Góc định hướng và ứng dụng

34 2 Giải toán hình học trong mặt phẳng định hướng 35 2.1 Các bài toán ứng dụng đường thẳng định hướng... Trong các giáo trình đó, các tác giả đều đơn giản hóa các chứng minh liên quan đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN THANH

GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN THANH

GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Định hướng mặt phẳng 4

1.1.1 Định hướng mặt phẳng theo hình học phổ thông 4

1.1.2 Định hướng mặt phẳng bằng công cụ tọa độ 6

1.1.3 Định hướng mặt phẳng theo hệ tiên đề của Choquet 7

1.2 Đường thẳng định hướng Độ dài đại số 13

1.3 Góc định hướng 15

1.3.1 Góc định hướng của hai vector 15

1.3.2 Góc định hướng giữa hai tia 16

1.3.3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng 21

1.4 Một số sự kiện hình học theo ngôn ngữ góc định hướng 26

1.4.1 Xét góc định hướng tạo bởi hai tia 26

1.4.2 Xét góc định hướng của hai đường thẳng 30

Kết luận Chương 1 34

2 Giải toán hình học trong mặt phẳng định hướng 35 2.1 Các bài toán ứng dụng đường thẳng định hướng 35

2.1.2 Định lý Stewart 36

2.1.3 Một số ứng dụng 38

2.2 Ứng dụng góc định hướng giải các bài toán chứng minh 42

2.2.1 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song và ba điểm thẳng hàng 42

2.2.2 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc 45

2.2.3 Phương pháp chứng minh các điểm đồng viên 49

2.3 Ứng dụng góc định hướng giải các bài toán quỹ tích 54

2.4 Các ứng dụng khác 60

2.5 Một số bài toán 65

Kết luận Chương 2 69

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình do tôi tổng hợp và nghiêncứu Trong luận văn tôi có sử dụng một số tài liệu tham khảo như đã nêutrong phần "Tài liệu tham khảo"

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Văn Thanh

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS NguyễnViệt Hải, nguyên là giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phòng Tác giả xinđược bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, tới cácthầy cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đồng thời tácgiả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K7B - Trường Đại học Khoahọc đã động viên giúp đỡ trong quá trình học tập và làm luận văn này

Tác giả xin cảm ơn Sở Giáo dục - Đào tạo Thành phố Hải Phòng, Ban Giám hiệu

và các đồng nghiệp Trường THPT An Dương, huyện An Dương, Thành phố Hải Phòng đã tạo điều kiện về mọi mặt để tác giả được tham gia học tập và hoàn thành chương trình đào tạo Thạc sĩ Toán, chuyên ngành "Phương pháp Toán sơ cấp".

Tác giả

Nguyễn Văn Thanh

Danh sách hình vẽ

1.1 5

1.2 11

1.3 13

1.4 14

1.5 16

1.6 17

1.7 17

1.8 18

1.9 19

1.10 19

1.11 20

1.12 20

1.13 21

1.14 22

1.15 22

1.16 23

1.17 23

1.18 24

1.19 24

1.20 24

1.21 25

1.22 28

1.23 31

1.24 31

2.1 37

2.2 39

2.3 40

2.4 42

2.5 43

2.6 44

2.7 45

2.8 46

2.9 46

2.10 47

2.11 48

2.12 50

2.13 51

2.14 51

2.15 53

2.16 54

2.17 55

2.18 55

2.19 57

2.20 58

2.21 59

2.22 61

2.23 62

2.24 63

Mở đầu

Trong giáo trình hình học sơ cấp ở các trường đại học sư phạm mà tôi đã đọc các tác giả đều có đề cập đến đường thẳng định hướng mặt phẳng định hướng; chẳng hạn có thể xem các giáo trình “Hình học sơ cấp” trong [5, 6, 7] Trong các giáo trình đó, các tác giả đều đơn giản hóa các chứng minh liên quan đến mặt phẳng định hướng và góc định hướng, hơn nữa vì khuôn khổ của một giáo trình không cho phép các tác giả đi sâu vào các ứng dụng của các công cụ này trong việc giải các loại toán hình học.

Để nghiên cứu sâu thêm các tính chất và bổ sung thêm các bài toán ứng dụng đường thẳng định hướng và góc định hướng vào việc giải toán phổ thông, coi như đây là một

công cụ mạnh, hữu hiệu trong giải toán hình học Chúng tôi muốn đi sâu vào đề tài "Góc

định hướng và ứng dụng" Đó là lý do nghiên cứu của tác giả luận văn.

Luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 Xây dựng mặt phẳng định hướng Sau khi nêu cách định hướng mặt

phẳng dựa từ các công cụ khác nhau, chúng tôi nhắc lại bổ sung thêm về đường thẳng định hướng, độ dài đại số, góc định hướng giữa hai tia và góc định hướng giữa hai đường thẳng, nội dung của chương này là các kiến thức chuẩn bị cho chương sau Kết quả nổi bật ở đây là chúng tôi đã chứng minh chặt chẽ hệ thức Chales trong mọi trường hợp Tiếp theo đó là các sự kiện hình học được chuyển sang ngôn ngữ của độ dài đại số hay góc định hướng.

Chương 2 Giải toán hình học trong mặt phẳng định hướng Chương 2 là trọng

tâm của luận văn Chúng tôi bắt đầu ứng dụng độ dài đại số và góc định hướng

để trình bày phương pháp giải các bài toán hình học: Chứng minh tính song song, tính thẳng hàng, tính vuông góc, tính đồng viên của các điểm, giải các bài

toán quỹ tích, và các ứng dụng khác.

Các bài toán đưa ra trong luận văn là những bài toán khó, điển hình chocác loại và hay gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toàn quốc, thậm chí trongcác kỳ thi quốc tế Việc sử dụng góc định hướng sẽ giúp lời giải ngắn gọn,

rõ ràng không phụ thuộc vào hình vẽ Hơn nữa, góc định hướng giúp địnhnghĩa các phép biến hình, từ đó mở ra những ứng dụng khác

Dù đã rất nghiêm túc thực hiện luận văn, nhưng vì nhiều lý do khác nhau, luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót Kính mong các Thầy Cô và các anh chị em đồng nghiệp góp ý để bản luận văn này hoàn thiện hơn Tác giả xin chân thành cảm ơn.

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Văn Thanh

ta còn có các khái niệm rất quan trọng là tam giác định hướng, diện tích đại sốcủa tam giác Vấn đề hướng trong hình học là vấn đề khó, nhất là đối với đốitượng học sinh phổ thông Trước hết chúng ta chấp nhận cách xác định góc địnhhướng theo hình thức mô tả ở sách giáo khoa phổ thông.

1.1.1 Định hướng mặt phẳng theo hình học phổ thông

Xung quanh mỗi điểm trong mặt phẳng có hai chiều quay: chiều quay theochiều quay của kim đồng hồ và chiều ngược lại (tất nhiên ở đây mặc định đồng hồ

có kim quay xung quanh một trục) Nếu ta chọn một trong hai chiều quay là chiềudương thì chiều ngược lại là chiều âm và khi đó ta bảo rằng mặt phẳng đã đượcđịnh hướng Thông thường người ta chọn chiều quay ngược với chiều quay củakim đồng hồ làm chiều dương Các giáo trình "Hình học sơ cấp" hiện nay đều xuấtphát từ cách làm này Ta giới thiệu qua các khái niệm cơ bản

Hình 1.1.

Góc lượng giác và số đo của chúng. Cho điểm O, tia Om và hai tia

Ou, Ov

Nếu tia Om chỉ quay theo chiều dương hoặc âm xuất phát từ tia Ou đến

trùng tia Ov thì ta nói rằng tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Ou, tia

cuối Ov và kí hiệu là (Ou; Ov)

Nếu tia Om quay một góc radian (hay a độ) thì ta nói góc lượng giác màtia đó quét có số đo radian (hay a độ)

Nếu một góc có số đo là a (hay rad) thì mọi góc lượng giác có cùng tiađầu và tia cuối với nó có số đo là a + k360 (hay + k2 ) với k là số nguyên.Mỗi góc ứng với một giá trị k

Phép quay Trong mặt phẳng định hướng lấy điểm O và góc định hướng ’ Phép biến hình trong mặt phẳng biến điểm O thành chính nó, biến điểm M

khác O thành M0 sao cho OM0 = OM và (OM; OM0) = ’ gọi là phép quay tâm

O với góc quay ’, và kí hiệu là Q’O

Công thức Chales đối với góc lượng giác Với ba tia Ou; Ov; Ow tùy ý,

ta có công thức quan trọng sau đây, được gọi là công thức Chales:

sđ(Ou; Ov) + sđ(Ov; Ow) = sđ(Ou; Ow) + k2 ; k 2 Z:

1.1.2 Định hướng mặt phẳng bằng công cụ tọa độ

1!2

sang cơ sở!

1!

2 Ta códet A = jA j = 1 2= 1 2 2 1:

1 2

Nếu det A > 0 thì ta nói cặp vector (a1 ; a2 ) cùng hướng với cặp vector (e1 ; e2 ) Nếu

det A < 0 thì ta nói cặp vector !

Thật vậy, khẳng định đầu tiên là do ở đây

A = 4 1 0

0

15

nên det A = 1 > 0 Khẳng định thứ hai do định thức của A và A 1 luôn cùng dấu Khẳng định thứ ba cũng được chứng minh dễ dàng Thật vậy, gọi ma trận chuyển từ

Như vậy quan hệ cùng hướng của các cặp vector là một quan hệ tươngđương, ta có thể phân tập hợp các cặp vector trên mặt phẳng thành đúng hailớp tương đương, các cặp vector thuộc cùng một lớp thì cùng hướng với nhau

1.1.3 Định hướng mặt phẳng theo hệ tiên đề của Choquet

Theo Choquet (xem [11]), khái niệm hướng cùng với khái niệm góc là khó khăn lớn nhất trong giảng dạy hình học Định nghĩa toán học của khái niệm này thường dựa vào quy tắc vặn nút chai, quy tắc bàn tay phải hoặc trái Tuy nhiên, định nghĩa khái niệm hướng xuất hiện trong hình học theo con đường hoàn toàn tự nhiên từ tính chất của nhóm các phép dời Khái niệm hướng gắn với chất liệu mà nó xây dựng Thông thường đó là tập hợp các cặp (x; y) chung gốc, không thuộc một đường thẳng Nhưng vẫn cặp tia ấy mà ta đổi vị trí thành cặp (y; x), nhận được cặp mới có hướng ngược lại Như vậy, xuất hiện khái niệm cặp được sắp thứ tự (hay tổng quát hơn là

tập hợp được sắp thứ tự) Trước hết Choquet định nghĩa khái niệm góc sau khi đã

xây dựng nhóm các phép dời hình trên mặt phẳng.

Định nghĩa 1.1 Cho là mặt phẳng định hướng Với điểm bất kỳ O 2 ta định

nghĩa mỗi phép quay tâm O là một góc có đỉnh tại O

Với mọi cặp tia (a1; a2) có chung gốc O, góc của cặp tia này là phép quay biếntia a1 thành tia a2, góc này được ký hiệu là \(a1; a2) Như vậy tập hợp các góc vớiđỉnh O không có gì khác chính là tập hợp các phép quay tâm O Do đó, đây là mộtnhóm giao hoán Theo truyền thống ta ký hiệu phép toán trong nhóm này theo lốicộng, ký hiệu như thế là hợp lệ vì như sẽ thấy dưới đây, khái niệm số đo góc thựchiện mối liên kết chặt chẽ giữa phép cộng các số và cộng các góc

So sánh các góc với đỉnh khác nhau Khái niệm góc hầu như vô nghĩa nếu ta không so sánh được các góc có đỉnh khác nhau, phép tịnh tiến cho

ta khả năng so sánh hai góc bất kỳ

Với mọi A; B 2 phép tịnh tiến T! BA biến A thành B là một đẳng cấu (đối với cấutrúc không gian vector và cấu trúc không gian metric), ánh xạ mặt phẳng tâm ( ; A)thành mặt phẳng tâm ( ; B), phép đẳng cấu này có tính bắc cầu theo nghĩa,

với mọi A; B; C 2 thì T ! CA = ! TCB T ! BA Vì phép quay được định nghĩa dựa vào thuật ngữ đường thẳng và khoảng cách nên đảng cấu T ! BA sinh ra ánh xạ đẳng cấu từnhóm cộng tính các góc đỉnh A lên nhóm cộng tính các góc với đỉnh B Tacũng sẽ ký hiệu đẳng cấu này là T! BA Như vậy, ở đây ta đã sử dụng cáchđịnh nghĩa của tập số tự nhiên N

Lấy trên mặt phẳng một gốc A tùy ý và đồng nhất mỗi góc đỉnh B với góctương ứng có đỉnh A nhờ đẳng cấu T! BA Tính bắc cầu của T! BA bảo đảm được

sự đồng nhất đó Bây giờ giả sử a1; a2 là hai tia tùy ý với gốc a, vì đẳng cấu T!

BA từ mặt phẳng ( ; A) lên mặt phẳng ( ; B) biến mỗi tia a1 thành tia b1 songsong với nó với gốc là B, ta nhận được \(a1; a2) = \(b1; b2) Suy luận này làm

cơ sở cho định nghĩa sau, mà chỉ phụ thuộc vào việc chọn gốc O

Định nghĩa 1.2 Trong mặt phẳng tâm ( ; O), góc giữa hai tia (d1; d2) với gốc tùy

ý là góc đỉnh O giữa hai tia (d01; d02) (chung gốc O) tương ứng song song với các tia d1; d2 Góc này ký hiệu là \(d1; d2)

Nhóm cộng tính các góc sẽ được ký hiệu là G

Các ký hiệu tiếp theo Trong trường hợp tổng quát giả sử E là tập hợp tất cả các đối

tượng toán học sao cho mỗi đối tượng đó có liên hệ với các tia của mặt phẳng hoặc tập hợp các tia song song của Với mọi x; y 2 E ta sẽ ký hiệu \(x; y) là góc giữa tia gắn với đối tượng x và tia gắn với đối tượng y Ví dụ, với mỗi vector x 6= 0 của mặt phẳng ( ; O) gắn với tia Ox, với mỗi đường thẳng định hướng d gắn với tia dương của đường thẳng này, với quy ước trên có thể nói về góc \(Ox; d) Tương tự

với mọi A; B; C 2 mà A 6= B; C 6= B, ký hiệu tắt \(ABC) là góc giữa các tia

BA và tia BC

Góc không và góc bẹt Trong nhóm cộng tính các góc phần tử trung hòa

ký hiệu là 0 còn góc liên quan tới phép đối xứng tâm với tâm O, được ký

hiệu là $ (khác với ký hiệu ) Như vậy, với mọi cặp tia chung gốc (a1; a2) ta

có các điều kiện tương đương sau

\(a1; a2) = 0 khi và chỉ khi a1 a2;

\(a1; a2 = $ khi và chỉ khi a1 và a2 có hướng ngược nhau

Ngoài ra, ta có $ + $ = 0 hay $ = $

Công thức Chales Giả sử a; b; c là ba tia tùy ý với gốc O chung, phép quay biến a thành c bằng tích của phép quay biến a thành b và phép quay

biến b thành c, nói cách khác \(a; c) = \(a; b) + \(b; c): Đặc biệt, ta có \(a; b)+ \(b; a) = \(a; a) = 0: Từ đó, \(a; b) = \(b; a) và tổng quát hơn với mọi dãyhữu hạn các tia (d1; d2; : : : ; dn) chung gốc O ta có \(d1; dn) = \(d2; d3) + : : :+ \(dn 1; dn): Đẳng thức này mang tên công thức Chales, hiển nhiên nó cũng

đúng trong trường hợp các tia có gốc khác nhau (nhờ tịnh tiến)

Thứ tự bộ phận trên mặt phẳng. Trước hết, ta xét một số ví dụ sau.

Ví dụ 1.1 Trong mặt phẳng tồn tại tập hợp gồm các bộ ba điểm mà khoảng cách giữa ba điểm này là 2; 3; 4 Mỗi tập hợp như thế không thuộc một

đường thẳng vì 4<2+3

Giả sử E là tập hợp các tập hợp con như thế của mặt phẳng Tập hợp này ổn định đối với nhóm các phép dời D của mặt phẳng, hơn nữa, D tác động bắc cầu trên E Thật vậy, với mọi X1; X2 2 E hiển nhiên tìm được (hơn nữa duy nhất) phép dời f từ tập

X1 lên tập X2 và có thể kéo dài f một cách duy nhất lên toàn bộ mặt phẳng, ánh xạ từ mặt phẳng lên chính nó vì X1 không chứa trọn vẹn một đường thẳng.

Ta nói hướng các tập hợp X1; X2 trùng nhau nếu phép dời f của mặt phẳng

mà X2 = f(X1) là phép dời hình thuận (loại 1) Trong trường hợp ngược lại tanói X1; X2 có hướng ngược nhau Từ sự kiện tập hợp các phép dời hình thuận

D+ là một nhóm lập tức suy ra: hướng là một quan hệ tương đương trên E.Nếu X1; X2 có hướng ngược nhau, X2; X3 cũng có hướng ngược nhau thì X1; X3

sẽ cùng hướng vì tích của hai phép dời nghịch lại là phép dời thuận Do đó, quan hệ tương đương đã cho trên E có đúng hai lớp tương đương, cụ thể, hai tập hợp ảnh của phần tử X0 tùy ý của tập hợp E qua các phép biến đổi trong D + ; D tương ứng.Bây giờ ta sẽ giải thích hướng gọi là dương hoặc âm: Chọn một phần tử X0tùy ý thuộc E, mà sẽ được gọi là mục tiêu cơ sở Ta nói phần tử X của E có hướng

dương (tương ứng âm) nếu hướng của X và X0 trùng nhau (tương ứng ngượcnhau) Như vậy, để hoàn toàn chính xác ta sẽ nói: Hướng của tập hợp X là dươngkhi đã chọn mục tiêu cơ sở X0 Dấu của hướng hiển nhiên không thay đổi khi tađổi mục tiêu cơ sở này sang mục tiêu cơ sở khác có cùng hướng

Ví dụ 1.3 Tổng quát hơn, giả sử A là tập con của , không thuộc một đường thẳng và

mọi phép dời ánh xạ tập hợp này lên chính nó là phép dời hình thuận (theo nghĩa kéo dài phép biến đổi này lên mặt phẳng là phép dời hình thuận) Khi đó ta xác định tập hợp E như sau: Tập hợp E ổn định đối với nhóm các phép dời D Với mọi

X1; X2 2 E tìm được ít nhất một phép dời f 2 D biến X1 thành X2; theo giả thiết tất

cả các phép dời đồng thời là dời hình thuận hoặc đồng thời là dời hình nghịch

Do đó, có thể xác định một cách hiển nhiên hướng của hai phần tử của E,suy luận còn lại tương tự như ví dụ trước Chẳng hạn, tập hợp A có thể là hợpcủa hai cạnh đối diện hình vuông và một đường chéo của hình vuông (hìnhchữ cái Z) hoặc hợp của các đoạn thẳng nhận được từ đoạn thẳng [a; b] nào

đó qua các phép tịnh tiến tn (n 2 Z), trong đó t là phép tịnh tiến theo phươngkhông song song và không vuông góc với đoạn thẳng [a; b]

Hình 1.2

Hướng của các đối tượng hình học liên quan đến mặt phẳng định hướng Ta

đã biết một số đối tượng hình học có liên quan đến mặt phẳng định hướng nhưng

không là bộ phận của nó: cặp điểm, bộ ba điểm, cặp tia, đường thẳng định hướng,phép biến đổi, góc, Ta sẽ định nghĩa hướng của các khái niệm này

Giả sử E là tập hợp các cặp (Ox; Oy) các tia vuông góc của mặt phẳng, có chung gốc O Tập hợp này ổn định đối với nhóm các phép dời D và nhóm này tác động bắc cầu đơn trị lên E, các cặp (Ox; Oy) và O0x0; O0y0 có cùng hướng, được ký hiệu

(Ox; Oy) = (O0x0; O0y0):

Nhưng ở đây xuất hiện vấn đề mới, cụ thể tồn tại biến đổi (Ox; Oy) 7!(Oy; Ox)trong tập hợp E, trở thành tương ứng biến mọi phần tử (Ox; Oy) của E thành phần

tử đối (Oy; Ox) Ta lại biết rằng phép dời biến (Ox; Oy) thành (Oy; Ox) là phép đốixứng trục Do đó, các cặp tia (Ox; Oy) và (Oy; Ox) có hướng đối nhau

Trong trường hợp tổng quát có thể qui ước trên E tập hợp các cặp tia (A; B) vớigốc chung sao cho \(A; B) = hay \(A; B) = (với là góc cho trước khác 0 và $)

Hướng của cặp tia không nằm trên một đường thẳng Giả sử E là tập hợp các

cặp tia (Ox; Oy) của mặt phẳng, không nằm trên một đường thẳng, có gốc chung.Với mọi (Ox; Oy), (O0x0; O0y0) ta sẽ nói (Ox; Oy) và (O0x0; O0y0) có cùng hướngnếu có phép dời thuận f biến tia Ox thành tia O0x0, tia Oy thành tia O0y0

Vì mọi phép dời biến nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng và các phépdời hình thuận tạo thành một nhóm nên quan hệ này là một quan hệ tươngđương trên E Dễ thấy rằng có đúng hai lớp tương đương trên E (theo quan

hệ tương đương này) Để chứng minh điều đó chỉ cần xét tập hợp các cặp(A; X) với A là tia cho trước Do đó, trong các phần tiếp theo có thể nói vềmục tiêu cơ sở và về hướng dương hoặc âm như trong các ví dụ trước đây

Các góc định hướng Giả sử ; 0 là hai góc tùy ý khác 0 và $ Ta nói và 0 cùng

hướng nếu tìm được hai cặp các tia chung gốc (x; y) và (x0; y0) sao cho

Chứng minh Ta chứng minh kết luận đối với hai góc đầu Giả sử A0 là điểm nào đó

thuộc trung trực của cặp (B; C) nằm cùng phía với A đối với đường thẳng BC Các

góc \(ABC); \(A0BC) cùng hướng Cũng đúng như thế, các góc \(BCA); \(BCA0) cũng cùng hướng Tuy nhiên \(A0BC) = \(A0CB) do đối xứng Vậy \(A0BC) = \(BCA0) Từ đó suy ra điều phải chứng minh

1.2 Đường thẳng định hướng Độ dài đại số

Định nghĩa 1.3 Trên đường thẳng d lấy một điểm O, cố định một điểm E sao cho

! (đơn vị) Khi đó f ! g được gọi là đường thẳng định hướng.

Định nghĩa 1.4 Giả sử có hai điểm M(m) và N(n) trên xx0 Ta nói độ dài đại

số của đoạn thẳng M N, kí hiệu: M N, là số n m, tức là M N = n m.

Chú ý, đại lượng M N dương hay âm tùy theo thứ tự của ba điểm O; M;

Định nghĩa 1.5 Trên đường thẳng định hướng xx0 cho ba điểm A; B; C ta định nghĩa tỷ số

CA = (ABC)CB

là tỉ số đơn của ba điểm A; B; C theo thứ tự đó.

Định lí 1.1 Cho hai điểm A; B trên đường thẳng định hướng xx0 và một số k 6= 1, tồn tại duy nhất C 2 xx0 sao cho (ABC) = k.

Chứng minh Bằng tọa độ, ta có

(ABC) = k , CA = k

CB, CA = kCB, AC = k k 1AB; k 6= 1:

Vậy tồn tại duy nhất điểm C theo yêu cầu

Các tính chất của tỷ số đơn được cho trong mệnh đề sau

1.3 Góc định hướng

Trước lớp 11 phổ thông khi nói đến góc ta thường nói tới các góc không vượt quá

360 độ như góc nhọn, góc vuông, góc tù, góc bẹt, góc lồi, góc lõm nhưng trong thực

tế cũng như trong kỹ thuật nhiều khi chúng ta phải quan niệm góc với nghĩa rộng hơn.

Ví dụ khi một bánh xe quay một vòng rưỡi thì người ta phải nói nó đã quay một góc

540 độ Hơn nữa việc quay đó có thể thực hiện theo hai chiều quay khác nhau Cùng với việc định hướng cho đoạn thẳng, đường thẳng việc định hướng cho góc sẽ mang lại cho chúng ta nhiều điều thuận lợi khi nghiên cứu Hình học.

1.3.1 Góc định hướng của hai vector

a Hai vector chung gốc

! !Cho hai vector chung gốc (khác vector không) OA, OB Trong mặt phẳng (OAB)cho tia Ox quay quanh điểm O theo một hướng nhất định từ tia OA đến tia OB, ta

nói tia Ox quét một góc định hướng, ký hiệu là (OA; OB) với OA là vector đầu,

OB là vector cuối Như vậy góc định hướng của các vector chính là góc lượnggiác của hai tia OA; OB đã biết (SGK Đại số và Giải tích 11) Thông thường taquy ước hướng quay của tia Ox quay quanh điểm O là hướng dương nếuhướng quay này ngược với hướng quay của kim đồng hồ và là hướng âm nếuhướng quay này là hướng quay thuận chiều kim đồng hồ

Khi xác định góc định hướng ta chỉ quan tâm đến độ lớn và hướng mà không quan tâm đến độ dài các vector, bởi thế để thuận tiện ta coi các vector này có độ dài bằng

! !

nhau jOAj = jOBj = r

Khi cho điểm X chuyển động trên đường tròn tâm O, bán kính r từ điểm A đếnđiểm B và quay jkj vòng theo một hướng xác định thì điểm X vẽ một cung định ! _hướng, ký hiệu là AB, trong đó k > 0 nếu quay theo hướng dương và k < 0nếu quay theo hướng âm Ta có công thức về số đo cung định hướng (SGKĐại số và Giải tích 11)

! _

sđ AB = + k:360

Ta gọi số đo góc định hướng (OA; OB) là sd(OA; OB) = + k:360 , trong đó

= \AOB , 0 6 6 360 (góc hình học thông thường) Nếu dùng đơn vị radian

ta có công thức sđ(! ! Như vậy, mỗi góc định hướng ! !

được xác định bởi vector đầu, vector cuối và một số nguyên k Chú ý rằng mỗi góc định hướng có một số đo xác định mặc dù hình thức có thể viết khác nhau, chẳng hạn,

b Hai vector không chung gốc

Góc định hướng của hai vector không chung gốc được xác định nhờ phép tịnh

1.3.2 Góc định hướng giữa hai tia

Trong mặt phẳng định hướng E ta gọi góc định hướng giữa hai tia Ox; Oy lấy theo thứ tự đó là góc mà tia Ox phải quay theo chiều xác định đến trùng với vị trí của Oy.

Hình 1.6.

Hình 1.7

Góc định hướng đó được ký hiệu là (Ox; Oy) trong đó Ox gọi là cạnh đầu, Oygọi là cạnh cuối của góc Số đo của góc định hướng là dương hay âm tùy theocạnh đầu quay xung quanh điểm O đến trùng với cạnh cuối theo chiều dương haychiều âm của mặt phẳng (đã định hướng) Ví dụ (Ox; Oy) = 45 , (Oy; Ox)) = 45 Chú ý rằng sau khi quay tia Ox cho trùng với tia Oy ta có thể quay thêm một, hai hay một số vòng nữa đến trùng với Oy Tất cả các giá trị của các góc nói trên đều gọi

là các giá trị của góc định hướng suy rộng Như vậy góc định hướng suy rộng (Ox; Oy) có vô số giá trị sai khác bội của hay bội của (radian), ký hiệu như sau:

(Ox; Oy) = + k:360 ;hoặc nếu đo bằng radian (Ox; Oy) = + k:2 với k là số nguyên Ta còn dùng kýhiệu (Ox; Oy) = (mod 2 ): Khi chú ý đến bội k ta viết (Ox; Oy)k

Ta có định lí sau mà phép chứng minh dựa theo [3]:

Định lí 1.2 Với ba tia Ox, Oy, Oz và ba số k; l; m 2 Z ta có hệ thức Chales

cho góc lượng giác giữa hai tia:

(Ox; Oy)k = (Ox; Oz)l + (Oz; Oy)m (mod 2 ):

Chứng minh Bỏ qua các trường hợp đơn giản : các tia Ox, Oy trùng nhau

hoặc Ox, Oy đối nhau.

Không mất tính tổng quát giả sử (Ox; Oy) có hướng dương Có 4 trườnghợp cần xem xét:

Trường hợp 1 Tia Oz nằm trong góc \xOy.

Hình 1.8

Theo hệ thức Chales dạng mịn (k = 0) cho góc giữa hai tia ta có

(Ox; Oy)0 = \xOy = \xOy + \yOz = (Ox; Oy)0 + (Oy; Oz)0:

Do đó

(Ox; Oy)k = (Ox; Oz)l + (Oz; Oy)m (mod 2 ):

Trường hợp 2 Tia Oz nằm trong góc \yOx0 Có hai khả năng xảy ra:

2.a Tia Oz không trùng với tia Ox0 Theo Hệ thức Chales cho góc giữa hai

Hình 1.9.

Hình 1.10

2.b Tia Oz trùng với tia Ox0 Có 2 tình huống xảy ra:

– Khi (Ox; Oz)0 = theo hệ thức Chales cho góc giữa hai tia ta có:

(Ox; Oy)0 = \xOy = \zOy = (Ox; Oz)0 + (Oz; Oy)0

– Khi (Ox; Oz)0 = theo hệ thức Chales cho góc giữa hai tia ta có:

(Ox; Oy)0 = \xOy = \zOy = 2 \zOy

= 2 + (Ox; Oz)0 + (Oz; Oy)0:

Do đó (Ox; Oy)=(Ox; Oz)l + (Oz; Oy)m (mod 2 ):

Trường hợp 3 Tia Oz nằm trong góc \x0Oy0 Có hai khả năng xảy ra

(Ox; Oy)0 = \xOy = 2 \xOz \zOy = 2 + (Ox; Oz)0 + (Oz; Oy)0:

Do đó (Ox; Oy)k = (Ox; Oz)l + (Oz; Oy)m (mod 2 ):

3.b Tia Oz trùng với tia Oy0 Có hai tình huống xảy ra:

Hình 1.11.

Hình 1.12

– Khi (Oz; Oy)0 = theo hệ thức Chales giữa hai tia ta có:

(Ox; Oy)0 = \xOy = \xOz = (Oz; Oy)0 + (Ox; Oz)0:

Do đó (Ox; Oy)k = (Ox; Oz)l + (Oz; Oy)m (mod 2 ):

– Khi (Oz; Oy)0 = theo hệ thức Chales giữa hai tia ta có:

(Ox; Oy)0 = = 2 \xOz

\xOz = 2 + (Oz; Oy)0 + (Ox; Oz)0:

Do đó (Ox; Oy)k = (Ox; Oz)l + (Oz; Oy)m (mod 2 )

Trường hợp 4 Tia Oz nằm trong góc y0Ox

Theo hệ thức Chales giữa hai tia ta có:

(Ox; Oy)0 = \(xOy) = \(xOz) + \(zOy) = (Ox; Oz)0 + (Oz; Oy)0:

Do đó (Ox; Oy)k = (Ox; Oz)l + (Oz; Oy)m (mod 2 ) Định lí được chứng minh

Hình 1.13.

Hệ quả 1.1 (Ox; Oy)k = (Oz; Oy)m (Oz; Ox)l (mod 2 )

Đó là vì (Ox; Oz)l = (Oz; Ox)l:

Chú ý Khi không quan tâm tới chu kì của góc định hướng giữa hai tia định

lí được viết đơn giản như sau (Ox; Oy) = (Ox; Oz) + (Oz; Oy) (mod 2 ):

Hệ quả 1.2.

Hệ quả 1.3.

(Ox; Oy) = (Oz; Oy) (Oz; Ox) (mod 2 )

Với ba vector khác không a !;b ; c và ba số nguyên k, l, m ta có

đơn giản như sau! ! ! ! (mod 2 ) và

1.3.3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng x0Ox, y0Oy cắt nhau tại O Đặt \(xOy) = \(x0Oy0)

= , khi đó \(x0Oy) = \(xOy0) = Vậy góc (định hướng) giữa đường thẳng

x0Ox, y0Oy, ký hiệu \(x0Ox; y0Oy) hay (x0Ox; y0Oy) là góc + k , k 2 Z:

Ta có nhận xét: Nếu = (mod 2 ) thì = (mod ): Điều ngược lại nói chungkhông đúng

Hình 1.14.

Định lí 1.3 (Chales) Với ba đường thẳng a, b, c và ba số nguyên k, l, m ta có

(a; b)k = (a; c)l + (c; b)m (mod ):

Để chứng minh định lí trên ta xét bổ đề sau (xem [3])

Bổ đề 1.1 Với hai đường thẳng AB; CD và hai số nguyên k; l ta có

! !

(AB; CD)k = (AB; CD)l (mod ):

Chứng minh Bổ đề 1.1 Không mất tính tổng quát giả sử các đoạn thẳng AB; CD có

( ! ! 0+ Kết hợp với (1.1), suy raOA; OC) < (AB; CD)0 ! ! = (OA; OD)0+ : =

Hình 1.20.

Trường hợp 7 OA; OC)0=

Chú ý Khi không quan tâm tới chu kỳ của góc định hướng giữa hai đường thẳng

và góc lượng giác giữa hai vector, bổ đề thường được viết đơn giản như sau

! !(AB; CD) = (AB; CD) (mod )

Chứng minh Định lí 1.3 Trên a, b, c theo thứ tự lấy các đoạn thẳng khác không AB, CD, EF Theo Bổ đề 1.1, ta có

! !

(a; b)k = (AB; CD)k (mod ) = (AB; CD) (mod )

! !! !

= (AB; EF )l + (EF ; CD)m (mod )

= (AB; EF )l + (EF; CD)m (mod )

= (a; c)l + (c; d)m (mod ):

Định lý được chứng minh

Hệ quả 1.4 Ta có (a; b)k = (c; b)m(c; a)l (mod ):

Hệ quả 1.5 Ta có (a; c)0 = (c; a)0 suy ra (a; c)l = (c; a)l Từ đó, theo chứng

minh trên suy ra (a; b)k = (c; b)m (c; a)l (mod ):

Chú ý Khi không quan tâm tới chu kỳ của góc định hướng giữa hai đường thẳng định lý trên được viết đơn giản như sau.

(1) (a; b) = (a; c) + (c; b) (mod )

(2) (a; b) = (c; b) (c; a) (mod )

1.4 Một số sự kiện hình học theo ngôn ngữ góc định hướng

Trước hết, ta hãy tìm cách chuyển đổi ngôn ngữ khi mặc định xét trong mặt phẳng định hướng Các sự kiện sau được phát biểu trên mặt phẳng định hướng

1.4.1 Xét góc định hướng tạo bởi hai tia

a Tổng các góc định hướng trong tam giác. Từ hệ thức hiển nhiên

(! ! (mod 2 )AB; AB) = 0

sử dụng Hệ thức Chales hai lần ta được

AB; AC) + (AC; CB) + (CB; AB) = 0 (mod 2 ):

Sử dụng các hệ thức trong phần trước ta được

AB;AC)+ +( AC; CB) + ( CB; AB) = 0 (mod 2 )

AB; AC) + (BC; CA) + (CA; CB) = (mod 2 ):

được phát biểu thành: “Tổng ba góc cùng hướng trong một tam giác bằng

180 độ theo modul 360 độ” Nếu chỉ xét góc định hướng dương nhỏ hơn

180 độ thì ta có:“Tổng ba góc trong tam giác bằng 180 độ”.

CA; CB) + (CB; CA) (CA; CA) = (mod 2 ):

nên ta gọi góc định hướng! ! ! ! là góc ngoài của góc định

Từ đó hệ thức (1.2) được phát biểu là: “Tổng hai góc trong cùng

CA; CB)

hướng của một tam giác bằng góc ngoài cùng hướng ở đỉnh thứ ba theo mô đun 360 ”.

c Góc nội tiếp và góc ở tâm.

Mệnh đề 1.4 Giả sử tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, giữa góc định hướng

nội tiếp và góc định hướng ở tâm cùng chắn dây AB có mối liên hệ qua hệ thức:

OA; OB) = 2(CA; CB)

Chứng minh Theo Hệ thức Charles ta có (có lưu ý đến (1.2)):

OA; OB) = (OA; AC) + (AC; BC) + (BC; OB)

AO; AC) + ( AC; BC) + + (BC; BO)

CA; CB) + (CA; CO) + (CO; CB)

Khi C và O nằm cùng phía nhau đối với đường thẳng

AB thì \(AOB) = 2\(ACB):

Khi D và O nằm khác phía nhau đối với đường thẳng AB thì

\(AOB) = 2 ( \(ADB)) :

d Bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn. Trước hết ta có kết quả sau:

Mệnh đề 1.5 Giả sử bốn điểm A; B; C; D cùng nằm trên đường tròn tâm O.

(1) Khi C; D nằm cùng phía nhau đối với đường thẳng AB thì

(CA; CB) = (DA; DB) (mod 2 ):

(2) Khi C; D nằm khác phía nhau đối với đường thẳng AB thì

CA; CB) = (DA; DB) (mod 2 ):

Chứng minh Theo hệ thức (1.3) ta có

CA; AB) (OA; OB) 2(DA; DB) (mod 2 ):

khi và chỉ khi 2(! ! ! ! 0 (mod 2 ): .

CA; AB) 2(DA; DB)

Có hai khả năng sau đây xảy ra:

e Cung chứa góc Cho tam giác ABC Từ các hệ thức về bốn điểm nằm

trên đường tròn ta suy ra: Tập hợp điểm M sao cho

(MA; MB) = (CA; CB)

là cung tròn đi qua C và chắn dây AB.

Trên hình vẽ thì tập hợp điểm M thỏa mãn

1.4.2 Xét góc định hướng của hai đường thẳng

Trước hết, ta có mối liên hệ giữa góc định hướng tia và góc định hướng đường thẳng

Mệnh đề 1.6 Giả sử M; O; N thuộc đường thẳng a và P; O; Q thuộc đường

thẳng b với ON; OQ lần lượt là tia đối của các tia OM; OP Khi đó ta có

(MN; P Q) (mod 2 ):

(MN; PQ) =! !Một số hệ thức cơ bản được cho trong mệnh đề sau đây

Mệnh đề 1.7.

(1) a; b trùng nhau hoặc song song khi và chỉ khi (a; b) 0 (mod ):

(2) (a; b) = (b; a) (mod ): với mọi a; b.

(3) Hệ thức Chales: (b; c) = (a; b) (a; b) (mod ): với mọi a; b;

c Ta có các định lý về góc định hướng của hai đường thẳng như sau

Định lí 1.4 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Khi đó

(OA; OB) 2(CA; CB) (mod ):

Chứng minh Hệ thức này suy từ hệ thức (1.3) theo modulo 2

Định lí 1.5 Cho tam giác ABC Tập hợp

fM j (M A; M B) = (CA; CB) (mod )g :

là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chứng minh Phần thuận Xét các điểm M sao cho

(M A; M B) (CA; CB) (mod ):

Theo hệ thức đã biết, ta có:

(M A; M B) = (CA; CB) (mod 2 )và