ĐỀ đa THI vào lớp 10 THPT CHUYÊN CAO BẰNG 2016

Đề thi vào lớp 10 Chuyên Cao Bằng năm học 20162017.Đề thi vào lớp 10 Chuyên Cao Bằng năm học 20162017.Đề thi vào lớp 10 Chuyên Cao Bằng năm học 20162017.Đề thi vào lớp 10 Chuyên Cao Bằng năm học 20162017.Đề thi vào lớp 10 Chuyên Cao Bằng năm học 20162017

Câu 1(2 điểm) Cho biêu thức 1 1 1 2

:

Q

        

a) Tìm điều kiện của a để Q có nghĩa và rút gọn biểu thức Q

b) Tìm giá trị của a để 1

6

Q 

Câu 2(2 điểm) Cho  P là đồ thị của hàm số y2x2

a) Trên  P lấy điểm A có hoành độ x 1 và điểm B có hoành độ x 2 Xác định các giá trị của a b, biết rằng đường thẳng  d :yax b đi qua hai điểm A B,

b) Tìm các giá trị của m n, để đường thẳng  d' :ymx n song song với AB và cắt  P tại một điểm duy nhất Khi đó hãy xác định tọa độ giao điểm của  d' và  P

Câu 3(2 điểm) Cho hệ phương trình a 1x y 3

ax y a





 



(x y, là ẩn )

a) Giải hệ phương trình với a   2

b) Xác định giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y,  thỏa mãn điều kiện: x y 0

x  m x  m m  (x là ẩn ) Tìm các giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x x x x1, 2, ,3 4 sao cho tích T x x x x1 .2 3 4 đạt giá trị lớn nhất

Câu 5(2 điểm) Cho nửa đường tròn  O đường kính AB và điểm M bất kỳ nằm trên nửa đường tròn (M khác A B, ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Tia BM cắt Ax tại I ; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E (E khác A ) và cắt tia BM tại F ; tia BE cắt Ax tại H và cắt AM tại K

a) Chứng minh EFMK là tứ giác nội tiếp và AI2 IM IB

b) Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi Xác định vị trí điểm M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn

Câu 6(1 điểm) Lấy 2013 điểm thuộc miền trong của một tứ giác lồi để cùng với 4 đỉnh của tứ giác ta được 2017 điểm sao

cho trong 2017 điểm đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Biết rằng diện tích của tứ giác ban đầu là 1cm2 Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có ba đỉnh lấy từ 2017 điểm đã cho có diện tích không vượt quá 1 2

4028cm _Hết _

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không được giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………

Chữ ký của giám thị 1:……… Chữ ký của giám thị 2:

MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN CAO BẰNG 2016-2017

MÔN: TOÁN

:

Q

        

c) Tìm điều kiện của a để Q có nghĩa và rút gọn biểu thức Q

d) Tìm giá trị của a để 1

6

Q 

Lời giải:

a) ĐK:  

0

4

a a a

 







 



:

Q



1

3 1

a a





 2

3

a



b) Đặt at t, 0 Khi đó  

2

2

t t

       (do t  )0 a16 t m/ (*)

Câu 2(2 điểm) Cho  P là đồ thị của hàm số y2x2

c) Trên  P lấy điểm A có hoành độ x  và điểm B có hoành độ 1 x  Xác định các giá trị của ,2 a b

biết rằng đường thẳng  d :yax b đi qua hai điểm ,A B

d) Tìm các giá trị của m n để đường thẳng ,  d' :ymx n song song với AB và cắt  P tại một điểm duy nhất Khi đó hãy xác định tọa độ giao điểm của  d' và  P

Lời giải:

a) Từ giả thiết ta có A 1; 2 ,B2;8 Tọa độ điểm ,A B thỏa phương trình đường thẳng  d :yax b



Khí đó phương trình đường thẳng  d :y6x4

b) Ta có 6

4 (1)

m

n

 

 



  Khi đó phương trình đường thẳng  d' :y6x n

Mặt khác tọa độ giao điểm của  d' và  P là nghiệm của PT: 2x2 6x n 2x26x n 0 (2)

Để đường thẳng d cắt '  P tại một điểm duy nhất (2)có nghiệm duy nhất

9

2

         (t/m (1)) Tọa độ giao điểm của  d' và  P : 3 9

;

2 2

ax y a





 



(x y, là ẩn )

c) Giải hệ phương trình với a   2

d) Xác định giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y,  thỏa mãn điều kiện: x y 0

Lời giải:

a) Với a   2, ta có hệ PT 1 2 3 1 5 27

10 6 2

7

x

x y





 



Vậy HPT đã cho có tập nghiệm: 1 5 2 10 6 2

;

S     

b) HPT y a 1x 3



 

  



Số nghiệm của hệ phương trình là số giao điểm của đường thẳng

  :ya1x3 và đường thẳng  ' : y ax a Do đó HPT có nghiệm duy nhất khi hai đường thẳng   và  ' cắt nhau 1

2

       Khi đó HPT có nghiệm duy nhất:

2

3

2

a

x

a

a a

y

a











 



Để HPT có nghiệm x y,  thỏa mãn điều kiện:

x  m x  m m  ( x là ẩn ) Tìm các giá trị của m

để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x x x x1, 2, ,3 4 sao cho tích T x x x x1 .2 3 4 đạt giá trị lớn nhất

Lời giải:

Đặt x2 y y, 0

       Ta có:  y 25m22

Trước hết ta tìm điều kiện m để PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt, điều này xảy ra (a) có 2 nghiệm

dương phân biệt

2

m

m

  







(*)

Khi đó PT (a) có hai nghiệm dương y y1, 2với y y1 2 4m12 2 m , do đó phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x1,2   y1 ,x3,4   y2

Xét T x x x x1 .2 3 4 y y1 2 4m12 2 m 2m1225 trên tập D   3;2 \  2

Ta có T 25, dấu “ = “ xảy ra 1

2

   

Vậy T max 25 khi 1

2

m  

Câu 5(2 điểm) Cho nửa đường tròn  O đường kính AB và điểm M bất kỳ nằm trên nửa đường tròn ( M khác

,

A B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Tia BM cắt Ax tại I ;

tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E ( E khác A ) và cắt tia BM tại F ; tia BE cắt  Ax tại H và

cắt AM tại K

c) Chứng minh EFMK là tứ giác nội tiếp và AI2 IM IB

d) Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi Xác định vị trí điểm M để tứ giác AKFI nội tiếp được một

đường tròn

Lời giải:

a)

Chứng minh tứ giác EFMK nội tiếp

Xét tứ giác EFMK , ta có:

FMKBMA (góc BMA nội tiếp chắn nửa đường tròn 

đường kính AB )

FEKAEB (góc AEB nội tiếp chắn nửa đường tròn

đường kính AB )

180

FMK FEK

    EFMK là tứ giác nội tiếp

đường tròn đường kính FK

Chứng minh : AI2 IM IB

Xét tam giác BAI vuông tại A , đường cao AM Ta

có: AI2 IM IB

b)

1

1

2 2

1

x

O

K E

H

I

F

M

B A

Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi:

Từ giả thiết ta cĩ:

1 2

IAEMAE sđ AEsđ MEB B

Do đĩ    

A A B B (1)

Mặt khác

1 2

1 1

M B góc nội tiếp cùng chắn cung EA

M F góc nội tiếp cùng chắn cung EK







1 2

F B

  (2)

Từ (1) và (2) suy ra HAK,AKF là các tam giác cân

tại ,A K Do đĩ AH FK HAKF













 là hình bình

hành, hơn nữa HAAK suy ra tứ giác HAKF là hình

thoi

Tìm vị trí điểm M :

Từ chứng minh trên ta cĩ FK HA AKFI là hình

thang Để hình thang AKFI nội tiếp đường trịn AKFI

  là hình thang cânMIAMAI Do đĩ

MIAMBA  BAI vuơng cân tại A

 450

    vuơng cân tại M

MA MB sđ MA sđ MB

giữa của cung AB 

Câu 6(1 điểm) Lấy 2013 điểm thuộc miền trong của một tứ giác lồi để cùng với 4 đỉnh của tứ giác ta được

2017 điểm sao cho trong 2017 điểm đĩ khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng Biết rằng diện tích của tứ giác ban đầu là 1cm2 Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cĩ ba đỉnh lấy từ 2017 điểm đã cho cĩ diện tích khơng vượt quá 1 2

4028cm

Lời giải:

Xét tứ giác ABCD cĩ diện tích bằng 1cm2

Với điểm thứ nhất M , ta cĩ 4 tam giác chung đỉnh M đơi

một khơng cĩ điểm trong chung

Với điểm thứ hai N phải là điểm trong của một

trong 4 tam giác trên Nối N với 3 đỉnh của tam giác đĩ,

tạo nên 3 tam giác chung đỉnh N, tuy nhiên số tam giác

đơi một khơng cĩ điểm trong chung chỉ tăng thêm 2, vì

mất đi 1 tam giác chứa điểm N Số tam giác khơng cĩ

điểm trong chung lúc này là 4+2

Tương tự với 2011 điểm cịn lại, cuối cùng số tam giác

đơi một khơng cĩ điểm trong chung

là 4 2 2011.2  4028

Tổng diện tích của 4028 các tam giác đĩ bằng 1cm2, nên

ít nhất một tam giác cĩ diện tích khơng vượt

4028cm

N

M

D

C B

A