tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?. Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào

Trang 1

A ĐỌC BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ

 Định lí (thừa nhận): Giả sử hàm số yf x( ) có đạo hàm trên khoảng K

Nếu f x( )0,  x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .

Nếu f x( )0,  x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K

Nếu f x( )0,  x K thì hàm số không đổi trên khoảng K .

 Hình dáng đồ thị

Nếu hàm số đồng biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi lên

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi xuống

CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA Câu 1 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1;   B 1; 0 C 1;1 D 0 ;1

Lời giải Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ; 1 và 0;1 

Câu 2 Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A  ; 1 B 0;1 C 1;0 D ;0

Lời giải Chọn C

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Trang 2

A 1;   B  0;2  C 1;0 D  2; 1 

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ; 1 và  0;1 

Do  2; 1   ; 1 nên hàm số đồng biến trên khoảng    2; 1 

A 2;   B 1;3 C 3;   D ;1

Từ bảng biến thiên suy ra trên khoảng 3;   hàm số đồng biến

Câu 5 Cho hàm số f x   có bảng biến thiên như sau:

A  0; 2  B  2;3  C    1;  D   ;3 

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng   ;0  và  2;  

Mà  2;3    2;   nên trên khoảng  2;3  hàm số đồng biến

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A  2 ;    B   1 ;0  C    ; 1  D  0; 2 

Trang 3

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng    ; 1 

Câu 7 Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:  

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng   ;3  và  3;  

Mà 3; 4  3; nên trên khoảng  3; 4 hàm số đồng biến 

Câu 8 Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ

Cho các mệnh đề sau:

I Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 3 và 3; 2 

II Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2

III Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;

IV Hàm số đồng biến trên ; 5

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên

Lời giải Chọn A

Ta thấy nhận xét III đúng, nhận xét I, II, IV sai

Câu 9 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Trang 4

A 2;1 B 2; 2 C  ; 2 D 1;  

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên 2;1 , (1; 2)

Câu 10 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình dưới đây Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1;

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; 3

C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3; 

D Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ; 1

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3; 

Câu 11 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?

A 1;1 B 0;1  C 4;   D ; 2

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;1 

Câu 12 Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A (2; 3) B ( 2; 3) C (2;) D ( ; 2)

Lời giải

Trang 5

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên ( ; 2)

Câu 13 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 3 B Hàm số đồng biến trên khoảng   1; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 1 D Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 1

Câu 14 Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới

đây?

A  ; 1  B 1;1  C 0; D    ; 

Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có hàm số đồng biến trên khoảng   1;1 

Câu 15 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào

dưới đây?

A 1;1  B 1; 2  C  1; 2 D 2;

Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 nên nghịch biến trên khoảng

 1; 2

Câu 16 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào

Trang 6

dưới đây?

A  ; 1  B 1;1  C  1; 2 D  0;1

Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có trên khoảng  0;1 đồ thị hàm số đi xuống (theo chiều từ trái qua phải) nên nghịch biến trên khoảng  0;1

Câu 17 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; 2

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  1; 

C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1; 2

D Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ;1

Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có trên khoảng ;1 đồ thị hàm số đi xuống (theo chiều từ trái qua phải) nên nghịch biến trên khoảng ;1

Câu 18 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

A 1;0 B 0;1 C 1;1 D 1;  

Xét đáp án A, trên khoảng 1; 0 đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại

Xét đáp án B, trên khoảng 0;1 đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên chọn

Trang 7

Xét đáp án C, trên khoảng 1;1 đồ thị có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến và có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại.

Xét đáp án D, trên khoảng 1;   đồ thị có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại

Câu 19 Với A  3;9; 2 và B0; 3; 6  thì tọa độ điểm 3 1 9  3 2 6

A ;0 B 1;3 C 0; 2 D 0;  

Xét đáp án A, trên khoảng ; 0 đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại

Xét đáp án B, trên khoảng 1;3 đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng

đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại

Xét đáp án C, trên khoảng 0; 2 đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên chọn

Xét đáp án D, trên khoảng 0;   đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại

Câu 20 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

A 2;0 B ;0 C 2; 2 D 0; 2

Xét đáp án A, trên khoảng 2;0 đồ thị hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên chọn

Xét đáp án B, trên khoảng ;0 đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng xuống là hàm số đồng nghịch biến nên loại

xét đáp án C, trên khoảng 2; 2 đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến và có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại

Xét đáp án D, trên khoảng 0; 2 đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại

Câu 21 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

2 4

y

x

Trang 8

A 1;1 B 2; 1  C 1; 2 D 1;  .

Xét đáp án A, trên khoảng 1;1 đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên chọn

Xét đáp án B, trên khoảng 2; 1  đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại

Xét đáp án C, trên khoảng 1; 2 đồ thị có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến và có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại

Xét đáp án D, trên khoảng 1;   đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại

B TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ (không chứa tham số)

 Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số

 Bước 2 Tính đạo hàm y  f x ( ). Tìm các điểm x i, (i1, 2, 3, , )n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

 Bước 3 Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

 Bước 4 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dưa vào bảng biến thiên

Câu 1 Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng  ; ?

2

x y







Vì yx3x y3x2 1 0,  x

Câu 2 Cho hàm số 2

1

x y x





 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  B Hàm số nghịch biến trên khoảng  1; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 D Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 1



,  x \ 1

Câu 3 Cho hàm số yx33x2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 B Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2

C Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 D Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 

Ta có y 3x26x; 0 0

2

x y

2

 1



y

3

2 1 1

Trang 9

Câu 4 Cho hàm số y f x có đạo hàm   f x x21,   x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; B Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 

C Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  D Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 

Do hàm số y f x có đạo hàm   f x x2 1 0   x nên hàm số đồng biến trên khoảng

Hàm số y3x33x2 có TXĐ: D  

2

y  x     x , suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  ; 

Câu 6 Cho hàm số yx32x2 x 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;  B Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 1

;13

 

Câu 7 Cho hàm số y x 42x2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2  B Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1  D Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2 

TXĐ: D 

Trang 10

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng 1; 0 ,  1; ; hàm số nghịch biến trên các khoảng

 ; 1 ,  0;1 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 2 

Cách 2: Dùng chức năng mode 7 trên máy tính kiểm tra từng đáp án

Câu 8 Hàm số 



2

21

y

x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A ( ; ) B (0;) C (; 0) D ( 1;1) 

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0;  

Câu 10 Cho hàm số yx33x2 Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 và đồng biến trên khoảng  0;

B Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0 và đồng biến trên khoảng  0;

C Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 

Lời giải

Trang 11

y x  Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng 0;    B Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;    D Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

x

 



; y   0 x 0 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 và đồng biến trên khoảng 0;   

Câu 12 Hàm số y x33x2 đồng biến trên khoảng2

A 0; 2 B ; 0 C 1; 4 D 4;  

Tập xác định D  

Ta có: y  3x26x

00

2

x y

Nhìn vào bảng xét dấu của y ta thấy hàm số y x33x2 đồng biến trên khoảng 2 0; 2 Vậy hàm số y x33x2 đồng biến trên khoảng 2 0; 2

Câu 13 Hàm số yx44x3 đồng biến trên khoảng

A   ;  B 3;   C   1;  D ; 0

Tập xác định D  

Ta có y 4x312x2

Cho y  0 4x312x2 0

03

x x

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng  3 ;   nên cũng đồng biến trên 

khoảng 3;  

Câu 14 Cho hàm số yx42x2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?2

Trang 12

A Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 B Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; .

C Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0 D Hàm số đồng biến trên khoảng 2; 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng 2;  

C TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN CÁC KHOẢNG XÁC ĐỊNH CỦA NÓ

+ Để f x( ) nghịch biến trên Dy  f x ( ) 0,   x Da d b c   0 m ?

 Lưu ý: Đối với hàm phân thức thì không có dấu " "  xảy ra tại vị trí y.

CÁC CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ VỚI ĐỀ MINH HỌA Câu 1 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số 1 3 2

3

f x  x mx  x đồng biến trên 

Trang 13

f x  x mx  m xm (m là tham số thực) Tìm tất cả các giá trị của m

để hàm số đã cho nghịch biến trên ?

A 4

2

m m

f x  x  mx m Hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi

 

2

1 00,

f x   x mx  m x  ( m là tham số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên

của m để hàm số đã cho nghịch biến trên  ?

Đạo hàm   2

f x  x  mx m  Hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi

 ( m là tham số thực) Tính tổng các giá trị nguyên của m để hàm

số đã cho đồng biến trên các khoảng xác định?

Trang 14

Do mm   3, 2, 1, 0,1, 2,3 

Vậy tổng các giá trị nguyên của m bằng 0

Câu 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m sao cho hàm số   1 3 2

3

f x  x mx  x đồng biến trên ?

Do mlà số nguyên âm m   3; 2; 1  Vậy có 3 giá trị nguyên của m

Câu 6 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 để cho hàm số

TH1: m0 y'80, x  m  không thỏa mãn 0

TH2: m  0 ta có:

0' 0,

Do mlà số nguyên thuộc đoạn 10;10m       9; 8; 7; 6; 5; 4

Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán

Câu 7 Gọi Slà tập hợp các giá trị của tham số m để cho hàm số   1 3 2

3

f x  x mx  mx m nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4 Tính tổng tất cả các phần tử của S

TXĐ: D  

Ta có: y'x22mx3m, y' 0 x22mx3m0 1

Vì a  1 0nên để hàm số đã cho nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4 thì phương trình  1

phải có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x2x1 4 Điều này tương đương với

Trang 15

2 1

04

m m

Câu 8 Cho hàm số y x3mx24m9x5, với m là tham số Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của

m để hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 

A Không có giá trị m thỏa mãn B m 1

C m 1 D Luôn thỏa mãn với mọi m

TH1: m 1 Ta có: y   là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số x 4luôn nghịch biến trên  Do đó nhận m 1

TH2: m  1 Ta có: y 2x2 x 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên  Do đó loại m  1

TH3: m  1 Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  y0    , dấu “=” chỉ xảy x

ra ở hữu hạn điểm trên 

Trang 16

Câu 11 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số hàm số

y  m m x  mx

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ;  y với 0   x

+ Với m 0 ta có y 3 với 0   x  Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 

m m m

 với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để

hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y 0, x D m24m0  0 m  4

Mà m nên có 3 giá trị thỏa mãn

Câu 13 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số 1 3 2

43

y x mx  x m đồng biến trên khoảng  ; 

A 2; 2 B ; 2 C  ; 2 D 2; 

Trang 17

Khi đó để hàm số nghịch biến trên  thì

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để hàm số nghịch biến là 1

Câu 15 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số 3 2  

TH1: m0 y2 là hàm hằng nên loại m 0

y  mx  mx m m  Hàm số đồng biến trên f '( )x 0   x 

30

m

m m

x m với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m

để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S

Ta có y'2cosx3sinx m

Hàm số đã cho đồng biến trên  y' 0, x  2cosx3sinx m 0, x 

Trang 18

Phương pháp cô lập m

– Bước 1 Ghi điều kiện để y f x m( ; ) đơn điệu trên D Chẳng hạn:

Đề yêu cầu y f x m( ; ) đồng biến trên Dy  f x m ( ; ) 0 

Đề yêu cầu y f x m( ; ) nghịch biến trên Dy  f x m ( ; ) 0 

– Bước 2 Độc lập m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là g x( ) được: ( )

– Bước 4 Dựa vào bảng biến thiên kết luận: Khi ( ) max ( )

 (m là tham số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã

cho đồng biến trên khoảng  0;  ?

Tập xác định D   \   m

Đạo hàm  

2 2

m m

 ( m là tham số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã

cho nghịch biến trên nửa khoảng 1 ; 2?

Trang 19

Đạo hàm  

2 2

44

m m

82

 ( m là tham số thực) Tính tổng các giá trị nguyên của m để hàm số đã

cho đồng biến trên khoảng 1 ;   ? 

Tập xác định D \ m

Đạo hàm  

2 2

 ( m là tham số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

đã cho nghịch biến trên nửa khoảng 0 ;   ? 

Trang 20

A 1 B 2 C 3 D 4

Tập xác định D\m

Đạo hàm  

2 2

Tập xác định D\m

Đạo hàm  

2 2

Hàm số nghịch biến trên 0;   khi và chỉ khi

Trang 21

Tập xác định D\3m;

3 13

m y

m m

TXĐ: D\5m

5 2'

5

m y







Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 10 khi và chỉ khi

5 2 0

m m

5

m m

Vì m nguyên nên m  1; 2 Vậy có 2 giá trị của tham số m

Câu 10 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 6

5

x y

Tập xác định D\5m

5 65

m y

m m

Trang 22

Chọn B

Ta có hàm số xác định khi x  và đạo hàm m

2 '

2

25

m y

Vì m   , suy ra m      4; 3; 2; 1 nên có 4 giá trị

Câu 12 Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x 6

 

 



Hàm số đồng biến trên khoảng 10;   y0 x 10; 

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa bài toán

Câu 13 Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x 6

 

 



Hàm số đồng biến trên khoảng 10;   y0 x 10; 

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa bài toán

Câu 14 Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số m 1x 2m 2

A 1;2 B 2;  

C ;1  2;  D 1; 2

Tập xác định D\m

Trang 23

 

2 2

20

TXĐ : D \ 2 m

Ta có:

2 2

2

m y

3

22

m

m m

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	1,58 MB