MỘT SỐ ĐỀ TOÁN CHỌN LỌC ÔN TẬP VÀO CHUYÊN TOÁNĐề 1 Câu 12 điểm Giải phương trình Câu 2 2 điểm Với x,y là những số thực thỏa mãn điều kiện.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Câu 3 2 điể
Trang 1MỘT SỐ ĐỀ TOÁN CHỌN LỌC ÔN TẬP VÀO CHUYÊN TOÁN
Đề 1 Câu 1(2 điểm) Giải phương trình
Câu 2 (2 điểm) Với x,y là những số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Câu 3 (2 điểm) Với a,b,c là ba số nguyên bất kỳ,chứng minh rằng:
Chia hết cho 7
Câu 4 (3 điểm) Giả sử ABCD là tứ giác nội tiếp, đường chéo AC cắt BD tại P.Gọi
O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APB và H là trực tâm của tam giác CPD.Chứng minh rằng O,P,H thẳng hàng
Câu 5(1 điểm) Giả sử a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác, chứng minh
rằng:
(vòng 2)
Câu 1 (2 điểm) Giải hệ phương trình
Câu 2 (2 điểm ) Với a,b là những số thực dương thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Câu 3 (2 điểm ) Tìm x,y nguyên thỏa mãn đẳng thức
Câu 4 (3 điểm ) Giả sử P là một điểm trong của tam giác ABC; AP,BP,CP kéo dài cắt cạnh đối diện BC,CA,AB tại D,E,F tương ứng
Chứng minh rằng :
Câu 5 (2 điểm ) Tìm n nguyên dương sao cho tập hợp {1,2,3, ,4n} có thể chia thành n tập con gồm 4 phần tử, rời nhau (a;b;c;d) thỏa mãn tính chất
Trang 2
Đề 2
Trang 3Đề số 3 Câu 1:Cho phương trình : ( có ẩn số là x)
a/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm
b/ Gọi là hai nghiệm của phương trình Tìm m để có
Câu 2: a/ cho và Chứng minh :
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Câu 3: Giải các hệ phương trình :
b/
Câu 4:Chứng minh rằng nếu thì ít nhất một trong hai phương trình sau
có nghiệm :
Câu 5:Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi K là trung điểm của cung
AB,M là điểm lưu động trên cung nhỏ AK( M khác điểm A và K).Lấy điểm N trên đoạn BM sao cho BN=AM
a/ Chứng minh
b/ Chứng minh tam giác MKN là tam giác vuông cân
c/ Hai đường thẳng AM và OK cắt nhau tại D Chứng minh MK là đường phân giác của góc d/ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với BM tại N luôn luôn đi qua một điểm cố định
Câu 6: Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c và có R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp thỏa hệ thức : Hãy định dạng tam giác ABC
Trang 4Đề số 4 Bài 1:a) Tính tổng
biết
với n=1,2,3, ,2005
b)cho
Chứng minh tồn tại 2 số bằng nhau
Bài 2:Giải phương trình:
Bài 3:Cho tam thức bâc hai
với a,c Z lal<2000và f(x) có hai nghiệm phân biệt
Chứng minh rằng
Bài 4:Cho tam giác ABC vuông ở A.Đường tròn(I)nội tiếp tam giác tiêp xúc với
AB và AC ở P và Q.Đường thẳng đi qua trung điẻm F của AC và tâm I cắt cạnh
AB ở E.Đường thẳng đi qua P và Q cắt đường cao AH ở M.Đường thẳng đi qua
F vuông góc với AC cắt tia phân giác AI ở N
1 Chứng minh 3 điểm P,Q,N thẳng hàng
2.Chứng minh AE=AM
Trang 5Đề 5: Thi vào chuyên Trần Phú/ Hải Phòng 2009
Trang 6Đề 6: Chuyên Toán – tin Hà nội/ Amsterdam 2008 – 2009
Bài 1: (2 đểm)
Cho hệ phương trình:
1)Giải hệ phương trình khi m=2008
2)Chứng minh hệ phương trình đã cho có không quá một nghiệm khi
Bài 2:(2 điểm)
Với mỗi số tự nhiên n, ta đặt
1)CM: Nếu hai số không chia hết cho 5 và chia cho 5 có số dư khác nhau thì chia hết cho 5
2)Tím số tự nhiên n lẻ để là số chính phương
Bài 3:(2 điểm)
Cho a là số thay đổi thỏa mãn , tìm giá trị nhỏ nhất của b sao cho bất đẳng thức sao luôn đúng:
Bài 4:(3 điểm)
Cho tám giác ABC vuông tại A Vẽ hai đường tròn và lần lượt có
đường kính AB và AC, gọi H là giao điểm thứ 2 của và Đường thẳng
d thay đổi đi qua A cắt đường tròn lần lượt tại D, E sao cho A nằm giữa D và E
1) Chứng minh đường trung trực của đoạn DE luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng d tháy đổi
2) Xác định vị trí đường thẳng d để diện tích tức giác BDEC đặt giá trị lớn nhất, tính GTLN đó theo b và c, với b=AC, c=AB
3) Đường thẳng đi qua trung điểm đoạn DE vuông góc với BC cắt BC tại K
Bài 5:(1 điểm)
Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kì của tập hợp {0;1;2; ;14} Chứng minh tồn tại hia tập hợp con và của tập hợp A ( và khác nhau và khác rỗng) sao cho tổng tất cả các phần tử của tập hợp bằng tổng tất cả phần tử của tập hợo
Trang 8Đề 7: Chuyên Nguyễn Trãi/ Hải dương
Câu I (2.5 điểm)
1) Giải hệ phương trình
2) Tìm nguyên để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:
Câu II (2.5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức 2 ( )3 ( )3
2
4 4
A
x
=
với
2)Cho trước số hữu tỉ sao cho là số vô tỉ Tìm các số hữu tỉ để :
Câu III (2.0 điểm)
1) Cho đa thức bậc ba với hệ số của là một số nguyên dương và biết
.Chứng minh rằng : là hợp số
2)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Câu IV ( 2.0 điểm)
Cho tam giác có ba góc nhọn và các điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên Trên các đoạn thẳng lần lượt lấy sao cho song song với Trên tia lấy điểm sao cho
.Chứng minh rằng 1)
2)Tứ giác nội tiếp.Từ đó suy ra điểm là tâm của đường tròn bàng tiếp góc của tam giác
Câu V (1 điểm).
Trên đường tròn lấy hai điểm cố định và phân biệt.Tìm vị trí của các điểm và thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác có giá trị lớn nhất
Trang 9Gợi ý giải đề 7:
Bài 1:
1, Giải hệ phương trình
Từ (2) rồi thay vào (1)
Giải cái này được rồi
Cuối cùng (x;y) = (1;1), (-1; -1), (4 7; 5 7
− ), ( 4 7 5 7
;
2, Tìm nguyên để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:
Dùng delta để giải, ta được:
Bài 2:
1) Rút gọn biểu thức 2 ( )3 ( )3
2
4 4
A
x
=
với
Đặt
Tới đây thì cứ tiếp tục thay vào biểu thức để rút gọn thôi
Cuối cùng ra
2,