Hãy tính diện tích mỗi phần.. Gọi M,N lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ H xuống các đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt là giao điểm của đờng thẳng MH & NH với các đờng thẳng CD; OA.
Trang 1đề thi học sinh giỏi - lớp 9 môn toán -thời gian : 150 phút Câu 1: (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x
A =
2 3
1 12
10 2
3 )
2 )(
3 4 ( 2
3 ) 6 ( 6
−
−
−
− +
−
−
− +
−
− +
−
x x x
x x
x x
x x
x
điều kiện x # 4;
x # 9 ; x # 1
Câu 2: (3 điểm) giải phơng trình x2 + 48 = 4x - 3 + x2 + 35
Câu 3: (4 điểm) Phân tích ra thừa số A = x3 y3 + z3 - 3xyz
Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phơng trình
x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2 (1)
t/m đk: max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2)
Câu 4: (3 điểm)Tìm GTNN của biểu thức
2 10 2
10
) 1
( ) (
4
1 ) (
2
1
y x y
x x
y y
Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đờng
cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần Hãy tính diện tích mỗi phần
Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đờng chéo AC&BD
vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0) Gọi M,N lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ H xuống các đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt là giao điểm của đờng thẳng MH & NH với các đờng thẳng CD; OA chứng minh rằng đờng thẳng PQ // đờng thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0)
đáp án đề thi hsg lớp 9- môn toán Câu 1: (4đ)
x - 4 x + 3 = x( x − 1 ) − 3 ( x− 1 ) = ( 3 − 3 )( x− 1 )
-2x + 10 x − 12 = 2(-x + 2 x+ 3 x− 6 ) = 2( x− 3 )( 2 − x)
3 x−x− 2 = -1 (2 - x) + x (2 - x) = (2 - x) ( x− 1)
do x ≠ 1; x ≠ 4; x ≠ 9
0,5 0.5 0.5
Trang 2A =
) 2 )(
3 )(
1 ( 2
) 3 ( 2 ) 1 ( 3 3 ) 6 (
6
x x
x
x x
x x
x
−
−
−
−
−
−
−
− +
−
= 6x x 2x( x6 1x)( 3x 33)(x2 3 x2) x 6
−
−
−
+
− +
−
−
−
−
= (2x−6 x)2−(2(x−x1−)(3)x−−x(3)(x2−−3)x+) x( x−3)
= 2(( x x−−11)()( x x−−33)()(22−− x x)) =
2 1
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 2: (3đ) Biến đổi pt ta đợc
3 4 35
2 + − x + = x−
x
35 48
13
2 = − +
−
x
nhận thấy x = 1 là n0 ta c/m x = 1 là n0 !
* x > 1 VT < 1,VP> 1 => x > 1 k0 phải là n0
0 ≤ x < 1: VT > 1, VP < 1=> 0 ≤ x < 1 k0 phải là n0
x < 0 : VT > 0 ,VP < 0 => x < 0 k0 phải là n0
KL: x = 1 là n0 pt
0.5
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
Câu 3: (4đ)
Nếu x + y + z = 0 => x + y = - z
A = x3+ y3 - [x3 +y3 + 3xy( +y)] + 3xy (x + y)
A = 0
=> A : x + y + z chia A cho x + y + z ta đợc
A = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
A = 1/2 (x + y + z) [(x−y) 2 + (y−z) 2 + (z−x) 2]
Do max (x; y; z) < x + y + z - max (x; y; z)
-> 1/2 (x+y+z) > ( x; y; z)
=> 1/2(x+y+z) (x - y)2 ≥ z (x - y)2 (1 )
1/2 (x+y+z) (y - z)2 ≥ x (y - z)2 (2)
1/2(x+y+z) (z - x)2 ≥ x (y - z)2 (3)
cộng 2 vế ta đợc
A ≥ z (x - y)2 + x (y - z)2 + y (z - x)2 (4)
0.5
0.5
05 0.5 0.5 0.5 0.5
Trang 3Dấu “=” (4) tức pt (8) xảy ra có dấu bằng (1); (2); (3) x = y = z = t ;
Câu 4: (3đ)
áp dụng BĐT co - si cho 4 số dơng ta có:
2 2 2 16
16 2
10
2
10
) 1
( 2
5 ) (
2
1 )
(
2
1
y x y
x x
y
y
=> Q ≥ -
2
5
Do đó GTNN của Q = -
2 5
dấu bằng xảy ra khi x2 = y2 = 1
0.5 0.5
1
1
Câu 5: (3đ)
Gọi H; D; P lần lợt là chân các đờng cao, phân giác trung tuyến hạ từ
B, xuống cạnh AC A
Ta có: AB2 + AC2 = AC2 => ∆ABC ⊥ tại B
SABC = 6 (cm2)
SABP = SCBP = 3 (cm)2
VT = S S = DC DA = BC BA = 43
CBD
ABD
nên SABC =
4
7
SCBD
-> SCBD =24/7 (cm2)
SBDP = SCBD - SCBP =
7
24
- 3 =
7
3
(cm2)
-Bài 6: (3đ) Ta có:
góc AHQ = gócCHN = gócCBD = gócCAD => ∆QAH cân tại Q
nói cách khác Q là TĐ của AD
T2 : P là TĐ của CD
Do đó PQ // AC
Ta thấy: góc CBH = góc NMH (do tứ giác BMHN nội tiếp)
Hơn nữa: góc HQP = góc AHQ = góc CHN = góc CBH
=> góc NQP = góc NMP nên 4 điểm M; N; P; Q cùng nằm trên (0)
ơ
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
0.5