiệt tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình. Khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung của các thầy cô, cùng các bạn sinh viên để khóa luận thực sự hoàn chỉnh, có ý nghĩa trong học tập 

và nghiên cứu Hình học và thực tiễn. 

Tôi mong Khóa luận này sẽ giúp đỡ một cách thiết thực cho các độc giả và xin chân thành cảm ơn những góp ý của các bạn về các thiếu sót. 

Vi Thị Thảo  

LỜI CAM ĐOAN

Đề cương khóa luận của tôi với chủ để: “KHÔNG GIAN AFIN – ƠCLIT BỐN CHIỀU” đã được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy Đinh Văn Thủy, các thầy  cô  trong tổ  Hình học,  các  bạn  sinh viên  khoa  Toán.  Tôi  xin  cam đoan Khóa luận của tôi không trùng lặp hoặc sao chép của bất kì ai. 

Vi Thị Thảo  

MỤC LỤC 

Trang 

MỞ ĐẦU    1 

1. Lý do chọn đề tài   1 

2. Mục đích nghiên cứu của đề tài   1 

3. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài   1 

4. Phương pháp nghiên cứu   2 

5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu   2 

6. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn   2 

NỘI DUNG   3  

Chương 1: Cơ sở lý luận   3 

  1.1. Không gian afin   3 

  1.2. m-phẳng   3 

  1.3. Siêu mặt bậc hai   4 

  1.4. Không gian Ơclit   5 

Chương 2: Không gian Ơclit 4 chiều   6 

2.1. Định nghĩa   6 

2.2. Mục tiêu trực chuẩn- tọa độ trực chuẩn   6 

2.3. Các phẳng trong không gian Ơclit E4    7 

Chương 3: Siêu mặt bậc 2 trong E4   34 

3.1. Định nghĩa  34 

3.2. Dạng chính tắc  siêu mặt bậc 2 trong En   34 

3.3. Phương trình và siêu phẳng kính chính  37 

3.4. Siêu cầu siêu phẳng đẳng phương  42 

KẾT LUẬN  49 

TÀI LIỆU THAM KHẢO  50 

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chúng ta đã được học về không gian afin-ơclit 2 chiều và 3 chiều trong trường  trung học phổ thông. Và lên đại học, ta lại tiếp tục được nghiên cứu về không gian afin-ơclit n chiều. Một vấn đề nảy sinh trong tôi là các không gian với n > 3, chẳng hạn n = 4 có điều gì giống và khác 

so với không gian 2 và 3 chiều? Do đó, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Đinh Văn Thủy tôi đã chọn: “Không gian afin - Ơclit 4 chiều” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. Đây là một đề tài mới, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được nhưng ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn. 

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài 

- Đề tài khóa luận nghiên cứ những đặc trưng cơ bản của không gian afin – Ơclit bốn chiều: các khái niệm cơ bản của các phẳng trong không gian afin – Ơclit bốn chiều. 

-  Xây  dựng  hệ  thống  bài  tập  trong  không  gian  afin  –  Ơclit  bốn chiều. 

3 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

- Nghiên cứu lý thuyết của không gian afin – Ơclit trong trường hợp tổng quát, áp dụng với n = 4. 

-  Chỉ  ra  dạng  của  các  phẳng  trong  không  gian  afin  -  Ơclit  bốn chiều. 

- Nghiên cứu các tính chất của các phẳng trong không gian afin oclit 4 chiều, m – phẳng trong không gian afin - Ơclit bốn chiều. 

- Xây dựng hệ thống bài tập của không gian afin - Ơclit bốn chiều. 

4 Phương pháp nghiên cứu 

NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Không gian afin

điểm NA sao cho: MN=u  

ii)Với mọi ba điểm M,N,P thuộc A ta luôn có: MN NP MP Khi đó ta nói rằng không gian afin (A,F,V) liên kết với không gian vectơ 

 = {M  E |IM   } được gọi là cái phẳng (gọi tắt là “phẳng”) qua I và có phương là  

Nếu  có số chiều bằng m thì  gọi là phẳng m chiều hay còn gọi 

là m- phẳng. 

1- phẳng là đường thẳng 2- phẳng là mặt phẳng (n-1)- phẳng là siêu phẳng 1.3 Siêu mặt bậc hai

- Phương tiệm cận-đường tiệm cận

Phương  tiệm  cận:  vectơ c c c ( , , , )1 2 cn gọi  là  phương  tiệm  cận của siêu mặt bậc hai (S) với phương trình (*) nếu c  0và c Ac   t 0

Đối với siêu mặt bậc hai có tâm duy nhất, một đường thẳng đi qua tâm gọi là đường tiệm cận của siêu mặt bậc hai đó nếu phương của nó là phương tiệm cận và nó không cắt siêu mặt bậc hai. 

-  Siêu tiếp diện: Nếu B thuộc (S) và B là điểm không kì dị thì các tiếp tuyến tại B của (S) tạo thành một siêu phẳng. Siêu phẳng này gọi là siêu tiếp diện của (S) tại điểm B. 

1.4 Không gian Ơclit

Không gian Ơclit là một loại không gian afin liên kết với không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều. Kí hiệu: E 

Chương 2 KHÔNG GIAN ƠCLIT 4 CHIỀU

a) d(M, N) = d(N, M). 

b, d(M, N) ≥ 0 và d(M, N) = 0  M  N 

c) d(M, N) + d(N, P) ≥ d(M, P) với  3 điểm bất kỳ M, N, P. d) Nếu M, N, P là 3 điểm phân biệt thì điểm N thuộc đoạn thẳng 

MP 

Khi i ≠ j Khi i = j 

Nếu  có số chiều bằng m thì  gọi là phẳng m chiều hay còn gọi 

là m- phẳng 

Như vậy trong không gian ơclit 4 chiều có:  

+ 0- phẳng chính là một điểm + 1- phẳng là đường thẳng + 2- phẳng là mặt phẳng + 3- phẳng là siêu phẳng 



 = a e1 i.1 + a e 2i.2 + a e3 i.3 + a e4 i.4. 

M = (x1, x2, x3, x4)    IM  W 

abcd

abcd

abcd

abcd 

3 3 3 3

abcd

axby c dv e z  0 

2.3.4 Vị trí tương đối của 2 phẳng trong E4

a) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

 {a a   , 1} độc lập tuyến tính 

có nghiệm  độc lập tuyến tính 

điểm chung duy nhất. 

d) Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Xét 2 mặt phẳng () và (’) có phương trình như sau: 

chiều  bé  nhất  chứa  điểm  M(-1,0,2,2)  và  có  phương  chứa  các  vectơ a(2,1,4,4), b(0,0,7,7)   

(1)  (2)  (3)  (4) 

Giải:

Ta thấy { ,a b } là một hệ vectơ độc lập tuyến tính nên chúng có thể dùng làm cơ sở cho phương của cái phẳng có số chiều bé nhất thỏa mãn điều kiện: 

4

1 2 1

23

1 32

(1)  (2)  (3)  (4) 

+ Xét: P  Q: 

Giả sử các điểm chung nếu có là các điểm M (x1, x2, x3, x4) ứng với các giá trị tương ứng của các tham số u, v, t trong hệ phương trình sau: 

Bài 4: Trong E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước xét vị trí tương đối của 2 cái phẳng R và S lần lượt cho bởi phương trình tổng quát của chúng như sau: 

b.a = 1 – 1 + 0 + 0 = 0  ba 

c.a = 4 – 1 – 3 + 0 = 0  ca. 

d a = 2 – 1 + 0 – 1 = 0  da 

(1)  (2)  (3)  (4) 

Từ  đó  ta  kết  luận  2  mặt  phẳng  cắt  nhau  tại  một  điểm  duy  nhất (điều này không xảy ra trong E ) 3

2.3.5 Khoảng cách giữa 2 cái phẳng – Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 siêu phẳng trong E4. 

a)Khoảng cách giữa 2 cái phẳng

Chứng minh: Giả sử đường vuông góc chung  cắt  và  lần lượt tại I và J với M  , N   ta có: 

Định lý: Nếu 2 cái phẳng  và  chéo nhau thì chúng có đường vuông góc chung duy nhất. 

d(, ) = inf d(M, N) với M   và N  . 

Chứng minh: Theo giả thiết ta có    =   và     O  Xét tổng   và gọi  là không gian con bù trực giao với tổng 

  trong  nE. Lấy P   và Q   thì vectơ PQ được phân tích 1 cách duy nhất dưới dạng: 

PQ



 = u v với u   và v  . Giả sử : 

u =   với x   và y  . Lấy các điểm I và J lần lượt trên  và  sao cho: PI =x  và JQ = y thì I  , J  . 

Hệ quả 1: Nếu điểm I không thuộc phẳng  thì qua I có đưởng thẳng duy nhất vuông góc với  và cắt  tại J. Giao điểm J đó gọi là hình chiếu vuông góc của điểm I trên phẳng . Khi đó có d(I, ) = d(I, J). 

Hệ quả 2:  Nếu  //  tức là :    =  và    thì với I   đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với  sẽ là vuông góc chung với chung của  và . Ta có: d(, ) = d(I, ) với bất kì I  . Trong trường này qua mỗi điểm I   có một đường vuông góc chung và như vậy ta sẽ 

có vô số đường vuông chung của  và . 

Trong E4, đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước, siêu phẳng  có phương trình: 

a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a0 = 0 Gọi  là phương của siêu phẳng . Ta xét n = (a1, a2, a3, a4).Và nhận thấy rằng vectơ n trực giao với . 

- Tìm khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng. 

Trong E4 giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước siêu phẳng 

 có phương trình: a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a0 = 0 

Điểm I( 0 0 0 0

1 2 3 4

x ,x ,x ,x )  . Gọi J là hình chiếu vuông của I trên . Khi đó khoảng cách từ I đến  bằng độ dài vectơ IJ. 

Do IJ   nên IJ = tn với t  R. 

Tọa độ điểm J của đường thẳng IJ với siêu phẳng  thỏa mãn hệ phương trình: 

0 4

4 21

i i i i i

a x aa

4 21

i i i

i i

a x aa

xxxx

001

t

t t

t tt

Muốn tìm tọa độ giao điểm I = d  R ta giải hệ phương trình: 

1 2 3 4

1 2

3 4

0113

x x x x

xx

3

4

113232

xxxx

(IJ): 

1 2

3

4

113232

d(P,d) =  IJ  =  116 16 16 16 1  1  1  =  12 Bài 2:  Viết  phương  trình  đường  vuông  góc  chung  của  đường thẳng  AB  và  mặt  phẳng  PQR  cho  trước  trong  E4  biết  rằng  tọa  độ  các điểm đó lần lượt là: 

A(1, 1, 1, 1), B(-2, -1, 1, 3), P(2, 1, -1, 0), Q(3, 1, 0, -1), R(0, 0, -1, 1) Giải: 

(1)  (2)  (3)  (4) 

Tọa độ H thỏa mãn phương trình sau: (1 3t ) – (1 2t ) + (1 2t ) – 1 = 0 

 t = 0 

 H (1, 1, 1, 1) 

Đường vuông góc chung  đi qua điểm H (1, 1, 1, 1) nhận a(0, 1, 1, 1) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là: 

Bài 3: Trong không gian E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước cho phẳng  có phương trình tổng quát là: 

1

n XP = 0, n2 XP  = 0 

Gọi  là phẳng đi qua M (2,  -1, 3, 1) và bù vuông góc của . Ta nhận thấy  là 2-phẳng vì  là 2-phẳng (dim  + dim  = 4). 

Do đó:  n n 1, 2  trở thành một cơ sở của  (bù vuông góc với ). 

3 4

(a)  (b)  (c)  (d) 

a) Góc giữa hai vectơ

Trong E4 cho 2 vectơ  ,u v  đều  0. Ta gọi góc giữa 2 vectơ  ,u v  là 

฀

2 2 2 2 os

Chú ý: Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn cụ thể 2 đường thẳng a, b lần lượt trực giao với  và . Nghĩa là ta có thể chọn a’ 

  thay cho a và b’   thay cho b. 

d) Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng

rằng góc giữa đường thẳng a và siêu phẳng  là góc vuông. 

Nếu a không vuông góc với  thì ta lấy đường a’   và ta gọi  là góc giữa 2 đường a và a’. Khi đó góc giữa a và  được xác định là góc  

mà   0 và  = 

2

 - . 

Nếu đối với  một mục tiêu trực chuẩn cho vectơ chỉ phương của đường thẳng a là vectơ  u và ta biết vectơ pháp tuyến của  là  n thì ta có: 

1 32

1112

xxxx

Nếu  (S)  là  siêu  mặt  bậc  hai  xác  định  bởi  phương  trình  (1)  thì phương trình (1) gọi là phương trình của (S) 

3.2 Dạng chính tắc của siêu mặt bậc 2

trực  chuẩn thích hợp sao cho phương trình  của  một  siêu  mặt bậc  2 có một trong 3 dạng sau gọi là phương trình dạng chính tắc của siêu mặt bậc 2. 

1 Dạng I: 

4 2 1

1

r r r

Ví dụ:

1). Siêu mặt bậc 2 có phương trình dạng I với r = 4 và các i> 0, i 

= 1, 2, 3, 4 gọi là siêu mặt Elip soid 3 chiều và phương trình của nó có thể viết dưới dạng: 

2 2 2 2

1 2 3 4

1 x

 12 22 32 42

2 2 2 2

1 2 3 4

0 x

2 2

1

x a

Nhận xét:

 Phương chính (c ) không phải là phương tiệm cận của S khi và chỉ khi giá trị riêng  ứng với vectơ c  là khác 0. 

chính sẽ biến S thành chính nó. 

Định lý 2: Phương trình của siêu mặt bậc 2 (S) đối với mục tiêu trực chuẩn {0, , , , }e e e e   1 2 3 4  có dạng: 

4 2

1 i ii

a x



Khi và chỉ khi các vectơ { , , , }e e e e   1 2 3 4  là phương chính của (S). 

xxxx

+  Phương  tiệm  cận:  Gọi c c c c c( , , , )1 2 3 4 là  phương  tiệm  cận  của siêu mặt bậc hai thỏa mãn: 

00

xx

Phương tiệm cận: Gọi c c c c c( , , , )1 2 3 4 là phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai và nó  thỏa mãn:   

2 2





12121212

C AC 

12121212



12121212





12121212

2210

 

0122

 

1022

12121212





12121212

0010

0005

4 2

1 ii

a x



  + 

4 2

1 ii

a



  = r2 

Từ phương trình (3.8) ta thấy siêu cầu là một siêu mặt bậc 2 khi I  O, phương trình của siêu cầu C(O; r) có dạng đơn giản: 

x12 + x22 + x32  + x42 = r2        (3.9) Đặt bi  = -ai, i =  1, 2, 3, 4 và b = 

4

1 ii

Mệnh đề:

1 Điểm M thuộc miền trong của C(I; r) khi và chỉ khi mọi đường thẳng chứa M đều cắt C(I; r) tại 2 điểm. 

2 Điểm M thuộc miền ngoài của C(I; r) khi và chỉ khi tồn tại một đường thẳng chứa M mà không cắt C(I; r). 

3 Mọi siêu phẳng đi qua tâm của siêu cầu đều là siêu phẳng kính chính. 

Chứng minh: 

1 Mục tiêu trực chuẩn mà gốc là tâm I. Khi đó phương trình của siêu cầu có dạng: x12 + x22 + x32  + x42 = r2

. 

(x c t ) ( x c t ) ( x c t ) ( x c t ) r   (3.11) Hay: 

Từ đó nếu M thuộc miền trong của C(I; r), tức là: d(I,M) < r thì (3.12) có 2 nghiệm phân biệt nên l cắt C(I; r) tại 2 điểm phân biệt. 

Đảo lại, giả sử mọi đường thẳng qua M nhận IM làm pháp vectơ thì c IM.= 0 nên phương trình (3.12) trở thành: 

Hay: xtx +2atx+a0=0 và M0( 0 0 0 0

1 2 3 4

x ,x ,x ,x ). Khi đó: x x +2a0 0t tx0+a0=0 được gọi là phương tích của M0 với (C). Kí hiệu (M, C) 

Từ định nghĩa: 

+) Điểm M thuộc siêu cầu khi và chỉ khi (M, C) = 0. 

+) Điểm M thuộc miền trong của siêu cầu khi và chỉ khi (M, C) < 0. +) Điểm M thuộc miền ngoài của siêu cầu khi và chỉ khi(M, C) > 0. Định lý 3: Cho C1 và C2 là 2 siêu cầu trong E4, khi đó tập hợp: {M  En| (M, C1)  = (M, C2) } 

Có là một siêu phẳng  trực giao với đường thẳng nối 2 tâm của siêu cầu. 

Chứng minh:

Giả sử {0, , , , }e e e e   1 2 3 4  là mục tiêu trực chuẩn trong E4 siêu cầu C1 

có tâm I1 (a1, a2, a3, a4), bán kính r1 và siêu cầu C2 có tâm I2(b1, b2, b3, 

b4), bán kính r2 với I1  I2. Với điểm M(x1, x2, x3, x4)  E4.  

Định nghĩa:  Siêu  phẳng    trong  định  lý  trên  được  gọi  là  siêu phẳng đẳng phương của 2 siêu cầu C1, C2 

3.4.4 Giao của siêu cầu với siêu phẳng

Trong En với mục tiêu trực chuẩn{0, , , , }e e e e   1 2 3 4  cho siêu cầu C(I; r) tâm I (a1, a2, a3, a4), bán kính r và siêu phẳng  có pháp dạng: 

c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + d = 0 Gọi H là hình chiếu của I lên , ta có: 

3.  d(I,  H)  >  r    Khi  đó  H  thuộc  miền  ngoài  của  C(I;  r)  và  siêu phẳng  không có điểm chung với C(I; r). 

Đây là siêu cầu của không gian Ơclit 3 chiều. Siêu cầu này nằm trong siêu phẳng x   đã cho. Siêu cầu này có tâm O(4 0 a a a  và có 1, , )2 3

phẳng đã cho. 

Bài 2: Trong không gianE  với mục tiêu trực chuẩn , hãy xét vị trí 4

tương đối của đường thẳng (d) đi qua hai điểm  A(0,0,3,-3), B( 0,0,11,-11) và siêu mặt bậc hai (S) có phương trình:  

1 1

Vậy (d)(S) 

KẾT LUẬN 

Qua quá trình tìm hiểu và nghiên cứu khóa luận, em đã bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu quả. Qua đó, em cũng củng 

cố thêm cho mình kiến thức về không gian afin-ơclit 4 chiều, đồng thời thấy được sự phong phú, lý thú của toán học. Đặc biệt khóa luận này em nghiên  cứu  một  cách  khái  quát  về  định  nghĩa  không  gian  afin-ơclit  4 chiều, vị trí tương đối giữa các phẳng, các tính chất cơ bản,và các dạng siêu mặt bậc hai. Bên cạnh đó là hệ thống các bài tập minh họa cho từng phần. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn sinh viên quan tâm đến môn hình học afin-ơclit nói riêng và hình học nói chung. Mặc dù có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn sinh viên. 

Hà Nội, ngày tháng năm

 Sinh viên  

Vi Thị Thảo  

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Văn Như cương – Tạ Mân, Hình học Affine và Euclide, NXB. Đại học Quốc gia Hà nội. 

2 Phạm Khắc Ban, Phạm Bình Đô, Hình học Affine và Euclide, NXB. Đại học Sư phạm. 

3 Nguyễn Mộng Hy, Hình học cao cấp,  NXB Giáo dục Việt Nam,. 

4 Nguyễn Mộng Hy(2001), Bài tập Hình học cao cấp,  NXB. Giáo dục Việt Nam. 

5 Hà Trầm(2008), Bài tập Hình học Affine và Euclide, NXB. Đại học 

Sư phạm. 

6 Phan Hồng Trường(2001), Đại số tuyến tính, Đại học Sư phạm Hà Nội 2. 

7 Đoàn Quỳnh(2001), Hình học Giải tích, Nxb. Đại học Sư phạm. 

8 Đoàn Quỳnh, Đại số tuyến tính và Hình học cao cấp tập 3, Nxb. Đại học Quốc gia.