gói câu hỏi làm mưa làm GIÓ PHẦN 13

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBC và  ABC , tính  TUYỂN CHỌN GÓI DẠNG CÂU LÀM MƯA LÀM GIÓ • GÓI DẠNG CÂU THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I... Lời giải chi tiết tham khảo tại: https://diendan

Trang 1

TUYỂN CHỌN GÓI DẠNG CÂU LÀM MƯA LÀM GIÓ

Câu 1 Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , ABa, SBASCA900, góc

giữa hai mặt phẳng SAB và SAC bằng 600 Thể tích của khối đã cho bằng

Hai tam giác vuông SAB và SAC bằng nhau chung cạnh huyền SA

Kẻ BI vuông góc với SA suy ra CI cũng vuông góc với SA và IBIC

SAB SAC  IB IC  IB IC  BIC  hoặc BIC 1200

Ta có ICIB ABa mà BCa 2 nên tam giác IBC không thể đều suy ra  BIC 1200

Trong tam giác IBC đặt IBIC x x 0 có:

Câu 2 Xét khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , SAvuông góc với đáy, khoảng cách từ

A đến mặt phẳng SBC bằng  3 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBC và  ABC , tính 

TUYỂN CHỌN GÓI DẠNG CÂU LÀM MƯA LÀM GIÓ

• GÓI DẠNG CÂU THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I

Trang 2

Lời giải chi tiết tham khảo tại: https://diendangiaovientoan.vn/

cos

2cos

1cos

2cos

2

Lời giải Chọn A

Đặt ABACx x, 0 Ta có BC AB2AC2  2x

Gọi I là trung điểm của AB , hạ AHSI tại H

Ta có góc giữa hai mặt phẳng SBC và  ABC là  SIA  góc nhọn

33

H

Trang 3

Vậy thể tích khối chóp S ABC nhỏ nhất khi   3

cos

3

Câu 3 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , AB BC ,

và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng ( MNE chia khối tứ diện ) ABCD thành hai khối

đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V Tính V

a

C

3

218

a

D

3

11 2216

a

Lời giải Chọn D

Tính thể tích T có khối tứ diện ABCD Gọi F là trung điểm BC và H trọng tâm tam giác BCD

Gọi diện tích một mặt của tứ diện làS Gọi P là giao điểm của NE và CD, tương tự cho Q

Ta thấy ,P Q lần lượt là trọng tâm các tam giác BEC và BEA nên  1  1

Trang 4

Vì CC'BB' d C BB( , ') d K BB( , ') IK  5  AIK vuông tại A

Gọi E là trung điểm của IK EF BB ' EFAIK  EFAE

Lại có AM ABC Do đó góc giữa hai mặt phẳng ABC và AIK là góc giữa EF và AM

bằng góc AMEFAE Ta có cos AE

FAE

AF

52153

A

Trang 5

Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng AIK là AIK nên ta có:

cos

a

3 3.16

a

3 3.18

a

3 3.24

a

V 

Lời giải:

Gọi O là trung điểm AC, x là cạnh của tam giác đều, G là trọng tâm tam giác ABC.

+) Ta có SO AC; BOAC nên góc giữa (SAC) và (ABC) là  0

60

SOB 

Vì SABC là chóp đều nên SG(ABC)SG GO

Xét tam giác vuông SAG có

Trang 6

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD nên SH(ABCD) Đặt m HA , nSH Do tam giác

SAH vuông tại H nên m2n211a2

Xây dựng hệ trục tọa độ như sau: H(0;0;0), B m( ;0;0), D m( ;0;0), C(0; ;0)m , S(0;0; )n

Trang 7

Do cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 1

10 nên

| |1

Chiều cao của hình chóp là SH 3a

Diện tích của hình vuông là S ABCD 4a2

Thể tích của khối chóp S ABCD là: 1 1 2 3

Câu 7 Cho hình chóp S ABCD có SASBSCABBCCDDA1 Gọi G , 1 G , 2 G , 3 G lần 4

lươt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC , SCD, SDA AC cắt BD tại O Khi thể tích khối

Theo giả thiết ta có:

Trang 8

2

O G G G G

Câu 8 Cho hình chóp đều S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a , các mặt bên là các tam

giác vuông cân tại S Gọi G là trọng tâm của ABC ,    là mặt phẳng qua G vuông góc với

SC Diện tích thiết diện của hình chóp S ABC khi cắt bởi mặt phẳng    bằng

Xét SBC vuông cân tại S BC, 2a ta có:

Trang 9

SB SC BC  SB  a SB  a SBa SASC

Gọi J là trung điểm của BC , trong SJA kẻ GK/ /SA cắt SJ tại K

Trong SBC kẻ đường thẳng qua K song song với SB cắt SC và CB lần lượt tại H và I Trong SAC kẻ HM / /SA cắt SC tại M

Do các mặt bên của hình chóp S ABC là các tam giác vuông tại S nên ta có:

Từ (1) và (2)  SCHMI Vậy thiết diện là HMI

Ta có: KG/ /SA KJ; / /SB và do G là trọng tâm ABC nên 1 2

Câu 9 Cho x, y là các số thực dương Xét khối chóp S ABC có SA x , BC y, các cạnh còn lại đều

bẳng 1 Khi x, y thay đổi, thể tích khối chóp S ABC có giá trị lớn nhất bằng?

Trang 10

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC Vì tam giác SAB, SAC lần lượt cân tại B và

C nên BM SA CM, SA Suy ra, SABMC

Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều ABC có cạnh bằng 6 Biết rằng các mặt bên của

hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 3 2 Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S ABC

Lời giải

Chọn C

Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm S trên các cạnh BC , CA , AB Và H

là hình chiếu vuông góc của S trên ABC

x

1

1 1

y M

Trang 11

S  S  S nên d H BC , d H AC , d H AB ,  do đó H là tâm đường tròn bàng

tiếp ABC mà ABC đều nên giả sử H thuộc đường tròn bàng tiếp đỉnh A Khi đó ABHC là hình thoi tâm O Ta có HA2OA3 2 nên suy ra SB  SC  2 3

Vây Vmin min 2 3 , 3  3

Câu 11 Cho hình hộp chữ nhật ABCDA B C D     Khoảng cách giữa AB và B C là 2 5

Trang 12

Gọi M là trung điểm của DD, O là giao điểm của AC và BD , ta có mặt phẳng ACM chứa

AC và song song với BDnên d AC BD , d BD ,ACM d D ,ACM 

Gọi J là hình chiếu vuông góc của D trên AC , K là hình chiếu vuông góc của D trên MJ, ta có

Câu 12 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Mặt phẳng  P chứa đường thẳng AC và vuông góc với mặt

phẳng SCD, cắt đường thẳng SD tại E Gọi V và V lần lượt là thể tích khối chóp 1 S ABCD và

D ACE, biết V 5V1 Tính côsin của góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp S ABCD

Trang 13

Gọi O tâm hình vuông ABCD  tứ diện OSCD có OS OC OD, , đôi một vuông góc

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng SCDH là trực tâm SCD

Nối C với H cắt SD tại một điểm, điểm đó là E và   P  ACE

Gọi I là giao điểm của SH với CDSICD OI, CD và I là trung điểm củaCD

Gọi  là góc giữa SCD và ABCDSIO

Trong tam giác SOD vuông tại O , OE là đường cao

Gọi O là tâm của mặt đáy, M là trung điểm cạnh BC

Dễ thấy do S ABCD là khối chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông và SOABCD

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống SMtrong mpSMOOHSM (1)

Hơn nữa, OM BC và SMBC BCSOMOHBC (2)

A

C

H E

B

A S

Trang 14

Từ (1) và (2) OHSBCd O SBC ;  OH

Do O là trung điểm cạnh AC nên d A SBC ;  2d O SBC ;  2OH

Theo giả thiết d A SBC ;  2aOH a

Giả sử chiều dài cạnh đáy là 2x (xa do OM OH) và SOh(h 0)

Trong tam giác vuông SOM

2 2 2

h x OH





2 2 2

h x a

a x h

Thể tích khối chóp S ABCD là

1 43

169

Hàm số f x  đạt giá trị nhỏ nhất là 12a6 nên khối chóp có thể tích nhỏ nhất bằng 2 3a3

Câu 14 Cho khối chóp S ABCD có thể tích bằng 1, đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AD và

Đặt V V S ABCD. 1

Gọi I là giao điểm của BN với AD, suy ra P là giao điểm của MI với SD

BC DI và ND3NCDI 3BCD là trung điểm của AI

I N

P M

S

D C

B

A

Trang 15

Do đó P là trọng tâm của tam giác 2

3

SP SAI

Câu 15 Cho khối lăng trụ ABC A B C    có thể tích là V Trên các cạnh AA , BB , CC lần lượt lấy các

điểm M , N , P sao cho 1

Trước hết ta có: V ABCMNP V P ABC. V P ABNM. Ta sẽ tính V P ABC. và V P ABNM. theo V:

Trang 16

.

718

Câu 16 Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ', điểm M thuộc cạnh CC' sao cho CC' 3 CM Mặt phẳng

(AB M chia khối hộp thành hai khối đa diện ' ) V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh 1 A , ' V là thể 2tích khối đa diện chứa đỉnh B Tính tỉ số thể tích V và 1 V 2

E ABB E FCM

V V V  V

4154

V V V  V

1

2

4113

V

Câu 17 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , M N P, , lần lượt là

trung điểm của CC A C A B,  ,   Biết thể tích khối tứ diện GMNP bằng 5, tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C    ?

Lời giải Chọn B

F

E

M

D' A'

D

C B

A

Trang 17

Ta có: GC //G C   Do đó kéo dài GM cắt G C  tại K và C K G C GC

ABC A B C GKNP

Câu 18 Cho hình chóp S ABC có AB5cm BC, 6cm CA, 7cm Hình chiếu vuông góc của S xuống

mặt phẳng ABC nằm bên trong tam giác ABC Các mặt phẳng SAB , SBC , SCA cùng tạo với đáy góc 60 Gọi AD BE CF, , là các đường phân giác của tam giác ABC với

DBC EAC FAB THể tích khối chóp S DEF gần với số nào sau đây?

A 3, 4 cm 3 B 4,1cm 3 C 3, 7 cm 3 D 2,9 cm 3

Lời giải Chọn A

N G'

P N

G'

Trang 18

Vì các mặt phẳng SAB, SBC, SCA đều tạo với đáy một góc 60 và hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ABC nằm bên trong tam giác ABCnên ta có hình chiếu của S chính là

tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC thì 9

Suy ra chiều cao của hình chóp là : hr.tan 60 2 2

Vì BE là phân giác của góc B nên ta có : EA BA

S CAAB CBAB  ,

5

26

BFD ABC

60°

H F

E

D I

C

B A

A

I

Trang 19

Câu 19 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A; ABa; ACa 3 Tam giác

SAB, SAC lần lượt vuông tại B và C Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC có thể tích bằng

a

332

a

3312

a

336

a

Gọi R là bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Ta có: 4 3 5 5 3

2

a R

Gọi H là trung điểm đoạn thẳng BC và I là trung điểm đoạn thẳng SA

Vì tam giác SAB vuông tại B nên ta có IAIBIS; tam giác SAC vuông tại C nên ta có

IAIC IS Như vậy IAIB IC IS, nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

IH  ABC Mà I là trung điểm của SA nên d S ABC ,  2d I ,ABC 2IH

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: BC AB2AC2 2a Suy ra

Trang 20

a

Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SAa và vuông góc với

mặt đáy ABCD Trên SB, SD lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho SM m 0

SN n

S AMN

a V

2 2

3

2 2

11

12

11

m

a V

a

Câu 21 Cho tứ diện ABCD có DABCBD 90  ; ABa AC; a 5;ABC135 Biết góc giữa hai mặt

phẳng ABD, BCD bằng 30 Thể tích của tứ diện ABCD là

Trang 21

Suy ra ABM 45 (nên B ở giữa M và C)

ΔAMB vuông tại M có  ABM 45

Suy ra ΔAMB vuông cân tại B

Câu 22 Cho khối đa diện như hình vẽ bên Trong đó ABC A B C ' ' ' là khối lăng trụ tam giác đều có tất cả

các cạnh đều bằng 1, S ABC là khối chóp tam giác đều có cạnh bên 2

D

C B

A

Trang 22

Câu 23 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD 600 và SA vuông góc

với mặt phẳng ABCD Góc giữa hai mặt phẳng  SBD và  ABCD bằng  450 Gọi M là điểm đối xứng của C qua B và N là trung điểm của SC Mặt phẳng MND chia khối chóp S ABCD

Trang 23

thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V , khối đa diện còn lại có thể 1

V

2

75

V

V 

Thiết diện là tứ giác DNEH với các điểm như hình vẽ

Có HB/ /DC , B là trung điểm của MC H là trung điểm của BA

Do ABCD là hình thoi; H là trung điểm của BA nên 1

D

C

B S

Trang 24

*) Giả sử AGBCHBCSH Ta có hình chiếu của SG lên mặt phẳng SBC trùng vớiSH Do đó,     0

SG SBC GSH 

*) Hạ BK SA  SA BCK Mặt phẳng chứa BC và vuông góc với SA tại K là BCK chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích V , 1 V trong đó 2 V chứa điểm 1 S

Suy ra, V1V S KBC. ; V2VA.KBC VS.ABCV1

Giả sử ABC đều có cạnh bằng 1 Ta có, 3

.12

Trang 25

Vậy,

1

2

.

1

17

V  V 

Câu 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a, góc ABC 120 Hình chiếu

vuông góc của S trên ABCD trùng với trung điểm H của OD , góc giữa SBC và đáy bằng 60 Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN2ND Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN

Theo giả thiết ta có tam giác ABD và BCD đều cạnh a, hình chóp S ABCD và tứ diện ACMN

Trang 26

Gọi I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D H trên , BC

Dễ thấy góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng đáy chính là góc SKH

Câu 26 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt

bên SCD là tam giác vuông cân tại S Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông

góc với SA Thể tích của khối chóp S BDM bằng:

A

3316

a

3332

a

3348

a

3324

a

Lời giải Chọn C

Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của AB CD ,

K I H

O

C A

D

B S

Trang 27

 vuông cân tại S, CDaSJCD,

2

a

SJ  ; mà AB / /CD SJ  AB

SIJ AB

  ; do ABABCDSIJ  ABCD

Lại có SIJ  ABCDIJ

Gọi H là chân đường cao hạ từ S của tam giác SIJ SH IJ , và SHSIJ

2

1

Trang 28

Gọi I là trung điểm SA Tam giác SAB đều (cạnh a) BISA Mà giả thiết ta có

BM SABIMSA hay AI IBM

  , tam giác ADM vuông tại D 5

2

a AM

A IBM

a V

CA  Mặt phẳng MNB A  chia khối lăng trụ  ABC A B C    thành hai phần

có thể tích V (phần chứa điểm C1 ) và V sao cho 2 1

22

Trang 29

Khi đó

3 3

Câu 28 Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC A B C    Các mặt phẳng ABC và  A B C   chia khối lăng trụ

đã cho thành 4 khối đa diện Kí hiệu H H lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất trong 1, 2bốn khối trên Giá trị của  

  1

2

H H

V

V bằng

Lời giải Chọn C

GọiEAC'A C' và FBC'B C'

Khi đó: ABC và  A B C  chia khối lăng trụ tam

giác đều ABC A B C    thành 4 khối đa diện: CEFC';

' ' '

FEA B C ; FEABC và FEABB A' ' (hình vẽ)

Gọi V là thể tích của khối lăng trụ tam giác đều

Trang 30

V

Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD là hình bình hành, M là trung điểm AD Gọi S là giao

của SC với mặt phẳng chứa BM và song song với SA Tính tỉ số thể tích của hai khối S BCDM

Trang 31

Từ đó ta có .

.

16



Câu 30 Cho tứ diện ABCD có BCBDACAD1,ACD  BCD và ABD  ABC Thể tích

của tứ diện ABCD bằng

Gọi H K lần lượt là trung điểm cạnh , CD AB ,

   do đó AHBH (2 đường cao tương ứng) (2)

Từ (1), (2) suy ra AHB vuông cân tại H

Định dạng
Số trang	59
Dung lượng	1,82 MB