De thi HSG cap truong lop 11 lan 1

Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = 1 a Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng MEB’B’C’.. Ghi chú: - Học sinh không đợc sử dụng tài liệu trong quá trình thi... +

Sở gd & đt bắc ninh

Trờng thpt quế võ 1 Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

độc lập – tự do – hạnh phúc tự do – tự do – hạnh phúc hạnh phúc

…… ***** ……

đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2008-2009

Môn: Toán – Khối 11 Khối 11

(Thời gian làm bài 150 phút(không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2 điểm)

sin 2

x

8 4

4(sin xcos ) 4(sinx  xcos ) sin 4x  x m

Câu 2 (2 điểm)

1) Giải bất phơng trình: x2  4x 3 2x2  3x  3 x 1







có nghiệm

Câu 3 (2 điểm)

Cho các số: 1, 2, 3, 4 1) Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số1

2) Tính tổng các số lập đợc ở câu 1)

Câu 4 (3 điểm)

1) Lập phơng trình đờng tròn (C) qua điểm A(-1; -2) và tiếp xúc với đờng

thẳng d : 7x y  5 0 tại điểm M(1; 2)

2) Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C ’B’C’ ’B’C’ ’B’C’ Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = 1

a) Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (MEB’B’C’.)

AK

Câu 5 (1 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: ysin5x 3 cosx

Ghi chú: - Học sinh không đợc sử dụng tài liệu trong quá trình thi.

- Đề thi có 01 trang.

đề thi học sinh giỏi cấp trờng năm học 2008-2009

Môn: Toán – Khối 11 lớp 11

1(1,0 đ) +) Điều kiện

+) Tìm đợc tanx = 1 hoặc tanx = 0

0,25 0,25

+) GiảI đúng và loại nghiệm đúng ĐS:

4

2(1,0 đ) +) Đa PT về dạng: 2cos 42 x cos4x2m (1)1

8 4

x    t(-1; 0) +) Xét f(t) = 2t2 + t trên (-1; 0) có bảng biến thiên

Và PT (1) có nghiệm khi đờng thẳng y = 2m +1 (song song hoặc trùng 0x )cắt f(t) trên (-1; 0)

2

m 

0,25 0,25

0,25 0,25

1(1,0 đ)

+) Điều kiện:

2

2

3

1

1 2

x

x

x



 









+) Với x=1 BPT hiển nhiên đúng suy ra x=1 là nghiệm

+) Với x 3 suy ra BPT  (x 3)(x 1) (x 1)(2x 1)   x 1 chỉ ra vô nghiệm

+) Với x 2 suy ra BPT  (1 x)(1 2 ) x  (1 x)(3 x) 1  x

2

x 

+) Kết luận: BPT có nghiệm

1 1 2

x x







 



0,25

0,25 0,25

0,25

2(1,0 đ)

+) Đặt

2

2





 +) Đa về hệ:

2 2

(**)





  

 +) Điều kiện để hệ (**) có nghiệm m 2

Ta xét m 2hệ có nghiệm hay ko

Biến đổi hệ (**) trở thành:

2

2

0

( )

( )

u v

I

II

 

  





 



+) Xét hệ (I): u=v ta đợc 2v2+v+2-m=0 có 2

0 2

m

PT luôn có nghiệm v   hệ có nghiệm u=v=v0 0 0 suy ra hệ ban đầu

0,25 0,25

0,25

0,25

có x=y=vo +1 +) Xét hệ (II): ………

1(1,0 đ) +) Mỗi số có 5 chữ số gồm 2 số 1 và 3 số khác là hoán vị 5 phần tử

1,1,2,3,4 do 2 số 1 khi hoán vị vẫn đợc 1 số vậy các số cần lập là

5 2

60

P

1,0

2(1,0 đ) +) Số có 5 chữ số có dạng abcde

Mỗi số a có 4! cách chọn bcde -> Mỗi số a 1,1,2,3,4 xuất hiện 4! lần

(1 1 2 3 4).24 264

a

Tơng tự bcd e264

1466652 2!

1,0

1(1,0 đ) +) Viết đợc PT đờng thẳng  đi qua tâm I của đờng tròn (C) là

1 7 2

 





 



từ đó suy ra I(1+7t;2-t)

+) (C) tiếp xúc với d khi và chỉ khi IM=R  IM2=R2  R2=50t2

+) (C) có dạng (x-1-7t)2+(y-2+t)2=50t2

+) A  (C)  t=-1 Vậy (C): (x+6)2+(y-3)2=50

0,25

0,25 0,25 0,25 2(2,0 đ) a,(0,75)

+) Xác định đợc điểm D và suy ra đợc 2 đoạn giao tuyến DE và DD’B’C’

+) Xác định đợc điểm K; suy ra đợc đoạn gioa tuyến EK và KB’B’C’

+) Kết luận đợc thiết diện là tứ giác DEKB’B’C’

b,(1,25)

+) Trong (ABC) Dựng EN // AB (NBC), khi đó EN=1

2AB

4

CD

0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5

Tìm Max y: y sin5x 3.cosxsin4x 3.cosx (1)

Ta chứng minh: sin4 x 3.cosx 3 với  x R (2)

2

(1 cos )x  3 (1 cos )(1 cos )x x  0

Theo BĐT côsi:

0,25

0,25

1

2

3

B

ĐT (3) luôn đúng suy ra BĐT (2) luôn đúng suy ra y  3,x

Dấu “=”  cosx 1 x k 2 Max y= 3

Tơng tự: ysin5x 3.cosx sin4 x 3.cosx,

Min y  3,đạt x  k2

0,25 0,25