PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

PHƯƠNG TRÌNH MŨLược đồ giải phương trình mũ Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện Phương pháp 1: Biến đổi tương đương Phương pháp 2: Loga

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Lược đồ giải phương trình mũ

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện

Phương pháp 1: Biến đổi tương đương

Phương pháp 2: Logarit hoá và đưa về cùng cơ số

Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụ:

a Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một

pt với một ẩn phụ

b Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một

pt với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x

c Sử dụng k ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành hệ pt với k ẩn phụ

d Sử dụng một ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành hệ

Phương pháp 5: Đồ thị

Phương pháp 6: Điều kiện cần và đủ

Phương pháp 7: Đánh giá

Chú ý:

1 Trong trường hợp sử dụng pp biến đổi tương đương,

ta có thể bỏ qua bước 1 để giảm thiểu độ phức tạp

2 Nếu lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ thì:

a Với phương trình không chứa tham số có thể chỉ cần thiết lập điều kiện hẹp cho ẩn phụ

b Với phương trình chứa tham số phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ

Bài toán 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP

BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG



⇔  = 

b Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

⇔ (2) có hai nghiệm trái dấu

⇔ a.f(0) < 0 ⇔ − 5 2 m < 0 5

2

m

⇔ >Vậy, với

x x

b Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

3

⇔ ( )' 2

0 0 2

0 3

Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình:

Vậy pt có nghiệm x = 3 với mọi a.

Khi đó ta nhận nghiệm 3

6

x = π

Vậy,

Bài toán 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP

LOGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐDạng 1: Phương trình: f x( )

Bài toán 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP

LOGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐDạng 2: Phương trình: f x( ) f x( )

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

2 2

2

3 2

b Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình, ta được:

x x

=



c Lấy logarit cơ số 10 hai vế phương trình, ta được:

1

log 2 log 5

x x

91 log

7

x

⇔ =

Vậy,

BÀI TOÁN 3

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ - DẠNG 1

PP đặt ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ

Dạng 1: Phương trình akx + a( k−1) x + + ax = 0

Đặt t = ax, điều kiện t > 0Dạng 2: Phương trình α1ax + α2bx + α3 = 0 , với a.b = 1

Ví dụ 1: Cho phương trình:

(m + 3).16x + (2m – 1) 4x + m + 1 = 0 (1)

a Giải phương trình với 3

4

m = − ta được:

2

9 t − 10 1 0 t + =

1 1 9

t t

4 1

1 4

9

x x

9

x x

m

⇔ − < < −

Vậy,

Ví dụ 2: Cho phương trình:

a Giải phương trình với m = 2

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2sao cho x1 + x2 = 3

b Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2

⇒ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t1, t2tương ứng

1 2x 2 2x

S P

▪ Với m ≠ 2

(1) có nghiệm (2) có nghiệm t ≥ 2

( ) ( )

2 2

0

2 2

af

af S

m m

x π k k Z π

⇔ = + ∈ Thoả (*)Vậy,

Ví dụ 5: Cho phương trình:

a Giải phương trình với m = 1

b Tìm m để pt có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn

x

t

m t

⇔ =

1 3 2

⇔ =

Vậy, để (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn

S P

2 8 12 0

t − + = t

Khi đó pt tương đương với:

6 2

t t

=



⇔  = 

   

2 1

3 2

4 1 2

t t

2 2

x x

x x

= −



⇔  = 

Vậy,

t t

π π

x x

= −



⇔  =  Vậy,

Bài toán 4: Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2

Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x

Ta có nhận xét:

1 1

VT VP

VT VP

1 1

1

2 1

m

t t m

1 2

b Phương trình có 3 nghiệm phân biệt

0

S P

Bài toán 5: Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 3

Sử dụng 2 ẩn phụ cho hai biểu thức loga trong pt và khéo léo biến đổi pt thành phương trình tích

⇔ 



x x x x

b Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt

Viết lại pt dưới dạng:

2 5 6 1 2 7 5.2x x 2 x 2 x

m − + + − = − + m

( 2 ) ( )2

2 5 6 1 2 5 6 1.2x x 2 x 2 x x x

u v v

2 x

x x

b Để (1) có 4 nghiệm phân biệt

(*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 và khác 3

m m m m

BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN

PHỤ-DẠNG 4

PP đặt ẩn phụ dạng 4 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương trình với k

u

u v v

x x

v =

Vậy,

Khi đó pt được chuyển thành hệ:

2 2

6 6

1 21 2

2

⇔ =

Vậy,

BÀI TOÁN 7

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Cho phương trình f(x) = 0, để chứng minh phương trình

có k nghiệm phân biệt trong [a,b], ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chọn các số a < T1 < T2 < < Tk-1 < b chia đoạn [a,b] thành k khoảng thoả mãn:

( ) ( ) ( ) ( )

Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2:

Bước 1: Chuyển pt về dạng f(x) = g(x) (2)

Bước 2: Xét hàm số y = f(x) và g(x)

Dùng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là hàm đồng biến còn hàm y = g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến

Bước 3:

Xác định x0 sao cho f(x0) = g(x0)

Vậy pt có nghiệm duy nhất x = x0

Ví dụ 1: Cho phương trình:

Chứng minh rằng với mọi m pt luôn có nghiệm duy nhất

Số nghiệm của pt là số giao điểm của đồ thị hàm số

−∞

+∞ +∞

Vậy với mọi m pt luôn có nghiệm duy nhất

 Vế phải của pt là một hàm nghịch biến

 Vế trái của pt là một hàm đồng biến

Do vậy, nếu pt có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất

Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của pt (2) vì

2

log 1

2.3 = − 3 1 Vậy,

=  ÷     +  ÷ ÷ 

, hàm này là hàm nghịch biến

Ta có:

• Với x = 2, f(2) = 1 do đó x = 2 là nghiệm của pt (1)

• Với x > 2, f(x) < f(2) = 1 do đó pt (1) vô nghiệm

• Với x < 2, f(x) > f(2) = 1 do đó pt (1) vô nghiệm

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của pt

Suy ra hàm số tăng trên D.

Pt (2) có hai nghiệm phân biệt x1,2 = − ± m m2 − m,

BÀI TOÁN 9

SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT

CỦA HÀM SỐVới pt chứa tham số f(x,m) = g(x,m) (1)

Bước 1: Lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của

đồ thị hàm số (C): y = f(x,m) và đường thẳng

y = g(x,m)

Bước 2: Xét hàm số y = f(x,m)

• Tập xác định D

• Tính đạo hàm y’, rồi giải pt y’ = 0

• Lập bảng biến thiên của hàm số

• Pt có k nghiệm phân biệt

⇔ (d) cắt (C) tại k điểm phân biệt

• Pt có vô nghiệm

BÀI TOÁN 10

SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ LAGRANGEĐịnh lý Lagrange: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và f’(x) tồn tại trên (a,b) thì luôn ∃ ∈ c ( ) a, b sao cho:

Bước 1: Giả sử α là nghiệm của phương trình, khi đó:

Bước 2: Biến đổi pt về dạng thích hợp f(a) = f(b), từ đó chỉ ra được hàm số F(t) khả vi và liên tục trên [a,b]

Khi đó theo định lý Ragrange thì luôn ∃ ∈ c ( ) a, b sao cho:

Bước 3: Giải (*) ta xác định được α.Bước 4: Thử lại.

Ví dụ 1: Giải phương trình:

Viết lại pt dưới dạng:

Giải sử α là nghiệm của pt, khi đó:

Xét hàm số f t ( ) = tcosα − t cos α với t > 0

Từ (2) ta nhận được f(3) = f(2), do đó theo định lý ragrange tồn tại c ∈ (2,3) sao cho:

0 1

α α

Thử lại ta thấy đều thoả mãn (1)Vậy, pt có hai nghiệm

2 2

π

2 2

x π k π x k π

2 2

x π k π x k π

BÀI TOÁN 11

SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ RÔNBước 1: Tìm tập xác định của phương trình

Giả sử cần giải phương trình f(x) = 0 (1)

Ta có:

f(1) = f(2) = 0

Do đó pt có hai nghiệm là x = 1 và x = 2

Ta có:

Do đó pt có hai nghiệm là x = 0 và x = 1

f(0) = f(1) = 0

BÀI TOÁN 12

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ

Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của pt có nghĩa

Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối xứng của hệ

Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ, trong bước này cần có

được một số kỹ năng cơ bản

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

( )2

Thay x0 = 2 vào (1), ta được m = 1.

Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất

Suy ra pt đã cho tương đương với hệ:

1 1

Vậy pt tương đương với:

Ví dụ 5: Giải phương trình:

25x 3

3x 55

2 5

x 1

1 x