Bài 1: (2 điểm) a Rút gọn biểu thức: A = với x 2 b Tính giá trị biểu thức D = Bài 2: (2 điểm) Cho hệ phương trình: a Giải hệ phương trình với m = 1 b Tìm m để hệ đã cho có nghiệm. Bài 3: (2 điểm) a Rút gọn biểu thức M = b Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức C = là số nguyên Bài 4: (2 điểm) Cho ABC, biết phân giác trong AD, đường cao CH và trung tuyến BM đồng quy tại điểm I.
Trang 1UBND HUYỆN NGỌC HỒI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán Khóa thi ngày: 24/01/2013
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1: (2 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức: A = x+2 2x− +4 x−2 2x−4 với x ≥ 2
Bài 2: (2 điểm) Cho hệ phương trình:
2
x 1 y 2
2 3m
1
y 2 x 1
a/ Giải hệ phương trình với m = 1
b/ Tìm m để hệ đã cho có nghiệm
Bài 3: (2 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức M = 3− 5 10( − 2 3)( + 5)
b/ Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức C =
2
x x
−
− là số nguyên
Bài 4: (2 điểm)
Cho ABC, biết phân giác trong AD, đường cao CH và trung tuyến BM đồng quy tại điểm I Chứng minh rằng: AB.cosA = BC.cosB
Bài 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông góc ở A, đường cao AH.Vẽ đường tròn (I) đường kính BH cắt
AB tại D Vẽ đường tròn (K) đường kính CH cắt AC tại E Chứng minh rằng:
a/ AD.AB = AE.AC
b/ DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K)
c/ Diện tích tứ giác DEKI bằng nửa diện tích tam giác ABC
Hết
-ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2UBND HUYỆN NGỌC HỒI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN
1
a/ A = x+2 2x− +4 x−2 2x−4 với x ≥ 2
= x− +2 2 2x− + +4 2 x− −2 2 2x− +4 2
= ( x− +2 2)2 + ( x− −2 2)2
= x− +2 2+ x− −2 2
+) 2 ≤ x < 4: B = 2 2
+) x ≥ 4: B = 2 x−2
0.25
0.25 0.5
1.0
= - 1− 2 + 2+ 3 - 3− 4 + + 24+ 25
1.0
2
a/ Điều kiện: ≠y 2x 1≠ Đặt:
1 u
x 1 1 v
y 2
=
=
Điều kiện ≠u 0v 0≠ 0,25
1.0
Ta có hệ phương trình: −2v 3mu 1(2)u mv 2(1)+ ==
0,25 Với m = 1 ta có
1 3
1 7
y 2 5
+ =
Vậy với m = 1, hệ phương trình có nghiệm là
8 x 3 19 y 7
=
=
0,25
b/ Từ (1) ⇒ = − u 2 mv Thế vào (2) ta có:
2
2
2
2v 6m 3m v 1 (3m 2)v 1 6m
1 6m
3m 2
1 6m 4 m
u 2 m( )
3m 2 3m 2
+
+
0,5
1.0
Để hệ có nghiệm thì
m 4
u 0 4 m 0
1
v 0 1 6m 0 m
6
≠
−
0,25
Trang 3Vậy với
m 4 1 m 6
≠
−
≠
thì hệ phương trình có nghiệm 0,25
3
a/ Rút gọn biểu thức M = 3− 5 10( − 2 3)( + 5)
3− 5 10− 2 3+ 5
M = (3− 5 3)( + 5 10) ( − 2) 3+ 5
M = 2.( 5 6 2 5+ − 6 2 5+ )
M = 2. 5( 5 1+ −) ( 5 1+ )
M = 2 5( + 5− 5 1− )
M = 2 4 = 8
0,25
0,25 0,25
0,25
1.0
b/ Điều kiện để biểu thức C có nghĩa: x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2
Ta có: C =
2
3 2
x x
−
− =
2
2
x
− + = + − + = + +
Biểu thức C có giá trị nguyên khi x – 2 là ước của 1
Khi đó: x – 2 = 1 ⇔ x = 3 (thoả ĐK)
hoặc x – 2 = -1 ⇔ x = 1 (thoả ĐK)
Vậy x = 3; x = 1
0.5 0.25 0.25
1.0
4
I M
A
D
H
N
Vẽ MN ⊥ CH Vì MN // AH và M là trung điểm của AC
nên MN = 1
Ta có: BHI ~ MNI ⇒ BH BI
AD là phân giác ta có: BI AB
⇒ BH AB
AB
AC hay
⇒ BH = AB AH
AC = AB.cosA
Mặt khác BH = BC.cosB
Vậy, AB.cosA = BC.cosB
0.25
0.25
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
2.0
5 Vẽ hình
a/ Nối HD, HE thì:
Góc BDH = 900; góc CEH = 900
Áp dụng hệ thức b2 = ab’ ta được;
AD.AB = AE.AC (= AH2)
0,25
0,25
0.5
Tứ giác AEHD là hình chữ nhật
Góc IDE = ˆD1+ ˆD2 = ˆH1 + ˆH2 = 900
Suy ra ID ⊥DE nên DE là tiếp tuyến của đường tròn (I)
0,25
0.5
Trang 4Tương tự, DE là tiếp tuyến của đường tròn (K) 0,25
DEKI là hình thang vuông
SDEKI
2
DI EK DE+
=
( )
2
IH HK AH+
=
1 .
BC AH
= 1
2S
= ABC
0,25 0.25
0,25 0.25
1.0