Kẻ CH vuông góc với AD H∈AD.. Đường phân giác của góc BAD cắt đường tròn đường kính AB tại E, cắt CH tại F; DF cắt đường tròn trên tại K.. a Chứng minh rằng tứ giác AFCK nội tiếp.. b Chứ
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO
HUYỆN BUÔN ĐÔN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài:150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3 điểm): Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
64
1 1
1 1
1
+
+
+
c b
a
Câu 2 (3 điểm): Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn phương trình:
x + y + z + 4 = 2 x− 2 + 4 y− 3 + 6 z− 5
Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình sau:
= +
= +
= +
2
1 1 5
1 1 2
z x xyz
z y xyz
y x xyz
Câu 4 (2 điểm): Cho
1 1 2
1 1
1 2 1
2
+ +
−
− +
=
x
Tính giá trị của biểu thức:
A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003
Câu 5 (4 điểm): Cho hình thoi ABCD có góc A = 1200, tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N
Chứng minh: 2 2 3 2
4 1
1
AB AN
AM + =
Câu 6 (4 điểm): Cho tam giác ABD vuông tại D, lấy C là điểm thuộc cạnh AB Kẻ
CH vuông góc với AD (H∈AD) Đường phân giác của góc BAD cắt đường tròn đường kính AB tại E, cắt CH tại F; DF cắt đường tròn trên tại K
a) Chứng minh rằng tứ giác AFCK nội tiếp
b) Chứng minh ba điểm K, C, E thẳng hàng
c) Cho BC = AD, kẻ CI song song với AD (I∈DK) Chứng minh CI = CB và DF là đường trung tuyến của tam giác ADC
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010 Môn: TOÁN Câu 1 (3 điểm):
Ta có 1 +a1 = a +a1 = a+a a+b+c (0,5 điểm)
Do a, b, c > 0, theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
1 +a1 = a+a a+b+c ≥
a
bc
a 2
a
bc
a
2
=
a
bc a
4 2 4
Vậy:
a
1
a
bc a
4 2
Tương tự:
1 +b1 ≥
b
ac b
4 2
1 +1c ≥
c
ab c
4 2 4
(0,5 điểm)
Từ đó, suy ra:
abc
c b a c
b a
4 4 4 4
64
1 1
1 1
1
+
+
Câu 2 (3 điểm):
ĐK: x ≥ 2 ; y ≥ 3 ; z ≥ 5
Ta có:
x + y + z + 4 = 2 x−2 + 4 y−3 + 6 z−5
⇔ (x - 2 - 2 x−2 + 1) + (y - 3 - 2.2 y−3+ 4) + (z-5 - 2.3 z−5 + 9) = 0
(0,5 điểm) ⇔( x−2 -1)2 + ( y−3- 2)2 + ( z−5- 3)2 = 0 (0,5 điểm) ⇔
2 1 0
3 2 0
5 3 0
x y z
(0,5 điểm)
⇔
2 1
3 2
5 3
x y z
(0,5 điểm)
⇔
2 1
3 4
5 9
x
y
z
− =
− =
− =
(0,5 điểm)
Trang 3⇔
3 7 14
x y z
=
=
=
(0,5 điểm)
Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình:
=
+
=
+
=
+
2
1 1 5
1 1 2
z
x
xyz
z
y
xyz
y
x
xyz
⇔
= +
= +
= +
3 2 6 5 2 1
xyz
z x xyz
z y xyz
y x
⇔
= +
= +
= +
(3) 3
2 1 1
(2) 6
5 1 1
) 1 ( 2
1 1 1
xy yz
xy xz
xz yz
(1 điểm)
(1) + (2) + (3): 1 + 1 + 1 = 1 (4)
yz xy
điểm)
Lấy (4) – (1): 1 =12
(4) – (2): 1 =61
(4) – (3): 1 =31
Vậy xy = 2, yz = 6, xz = 3
Ta có: (xyz)2 = 36 ⇒ xyz = 6 hay xyz = -6
Trường hợp 1: xyz = 6 Ta có: x = 1, y = 2, z = 3 (0,5 điểm) Trường hợp 2: xyz = -6 Ta có: x = -1, y = -2, z = -3 (0,5 điểm)
Câu 4 (2 điểm):
Ta có
1 1 2
1 1
1 2 1
2
+ +
−
− +
=
x
=
1 1 2
1 1 2 1
1 2
2
− +
+ +
− +
= 2
2 2
2 =
(0,5 điểm)
Ta lại có:
A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003
= [ ( ) ( 3 ) ]2003
1
Thay x = 2 vào A, ta được:
A = [ ( )( ) ]2003
1 2 2 2 1
1 2 1
2 − + = 12003 = 1 (0,5 điểm)
Trang 4Câu 5 (4 điểm):
điểm)
Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho góc DAE bằng 150, suy ra NAE∧ = 900 (0,5điểm)
BAM DAE= Λ Λ
Xét tam giác EAN vuông tại A, đường cao AH,
ta có: 2 2 2
1 1
1
AH AN
suy ra: 1 2 1 2 1 2
AH AN
AM + = (1) (0,5điểm) Xét tam giác đều ADC, đường cao AH
ta có: AH2 = 2 2
4
3 4
3
AB
AD = (2) (0,5điểm)
Từ (1), (2) suy ra 2 2 3 2
4 1
1
AB AN
AM + = (Đpcm) (0,5điểm)
Câu 6 (4 điểm):
Vẽ hình và viết giả thiết kết luận đúng và đầy đủ (0,5 điểm)
D
I
C E
K
B A
Trang 5a) Ta có CH⊥AD và BD⊥AD (gt)
HCA ( hai góc đồng vị) mà
2
1
=
= ∧
∧
DBA
HCA Mà HCA,∧ DKA∧ cùng chắn FA nên tứ giác AFCK nội tiếp (0,5 điểm) b) Ta có DKE∧ =DAE∧ =12Sđ DE
2
1
=
= ∧
∧
DKC
FAC SđFC do tứ giác AFCK nội tiếp (0,5 điểm)
Mà FAC∧ =DAE∧ (gt)⇒ ∧ ∧
DKE vậy hai tia KC và KE trùng nhau
c) Ta có AD//IC (gt) suy ra ∧ ∧
=ICA DAB (đồng vị)
Mà DAB∧ =DKB∧ = 21Sđ DEB
=ICA
⇒ ICB∧ +ICA∧ =ICB∧ +DKB∧ = 180 0 nên tứ giác KBCI nội tiếp
⇒
2
1
=
= ∧
∧
CIB
EKB Sđ BC và
2
1
=
= ∧
∧
IBA
Mặt khác EKB∧ =DKE∧ ( vì cùng chắn hai cung EB, ED bằng nhau)
=CIB
IBA vậy tam giác BIC cân tại C nên BC = IC (0,5 điểm)
* Ta có AD = BC và AD//IC (gt)
⇒ IC = AD và AD//IC nên tứ giác ADCI là hình bình hành
⇒ DF đi qua trung điểm của AC (tính chất đường chéo hình bình hành )
Vậy DF là đường trung tuyến của tam giác ADC (0,5 điểm)
Ghi chú: Thí sinh có thể giải nhiều cách khác nhau nếu đúng, chặt chẽ, vẫn được điểm tối đa.
