Bia tap tich phan

Khái niệm tích phân Riemann được biết trong giáo trình giải tích toán học chỉ áp dụng được cho những hàm liên tục hoặc có không “quá nhiều” điểm gián đoạn, bởi vì Lebesgue đã chứng minh

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU -2

Phần 1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT -3

I- TÍCH PHÂN RIEMANN -3

1.1- Định nghĩa -3

1.2-Tiêu chuẩn khả tích Riemann -3

II- TÍCH PHÂN LEBESGUE -4

2.1- Tích phân Lebesgue -4

2.1.1-Tích phân của hàm đơn giản không âm -4

2.1.2- Tích phân của hàm đo được không âm -4

2.1.3- Tích phân của hàm đo được bất kỳ -4

2.2- Tính chất của tích phân Lebesgue -5

2.2.1- Một số tính chất đơn giản -5

2.2.2- Một số tính chất sơ cấp của tích phân -5

2.2.2.1- Tính cộng tính -5

2.2.2.2- Tính bảo toàn thứ tự -5

2.2.2.3- Tính tuyến tính -5

2.2.2.4- Tính khả tích -5

2.3- Qua giới hạn dưới dấu tích phân -6

2.4- So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue -6

2.5- Tích phân Lebesgue xem như hàm tập -6

2.6-Độ đo tích-Định lý Fubini -7

Phần 2 BÀI TẬP -8

KẾT LUẬN -23

TÀI LIỆU THAM KHẢO -24

Lời nói đầu

Lý thuyết độ đo và tích phân là một phần quan trọng trong lý thuyết hàm số biến số thực Cùng với giải tích hàm, độ đo và tích phân đã là nền tảng cho kiến thức toán học của người nghiên cứu toán

Khái niệm tích phân Riemann được biết trong giáo trình giải tích toán học chỉ áp dụng được cho những hàm liên tục hoặc có không “quá nhiều” điểm gián đoạn, bởi

vì Lebesgue đã chứng minh được rằng một hàm f xác định trên một đoạn ∆ đóng và bị chặn của ¡ k là khả tích Riemann khi và chỉ khi f bị chặn và liên tục hầu khắp nơi trên

∆ Đối với hàm đo được thì chúng có thể gián đoạn khắp nơi trên miền xác định ( hay tổng quát hơn, những hàm xác định trên một tập hợp trừu tượng, do đó khái niệm liên tục hoàn toàn không có nghĩa gì cả) thì phép xây dựng tích phân theo Riemann không thể áp dụng được Tuy nhiên, đối với những hàm số như vậy thì lại tồn tại một khái niệm tích phân khác, hoàn hảo và mềm dẻo hơn nhiều Đó là tích phân Lebesgue

Tìm hiểu về tích phân Lebesgue ta sẽ hiểu ý tưởng chính của phép xây dựng tích phân Lebesgue là ở chổ ta không nhóm những điểm gần nhau trên trục Ox mà lại nhóm những điểm tại đó giá trị của hàm gần nhau Điều này cho phép ta mở rộng khái niệm tích phân ra một lớp hàm rất tổng quát

Nội dung của tiểu luận này không có ý định tìm hiểu sâu các khía cạnh về lý

thuyết của tích phân Lebesgue mà chỉ dừng lại ở việc Hệ thống các bài tập về tích phân Lebesgue trên cơ sở nắm vững các kiến thức cơ bản về tích phân Lebesgue Nội

dung của tiểu luận gồm hai phần

Phần 1 Tóm tắt lý thuyết cơ bản về tích phân tích phân Lebesgue;

Phần 2 Bài tập về tích phân tích phân Lebesgue.

Với thời gian thực hiện đề tài tương đối ngắn, khả năng chọn lọc và hệ thống bài tập còn hạn chế Do vậy, tiểu luận này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận được những góp ý từ bạn đọc và sự chỉ bảo của quý thầy cô giáo

Em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Kính đã tận tình hướng dẫn

và giúp đỡ em hoàn thành tiểu luận này

Quy Nhơn, tháng 12 năm 2008.

Võ Ngọc Sỹ

Phần 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

=∑ ∆ : Tổng đacbu dưới của f theo T.

Nếu lim0 lim0

T S T T S T I

λ → =λ → = thì ta nói hàm số f khả tích Riemann trên ∆ và tích phân Riemann

của hàm số f trên ∆ là số I và ký hiệu là: I = f x dx( )

∆

* Mệnh đề 1

Cho f là hàm số xác định trên ∆⊂¡ Gọik ω =i M i−m i là dao động của f trên∆i

Khi đó f khả tích Riemann trên ∆ khi và chỉ khi 0

+ Ghi chú Độ đo nói ở đây là độ đo Lebesgue trong ¡ k

1.3- Tích phân Riemann trên một tập hợp

1.3.1- Tập đo được theo nghĩa Peano-Jordan

Cho A∈¡ - không gian Euclide, A bị chặn và lấy một đoạn bất kỳ k ∆ ⊃A

Nếu hàm đặc trưng của A ( ) 1,

0,

A

x A x

1- Định nghĩa trên không phụ thuộc vào đoạn ∆, ∆ ⊃A

2- Điều kiện để ( )R χA( )x dx

∆

∫ tồn tại lài) A bị chặn trên ¡ và (k µ δA) 0= , với δA= C

A∩A là biên của A.

ii) f bị chặn trên A.

iii) Tập các điểm trong của A mà f không liên tục tại các điểm ấy có độ đo (L) bằng 0.

II- TÍCH PHÂN LEBESGUE

2.1- Tích phân Lebesgue

2.1.1-Tích phân của hàm đơn giản không âm

Cho không gian đo (X,F , µ), A là tập đo được A∈ F f là hàm số đơn giãn không âm trên

A

α µ

=

Đặt biệt, nếu µ là độ đo Lebesgue thì tích phân trên là tích phân Lebesgue.

+ Nhận xét Định nghĩa trên không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành tổ hợp tuyến tính

của hàm đặc trưng

* Một số tính chất đơn giản

1- Nếu f,g là hai hàm đơn giản trên A và f ≤g trên A thì

2.1.2- Tích phân của hàm đo được không âm

* Định nghĩa Cho f là hàm đo được không âm Theo cấu trúc của hàm đo được thì tồn tại một

dãy hàm đơn giản không âm trên tập A là { }f n : f n Z f trên A:

1- Định nghĩa trên không phụ thuộc vào dãy hàm đơn giản không âmf n Z f

2- Hàm đo được không âm trên một tập A luôn tồn tại tích phân trên tập đó

3-Nếu độ đo µ là độ đo Lebesgue thì tích phân trên gọi là tích phân Lebesgue.

2.1.3- Tích phân của hàm đo được bất kỳ

Cho f là hàm đo được trên tập A theo độ đo µ Đặt f_( )x =Max(−f x( );0)

Vì f+( ),x f−( )x đo được và không âm trên A nên tồn tại

Nếu độ đo µ là độ đo Lebesgue thì tích phân trên gọi là tích phân Lebesgue.

*Định nghĩa Cho f là hàm số đo được trên A theo độ đo µ, f được gọi là khả tích trên A theo độ đo µ nếu tồn tại

A

fdµ

∫ là một số hữu hạn

Nếu độ đo µ là độ đo Lebesgue thì tích phân trên gọi là tích phân Lebesgue.

2.2- Tính chất của tích phân Lebesgue

2.2.1- Một số tính chất đơn giản

2- Nếu µ(A)<+∞, f đo được và bị chặn trên A thì f khả tích trên A.

2.2.2- Một số tính chất sơ cấp của tích phân

+ Nhận xét Nếu f đo được trên A’⊂A và µ(A\A’) = 0 thì

1- Nếu f khả tích trên A thì f hữu hạn hầu khắp nơi trên A.

2- Nếu f không âm và đo được trên A thì

- Đối với tích phân Riemann, f khả tích trên A thì không suy ra được f khả tích trên A.

- Để xét tính khả tích Lebesgue hàm số f ta đưa về xét tính khả tích của f

* Mệnh đề 8 Giả sử f, g đo được trên A Khi đó

1- Nếu f, g khả tích trên A thì f ±g khả tích trên A.

2- Nếu f khả tích trên A và g bị chặn hầu khắp nơi trên A thì f.g khả tích trên A.

3- Nếu f ≤ g hầu khắp nơi trên A và g khả tích trên A thì f cũng khả tích trên A.

2.3- Qua giới hạn dưới dấu tích phân

Ta tập trung giải quyết vấn đề làVới điều kiện nào ta có lim n n limn n

+ Chú ý Nếu f n ≥g và g khả tích trên A thì bổ đề Fatou cũng đúng.

2.3.3- Định lý 5 (Hội tụ chặn)

Nếu f n ≤g, g khả tích và f n → f (hầu khắp nơi hay theo độ đo) trên A thì n

Trong không gian ¡ , nếu một hàm số f(x) là khả tích Riemann trên một đoạn k ∆ ⊂¡ thì k

nó cũng khả tích Lebesgue và hai tích phân Riemann và Lebesgue bằng nhau

( )R f ( )L f

=

2.5- Tích phân Lebesgue xem như hàm tập

Trên không gian đo (X, F, µ) ta cho hàm f xác định và có tích phân trên X Lúc đó ta xây

dựng được hàm tập hợp

λ: F→¡

A

Aa λ A =∫ fdµHàm tập λ được gọi là tích phân bất định của f

Định lý 7 Hàm tập hợp λ là σ - cộng tính, nghĩa là nếu có An ∈A, các An đôi một rời nhau và

∑ ∫ thì hàm F khả tích trên A

Định lý 8 (Tính liên tục tuyệt đối của tích phân)

Nếu f là hàm khả tích trên A thì với mọi ε >0 tồn tại δ >0 sao cho

E

fdµ ε<

∫ , với mọi tập E

đo được chứa trong A mà ( )µ E <δ .

2.6- Độ đo tích - Định lý Fubini

2.6.1- Độ đo tích

Giả sử M là một σ -đại số tập hợp gồm các tập con nào đó của X, và N là một σ -đại số tập hợp gồm các tập con nào đó của Y

Và µlà một độ đo trên M , γ là một độ đo trên N

Tập M x N :={(a;b): a ∈ M; b∈ N } gọi là tập hình chữ nhật.

Tập M x N nói chung không phải là một σ-đại số trong XxY Khi đó tồn tại σ -đại số

trong XxY chứa M x N , ký hiệu là M xσ N

* Bổ đề Cho Q ∈ M xσ N , gọi Q(x)={y∈Y: (x; y)∈Q}, x∈X, Q(y)={x ∈X: (x; y)∈Q}, y∈Y Khi đó ta có

1- γ ( Q(x)) đo được theo độ đo µ trên X.

2- µ( Q(x)) đo được theo độ đo γ trên Y.

∫ ∫ là một độ đo trên M x N gọi là độ đo tích của

hai độ đo µ vàγ , ký hiệu là λ = µ xγ

+Nhận xét Nếu Q = AxB, A∈M, B∈N, ( ) ,

Cho µlà một độ đo σ hữu hạn trong một σ đại sốâ M trong khômg gian X, γ là một độ đo

σ hữu hạn trong một σ đại số N trong không gian Y, f(x;y) là một hàm đo được theo độ đo tích

λ=µxγ Nếu f(x;y) là hàm không âm hoặc khả tích trên tập AxB∈MxN thì ta có

Phần 2. BÀI TẬP

2.1

Nếu f khả tích trên A thì với mọi số ε>0, µ({x A f x∈ : ( )≥ε})< ∞.

Giải.

Sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử tồn tại ε0>0 sao cho µ({x A f x∈ : ( )≥ε0})= ∞.

Suy ra f không khả tích (L), do đó f không khả tích (L) Điều này trái với giả thiết.

Vậy, nếu f khả tích trên A thì với mọi số ε>0,µ({x A f x∈ : ( )≥ε})< ∞.

2.2

Nếu f là hàm đo được, g là hàm khả tích và ,α β là hai số thực sao choα ≤ f x( )≤β hầu

khắp nơi thì có một số thực :γ α γ β≤ ≤ sao cho

f g dµ γ= g dµ

∫ ∫ .(Định lý giá trị trung bình).

Giải.

* Nếu g d∫ µ =0 thì g d∫ µ =0  g =0hầu khắp nơi trên A

 f g =0hầu khắp nơi trên A  f g d∫ µ =0

Khi đó, ta chọn γ bất kỳ sao cho:α γ β≤ ≤ , ta có f g d∫ µ γ= ∫ g dµ (đpcm).

µ

= ∫

∫ ta có điều phải chứng minh.

2.3

Cho n tập con đo được A ;1 A ,…,2 A của một tập đo được X có ( ) n µ X < ∞.Nếu mỗi x∈X thuộc ít

nhất q trong số các tập A ;1 A ,…,2 A thì ít nhất một trong các tập này có độ đo n q ( )X

<

∑ , mâu thuẩn với (1)

Suy ra điều phải chứng minh

2.4

Cho f(x) là hàm đo được, không âm trên A và cho hàm chặt cụt ở N của f(x) như sau

( ), ( )( )

Do f hữu hạn hầu khắp nơi trên A nên tồn tại B⊂A: ( ) 0, ( )µ B = f x < +∞ ∀ ∈, x A B\

Vì ( )f x < +∞nên tồn tại n∈¥ : f(x) ≤ n

Khi đó với mọi N > n, ta có f N (x)= f(x) Suy ra lim N→∞f N (x)= f(x).

Vậy f N (x)Z f(x) trên A\B.

Hơn nữa, 0≤ f x n( ) đo đựoc trên A ( vì f(x) đo được trên A) nên theo định lý Levi , ta có

Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử f n →µA 0 Khi đó tồn tại ε0>0 sao cho µ{x A f∈ : n ≥ε0} n→∞→0

Do đó tồn tại δ > ∃0 : n n0; 0∈¥ :∀ >n n0:µ{x A f∈ : n ≥ε0} ≥δ

Suy ra có một dãy con { }f k n ⊂{ }f n thoã { : 0}

f d

f

f f

f f

µ ≤ , với mọi n>0 Do đó lim ( ) 0 n µ A n

Trong đó ε >0; A n ={x n: ε ≤ f x( ) (< +n 1)ε, thường gọi là một tổng Lebesgue của f Nếu

f khả tích trên A thì với mọi ε >0 chuỗi S(f, ε ) hội tụ và

=∑ hội tụ với một giá trị ε >0 nào đó.

Vì f hữu hạn hầu khắp nơi nên A=

0

n n

hữu hạn Vậy f khả tích Lebesgue.

Hoàn toàn tương tự, ta có ( )n ( )n

A

f dµ ε µ− n A <εµ A

=∑ đều hội tụ nên bất đẳng thức trên được

viết lại như sau:

=∑ Khi đó g(x)>0 với mọi x A∈

Ta có hàm g đo được và f ≤g với mọi x A∈ (1)

∫ , hay g là hàm khả tích trên A.

Từ (1) ta suy ra f khả tích trên A.

kµ A ≤ ∫ f

Đặt ( ) log(1 ),ϕ =t +t t > −1 thì

(0) 0,

1'( )1'(0) 1

t

t

ϕϕϕ

Suy ra ( )g x n ≤α f x( ),∀α:1≤ < ∞α Do đó, từ (3) ta có

( )lim log(1 ( ) )

0 ,1<

X n

Cho chuỗi số dương ∑a n và f:[0;+∞)→¡ với f(x) = a n khi n x n≤ < +1.

Chứng ming rằng f khả tích (L) khi và chỉ khi chuỗi ∑a n hội tụ.

P Giả sử chuỗi ∑a n hội tụ

Xét dãy hàm ( ) ( ),

a-Giả sử f là hàm khả tích trên A đối với độ đo µ và f(x) >0 hầu khắp nơi trên A.

Chứng minh rằng nếu 0

∫ với mọi tập A⊂E.

Chứng minh rằng f=0 hầu khắp nơi trên E.

E E

fd fd

 nên theo (1), (2) ta cóµ(E1∪E2)=µ( )E1 +µ( ) 0E2 = .

Do đó f(x)=0 hầu khắp nơi trên E.

+ Ta có hàm số f(x) không liên tục trên [ ]0;1 Thật vậy

Xét x0∈[ ]0;1 , x vô tỉ, ta có f(x0)= Cosx0+ x0>0

Gọi { }x n ⊂[ ]0;1 là dãy số hữu tỉ, x n →x0; Vì f(xn) = 0, ∀n ≠f(x0)

Do đó f(x) không khả tích Riemann trên [ ]0;1

1

2

L ∫ f = R ∫ ∫g= Cosx x dx Sin+ = + 2.16

21

, < 1, x \ 2

1 0

2

( )R xdx∫ +( )R xdx∫ =1

8+ −e e.2.17

Xét tính khả tích (L) trên [0; 1] và tính tích phân tương ứng của hàm số

[ ] [ ]

1

, 0;1( )

x

x A V x

Ta có f(x) = g(x) với mọi x thuộc A và µ(B) = 0 Suy ra f(x) : g(x) trên [0; 1].

Vì g(x) liên tục trên [0; 1]\{0} nên g(x) liên tục h.k.n trên [0; 1]

Suy ra g(x) đo được/[0; 1] và do đó f(x) đo được/[0; 1](vìµ là độ đo đủ).

* Xét tính khả tích (L) của g.

Đặt

, 1( )

1

0, 0

n

x n x

g x

x n

+ Dãy {g n} không âm tăng đến g trên [0; 1]

+ g n liên tục trên [0; 1]\ 1

n

 

 

 , do đó g n liên tục hầu khắp nơi trên [0; 1].

Suy ra 0 ≤ g n đo được trên [0; 1] và tăng đến g trên [0; 1] Khi đó

 , trong đó D là tập Cantor, (a n ;b n ) là một trong

2 n khoảng kề hàng n Tính

[0; 1]

( )L ∫ fdµ.

Đặt g n( ) 1

n

= nếu x thuộc một trong 2n-1 khoảng kề hạng n

Vì D là tập Cantor nên µ(D) = 0 Do đó

n n

Giải.

+ Theo giả thiết, ta có hàm số f(x) không bị chặn Do đó f(x) không khả tích Remann

+ Xét tính khả tích Lebesgue của f

[0; 1]

( )L ∫ fdµ= lim

n

n A

fdµ

1 1

3

k k

Xét tính khả tích Remann và tính tích phân (nếu có) của hàm số sau trên đoạn [0;1]

2

, ( )

* Vì f x( ) ≤ ∀ ∈4, x [ ]0;1 , nên f(x) bị chặn trên [0; 1].

* Xét tính liên tục của f tại điểm x 0∈D C

Ta có: x 0∈D C nên x 0∈(a n ; b n ) – Khoảng kề hạng thứ n nào đó.

⇒ liên tục tại x0

Vì (a n ; b n ) là lân cận của x0 nên f(x) liên tục tại x0

Mà µ(D)=0 nên f liên tục h.k.n/[0;1] Suy ra

[ ]

1

( )R ∫ fdx=( )L ∫ fdµ.Đặt g(x) = Sinx+Cosx, ta có g(x) liên tục với ∀ ∈x [ ]0;1 .

Vì µ(D)=0 nên f(x) : g(x) trên [0; 1] Suy ra

* Vì f(x) không bị chặn nên f(x) không khả tích Riemann.

* Chứng minh f đo được trên [0; 1].

Vì g(x) liên tục trên [0; 1]\{0} nên g(x) liên tục h.k.n trên [0; 1]

Suy ra g(x) đo được/[0; 1] và do đó f(x) đo được/[0; 1](vìµ là độ đo đủ).

* Xét tính khả tích (L) của g.

Đặt

1

ln , 1( )

+ Dãy {g n} không âm tăng đến g trên [0; 1]

+ g n liên tục trên [0; 1]\ 1

n

 

 

 , do đó g n liên tục hầu khắp nơi trên [0; 1].

Suy ra 0 ≤ g n đo được trên [0; 1] và tăng đến g trên [0; 1] Khi đó

Tính tích phân (nếu có) của hàm số sau trên [0;1]

[ ] [ ]

Ta có f(x) = g(x) với mọi x thuộc A và µ(B) = 0 Suy ra f(x) : g(x) trên [0; 1].

Vì g(x) liên tục trên [0; 1] nên g(x) đo được/[0; 1] và do đó f(x) đo được/[0; 1]

(vìµ là độ đo đủ).

* Xét tính khả tích (L) của f.

Vì g(x) liên tục trên [0; 1] nên g(x) khả tích (R) trên [0;1] và

→ ⇒ − → +∞ ≤ ∫ Điều này mâu thẩu với (1)

Vậy hàm số f x( ) 12

x

= không khả tích (L) trên (0; 1]

Xét tính khả tích (R) của các hàm số sau trên [0;1]

a)

2, 0 1( )

a) Vì lim ( )x→0 f x = ∞nên f(x) không bị chặn trên [0;1]

Suy ra f(x) không khả tích Riemann trên [0;1].

b) Ta có: A B∪ =[ ]0;1 ;A B∩ = ∅; ( ) 0µ B = ⇒µ( ) 1.A =

Vì ( ) 2f x ≤ +e với ∀ ∈x [ ]0;1 , nên f bị chặn trên [0;1].

Với x A∀ ∈ , tồn tại dãy {r n } trong B: r n →x.

Vì f(r n ) = sin r n sin x 2 ( )

n

r +e → x e+ ≠x = f x nên f(x) không liên trục trên A.

Do đó f không liên tục hầu khắp nơi trên [0;1].

Vậy f không khả tích Riemann trên [0;1].

2.28

Cho hàm số

[ ] [ ]

Đặt g(x;y) = x+y với x,y ∈[0; 1]x[0; 1].

Vì µ(B)=0 nên f(x;y) = g(x;y) hầu khắp nơi trên[0; 1]x[0; 1]

Do đó: f(x;y) ~ g(x;y) trên [0; 1]x[0; 1]

Suy ra: ( )L [ ] [ ]0;1∫x0;1 f x y dxdy( ; ) =( )L [ ] [ ]0;1∫x0;1 g x y dxdy( ; )

Vì g(x;y) không âm, đo được trên [0; 1]x[0; 1] nên theo định lý Fubini, ta có:

KẾT LUẬN

Trong tiểu luận này em đã trình bày tóm tắt những nội dung cơ bản về lý thuyết tích phân Lebesgue ( có nhắc lại định nghĩa và tiêu chuẩn khả tích Riemann) và hệ thống bài tập với lời giải chi tiết

Thông qua việc thực hiện tiểu luận, em đã được tìm hiểu sâu hơn về tích phân Lebesgue Đặt biệt là kỷ năng giải các dạng toán cơ bản về khảo sát tính khả tích (R) và khả tích (L) của một hàm số cho trước, nhất là sự vận dụng các định lý về điều kiện khả tích, qua giới hạn dưới dấu tích phân và quan hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue để tính tích phân Lebesgue và tích phân Riemann

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Kính đã cho em

cơ hội được tìm hiểu cụ thể hơn tích phân Lebesgue thông qua tiểu luận này

PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN