CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI

C hủ đề 1 : Định lý Lagrange (lý thuyết nhóm) và ứng dụng. 1. Định nghĩa. Cho là một nhóm con của . Ta định nghĩa quan hệ trên như sau: nếu và chỉ nếu . Dễ kiểm tra được là một quan hệ tương đương trên . Với mỗi , gọi là lớp tương đương của . Ta có . Mỗi lớp tương đương được gọi là một lớp ghép trái của trong theo quan hệ được kí hiệu bởi . Khi chỉ có hữu hạn lớp ghép trái thì ta gọi chỉ số của trong , kí hiệu là , là số các lớp ghép trái của . 2. Định lý Lagrange. Trong một nhóm hữu hạn cấp và chỉ số của một nhóm con là ước của cấp của toàn nhóm. Chứng minh. Gọi là một nhóm con của . Giả sử có cấp và có cấp . Giả sử . Ta có . Xét các phần tử . Các phần tử này là phân biệt, vì nếu có với thì . Nên suy ra . Do đó có phần tử. Vì tập là hữu hạn nên số các lớp ghép trái là hữu hạn. Khi đó, số lớp ghép trái là chỉ số cuả nhóm con . Gọi là số các lớp ghép trái , mà các lớp ghép trái rời nhau nên . Hệ quả.  Cho là nhóm cấp và . Khi đó cấp của là ước của . Hơn nữa, .  Mỗi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic sinh bởi một phần tử tùy ý khác đơn vị.  Mỗi nhóm cấp đều giao hoán. 3. Ứng dụng.

Mỗi lớp tương đương aH được gọi là một lớp ghép trái của H trong G theo quan

hệ được kí hiệu bởi G H/ Khi H chỉ có hữu hạn lớp ghép trái thì ta gọi chỉ số của H trong G, kí hiệu là G H: , là số các lớp ghép trái của H

2 Định lý Lagrange Trong một nhóm hữu hạn cấp và chỉ số của một nhóm con là

ước của cấp của toàn nhóm

Chứng minh Gọi H là một nhóm con của G Giả sử G có cấp n và H có cấp m Giả sử H x x1, , ,2 x m Ta có aH ah h H|

Xét các phần tử ax ax1, 2, ,ax m Các phần tử này là phân biệt, vì nếu có ax i ax j

với i j thì x i x j Nên suy ra aH ax ax1, 2, ,ax m Do đó aH có m phần tử Vì tập G là hữu hạn nên số các lớp ghép trái aH là hữu hạn Khi đó, số lớp ghép trái là chỉ số cuả nhóm con H Gọi l là số các lớp ghép trái aH, mà các lớp ghép trái rời nhau nên n m l.

Chúng ta sử dụng Định lý Lagrange để chứng minh một số kết quả trong số học

Mệnh đề 1 (Định lý Fermat nhỏ) Cho p là một số nguyên tố và a là một số

đĩ a p a mod p Trường hợp ngược lại thì gcd a p, 1 Do đĩ a p 1 1, tức là

là nhĩm con sinh bởi phần tử a n d/

Mệnh đề 3 Gọi là hàm Euler Nếu n 0 là một số nguyên thì

Dễ thấy là quan hệ tương đương trên G Ký hiệu cl x là lớp tương đương của phần tử x G Khi đĩ:

cl x y G y: x y G y là phần tử sinh của x:

Giả sử cấp của x là d Theo định lý Lagrange, d là ước của n Từ nhận xét trên, mỗi phần tử y x k là phần tử sinh của nhĩm con x nếu và chỉ nếu k d, 1

Vì thế cl x gồm đúng d phần tử Gọi x x1, , ,2 x k là các đại diện của các lớp tương đương rời nhau Khi đĩ G là một tập hợp của k tập rời nhau

G cl x1 cl x2 cl x k

Do G là một nhĩm xyclic nên theo nhận xét trên, mỗi ước d của n cĩ duy nhất một nhĩm con xyclic cấp d của G Suy ra n cĩ đúng k ước, mỗi ước là cấp của một và chỉ một nhĩm x i nào đĩ Vì thế

/

d n

2

hủ đề 2 Định lý Polya và ứng dụng

I – Định lý Polya

C

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

II -Vận dụng Định lý Polya

29

30

31

32

33

34

35

36

37

hủ đề 3 Định lý thặng dư Trung Hoa và ứng dụng

I – Một số kiến thức cơ bản

C

38

39

40

41

II- Định lý thặng dư Trung Hoa và ứng dụng

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

hủ đề 4: NHÓM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị về nhóm các phép biến hình

C

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

105

106

108

Chương 2 Ứng dụng của các phép biến hình trong giải toán

110

111

112

113

114

116

117

118

119

122

123

124

125

127