Luận văn sư phạm Không gian xạ ảnh Pn

Môn học chủ yếu đề cập đến các tính chất xạ ảnh, các tính chất bất biến qua các phép biến đổi xạ ảnh với mục đích giúp cho sinh viên có cái nhìn tổng quát các bài toán hình học phẳng liê

1

1 Lý do chọn đề tài

       Bộ môn Hình học xạ ảnh là học phần nối tiếp sau học phần Hình học Afin và hình học Ơclit. Môn học chủ yếu đề cập đến các tính chất xạ ảnh, các tính chất bất biến qua các phép biến đổi xạ ảnh với mục đích giúp cho sinh viên có cái nhìn tổng quát các bài toán hình học phẳng liên quan đến tính đồng quy, thẳng hàng. Đồng thời, Hình học xạ ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông.  

       Không gian xạ ảnh Pn nằm trong Hình học xạ ảnh được học vào học vào học kỳ 1 năm thứ ba của Sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2. Trong phần này đã đưa ra những khái niệm cơ bản: Định nghĩa về không gian xạ ảnh và các mô hình của nó, phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình của 

m – phẳng, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng, tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng và nguyên tắc đối ngẫu trong các không gian xạ ảnh. Đây là một nội dung quan trọng, mở đầu cho việc hình thành những khái niệm về hình học 

xạ ảnh và cũng là cơ sở cho việc giải các bài toán hình học xạ ảnh sau này.       Với mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về không gian xạ ảnh và các khái niệm liên quan, được sự gợi ý của thầy hướng dẫn Đinh Văn Thủy, tôi quyết định nghiên cứu đề tài: 

“Không gian xạ ảnh Pn”

2 Mục đích nghiên cứu

- Định nghĩa không gian xạ ảnh và tính chất của không gian xạ ảnh. 

2

- Khái niệm về phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình m – phẳng, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng và chùm bốn siêu phẳng. Nguyên tắc đối ngẫu trong các không gian xạ ảnh. 

- Các dạng bài tập liên quan. 

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống các  kiến thức về không gian xạ ảnh và việc xây dựng các khái niệm liên quan. 

- Nghiên cứu các bài tập liên quan đến định nghĩa không gian xạ ảnh, tính chất của không gian xạ ảnh. Các dạng bài tập về tọa độ xạ ảnh, phẳng, tỉ số kép và các phát biểu đối ngẫu. 

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: các bài toán liên quan đến không gian xạ ảnh Pn, phẳng, hệ điểm độc lập, tọa độ xạ ảnh, xây dựng các mô hình của không gian xạ ảnh 

và các tính chất của chúng. Các dạng bài toán về tỉ số kép, hàng điểm điều hòa, chùm siêu phẳng điều hòa. 

- Phạm vi nghiên cứu: một số lớp các bài toán trong hình học xạ ảnh. 

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

     Giúp cho sinh viên có tài liệu tham khảo về việc xây dựng các ví dụ về không gian xạ ảnh và một số tính chất của nó, giúp cho việc học tập môn hình học xạ ảnh tốt hơn. 

3

Chương 1: CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian xạ ảnh và các phẳng của nó

Tương tự có thể xây dựng các khái niệm:  

+ Phẳng giao của một họ phẳng là phẳng lớn nhất nằm trong các phẳng  của họ.  

+ Phẳng tổng của một họ phẳng là phẳng bé nhất chứa tất cả các phẳng  của họ. 

1.1.2.3 Định lý số chiều

Định lý:

a) ∩ ≠ ∅   ( + ) = + − dim ( ∩ ). 

b) ∩ = ∅   ( + ) = + + 1. 

1.1.4 Định lý Đờ-dác 1

Định lý:  

      Trong không gian xạ ảnh cho 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’ trong đó không có 

ba điểm nào thẳng hàng. Khi đó, hai mệnh đề sau đây tương đương: 

8

Do BC, B’C’, MP  đồng quy tại N nên theo chứng minh phần trên ta suy ra: 

BC ∩ B′C′, B M ∩ C P, MB ∩ PC thẳng hàng. 

 AA’, BB’, CC’ đồng quy. Định lý được chứng minh. 

1.2 Mô hình của không gian xạ ảnh

1.2.1 Mô hình chính tắc (mô hình vectơ):

      Cho   là một không gian vectơ  + 1 chiều.  = và   là phép đồng nhất của   Do   là song ánh nên: 

( , ,  ) là không gian xạ ảnh n chiều. 

1.2.2 Mô hình bó

      Giả  sử  là  không  gian  afin  + 1  chiều  có  nền  là    Lấy 

∈  Tập hợp các đường thẳng đi qua   được gọi là bó đường thẳng tâm  , kí hiệu   

mà  ⃗ ≠ 0⃗ = (0,0, … ,0) ∈  

kí  hiệu  〈 ⃗〉  là  không  gian  vectơ  một  chiều  sinh  ra  bởi  ⃗  và  kí  hiệu ( , , … , ) = 〈 ⃗〉 − 0⃗  

Như vậy ( , , … , ) là một lớp các bộ số sắp thứ tự (không đồng thời bằng 0) của   và hai bộ bất kỳ trong lớp đó thì tỉ lệ với nhau (hệ số tỉ lệ 

10

ảnh nếu bất kỳ  + 1 trong  + 2 điểm đó đều độc lập. 

Dễ thấy rằng mục tiêu xạ ảnh là tồn tại. 

Các điểm   gọi là các đỉnh của mục tiêu xạ ảnh, điểm U gọi là điểm đơn vị. Các  − phẳng ( < ) đi qua  + 1 đỉnh gọi là các  − phẳng toạ độ, đặc biệt là các đường thẳng     với  ≠ , gọi là các trục tọa độ. 

     cũng thỏa mãn  '

i

e là vectơ đại diện  của   

x t a



    (1) 

=  , = 

.1 2      .( 2) 0.1 5       

xxx

2       

2        

5       

xxx

b x



 ( = 1, − ) với = −

       (2)      

(2) được gọi là phương trình tổng quát của α. 

Ngược lại, cho hệ (2) trong   đã cho luôn có  − phẳng   nhận nó làm phương trình tổng quát. 

2      

xx

15

  2 1 5. 2 0 1 2 1 10 0 4 1 

x           

10x 3x 4x 0

     là phương trình tổng quát của AB.  

1.4.3 Tọa độ của siêu phẳng

       Cho   là siêu phẳng của   Trong  phương trình tổng quát của   là:   + + ⋯ + = 0  hay  0 0 n i a xi i     

trong đó các  không đồng thời bằng 0. Thì bộ ( , , … , ) được gọi là  tọa độ của trong Tính chất: Giống như tính chất của tọa độ điểm  + Có ít nhất một số sai khác nhau.  + Có thể sai khác nhân tử khác không.      Ví  dụ  siêu  phẳng  đi  qua  mọi  đỉnh  của  mục  tiêu  xạ  ảnh  trừ  đỉnh    có  phương trình:  = 0, và tọa độ của nó là: (0, … , 0, 1, 0, … , 0) (số 1 nằm ở  vị trí thứ  + 1, ngoài ra là số 0).       Đối với mỗi siêu phẳng  = ( , , … , ) ta cũng kí hiệu ma trận cột  tọa độ của nó là ( ). Như thế phương trình của siêu phẳng   có thể viết  dưới dạng ma trận:        ( ) ( ) = 0.  

1.4.4 Hệ siêu phẳng độc lập     Cho   là siêu phẳng  , … ,  có tọa độ:         ( , , … , )  

       ( , , … , )  

       ………. 

       ( , , … , )  

16

Nếu  =  thì { }  được gọi là hệ siêu phẳng độc lập. 

Nếu    siêu  phẳng  đó  độc  lập thì  phương  trình  tổng  quát  của  chúng  làm thành một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có hạng bẳng   

Từ đó suy ra: Giao của − siêu phẳng độc lập là − phẳng

k

l  có nghĩa (tức là  ≠ 0) thì nó được gọi là tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng  , , ,  Kí hiệu là: ( ) hay [ ]. Nếu  = 0 thì phân số  2

2

k

l   không có nghĩa. Khi đó ta xem tỉ số kép của bốn điểm  , , ,  bằng   (vô cùng). 

Như vậy: ( ) = 22 ∶ 1

1 nếu ≠ 0

∞ nếu = 0 

17

Nhận xét: Tỉ số kép nói trên không phụ thuộc vào cách chọn các vectơ đại diện choA B C D. , , ,

b ( ) = ( ) 

     Có nghĩa là: Khi hoán vị đồng thời hai điểm đầu với nhau và hai điểm cuối với nhau thì tỉ số kép không thay đổi. 

18

và ( ) cũng là các ma trận cột tọa độ của vectơ  ⃗, ⃗, ⃗, ⃗ lần lượt đại diện cho các điểm  , , ,  Bởi vậy ta có:  ⃗ = ⃗ + ⃗  và ⃗ = ⃗ + ⃗ 

Từ đó suy ra: ( ) =  2

2

k

l  :  1 1

1.5.4 Hàng điểm điều hòa

       Nếu tỉ số kép ( ) = −1 thì ta nói rằng cặp điểm  ,  chia điều hòa  điểm  ,  Khi đó vì ( ) = −1. Bởi vậy ta còn nói: cặp điểm  ,  

và cặp điểm  ,  liên hiệp điều hòa. Còn nói:  , , ,  là một hàng điểm điều hòa

1.5.5.2 Định lý

     Trong một hình bốn đỉnh toàn phần, hai điểm chéo nằm trên một đường chéo chia điều hòa cặp giao điểm của đường chéo đó với cặp cạnh đi qua điểm chéo thứ ba. 

Chứng minh:

22

Tọa  độ  của  các  siêu  phẳng  đó  là:  = ( , … , ),  = ( , … , )  cũng như đối với tọa độ các điểm, ta kí hiệu ( ) và ( ) lần lượt là các ma trận cột tọa độ của các siêu phẳng   và   

(Hoặc nói cách khác là ma trận cột của   có dạng: ( ) = ( ) + ( )). Chứng minh:

c x





   (3′)  với  = ( , … , )  Điều  kiện  cần  và  đủ  để    thuộc  chùm  xác  định  bởi  ,   là    đi  qua ( − 2) − phẳng có phương trình là hệ gồm hai phương trình (1) và (2). Điều đó xảy ra khi và chỉ khi hệ gồm ba phương trình (1), (2), (3 ) là phụ thuộc, trong lúc hệ (1) và (2) là độc lập, hay khi và chỉ khi (3 ) là phương trình hệ quả của (1) và (2), tức (3 ) có dạng (3). 

a ( ) = 1   

b ( ) = 1 − ( ) 

c ( ) ( ) = ( ) 

d ( ) = ( ) 

1.6.5 Chùm bốn siêu phẳng điều hòa

      Bốn  siêu  phẳng  , , ,   của  một  chùm  được  gọi  là  chùm bốn siêu phẳng điều hòa nếu ( ) = −1. Khi đó ta còn nói: Cặp siêu phẳng , chia điều hòa cặp siêu phẳng ,

Đường thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là một đường chéo, có 3 đường chéo: , , ′. 

1.7 Nguyên tắc đối nhẫu

27

Ta kí hiệu  , là tập hợp tất cả các phẳng trong  có số chiều nhỏ hơn   

Trong  chọn mục tiêu xạ ảnh nào đó và ánh xạ  :   → xác định như sau được gọi là một  phép đối xạ. 

+ Nếu   là một điểm (0 − phẳng) thì  ( ) là siêu phẳng có tọa độ giống như tọa độ của  , cụ thể là nếu:  

a. Ảnh của điểm là siêu phẳng. 

b. Ảnh của hệ   điểm độc lập là   siêu phẳng độc lập. 

c. Ảnh của hệ   điểm phụ thuộc là   siêu phẳng phụ thuộc. 

d. Ảnh của một  − phẳng là ( − − 1) − phẳng. 

e. Nếu cho hai phẳng  ,  và  ∩  thì:  ( ) ⊂ ( ). 

1.7.2 Nguyên tắc đối ngẫu

Quan hệ liên thuộc: Hai cái phẳng   và   trong không gian xạ ảnh  gọi 

là có quan hệ liên thuộc nếu một trong hai phẳng đó chứa phẳng kia, tức là 

⊂  hoặc  ⊂  Khi đó ta nói   thuộc   hoặc   thuộc   

     Chẳng  hạn:  Nếu  điểm    nằm  trên  đường  thẳng    thì  ta  nói:  Điểm   thuộc đường thẳng  , hoặc nói đường thẳng   thuộc điểm   Như vậy, từ 

“thuộc”  đồng  nghĩa  với  một  trong  các  từ:  “nằm  trên”,  “chứa”,  “đi  qua”, 

“chứa trong”. 

Nhận xét:  Phép  đối  xạ  bảo  toàn  quan  hệ  liên  thuộc  giữa  các  phẳng,  có nghĩa là nếu   thuộc   thì  ( ) thuộc  ( ). 

28

Mệnh đề đối ngẫu: Giả sử   là một mệnh đề nào đó trong không gian xạ ảnh  nói về các phẳng và các quan hệ liên thuộc giữa chúng. Nếu trong mệnh  đề  đó  các  từ  “ −  phẳng”  được  thay  bằng  các  từ  “ − − 1) − phẳng”, các từ khác giữ nguyên thì ta được mệnh đề mới  ∗, gọi là mệnh

1.7.3 Khái niệm đối ngẫu

      Cho  khái  niệm  ,  ta  xây  dựng  được  khái  niệm  mới  đối  ngẫu  của  nó bằng cách thay “ − phẳng” bởi “( − − 1) − phẳng”, giữ nguyên các quan hệ liên thuộc nêu trong định nghĩa. 

Ví dụ:

a. Khái niệm   điểm độc lập trong  , được định nghĩa là: “ − điểm không cùng thuộc một ( − 2) − phẳng” có khái niệm đối ngẫu là: “  siêu phẳng 

d. Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng và tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng 

30

Chương 2: BÀI TẬP 2.1 Các mô hình của không gian xạ ảnh 

Bài 1: Trong không gian Ơclit cho một siêu cầu   Gọi   là tập tất cả các cặp  xuyên  tâm  đối  của    (Hai  điểm  của    gọi  là  xuyên  tâm  đối  nếu chúng cùng nằm trên một đường thẳng đi qua tâm của  ). Hãy xây dựng  thành một không gian xạ ảnh n chiều. Không gian xạ ảnh này gọi là mô hình cầu của không gian P (K) tổng quát. 

Gọi   là tập các cặp điểm xuyên tâm đối của   Giả sử ( , ) là cặp điểm xuyên tâm đối thì  ( ) ≥ 0. Khi đó thiết lập song ánh: 

   : →       

( , ) ↦ ( ,(0, , , … ,) nếu ( ) = 0 ) nếu ( ) > 0  

Vậy   là một không gian xạ ảnh. 

Với = , ta có các bài toán sau:

Bài 4: Trong   cho mặt cầu đơn vị   (tức là mặt cầu có phương trình theo tọa độ trực chuẩn  + + = 1). Xét bán cầu bắc của   (tức là tập hợp các điểm xác định bởi  + + = 1, ≥ 0) và đường xích đạo của   (tức là đường tròn  + + = 1, = 0). Gọi   là tập hợp các điểm thuộc bán cầu bắc nhưng không thuộc đường xích đạo và các cặp điểm đối tâm của đường xích đạo. Chứng minh rằng   là một mô hình của   thực. Trong mô hình này, đường thẳng xạ ảnh là gì? 

Bài 5: Trong   cho đường tròn   Gọi [ ] là tập các điểm trong của   và các điểm đối tâm của   Chứng minh rằng [ ] là một mô hình của   thực. Trong mô hình này, đường thẳng xạ ảnh là gì? 

Giải:

34

∈ , ∈ , do đó ∈ +  Từ đó đường thẳng  ⊂ +  

Ngược lại, giả sử   là một điểm thuộc  +  Cần chứng minh   thuộc một đường thẳng nào đó cắt cả   lẫn   

Nếu  ∈  hoặc  ∈  thì luôn thỏa mãn. 

Bây  giờ  giả  sử    không  thuộc    lẫn    và  ∩ = ∅.  Khi  đó  +   là ( + + 1) −  phẳng.  Giả  sử    là  ( + 1) −phẳng  qua    và  ,  và    là ( + 1) −phẳng qua  và   

Ta có:  ⊂ + , ⊂ +  Từ đó  ( ∩ ) = 1. 

Vậy  ∩  là một đường thẳng. Đường thẳng này qua   và cắt   lẫn    Trường hợp  ∩ ≠ ∅ thì bài toán hiển nhiên. 

Bài 9: Trong không gian   cho hệ điểm độc lập  , , … , Chứng minh rằng  phẳng  〈 , , … , 〉  và  phẳng  〈 , , … , 〉  không  có  điểm chung. 

35

Giải:

Cho 3 điểm phân biệt A, B, C không độc lập đại diện bởi ba vectơ  ⃗,  ⃗, ⃗ phụ  thuộc  tuyến  tính  ( ⃗ ≠ 0,  ⃗ ≠ 0, ⃗ ≠ 0)  thì  có  một  trong ba vectơ đó biểu  thị  tuyến  tính  qua  hai  vectơ  kia,  chẳng  hạn  ⃗ = ⃗ + ⃗,  nếu  đặt 

⃗ = ⃗,  ⃗ = ⃗,  ⃗ = ⃗  thì  ⃗, ⃗, ⃗ đại diện cho A, B, C và  ⃗ = ⃗ + ⃗. 

Bài 11: Trong không gian   cho 4 điểm A, B, C, D mà ba điểm nào trong chúng cũng độc lập và các điểm M, N, P, Q lần lượt nằm trên các đường thẳng AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MN, AC, QP đồng quy khi và chỉ khi MQ, BD, NP đồng quy. 

40

Chọn  3

0 i ii

a m





    Khi đó phương trình ( ) là: 

0 0 0

Giải:

Chọn mục tiêu ( , , ; ), trong đó  = ∩ ,   ∈ , ∈  mà   không trùng với  , , , còn   không trùng với  , ,  Điểm   chọn tùy 

46

Suy ra:  ≡  

Bài 25: Trong   cho hai đường thẳng phân biệt   và  ′ cắt nhau tại điểm , ba  điểm  phân  biệt  , ,   trên  ,  ba  điểm  phân  biệt  ′, ′, ′  trên  ′. Chứng  minh  rằng  cần  và  đủ  để  , , ′  đồng  quy  là  ( ) =

Giải:

Đặt  = ′ ∩ ′. Giả sử   cắt  ′ tại  ′′ thì ( ) = ( ). Cần và đủ để  , , ′ đồng quy là  ′ đi qua  , tức là  ≡ ′′, hay 

51

⇔ ( ) ( ) ( ) = −1 

Bài 30: Trong   cho ba điểm độc lập  , ,  và ba điểm , , lần lượt trên  , ,  mà không trùng với  , ,  Một đường thẳng   không đi qua  , ,  cắt  , ,  lần lượt tại  , , ′. Chứng minh rằng: 

 Đối ngẫu: Trong   cho hai bộ ba mặt phẳng ( , , ), ( ′, ′, ′) trong 

đó không có ba mặt phẳng nào cùng chứa một đường thẳng. Điều kiện cần 

và đủ để ba đường thẳng:  = ∩ ′, = ∩ , = ∩ ′ cùng thuộc một mặt phẳng là ba cặp đường thẳng: ( ∩ , ∩ ), ( ∩ , ∩ ), ( ∩ , ′ ∩ ′) nằm trong ba mặt phẳng chứa một đường thẳng chung. Bài 32: Hãy phát biểu mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề sau: “Trong   cho bốn đường thẳng  , , ,  cùng đi qua điểm O. Một đường thẳng   không   

2.7 Bài tập đề nghị và hướng dẫn giải

2.7.1 Đề bài

Bài 1: Trong   với một mục tiêu cho trước 

a) Tìm   để ba điểm  ( , , ), ( , , ), ( , , ) thẳng hàng. b) Tìm   để ba đường thẳng  − + = 0, − − = 0,  

56

Qua quá trình tìm hiểu và nghiên cứu khóa luận, em đã bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu quả. Qua đó, em cũng củng cố thêm cho mình kiến thức về không gian xạ ảnh, đồng thời thấy được sự phong phú, lý thú của toán học. Đặc biệt khóa luận này tôi nghiên cứu một cách khái quát về định nghĩa không gian xạ ảnh, xây dựng các mô hình, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng và chùm bốn siêu phẳng. Bên cạnh đó là nguyên tắc đối ngẫu trong các không gian xạ ảnh. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn sinh viên quan tâm đến môn hình học xạ ảnh nói riêng và hình học nói chung. Mặc dù có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn sinh viên. 

57

1. Khu Quốc Anh, Phạm Bình Đô, Tạ Mân (1984), Bài tập hình học cao cấp tập II,  Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội

2. Văn Như Cương (1999), Giáo trình hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Giáo     dục, Hà Nội. 

3. Văn Như Cương, Kiều Huy Luân (1978), Hình học cao cấp, Nhà xuất     bản Giáo dục, Hà Nội.