PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH GIỎI THPT TRONG DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thực tế giảng dạy cho thấy chủ đề Đại số tổ hợp là một chủ đề hay và khótrong chương trình môn Toán Trung học phổ thông nhưng nó chứa đựng nhiều tiềmnăng phát triển tư duy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

- -LƯƠNG QUỐC TUẤN

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO

CHO HỌC SINH GIỎI THPT TRONG DẠY HỌC

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS BÙI VĂN NGHỊ

HÀ NỘI, NĂM 2015

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ sự biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Ban giám hiệu; Phòng Quản lý khoa học; Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng tất cả các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành các chuyên

đề thạc sĩ khóa 23, chuyên ngành Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán tại trường Đại học sư phạm Hà Nội.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt đối với thầy giáo, GS TS Bùi Văn Nghị, người thầy đã giảng dạy và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Sở GD&ĐT Lạng Sơn, Ban giám hiệu cùng các thầy cô giáo và học sinh trường THPT chuyên Chu Văn An – Lạng Sơn đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình đi học và tiến hành thực nghiệm sư phạm.

Lạng Sơn, tháng 5 năm 2015

Tác giả

Lương Quốc Tuấn

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

1. ĐHSPHN Đại học sư phạm Hà Nội

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Giả thuyết khoa học 2

6 Phạm vi nghiên cứu 2

7 Phương pháp nghiên cứu 2

8 Những đóng góp mới của đề tài 3

9 Cấu trúc luận văn 3

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 TƯ DUY SÁNG TẠO 4

1.1.1 Quan niệm về tư duy 4

1.1.2 Quan niệm về sáng tạo 8

1.1.3 Tư duy sáng tạo 11

1.2 THỰC TRẠNG DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP CHO HỌC SINH GIỎI Ở MỘT SỐ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 19

1.2.1 Khảo sát qua phiếu điều tra giáo viên và học sinh 19

1.2.2 Khảo sát qua bài kiểm tra 21

Tiểu kết chương 1 23

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG VÀ VẬN DỤNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ TỔ HỢP CHO HỌC SINH GIỎI THPT NHẰM

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH 24

2.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 24

2.1.1 Quy tắc đếm cơ bản 24

2.1.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 24

2.1.3 Ánh xạ, hệ thức truy hồi 26

2.2 HỆ THỐNG BÀI TẬP 27

2.2.1 Hệ thống bài toán để rèn luyện tính nhuần nhuyễn 27

2.2.2 Hệ thống bài toán để rèn luyện tính linh hoạt, uyển chuyển 36

2.2.3 Hệ thống bài toán để rèn luyện tính độc đáo 49

Tiểu kết chương 2 69

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 70

3.1 MỤC ĐÍCH, TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 70

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 70

3.1.2 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 70

3.2 NỘI DUNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 71

3.2.1 Nội dung 71

3.2.2 Giáo án thực nghiệm sư phạm 71

3.3 ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 87

3.3.1 Đánh giá định tính 87

3.3.2 Đánh giá định lượng 88

3.3.3 Kết quả kiểm tra 89

Tiểu kết chương 3 91

KẾT LUẬN 92

TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Luật Giáo dục VN năm 2005 đã ghi: “Phương pháp giáo dục phải phát huy

tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”

Bài toán Tổ hợp thường gắn liền với các bài toán thực tế và cũng thườngxuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia và quốc tế Việc tìmtòi những lời giải khác nhau hoặc sáng tạo ra bài toán mới là cách thể hiện của tư duysáng tạo Nó không chỉ giúp học sinh hiểu sâu kiến thức Toán học mà còn tạo niềmsay mê, hứng thú, tích cực học tập cho các em học sinh Việc học tập tự giác, tíchcực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục tiêu đặt ra vàtạo được động lực thúc đẩy bản thân họ tư duy để đạt được mục tiêu đó

Trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ở trường phổ thông, mônToán đóng vai trò rất quan trọng Bởi vì, thứ nhất, Toán học là môn khoa học của tưduy, logic Thứ hai, Toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngànhkhoa học và kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trongrất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hộihiện đại; Toán học còn là một công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác

Thực tế giảng dạy cho thấy chủ đề Đại số tổ hợp là một chủ đề hay và khótrong chương trình môn Toán Trung học phổ thông nhưng nó chứa đựng nhiều tiềmnăng phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo cho các em học sinh

Với những lý do trên, đề tài nghiên cứu được lựa chọn là: “Phát triển tư

duy sáng tạo cho học sinh giỏi THPT trong dạy học chuyên đề Đại số Tổ hợp"

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất hệ thống bài toán được chọn lựa và sử dụng nhằm phát triển tính nhuầnnhuyễn, tính linh hoạt và tính độc đáo của tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi THPTtrong dạy học Đại số Tổ hợp, nhằm nâng cao chất lượng dạy học nội dung này trongviệc ôn luyện học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh và cấp quốc gia của tỉnh Lạng Sơn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm rõ tính nhuần nhuyễn, tính linh hoạt và tính độc đáo của tư duy sángtạo trong giải toán Đại số Tổ hợp của học sinh

- Đề xuất hệ thống bài toán được chọn lựa và sử dụng nhằm phát triển tínhnhuần nhuyễn, tính linh hoạt và tính độc đáo của tư duy sáng tạo cho học sinh giỏiTHPT trong dạy học Đại số Tổ hợp

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và tính hiệuquả của đề tài

4 Đối tượng nghiên cứu

Hệ thống bài tập Đại số Tổ hợp để phát huy tính sáng tạo của học sinh giỏiTHPT của tỉnh Lạng Sơn

5 Giả thuyết khoa học

Nếu sử dụng hệ thống bài toán được chọn lựa trong luận văn trong dạy họcĐại số Tổ hợp cho học sinh giỏi THPT thì học sinh vừa có kỹ năng giải các bài toánTổ hợp tốt hơn, vừa phát triển được tư duy sáng tạo

6 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung vào việc đề xuất và xây dựng hệ thống các bài tập Đại số Tổ hợpphát triển tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi THPT Việc nghiên cứu thực trạng hứng thúhọc tập chuyên đề Đai số Tổ hợp của học sinh giỏi được tiến hành ở 4 trường đó là:THPT Việt Bắc (thành phố Lạng Sơn), THPT Cao Lộc (huyện Cao Lộc), THPT DânTộc Nội Trú tỉnh (thành phố Lạng Sơn), THPT Chuyên Chu Văn An (thành phố LạngSơn) Việc thực nghiệm sư phạm được triển khai ở trường THPT Chuyên Chu Văn An(thành phố Lạng Sơn) năm học 2014 - 2015

7 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu các tài liệu công trình khoa học đã công bố làm sáng tỏ cơ sở líluận của đề tài

- Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, đềthi và chuyên đề luyện thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia, có liên quan đến dạy họcĐại số Tổ hợp.

Quan sát, điều tra

Lập các phiếu điều tra, xin ý kiến chuyên gia về việc phát triển tư duy sángtạo cho học sinh giỏi THPT trong dạy học Đại số Tổ hợp tại trường THPT chuyênChu Văn An, Lạng Sơn để làm sáng tỏ cơ sở thực tiễn của đề tài

Thực nghiệm sư phạm

Tiến hành thực nghiệm sư phạm tại 02 lớp Chuyên toán của trường THPTchuyên Chu Văn An, tỉnh Lạng Sơn để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

8 Những đóng góp mới của đề tài

- Góp phần hệ thống hóa cơ sở lí luận về vấn đề phát triển tư duy sáng tạo

- Điều tra đánh giá thực trạng học chuyên đề Đại số Tổ hợp ở một số trườngTHPT của tỉnh Lạng Sơn

- Đề xuất và thử nghiệm hệ thống bài tập Đại số Tổ hợp để phát triển tư duysáng tạo của học sinh giỏi THPT tỉnh Lạng Sơn

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm ba chương

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Tư duy sáng tạo

1.2 Điều tra thực trạng dạy học chuyên đề Đại số Tổ hợp cho học sinh giỏi THPT

Chương 2 Xây dựng và vận dụng hệ thống bài toán trong dạy học đại số tổ

hợp cho học sinh giỏi THPT nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

2.1 Tóm tắt lý thuyết

2.2 Hệ thống bài toán

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích, nhiệm vụ, tổ chức thực nghiệm sư phạm

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 TƯ DUY SÁNG TẠO

1.1.1 Quan niệm về tư duy

Theo Từ điển tiếng Việt của tác giả Hoàng Phê (1996): “Tư duy là giai đoạn

cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của

sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý” [13]

Theo tác giả [26]: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức một

cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận, Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp với quy luật của thực tại”; “Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính, là mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”.

 Đặc điểm của tư duy

Theo tác giả [1], Tư duy có những đặc điểm sau

Thứ nhất là tính có vấn đề: khi gặp những tình huống mà vấn đề hiểu biết cũ,

phương pháp hành động của chúng ta không đủ để giải quyết, lúc đó chúng ta đanggặp “tình huống có vấn đề”, và chúng ta phải cố vượt ra khỏi phạm vi những hiểubiết cũ để đi tìm những cái mới, phương pháp hành động mới để giải quyết vấn đềhay nói cách khác chúng ta phải tư duy

Thứ hai là tính khái quát: Tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính

chung, những mối quan hệ, liên hệ của hàng loạt sự vật hiện tượng Do đó, tư duymang tính khái quát

Ngoài ra tư duy còn có tính độc lập tương đối: Trong hoạt động giao tiếp

hàng ngày của con người, tư duy của con người vừa tự biến đổi qua quá trình hoạtđộng của bản thân, vừa chịu sự tác động biến đổi từ tư duy của đồng loại thông quanhững hoạt động có tính vật chất Do đó, tư duy không chỉ gắn với bộ não của từng

cá nhân mà còn gắn với sự tiến hóa của xã hội, trở thành một sản phẩm có tính xãhội trong khi vẫn duy trì được tính cá thể

Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành các

thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của tư duy, vì vậy ngôn ngữ được xem như là

phương tiện của tư duy.

Mối quan hệ giữa tư duy và nhận thức: Tư duy là kết quả của nhận thức đồng

thời là sự phát triển cấp cao của nhận thức Xuất phát điểm của nhận thức là nhữngcảm giác, tri giác và biểu tượng được phản ánh từ thế giới khách quan với nhữngthông tin về hình dạng, hiện tượng bên ngoài được phản ánh một cách riêng lẻ Giaiđoạn này được gọi là tư duy cụ thể Ở giai đoạn sau, với sự hỗ trợ của ngôn ngữ,hoạt động tư duy tiến hành các thao tác so sánh, đối chiếu, tổng hợp, phân tích, quynạp những thông tin đơn lẻ, gắn chúng vào mối liên hệ phổ biến, lọc bỏ những cáingẫu nhiên, không căn bản, không bản chất của sự việc để tìm ra nội dung và bảnchất của sự vật, hiện tượng, quy nạp nó thành khái niệm, phạm trù, định luật Giaiđoạn này được gọi là giai đoạn tư duy trừu tượng

Các giai đoạn của tư duy: Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao

gồm 4 bước cơ bản:

- Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy (tức là tìm đượccâu hỏi cần giải đáp)

- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết vềcách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

- Xác minh giả thiết trong thực tiễn Nếu giả thiết đúng thì qua bước sau, nếusai thì phủ định của nó và hình thành giả thiết mới

- Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng

 Các thao tác tư duy

Theo [3], Trong môn Toán, người ta thường dùng thao tác tư duy như: phântích, tổng hợp, tương tự hóa, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa

Phân tích - tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng

nhận thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau Còn tổng hợp là

các thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần đã tách rờinhờ sự phân tích thành một chỉnh thể.

Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng làhai mặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướng tổnghợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Trong học tập môn Toán,phân tích – tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ là thao tác quan trọng nhất đểgiải quyết vấn đề

Ví dụ 1 Khi thực hiện bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 gồm

4 chữ số khác nhau? Ta phân tích rằng một số tự nhiên chia hết cho 5 thì chữ số ởhàng đơn vị có 2 trường hợp xảy ra:

+ Trường hợp 1: Chữ số ở hàng đơn vị bằng 0 Khi đó chữ số hàng nghìn có

9 cách chọn một chữ số; chữ số hàng trăm có 8 cách chọn một chữ số; chữ số hàngchục có 7 cách chọn một chữ số

Vậy có: 9.8.7 = 504 số thỏa mãn

+ Trường hợp 2: Chữ số ở hàng đơn vị bằng 5 Khi đó chữ số hàng nghìn có

8 cách chọn một chữ số; chữ số hàng trăm có 8 cách chọn một chữ số; chữ số hàngchục có 7 cách chọn một chữ số

Vậy có 8.8.7 = 448 số thỏa mãn

Tổng hợp lại, ta có số các số tự nhiên chia hết cho 5 gồm 4 chữ số khác nhau là:

504 + 448 = 952 số

So sánh, tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau

và khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằngnhau giữa các đối tượng nhận thức So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích tổnghợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn cóthể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng Tương tự là mộtdạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận haiđối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Như vậy, tương tư là sự giống nhaugiữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

Trong [29] G Polya cho rằng “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu

một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cảtập hợp ban đầu” Như vậy có thể hiểu khái quát hóa là thao tác tư duy nhằm pháthiện những quy luật phổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ mộthoặc một số trường hợp riêng lẻ

Cũng trong [29] G Polya đã viết: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên

cứu một tập hợp đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tậphợp đó” Đặc biệt hóa có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích những kháiniệm, định lý khái quát bằng những trường hợp riêng lẻ

Trừu tượng hóa: Trừu tượng hóa là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt,

những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại cácyếu tố cần thiết cho tư duy Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉmang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

Ví dụ 2 Sau khi đã giải được bài toán: Cho ba chữ số 1, 2, 3 Từ các chữ số

trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 10 chữ số sao cho trong mỗi số trên

có mặt cả ba chữ số 1, 2, 3? bằng cách sau:

Gọi A là tập hợp các số thoả mãn điều kiện đầu bài, S là tập hợp các số gồm

10 chữ số được lập từ 3 chữ số đã cho Ti là tập hợp các số thuộc S mà trong đókhông có mặt chữ số i ( i = 1, 2, 3) Ta có: A = S - T1ÈT2ÈT3 (1)

Khi đó, bằng tương tự hóa, ta có thể yêu cầu học sinh giải bài toán

Cho ba chữ số 1, 2, 3 Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số gồm

2015 chữ số sao cho trong mỗi số đó có mặt cả 3 chữ số 1, 2, 3

Hoặc khái quát hóa lên thành bài toán: Cho ba chữ số 1, 2, 3 Từ các chữ sốtrên có thể lập được bao nhiêu số gồm n chữ số ( n ³ 3 ) sao cho trong mỗi số đó

có mặt cả 3 chữ số 1, 2, 3

Tóm tắt lời giải

Gọi A là tập hợp các số thoả mãn điều kiện đầu bài, S là tập hợp các số gồm

n chữ số được lập từ 3 chữ số đã cho Ti là tập hợp các số thuộc S mà trong đókhông có mặt chữ số i ( i = 1, 2, 3) Ta có: A = S - T1ÈT2ÈT3 (1)

1.1.2 Quan niệm về sáng tạo

Sáng tạo là một khái niệm đã được rất nhiều tác giả, nhiều công trình nghiêncứu trong và ngoài nước đề cập đến

Theo định nghĩa trong từ điển Tiếng Việt [13] thì “Sáng tạo là tạo ra những

giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần hay là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có” Như vậy cái mới có thể là một tính chất

mới của sự vật, một đối tượng, có thể là một quan hệ mới, một phương pháp mới

Theo Bách khoa toàn thư Xô–Viết (1976): “Sáng tạo là hoạt động của con

người trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với các mục đích và nhu cầu của con người Sáng tạo là hoạt động đặc trưng bởi tính không lặp lại, tính độc đáo và tính duy nhất”.

Sự sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó đem lại một cách nhìn nhậnhay giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề hay tình huống

Còn Karen Huffman (1987) định nghĩa: “Người có tính sáng tạo là người

tạo ra được những giải pháp mới mẻ và thích hợp để giải quyết vấn đề” [40].

Henry Gleitman (1986) đưa ra định nghĩa: “Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra

những giải pháp mới học duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích” [39].

Theo I.Ia Lecne (1977) thì: “Sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng

cái mới về chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem như là hệ thống các thao tác hoặc hành động được mô tả thật chính xác và được điều hành nghiêm ngặt” [28].

Nguyễn Cảnh Toàn (2005) lại nói rằng: “Người có óc sáng tạo là người cókinh nghiệm về phát hiện vấn đề và giải quyết được vấn đề đặt ra” [24]

Tóm lại, như tác giả Tôn Thân (1995) nói: “Nội dung sáng tạo gồm hai mặtchính: Có tính mới (khác với cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (tốt, có giá trị hơn cái

cũ, cái đã biết)” và vì vậy sự sáng tạo là vô cùng cần thiết và đóng một vai trò quantrọng trong tiến trình phát triển của khoa học kỹ thuật nói riêng và trong quá trìnhphát triển xã hội của loài người nói chung [19]

* Quá trình sáng tạo

Cũng theo [24]: có thể chia quá trình sáng tạo làm 4 giai đoạn:

Chuẩn bị Đặt ra nhiệm vụ nghiên cứu, thu thập tài liệu liên quan Đó là giai

đoạn phát hiện vấn đề và thử giải quyết vấn đề đó bằng nhiều cách khác nhau nhờhuy động những kiến thức liên quan tiềm ẩn trong bộ não của mình Vì vậy nếu ởgiai đoạn này chủ thể đã có được sự tích lũy tốt sẽ là tiền đề thuận lợi cho toàn bộquá trình sáng tạo

Ấp ủ Kết thúc giai đoạn chuẩn bị, quá trình tư duy ít bị sự kiểm soát hơn của ý

thức, tiềm thức bắt đầu hoạt động, đó là sự tập trung suy nghĩ Những cố gắng có ýthức làm bộ óc phải lao động một cách thực sự và từ đó buộc tiềm thức phải làm việc

Bừng sáng Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến sự “bừng sáng” trực giác, một

bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức Sự bừng sáng thường xuyên xuấthiện đột ngột, không thấy trước

Kiểm chứng Là giai đoạn triển khai lập luận, chứng minh logic, kiểm định

lại tính đúng đắn của phát hiện trực giác Trong toán học đó là triển khai các suyluận, các chứng minh logic và kiểm tra kết quả bằng trực giác

Việc phát hiện ra cái mới được thực hiện ở giai đoạn bừng sáng nhưng giaiđoạn ấp ủ cũng không kém phần quan trọng vì giai đoạn này tiền đề cho giai đoạnbừng sáng.

Ví dụ 3 Tìm số cách xếp n cặp vợ chồng (n ³ 2) ngồi quanh một bàn tròn

có 2n ghế sao cho mỗi người vợ phải ngồi cạnh chồng của cô ấy

Giai đoạn chuẩn bị: Khi giải bài toán này, bước đầu HS thấy có 2n người

được xếp vào 2n ghế thỏa mãn thêm điều kiện người vợ phải ngồi cạnh người chồngcủa cô ấy

Giai đoạn ấp ủ: Học sinh xét một vài trường hợp cụ thể như sau:

- Với n = 2 thì có 3 cách xếp thỏa mãn;

- Với n = 3 thì có 16 cách xếp thỏa mãn;

Giai đoạn bừng sáng: Ta nhận thấy để đảm bảo rằng người vợ luôn ngồi

cạnh chồng của cô ấy thì ta chỉ cần coi mỗi cặp vợ chồng là một phần tử để sắp xếp.Ngoài ra việc người vợ ngồi bên trái hay bên phải người chồng của mình thì đềuthỏa mãn yêu cầu của bài toán Như vậy trong mỗi cặp vợ chồng cần phải xéttrường hợp hai người đổi chỗ cho nhau

Giai đoạn kiểm chứng: Trước hết ta ghép cặp vợ chồng và xếp vào bàn tròn

thì có (n - 1 !) cách xếp Sau đó hoán vị chỗ ngồi của người vợ và người chồng

trong mỗi cặp thì có 2n cách Như vậy có (n - 1 ! 2)´ n cách xếp thỏa mãn yêu cầu

bài toán

* Các cấp độ sáng tạo

Cũng theo Irving Taylor [19]: có thể phân tích sáng tạo ra thành năm cấp độ:(1) Cấp độ biểu hiện, đó là sự sáng tạo trẻ thơ Chẳng hạn khi giải một bàitoán, học sinh có thể thực hiện được những cách giải đã được học nhưng vận dụngngắn gọn hơn, phối hợp nhiều kỹ năng trong quá trình giải

(2) Cấp độ sản xuất, đó là khi cá nhân có những kỹ năng nhất định để thựchiện ý tưởng

(3) Cấp độ đổi mới, đó là khi cá nhân đã có thể thao tác được, tức là thấynhững quan hệ mới giữa sự vật được tác động đến.

(4) Cấp độ cải tiến, đó là khi cá nhân cải tiến cái mới Ở cấp độ này, các nhàkhoa học đã không ngừng cải tiến, tìm tòi để đưa nền khoa học kỹ thuật ngày càngtiên tiến, hiện đại, phục vụ nhu cầu ngày càng cao của cuộc sống xã hội loài người

(5) Cấp độ khai sáng, đó là khi người sáng tạo đưa ra ý tưởng mới hay sảnphẩm mới, độc đáo có ý nghĩa khai sáng văn hóa Đây chính là cấp độ sáng tạo củacác nhà bác học, những người đã cống hiến cho nền văn hóa nhân loại một kho tàngcác phát minh, sáng chế

Ở ba cấp độ đầu của sáng tạo thì cái mới vẫn liên quan đến kinh nghiệm cánhân của người sáng tạo Ở hai cấp độ sau của sáng tạo thì cái mới đã vượt ra ngoàikinh nghiệm của nền văn hóa nhân loại

1.1.3 Tư duy sáng tạo

Theo [5]: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mớiđộc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiệnvấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý tưởng mớithể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất”

Theo J Dantom thì: “Tư duy sáng tạo, đó là năng lực tìm thấy những ý

nghĩa mới, tìm thấy những mối liên hệ mới, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá là một quá trình, một cách dạy học và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm” [37].

Tôn Thân cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân

đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” [19] Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc

trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy

cảm, tính kế hoạch, tính chính xác J Danton cho rằng: “Tư duy sáng tạo đó là những

năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm” [37, tr.20].

Theo Nguyễn Bá Kim: “tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là

những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” [3].

Cũng theo Tôn Thân [19]: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo

ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Tư duy sáng tạo là

tư duy độc lập và nó không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của

tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó”.

Trong [29], G Polya cho rằng: “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó

dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này Các bài toán vận dụng những tư liệu này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: Lúc những cố gắng của người giải vạch ra được những phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả”.

Theo I.Ia Lecne [28] thì những biểu hiện đặc trương của tư duy sáng tạo có

6 biểu hiện sau:

+ Có sự tự lực chuyển các tri thức, kỹ năng, kỹ xảo sang tình huống mới gầnhoặc xa, bên trong hay bên ngoài, hay giữa các hệ thống kiến thức

+ Nhìn thấy những nội dung mới trong tình huống bình thường

+ Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

+ Độc lập kết hợp các phương thức hoạt động đã biết, tạo thành cái mới.+ Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn lời giải (khả năng xemxét đối tượng ở những khía cạnh khác nhau) và lựa chọn cách giải tối ưu

+ Kỹ năng tạo ra một phương thức giải độc đáo tuy đã biết những phươngthức khác.

Cơ sở của tư duy sáng tạo: Krutexki [36, tr.66 – 70] đã chỉ ra mối quan hệ

giữa ba dạng tư duy, nói lên điều kiện cần của tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và

tư duy tích cực Ba khái niệm này lần lượt bao trùm nhau Có tư duy tích cực mới

có thể có tư duy độc lập, cuối cùng mới có thể có tư duy sáng tạo

Ba vòng tròn đồng tâm của Krutexki

Tư duy sáng tạo có tính chất tương đối, vì cùng một chủ thể giải quyết vấn

đề trong điều kiện này có thể mang tính sáng tạo, trong điều kiện khác thì lại không

có tính sáng tạo, hoặc cùng một vấn đề được giải quyết có thể mang tính sáng tạođối với người này nhưng không mang tính sáng tạo đối với người khác Tuy nhiên,

tư duy sáng tạo luôn phải là một tư duy độc lập và tạo ra những ý tưởng mới độcđáo và có được hiệu quả giải quyết vấn đề cao

Tư duy tích cực

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

* Một số đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của nhiều nhà tâm lí học và giáo dục học thì cấu trúc của tưduy sáng tạo có năm đặc trưng cơ bản sau:

- Tính nhuần nhuyễn (fluency)

- Tính mềm dẻo, linh hoạt (flexibility)

- Tính độc đáo (originality)

- Tính hoàn thiện (elaboration)

- Tính nhạy cảm vấn đề (problem’s sensibility)

Ngoài ra còn có những thành tố quan trọng khác như: Tính chính xác

(precise), năng lực định giá (ability to valued), phán đoán (decide), năng lực định nghĩa lại (redefinition)[10, tr.114].

a) Tính nhuần nhuyễn

Trong [19], Tôn Thân đã nêu:

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanhchóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đưa ra giảthuyết mới Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra,lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn được thể hiện bởi:

- Khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ racàng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợpnày số lượng làm nảy sinh ra chất lượng Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2đặc trưng sau:

- Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giảipháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn để phải giảiquyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiềuphương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu

- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cáinhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìnbất biến, phiến diện, cứng nhắc

Ví dụ 4 Xét dãy số gồm 9 chữ số khác nhau được lấy từ các số tự nhiên từ 1

tới 9 Hỏi tạo được bao nhiêu dãy số mà các số 1, 2, 3 đôi một không đứng cạnhnhau (kể cả ba số 1, 2, 3 không đứng cạnh nhau)

Tóm tắt lời giải

Cách 1:

+ Số các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau là: 9!

+ Ta xét các dãy số không thỏa mãn đề bài:

- Nếu dãy số có hai chữ số 1, 2 đứng cạnh nhau thì có 2!.7!.C dãy số.81

Tương tự như vậy cho các dãy số có hai chữ số 1, 3 và 2, 3 đứng cạnh nhau

- Nếu dãy số có 3 số 1, 2, 3 đứng cạnh nhau thì tạo được 3!.6!.C dãy số.71

Vậy có 9! - 3 2!.7!.C + 81 1

7

3!.6!.C =151200

Cách 2:

+) Xếp 6 chữ số 4, 5, 6, 7, 8, 9 trên một đường thẳng: có 6 ! cách xếp

+) 6 chữ số này chia đường thẳng thành 7 phần

+) Xếp mỗi chữ số 1, 2, 3 vào 1 trong 7 phần đó: A cách xếp73

Vậy có 6 !.7.6.5 = 151200 số thoả mãn yêu cầu bài toán

Cách 3: (Giải bằng bài toán chia kẹo EULER).

Bài toán chia kẹo của EULER: " Cho k, n là các số nguyên dương Số nghiệm

nguyên không âm của phương trình: x1 + x2 + … + xk = n là C n k k-1 1

+ - "

Ta xét trường hợp số 1 đứng trước số 2 và số 2 đứng trước số 3

Gọi x x x x lần lượt là số phần tử đứng trước số 1, đứng giữa số 1 và số 2, 1, , ,2 3 4

đứng giữa số 2 và số 3, đứng sau số 3 Khi đó ta có

Mỗi hoán vị của 6 phần tử 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta được một dãy số thỏa mãn trường hợpnày Do đó số dãy số thỏa mãn trường hợp này là: 6! C´ 73.

Vậy số các dãy số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 3! 6!´ ´C73 =151200

b) Tính linh hoạt

Cũng trong [19], ta có: Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực thay đổi dễdàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức từ góc độ quan niệm này sang gócđộ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn vàxây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới,hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và phán đoán

Tính linh hoạt của tư duy được thể hiện bởi:

- Năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từthao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác; vận dụng linh hoạt các hoạt độngphân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và cácphương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải phápnày sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại

- Khả năng suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc cáckiến thức, kĩ năng sẵn có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó có những yếu

tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm,những phương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước

- Khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chứcnăng mới của đối tượng quen biết

Để tư duy được linh hoạt, linh hoạt đòi hỏi phải thường xuyên rèn luyện cáchoạt động trí tuệ, các thao tác tư duy

Ví dụ 5 Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số khác nhau đôi một, trong đó

các chữ số 1,2,3,4,5 được xếp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải nhưng các chữ

số 1,2,3,4,5,6 thì không được xếp như vậy

Nếu cứ rập khuôn, máy móc là: phân chia thành nhiều trường hợp nhỏ đểxét HS sẽ làm như sau:

+ Giả sử số tự nhiên có 10 chữ số là a a a (a1 2 10 1≠0)

+ Theo đề bài thì các chữ số 1,2,3,4,6 phải đứng trước chữ số 5 nên chữ số 5chỉ có thể ở từ vị trí thứ 6 trở đi Tức là ở vị trí a6, a7, a8, a9, a10

Ta xét lần lượt từng vị trí của chữ số a5, rồi đến vị trí a6, rồi vị trí bộ (1,2,3,4)và cuối cùng là vị trí các chữ số còn lại

+ Trường hợp a10 = 5, chữ số 6 có 9 vị trí, bộ (1,2,3,4) có C vị trí và bốn chữ84

số 0,7,8,9 có 4! Vị trí, như vậy có tất cả 9.C 4! cách sắp xếp kể cả khi a84 1=0 Ta bỏ

đi các trường hợp a1=0: 8.C 3!.74

Như vậy, trong trường hợp này có 9.C 4!-8.84 4

Nếu linh hoạt hơn trong tư duy ta có thể làm như sau:

Ta coi 6 số 1, 2, 3, 4, 5, 6 đều là số 5 Số cách xếp 6 số 5, 1 số 0, 1 số 7, 1

số 8, 1 số 9 thành một dãy số có 10 chữ số sao cho số 0 không đứng đầu là:

6! - 6!=

Với mỗi cách xếp như trên ta thay số 5 ở vị trí cuối cùng bởi số 5, một trongnăm số 5 còn lại bởi số 6 và các số 5 ở những vị trí còn lại theo thứ tự từ trái quaphải bởi 1, 2, 3, 4 thì được một số thoả mãn bài toán

Như vậy với mỗi số ở trên với cách thay như trên ta lập được 5 số thoả mãn

đề bài

Vậy có 5.4536 = 22680 số thoả mãn yêu cầu bài toán.

c) Tính độc đáo

Theo [19], tính độc đáo của tư duy được thể hiện bởi các khả năng sau:

- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài liêntưởng như không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mậtthiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trítuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm đượcnhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) vànhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ,đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khácnhư: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặctrưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạtđộng trí tuệ của con người

Ví dụ 6 Cho tập hợp A ={1;2;3; ;2n} Tập con B của tập A gọi là tập cân

nếu trong B số các số chẵn bằng số các số lẻ ( tập Æ là tập cân) Tập A có baonhiêu tập con cân?

 Cách giải thông thường như sau:

Xét B là tập cân có 2k phần tử khi đó số tập B là số cách chọn ra k số từ n sốchẵn và k số từ n số lẻ, tức là có ( )k 2

n

C tập

Vậy có ( )2

2 0

n

k n

n n k

=

=

å (đếm bằng 2 cách để chứng minh đẳng thức)

 Nếu nhìn bài toán theo sự tương ứng một - một giữa số chẵn và số lẻ của tập cân

B, ta có một lời giải được xem là độc đáo, như sau:

Đặt X = {2, 4, , 2n}, Y = {1, 3, , 2n-1},  là họ tất cả các tập cân của A, là họ các tập con của A có đúng n phần tử

Xét tương ứng f:   , f(B) = B1(Y\B2) trong đó B1 = BX, B2 = BY

+) Rõ ràng f là ánh xạ vì |B1| = |B2| nên |f(B)| = n suy ra f(B) thuộc .

+) f là đơn ánh: Từ f(B) = f(C) suy ra B1(Y\B2) = C1(Y\C2) Do tính chẵnlẻ của các phần tử suy ra B1 = C1, Y\B2 = Y\C2  B = C

+) f là toàn ánh: Giả sử M thuộc , M1, M2 là cac tập con của M chứa cácphần tử chẵn và lẻ Đặt B1 = M1, B2 = Y\M2, B = B1B2 Khi đó:

|B1| = |M1| ; |B2| = |Y\M2| = |Y| - |M2| = n - |M2| = |M1| = |B1| Vậy B là tập cân.Hơn nữa f(B) = B1(Y\B2) = M1(Y\(Y\M2)) = M1M2 = M

Vậy số tập cân của A là 2n

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó cónhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Các thành tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở họcsinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh giỏi Trong học tập Toán mà cụthể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổi các hoạt động trítuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng phân tích trong khi tìm tòi lờigiải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải Ở học sinh khá và giỏi cũng có sự biểuhiện các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo Điều quan trọng là người giáo viênphải có phương pháp dạy học thích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơnnăng lực sáng tạo ở các em

1.2 THỰC TRẠNG DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP CHO HỌC SINH GIỎI Ở MỘT SỐ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

1.2.1 Khảo sát qua phiếu điều tra giáo viên và học sinh

Để đánh giá thực trạng dạy học chuyên đề đại số tổ hợp cho học sinh giỏichúng tôi đã tiến hành điều tra khảo sát thực tế và lập ra các phiếu điều tra từ giáoviên và học sinh (xem phụ lục 1,2)

Kết quả điều tra từ 30 giáo viên toán và 120 học sinh tại các trường THPTChuyên Chu Văn An (các lớp chuyên Toán), THPT Việt Bắc, THPT Dân Tộc NộiTrú Tỉnh, THPT Cao Lộc (đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán lớp 11 và 12)Tỉnh Lạng Sơn như sau:

+ Đối với giáo viên, kết quả trả lời các câu hỏi là:

+ Đối với học sinh, kết quả trả lời các câu hỏi là:

+ Đa số học sinh cảm thấy ngại học và giải bài toán Đại số Tổ hợp (70,8 %)

Từ tâm lí ngại đó dẫn đến tình trạng học sinh giỏi không quyết tâm khi học chuyên

đề đại số tổ hợp, nhiều học sinh cứ gặp bài toán tổ hợp là bỏ, không chịu tư duy đểgiải toán

+ Việc vận dụng các phương pháp đếm trong bài toán Đại số Tổ hợp của họcsinh chủ yếu chỉ dừng lại ở mức nhận biết (21,7 %), rất ít học sinh thuần thục vàsáng tạo khi vận dụng các phương pháp vào giải toán.

+ Nhiều thầy cô giáo chưa thực sự quan tâm và đầu tư vào dạy học chuyên

đề Đại số Tổ hợp cho học sinh giỏi

+ Đa số các giáo viên thấy được vài trò dạy học Đại số Tổ hợp để phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi

1.2.2 Khảo sát qua bài kiểm tra

Để có thêm cơ sở đánh giá khả năng giải bài toán Đại số Tổ hợp của học sinhgiỏi, chúng tôi sử dụng bài kiểm tra tự luận trong thời gian 45 phút

Đối tượng là học sinh lớp 11 chuyên toán 11A1, 11A2 trường THPT ChuyênChu Văn An, Tỉnh Lạng Sơn Lớp 11A1 có 34 học sinh, lớp 11A2 có 34 học sinh,các em học theo chương trình chuyên Toán

Đề bài

Câu 1 Cho A = {0;1;2;3;4;5;6;7 Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt}

thuộc A có một trong 3 chữ số đầu bằng 1

Câu 2 Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số

mà trong mỗi số được viết có 1 chữ số xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuấthiện 1 lần

Câu 3 Trên mặt phẳng cho 20 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng

hàng Giả sử trong các đường thẳng đi qua hai trong 20 điểm đã cho không có haiđường thẳng nào song song và cũng không có ba đường thẳng nào đồng qui tại mộtđiểm khác với 20 điểm đã cho

Hãy tính số tam giác tạo bởi các đường thẳng đó mà mỗi tam giác đều không

có đỉnh là một trong 20 điểm đã cho

Mục đích của bài kiểm tra là:

- Câu 1: Đánh giá tính nhuần nhuyễn trong tư duy của học sinh

- Câu 2: Đánh giá tính mền dẻo trong tư duy của học sinh

- Câu 3: Đánh giá tính độc đáo trong tư duy của học sinh

Thống kê kết quả: Tính theo số học sinh làm được

Phân tích kết quả: Kết quả kiểm tra cho thấy đa số học sinh đều nắm được

quy tắc công, quy tắc nhân (quy tắc đếm cơ bản) của Đại số Tổ hợp, khả năng vậndụng các quy tắc đó (câu 1), thể hiện được tính nhuần nhuyễn trong tư duy của họcsinh Tuy nhiên với bài toán cần tính mềm dẻo (câu 2) thì chỉ gần một nửa số họcsinh làm được (học sinh không được sử dụng hoán vị lặp) Với câu 3 học sinh khóthể giải được với quy tắc cộng và quy tắc nhân thông thường mà cần phải sử dụngđồng thời hoán vị lặp và nguyên lí bù trừ Ở cả hai lớp thì hầu hết chỉ có các emnằm trong đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường mới làm được câu 3 Qua bàikiểm tra nêu trên có thể thấy rằng khả năng tư duy sáng tạo của học sinh trong bàitoán đếm của Đại số Tổ hợp còn hạn chế và yêu cầu cấp thiết cần phải phát triển tưduy sáng tạo cho học sinh giỏi thông qua việc trang bị cho các em những kiến thức

về phương pháp nâng cao trong giải bài toán đếm số phần tử của tập hợp

Đánh giá chung về thực trạng: Mặc dù mẫu điều tra còn nhỏ, nhưng kết quả

điều tra cho thấy một phần thực trạng trong dạy và học chuyên đề đại số tổ hợp ởtrường THPT là: Đa số học sinh chưa được rèn luyện và trang bị các phương pháp,

kĩ năng giải bài toán đếm trong chuyên đề Đại số Tổ hợp đặc biệt là các phươngpháp đếm nâng cao Các em tiếp thu kiến thức một cách hình thức, chưa có sự tìmtòi, khám phá và chưa phát huy được khả năng tư duy sáng tạo của mình trong việcgiải một bài toán tổ hợp

Từ kết quả điều tra chúng tôi có một số nhận xét sau:

Nội dung chủ đề Đại số Tổ hợp là một nội dung khó đối với học sinh vì đâylà một nội dung hoàn toàn mới nhưng có ứng dụng thực tế cao nên các bài toánthường đa dạng, nhiều trường hợp nhỏ lẻ, là nội dung có tính trừu tượng cao Vớinội dung trên nên việc áp dụng phương pháp dạy học tích cực vào bài giảng để pháttriển tư duy sáng tạo cho các em học sinh giỏi khi giải bài toán Đại số Tổ hợp cònkhó khăn và chưa được quan tâm

Đại số Tổ hợp là một trong những nội dung quan trọng vì nó có nhiều ứngdụng trong thực tế đời sống hàng ngày đồng thời nó cũng thường xuyên có mặttrong các kì thi quan trọng của HS như thi đại học, thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc giavà quốc tế nhưng lại là một trong các chủ đề gây khó khăn cho học sinh trong họctập mà thời lượng lại ít nên HS còn chưa chủ động trong việc tiếp thu và rèn luyệnnhiều về nó Trong một tiết học về chuyên đề Đại số Tổ hợp, nhiều em chưa tìmđược sự hứng thú, thậm chí còn căng thẳng, tính tích cực chủ động hay các ý tưởngđộc đáo, tìm ra hướng giải mới, phát hiện ra vấn đề giải bài toán là chưa có đối vớicác em HS.

Tiểu kết chương 1

Chương này trình bày tổng quan về tư duy nói chung và tư duy sáng tạo nóiriêng, trong đó tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức; tư duy sáng tạođược thể hiện qua ba tính chất (thành tố) cơ bản là tính nhuần nhuyễn, tính linhhoạt, tính độc đáo Kết quả điều tra thực tiễn từ 30 giáo viên và 120 học sinh chuyênvà học sinh giỏi của một số trường THPT cho thấy việc dạy và học chủ đề Đại sốTổ hợp còn một số bất cập: học sinh chưa hào hứng và cảm thấy đây là dạng toánkhó; giáo viên chưa có sự quan tâm thích đáng đến dạng toán này

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG VÀ VẬN DỤNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ TỔ HỢP CHO HỌC SINH GIỎI THPT NHẰM PHÁT TRIỂN

TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

Trong chương này, trước hết chúng tôi hệ thống hóa lại những kiến thức cơbản của Đại số Tổ hợp sử dụng trong trường chuyên Sau đó, để phù hợp với đốitượng học sinh chuyên chúng tôi sắp xếp các bài toán thành ba nhóm:

- Nhóm 1: là nhóm những bài toán vận dụng những kiến thức cơ bản và rènluyện tính nhuần nhuyễn

- Nhóm 2: là nhóm bài toán để rèn luyện tính linh hoạt, uyển chuyển của tư duy;

- Nhóm 3: là nhóm các bài toán để phát triển tính độc đáo

Trong mỗi nhóm đều bao hàm các dạng toán: đếm, tổ hợp - chỉnh hợp - hoànvị tròn, hoán vị lặp

2.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT

2.1.1 Quy tắc đếm cơ bản

+) Quy tắc cộng: Giả sử công việc A có k phương án thực hiện Giả sử phương án

1 có n cách thực hiện; phương án 2 có 1 n cách thực hiện; ; phương án k có 2 n k

cách thực hiện Khi đó có n1+n2+ + n k cách thực hiện công việc A.

+) Quy tắc nhân: Giả sử công việc A được hoàn thành thông qua k công đoạn Giả

sử công đoạn 1 có n cách thực hiện; công đoạn 2 có 1 n cách thực hiện; ; công2

đoạn k có n cách thực hiện Khi đó có k n n1 .2 n cách thực hiện công việc A k

+) Nguyên lý bù trừ: Cho A i i( =1,2 , )n là các tập hợp khác rỗng, hữu hạn ta có:

a Hoán vị không lặp

Giả sử E ={ , , , }a a1 2 a n Một hoán vị của n phần tử của tập hợp E là một

cách xếp các phần tử của E theo một thứ tự nào đó

Số các hoán vị của n phần tử ký hiệu là Pn Ta có Pn = n!.

b Chỉnh hợp không lặp

Giả sử E ={ , , , }a a1 2 a n Một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp

E là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử (a a i1, , ,i2 a , ik) (0 k£ £ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A n k

!

k n

Giả sử E ={ , , , }a a1 2 a n Một tổ hợp chập k của n phần tử của tập hợp E

là một bộ không sắp thứ tự gồm k phần tử (a a i1, , ,i2 a , ik) (0 k£ £ n) Nói cách

khác, đó là một tập con gồm k phần tử của tập hợp E

Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là Ck Ta có

Hoán vị trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một lần được gọi là hoán vị lặp.

Số hoán vị lặp của n phần tử thuộc k loại, mà các phần tử loại i (1 i£ £ k)

xuất hiện n i lần được kí hiệu là P n n( 1, , ,2 n và được tính bởi công thức: k)

1 2

!, , ,

Giả sử E ={ , , , }a a1 2 a n Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập

hợp E là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử (a a i1, , ,i2 a , ik) (0 k£ £ n), trong đó

cho phép lấy lặp lại

Số các chỉnh hợp chập k của n, theo quy tắc nhân, bằng n k

f Tổ hợp lặp

Giả sử E ={ , , , }a a1 2 a n Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử của tập hợp

E là một bộ không sắp thứ tự gồm k phần tử (a a i1, , ,i2 a , ik) (0 k£ £ n), trong

đó cho phép lấy lặp lại Nói cách khác, đó là một đa tập hợp gồm k phần tử lấy từ E

Số các tổ hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là H Ta có n k

Số hoán vị tròn.: Cho A là một tập có n phần tử (n Î ¥ và 1 k n) £ £ làmột số nguyên Khi đó số các k - hoán vị tròn của A bằng

k

k n n

A Q

2.1.3 Ánh xạ, hệ thức truy hồi

a Định nghĩa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh

+ Cho hai tập hợp X và Y (khác rỗng) Một ánh xạ f từ X lên Y là một quy tắc cho

tương ứng mỗi phần tử xX với một và chỉ một phần tử y = f(x)Y

+ Tập X gọi là tập nguồn, tập Y gọi là tập đích.

+ Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu với mọi x1, x2X, f(x1) = f(x2)  x1 = x2

(Hay nếu với mọi x1, x2X, x1 ¹ x2 Þ f x( )1 ¹ f x( )2 )+ Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu với mọi yY, xX sao cho f(x) = y

+ Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh

b Định lí 1 Với A, B là các tập hợp hữu hạn Xét f là một ánh xạ đi từ A vào B

 Nếu f là đơn ánh thì |A| ≤ |B|

 Nếu f là toàn ánh thì |A| ≥ |B|

 Nếu f là song ánh thì |A| =|B|

c Định lí 2 Cho 2 tập hợp A và B có n phần tử, số lượng song ánh

f: A ® B là n!

d Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2

Bài toán: Cho dãy (u ) thỏa mãn điều kiện n

Giải phương trình đặc trưng al 2+ b + c = 0l để tìm l

a, Nếu l và 1 l là hai nghiệm thực khác nhau thì 2 u = An l1n +Bl 2n, trong

đó A và B được xác định khi biết u và 1 u 2

b, Nếu l và 1 l là nghiệm thực kép, 2 l =1 l =l thì 2 u = (A+ B.n)n l , trong n

đó A và B được xác định khi biết u và 1 u 2

c, Nếu l là nghiệm phức, l =x+ iy, thì ta đặt

u = r Acosn + B sinn ff , trong đó A

và B được xác định khi biết u và 1 u 2

2.2 HỆ THỐNG BÀI TẬP

2.2.1 Hệ thống bài toán để rèn luyện tính nhuần nhuyễn

+) Chúng tôi quan niệm rằng những học sinh khá, giỏi được gọi là giải toántổ hợp một cách nhuần nhuyễn, nếu đạt được trình độ sau:

- Không nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân, tổ hợp và chỉnh hợp: bàitoán được giải quyết theo các phương án (quy tắc cộng) hay theo các công đoạn (quytắc nhân); có tính xếp thứ tự (chỉnh hợp) hay không có tính xếp thứ tự (tổ hợp);

- Thấy ngay được bài toán đã cho thuộc dạng nào, vận dụng được quy tắccộng hay quy tắc nhân; chỉnh hợp hay tổ hợp;

- Vận dụng thành thạo một số mẫu bài cơ bản: Thành lập số từ một tập hợp

số cho trước, sắp xếp đồ vật, chọn người để sắp đặt công việc,

- Thấy rõ sự đan xen giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân trong từng khâu củaquá trình giải quyết bài toán

+) Hệ thống bài toán

Bài 1.1 Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát.

Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát Hỏi độivăn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượngcác vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau?

Tóm tắt lời giải

Công đoạn 1: chọn 1 vở kịch thì có 2 cách chọn

Công đoạn 2: chọn 1 điệu múa thì có 3 cách chọn

Công đoạn 3: chọn 1 bài hát thì có 6 cách chọn

Vậy có 2.3.6 = 36 cách chọn chương trình biểu diễn

Bài 1.2 Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A

đến thành phố C có 4 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường,

từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường Không có con đường nào nốithành phố B với thành phố C Hỏi có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đếnthành phố D?

Tóm tắt lời giải

Phương án 1: Đi từ thành phố A đến thành phố D thông qua thành phố B

Công đoạn 1: Đi từ thành phố A đến thành phố B có 3 cách chọn 1 conđường đi

Công đoạn 2: Đi từ thành phố B đến thành phố D có 2 cách chọn 1 conđường đi

Suy ra có 3.2 = 6 đường đi từ thành phố A đến thành phố D thông qua thànhphố B

Phương án 2: Đi từ thành phố A đến thành phố D thông qua thành phố C

Công đoạn 1: Đi từ thành phố A đến thành phố C có 4 cách chọn 1 conđường đi

Công đoạn 2: Đi từ thành phố C đến thành phố D có 3 cách chọn 1 conđường đi

Suy ra có 4.3 = 12 đường đi từ thành phố A đến thành phố D thông quathành phố C

Vậy có: 6 + 12 = 18 đường đi từ thành phố A đến thành phố D

Nhận xét: Như vậy để giải bài toán tổ hợp bằng quy tắc đếm, HS phải thực hiện

được các bước như sau:

- Bước 1: Xét xem bài toán có thể chia thành bao nhiêu trường hơp (phương án)

- Bước 2: Trong mỗi trường hợp thì có bao nhiêu công đoạn cần thực hiện

- Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân để giải bài toán

Bài 1.3 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Có bao nhiêu tập con X của

tập A thoả điều kiện X chứa 1 và không chứa 2

Tóm tắt lời giải

Gọi T là số các tập con X của A thỏa mãn đề bài

Gọi T' là số các tập con X' của A =' {3;4; ;8} với X '=X \ 1{ }

Xét ánh xạ: :f T ®T '

Hiển nhiên f là song ánh Vậy T =T ' =26 =64

Bài 1.4 Cho 2 đường thẳng d d song song với nhau Trên đường thẳng 1, 2 d 1

cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d cho 8 điểm phân biệt Hỏi có thể lập 2

được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm đã cho

Tóm tắt lời giải

Số bộ 3 điểm trong tổng số 18 điểm đã cho là: C183

Số bộ 3 điểm thẳng hàng trong số 18 điểm đã cho là: C103 +C83

Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 3 ( 3 3)

Bài 1.5 Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ Hỏi có bao

nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ

Tóm tắt lời giải Cách 1: Đếm trực tiếp

Số cách lập nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 3 5 4 4 5 3

Bài 1.6 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

gồm 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của

3 chữ số cuối một đơn vị

Tóm tắt lời giải

Gọi số tự nhiên thỏa mãn có dạng: a a a a a a1 2 3 4 5 6

Theo giả thiết ta có: a1+a2+a3 =10

Có ba bộ 3 số thỏa mãn điều kiện là: {1;3;6 , 1,;4;5 , 2;3;5} { } { }

Như vậy số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 3.3!.3! 108= số

Bài 1.7 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?

Tóm tắt lời giải

TH1: Chữ sô hàng đơn vị bằng 0 Khi đó có: 8.7.6.5.4.3=20160

TH2: Chữ số hàng đơn vị khác 0 Khi đó có: 4.7.7.6.5.4.3=70560

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 20160 750560+ =90720

Bài 1.8 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên có 9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính giữa?

Tóm tắt lời giải

Gọi số tự nhiên thỏa mãn có dạng: a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ta có a = và các vị trí còn lại, mỗi vị trí có 9 cách chọn một chữ số.5 9

Vậy có 9 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.8

Bài 1.9 Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn

sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả cáccuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau?

Tóm tắt lời giải

Bước 1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cách

Bước 2: Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách:

Nhóm sách Toán: 2! cách

Nhóm sách Văn: 4! cách

Nhóm sách Anh: 6! cách

Vậy có: 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách

Nhận xét: Khi một vài các phần tử trong tập hợp muốn đứng cạnh nhau thì ta chỉ

cần nhóm chúng lại thành một nhóm Sau đó cần hoán vị các phần tử trong nhóm

Bài 1.10 Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng.

Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy

ra không có đủ cả 3 màu?

Tóm tắt lời giải

Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: C = 1365.154

Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:

* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có C C C = 18042 5 61 1

* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có C C C = 24014 52 61

* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có C C C = 3001 14 5 62

Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720

Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645

Nhận xét: Bài toán trên tương đối đơn giản về mặt tư duy Tuy nhiên người

làm cần nhuần nhuyễn trong việc phân chia trường hợp và sử dụng công thức số tổhợp của một tập hợp Sau đây là một số bài toán tương tự để học sinh rèn luyện tínhnhuần nhuyễn trong việc sử dụng số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp của một tập hợp

Bài 1.11 Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số

tự nhiên có 7 chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còncác chữ số khác có mặt đúng 1 lần

Tóm tắt lời giải Cách 1:

Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ô của hình sau:

Thế thì:

* Có 6 cách chọn vị trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1)

* Sau khi đã chọn vị trí cho số chữ 0 ta còn C = 20 cách chọn vị trí cho 363

Số các dãy số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 xuất hiện 3 lần, các chữ số 0, 1,

2, 3 xuất hiện đúng 1 lần là: 7! 840

3!= dãy.

Số các dãy số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 xuất hiện 3 lần, các chữ số 0, 1,

2, 3 xuất hiện đúng 1 lần trong đó chữ số 0 đứng đầu tiên là: 6! 120

3!= dãy.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là: 840 - 120 = 720 số

Nhận xét: Việc sử dụng được hoán vị lặp làm cho việc giải quyết bài toán

một cách dễ dàng hơn Sử dụng thành thạo hoán vị lặp giúp cho học sinh có thể rútngắn được thời gian làm bài Thông qua ví dụ dưới đây giúp cho học sinh có thểthực hiện nhuần nhuyễn hơn kiến thức về hoán vị lặp

Bài 1.12 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

gồm chín chữ số, trong đó , mỗi chữ số 0, 1, 2, 3 xuất hiện đúng một lần, chữ số 4 xuất hiện đúng hai lần và chữ số 5 xuất hiện đúng ba lần?

Tóm tắt lời giải

Số cách lập số gồm 9 chữ số trong đó , mỗi chữ số 0, 1, 2, 3 xuất hiện đúngmột lần, chữ số 4 xuất hiện đúng hai lần và chữ số 5 xuất hiện đúng ba lần ( số 0 có

thể đứng vị trí đầu tiên) là: 9!

2!.3! 2!.3!- = số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 1.13 Có bao nhiêu cách để 5 bé trai và 3 bé gái ngồi quanh một bàn tròn

nếu không có bé gái nào ngồi cạnh nhau?

Tóm tắt lời giải

Trước hết ta xếp 5 bé nam ngồi quanh bàn tròn: có 4! = 24 cách xếp

Khi đó sẽ có 5 khoảng trống giữ các bé trai Ta xếp mỗi bé gái vào một khoảngtrống đó thì có 3

5 60

A = cách xếp Vậy có 24.60=1440 cách xếp thỏa mãn

Bài 1.14 Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9 có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3

chữ số (trừ số 000)?

Tóm tắt lời giải

Mỗi biển số xe gồm 3 chữ số là một chỉnh hợp lặp chập 3 của 10 phần tử{0;1;2; ;9}

Trong các chỉnh hợp đó có dãy gồm 3 số 0 liên tiếp thì bị loại

Vậy số các biển số xe thỏa mãn bài toán là: 3

10 1

A - = 999 biển số.

Bài 1.15 Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho chữ số đầu và chữ số

cuối giống nhau?

Tóm tắt lời giải

Gọi số tự nhiên có 6 chữ số có dạng: abcdef Ta có:

Có 9 cách chọn một số vào vị trí a (a Î {1;2; ;9})

Có 1 cách chọn số vào vị trí f ( f = )a

A = 9.104 số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 1.16 Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ thành hai

hàng quay mặt vào nhau, mỗi hàng có 5 em sao cho hai em đối diện luôn có mộtnam, một nữ

Tóm tắt lời giải

Số cách ghép cặp đôi là: 5! cách

Số cách chọn vị trí hai người trong mỗi cặp là: 2 cách5

Số cách đưa các cặp đôi được chọn vào hàng là: 5! Cách

Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài là: ( )2 5

5! 2 cách

Bài 1.17 Cho tập A ={0;1;2;3; ;9}, tìm số các số gồm 3 chữ số khác

nhau của A, chia hết cho 3

Tóm tắt lời giải

Ta có {0;3;6;9} là các số chia hết cho 3; {1;4;7} là các số chia cho 3 dư 1;{2;5;8} chia cho 3 dư 2

TH1: (3 chữ số chia hết cho 3) có 4! – 3! = 18

TH2: (3 chữ số chia cho 3 dư 1) có 3! = 6

TH3: (3 chữ số chia cho 3 dư 2) có 3! = 6

TH4: (1 số chia cho 3 dư 0, 1 số chia cho 3 dư 1, 1 số chia cho 3 dư 2)

có 3.3.3.3! + 3.3.(3! - 2!) = 198

Như vậy số các số cần tìm là: 18 + 6 + 6 + 198 = 228 số

+) Những điểm cần lưu ý:

- Cần phân biệt rõ khi nào thì sử dung quy tắc cộng, khi nào thì sử dụng quytắc nhân

- Cần phân biệt rõ sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp trong cùng một bài toán

- Một bài toán thường được giải quyết theo hai hướng là đếm trực tiếp vàđếm gián tiệp Việc lựa chọn kĩ thuật phù hợp sẽ giúp cho việc giải bài toán được rõràng và tiết kiệm được thời gian

- Học sinh phải chủ động, tích cực tự rèn luyện bài tập để có thể thực sựthành thạo trong việc nhận dạng bài toán vì ta không thể kiểm tra lại kết quả của bàitoán bằng cách liệt kê

Một số bài tập tương tự

Bài 1 Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số

gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4

Bài 2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào

lặp lại đúng 3 lần?

Bài 3 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5