Đưa về cùng cơ số Biến đổi, rút gọn phương trình về dạng af x =agx 1.. Dùng ẩn phụ để đưa về phương trình đại số Lưu ý mối liên hệ giữa các lũy thừa, các biểu thức liên hợp... Mỗi nhân
Trang 1PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THEO PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Phương pháp 1 Đưa về cùng cơ số
Biến đổi, rút gọn phương trình về dạng af (x ) =ag(x)
1. 52x+ 1+7x+ 1−175x−35 0=
x+ x+ = x+ − x+
3. x2.2x+1+2x− +3 2 =x2.2x− +3 4+2x−1
4. 4x2+x+21 −x2 =2(x+ 1 ) 2 +1
3
x
−
+
÷
6 2x 2− +x 8 = 41 3x−
7. x2 6x 5
2
2 − − = 16 2
8 2x + 2x 1− + 2x 2− = 3x − 3x 1− + 3x 2−
9 2 3 5x x 1− x 2− = 12
10 (x2 − + x 1)x 1 2− = 1
11 5x + 5x 1+ + 5x 2+ = 3x + 3x 1+ + 3x 2+
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20. 2 38
4 8
2x3− = x−
21.5x +5x+1 +5x+2 =3x +3x+1+3x+2
22 (x2 −2x+2) 9−x2 =3 x2 −2x+2
23 ( cos 2) 1 cos 2
2
x
x + + = +
24. 2x+4.3x+2 =22x−1.33x+2
25.
Phương pháp 2 Dùng ẩn phụ để đưa về phương trình đại số
Lưu ý mối liên hệ giữa các lũy thừa, các biểu thức liên hợp
am=t ⇒a2m=t2; a3m=t3;…;
m
=
÷
Chú ý các dạng au2+buv+cv2=0; au3+bu2v+cuv2+dv3=0 Chia hai vế cho v2(v3); đặt u
t
v =
4x+ x− −5.2x− + x− − =6 0
2 3 2cos 1 cos
4+ x−7.4+ x− =2 0
Trang 23 (26 15 3+ ) (x+2 7 4 3+ ) (x−2 2− 3)x=1
4 (2− 3) (x+ +2 3)x=14
5 5.23x− 1 −3.25 3 − x+ =7 0
1. 27x+12x =2.8x9x−10.3x+ =9 0
4x −6.2x + =8 0
15.25x −34.15x +15.9x =0
4. 9sin 2x+9cos 2x =10
5. (2+ 3) (x+ −2 3)x=4
5
2
x
x+ =
7. 2xlog 2x+2x−3log 8x− =5 0
8. ( 2+ 3) (x+ 2− 3)x =2x
9. 5x− 1+5.0, 2x− 2 =26
x
= +
4x−4 x+ =3.2x+ x
14. 2sin 2x+5.2cos 2x =7
15. 4cos 2x+4cos 2x =3
17. 34x 8+ − 4.32x 5+ + 27 0 =
18. 22x 6+ + 2x 7+ − 17 0 =
21. (3 + 5)x + 16(3 − 5)x = 2x 3+
22. (7 4 3) + x − 3(2 − 3)x + = 2 0
23. 3.16x + 2.8x = 5.36x
24. 2.41x + 61x = 91x
+
26. 5x+ 5x 1+ + 5x 2+ = 3x + 3x 1+ + 3x 2+
2
28. (7 3 5+ ) (x+ −7 3 5)x =14.2x9x−8.3x+ =7 0
2
x− + = x−
Trang 330. 6.91x−13.61x +6.41x =0
31. 3 25x −39x +315x =0
32. 3 2x 8+ −4.3 x 5+ +27 0=
33. 6.9 x−13.6 x+6.4 x =0
34. ( 2− 3 ) x +( 2+ 3 ) x =4
35. 2x2−x −22 +x−x2 =3
36. 3.8x +4.12x −18x −2.27x =0
37. 2.22x −9.14x +7.72x =0
38.
x
2+ 3 + 2− 3 =2
3(x 1) x
42.
16
5 20 2
2 2
44. ( 3 + 5 )x + 16 ( 3 − 5 )x = 2x+3
45. ( 7 + 4 3 ) (x − 3 2 − 3 )x + 2 = 0
48. ( 5 + 2 6 )tanx + ( 5 − 2 6 )tanx = 10
49. 41 /x + 61 /x = 91 /x
50. 6 9x − 13 6x + 6 4x = 10
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
Trang 469. 3.16x−2 + (3 x − 10)4x−2 + − 3 x (Ẩn phụ không hoàn toàn)
70. (3− 5) (x + 3+ 5)x −7.2x =0
71. 8x +18x =2.27x
72. 82 +23x+3 −20=0
x x
2
12 2
1 2
6
23x − x − 3.(x−1) + x =
74. 53x +9.5x +27.(125−x +5−x)=64
75. 4.33x −3x+ 1 = 1−9x
76. 5.32x− 1−7.3x− 1+ 1−6.3x +9x+ 1 =0
77. 5lgx =50−xlg 5
78. 4.23x −3.2x = 1−22x+ 2 +24x+ 2
3 2 3
−
=
− +
80.
Phương pháp3 Đưa về phương trình tích Mỗi nhân tử là một phương trình cơ bản hoặc phương trình giải được bằng các cách khác.( Đôi khi phải dùng ẩn phụ để đơn giản hóa biểu thức trước khi tách nhân tử)
1.8.3x + 3.2x = 24 + 6x
2. 2 2 4.2 2 22 4 0
= +
−
+x x x x
x
3. 12.3x+3.15x −5x+ 1 =20
5. 32x−(2x +9).3x +9.2x =0
6. x2 −(3−2x).x+2.(1−2x)=0
7. 9x +2.(x−2).3x +2x−5=0
8. 3.25x− 2 +(3x−10).5x− 2 +3−x=0
9. 4x2+x +21 −x2 =2(x+ 1 )2 +1
10. 2x +3x =1+6x
Phương pháp4.Lôgarit hai vế Áp dụng khi hai vế là tích của các lũy thừa khác cơ số Lôgarit để chuyển
ẩn ở số mũ xuống, đưa về phương trình đại số
Trang 5f (x ) g(x ) h (x)
log (b c d ) f (x).log b g(x).log c h(x).log d= + + +
1
4 1 3 2
x+ x+
5 3x x =1
x
x x+ =
4 4.9x− 1=3 22x+ 1
5 2x2 − 2x.3x=1,5
6 5 22 11 50
x
x x−
+ =
x
x x+ =
8 23x =32x
9
10
11
12
13 5 8x x+ 1 x = 100
14 2x+ 3− 3x2+ − 2x 6 = 3x2+ − 2x 5 − 2x
15
Phương pháp 5 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
+ Đưa phương trình về dạng f(x)=m
Nhẩm nghiệm x0
Chứng minh f(x) đồng biến hoặc nghịch biến ⇒ xo là nghiệm duy nhất
+ Đưa phương trình về dạng f(x)=g(x)
Nhẩm nghiệm xo
Chứng minh f(x) đồng biến & g(x) nghịch biến (hoặc f(x) nghịch biến & g(x) đồng biến)
⇒xo là nghiệm duy nhất
+Đưa về dạng f(u)=f(v);
Chứng minh f(x) đồng biến hoặc nghịch biến ⇒ phương trình ⇔ u=v
+Đưa về phương trình f(x)=0
Nhẩm được hai nghiệm x1;x2
Chứng minh f(x) liên tục, f’’>0(hoặc <0) ⇒ f’(x) đồng biến(hoặc nghich biến) ⇒ f’(x)=0 có không quá một nghiệm ⇒ f(x)=0 có không quá hai nghiệm ⇒pt có hai nghiệm x1; x2
VD1:
x
x = + 2 2 3−x = − +x2 8x−14
VD2 Giải các phương trình:
l og x+ −x 1 log x= −6 2x VD3 Giải các phương trình:
1 25x−2 3( −x)5x+2x− =7 0 2 8−x.2x+23−x− =x 0
VD4 Giải phương trình: x2.3x+3 12 7x( − x)= − +x3 8x2−19x+12
1. 4x+9x =25x
2. 3.25x−2+(3x−10 5) x−2+ − =3 x 0
3. 9x+2(x−2 3) x+2x− =5 0
4 3x + 4x = 5x
5 3x + − = x 4 0
Trang 66.
7 15x + 1 = 4x
8.
1 3
x x
20 2 4 5
10 22x−1 + 32x + 52x+1 = 2x + 3x+1 + 5x+2
5
2 2
+
12.
x
x
x
x x
x
2
2 2
2 1 2
1
−
=
−
−
−
13 x2 − ( 3 − 2x) ( x + 2 1 − 2x) = 0
14 12 3x + 3 15x − 5x+ 1 = 20
15.
16.
19.
21 2x+1− 4x = − x 1
22 2x = 32x + 1
24. 1 1 ( )2
1 2
4x− − x2− = x−
25.
x
x
x x
x
1 2
1 2
1
−
=
− −
−
26.2x2+ 3 cosx −2x2+ 4 cos3x =7.cos3x
27 (2+ 3) (x+1− 7+4 3)x =x−1
28 ( ) (x ) ( )x x
5 2 2 3 5
29.4x2 ( 2.x2 x 1).2x
+ +
−
=
6
2 1 7
31.
Phương pháp 6 Đánh giá
Cm VT ≥ M; VP ≤ M (hay VT ≤M; VP ≥M)
Phương trình ⇔ VT=VP=M (Đẳng thức xảy ra)
1 32x +22x +2x =3x+ 1+2x+ 1 +x+1
Hd 2x ≥ +x 1
x +
+
cos 2
3 3x2 =cos2x
Trang 7PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THEO PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHÂN LOAI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I.Phương trình cơ bản
b a
log x= ⇔ = b x a 0< a ≠1
b a
log f (x) b= ⇔f (x) a= 0< a ≠1; ĐK f(x) có nghĩa
f (x) 0Vg(x) 0 log f (x) log g(x)
f (x) g(x)
II.Một số phương pháp giải phương trình lôgarit
Phương pháp 1 Đưa về cùng cơ số
Biến đổi, rút gọn phương trình về dạng log f (x) log g(x)a = a
Chú ý: x = logaax; logaf(x)+logag(x) =loga (f(x).g(x))
4
5
6
7
8
10
12
13
14 log (42 x+4) x log (2= − 1 x 1+ −3)
2
1
2 2
1
2
16
17
18
Trang 82 16 lg 4
1 2 2
3
2
1 1 2
lg
2
1
=
+
−
+
x
2
2 x + = x+ x+ −
4
1 1 7 2 log
1 2 1 2
x x
− +
−
=
−
2
1 log
3 1 log 1 log 2
3 3
2
2 1 3
x
8 2
2
2 2
4 2
2 2
2
2 x +x+ + x −x+ = x +x + + x −x +
9 3
3 2
2
3 log
2
1 6 5
2
log ( 3) log ( 1) log (4 )
30
3
2 3
x
2log( 1) logx log
2
32
2
log ( 3) log (6 10) 1 0.
DK x
>
lg( 10) lgx 2 lg 4
2
x
1
2
x + − x = x − x
3 x − 2 x + = log ( x + − 1) log x
log ( x + 2) + log x + 4 x + = 4 9 ĐS: x=25; x=-29
37 log (4 x + 2).log 2 1x =
log ( x + 3 x + + 2) log ( x + 7 x + 12) 3 log 3 = +
40
41
42
3
3 x− + x− =
Trang 9− + +
45 log (x 1)4 + 2+ =2 log 2 4 x log (4 x)− + 8 + 3
Dùng ẩn phụ để đưa về phương trình mũ
4
4
log
5
7 2 log
3
log ( x + 2 x + = 1) log ( x + 2 ) x
Phương pháp 2 Dùng ẩn phụ để đưa về phương trình đại số
Lưu ý mối liên hệ giữa các lôgarit, các biểu thức liên hợp
(5 1).log (5 5) 1
25
5 x − x+ − =
log x+ 16 log ( = x + 1)
2
log 4 logx x x = 12
log x − 4 log x − = 5 0
n
log x t log a ;log x t ;log x ;log x
4 log x log x
3
+ =
0 5 1 log
3 2
3 x+ x+ − =
Trang 10Phương pháp3 Đưa về phương trình tích. Mỗi nhân tử là một phương trình cơ bản hoặc phương trình giải được bằng các cách khác.( Đôi khi phải dùng ẩn phụ để đơn giản hóa biểu thức trước khi tách nhân tử)
log x 2.log x 2 log x.log x+ = +
Phương pháp 4 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
+ Đưa phương trình về dạng f(x)=m
Nhẩm nghiệm x0
Chứng minh f(x) đồng biến hoặc nghịch biến ⇒ xo là nghiệm duy nhất
+ Đưa phương trình về dạng f(x)=g(x)
Nhẩm nghiệm xo
Chứng minh f(x) đồng biến & g(x) nghịch biến (hoặc f(x) nghịch biến & g(x) đồng biến)
⇒xo là nghiệm duy nhất
+Đưa về dạng f(u)=f(v);
Chứng minh f(x) đồng biến hoặc nghịch biến ⇒ phương trình ⇔ u=v
+Đưa về phương trình f(x)=0
Nhẩm được hai nghiệm x1;x2
Chứng minh f(x) liên tục, f’’>0(hoặc <0) ⇒ f’(x) đồng biến(hoặc nghich biến) ⇒ f’(x)=0 có không quá một nghiệm ⇒ f(x)=0 có không quá hai nghiệm ⇒pt có hai nghiệm x1; x2
l og x+ −x 1 log x= −6 2x
3. log (x 2 2 − − + =x 6) x log (x 2) 4 2 + +
4.
5.
7.
8. x+log(x2− − = +x 6) 4 log(x+2)
x+ x+ + x+ x+ =
5 4 2
3
2
+ +
+ +
x x
x x
x x
11. 3 log3x − log3x − = 1 0
12. log22 x + − ( x 1)log2x + 2 x − = 6 0
Trang 1113.
2x +.log ( x + = 1) 4 (logx+ x + + 1 1)
14.
Phương pháp 5 Đánh giá
Cm VT ≥ M; VP ≤ M (hay VT ≤M; VP ≥M)
Phương trình ⇔ VT=VP=M (Đẳng thức xảy ra)