Bo de thi HSG_Toan 8(Cuc hay)

a Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.. c Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất... Đờng thẳng AE cắt BC tại F, đờng thẳng vuông

§Ò thi hsg líp 8 Năm 2007 – 2008

(120 phút)

Bài 1 (4đ):

1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 3x2 + 6x + 4

2/ a,b,c là 3 cạch của tam giác Chứng minh rằng:

y x

đề thi học sinh giỏi Năm học: 2004 2005–Thời gian 150 phút

A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất

đó ?

Bài 3:

1) Tìm số tự nhiên x sao cho: x2 + 21 là số chính phơng ?

2) Chứng minh rằng: Nếu m, n là hai số chính phơng lẻ liên tiếp thì:

(m – 1).(n – 1) M 192

Bài 4:

Cho đoạn thẳng AB Trên đoạn thẳng AB lấy 1 điểm C sao cho AC > BC Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vuông ACNM, BCEF Gọi H là giao điểm của AE và BN

Chứng minh rằng: 1 1 1 9

a+ +b c ≥

§Ò sè 1 Bµi 1: (3 ®iÓm)

=

3

1 3

27

: 3

3 3

x A

1 3

6 1 3 2

x x

1 6

5

1 2

3

1 1

2 2

2

+ +

+ + +

+ + +

+

x

Câu II: (2 điểm)

1) Xác định a, b để da thức f(x) =x3 + 2x2 +ax+b chia hết cho đa thức

1 )

(x =x2 +x+

2) Tìm d trong phép chia đa thức P(x) = x161 +x37 +x13 +x5 +x+ 2006 cho đa thức

1

)

(x = x2 +

Q

Câu III: (2 điểm)

1) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0 Tính giá trị của biểu thức:

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

b

b

b a c

c a

c c

b a

a P

( ) )(

( ) )(

(

2 2

2

= + +

− +

+ +

− +

+ +

−

b c a c

ab c c

b a b

ac b c

a b a

bc a

Câu IV: (3điểm)

1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B Trên cùng nửa mặt phẳng bờ

AB kẻ các hình vuông ACDM và MNPB Gọi K là giao điểm của CP và NB CMR:

a) KC = KPb) A, D, K thẳng hàng

c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi.2) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại H

CMR:

'

' '

' '

'

CC

HC BB

HB AA

b ab a Q

+ +

b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 1+1+1 = 0

c b a

Rút gọn biểu thức:

ab c

ca b

bc a

N

2

1 2

1 2

1

2 2

ời đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km

Tính quãng đờng AB

Bài 4: (3điểm)

Cho hình vuông ABCD M là một điểm trên đờng chéo BD Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD

a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau

b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF và CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất

Bài 5: (1điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

345 5

3x2 + y2 =

Đề số 4

Bài 1: (2,5điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x5 + x +1b) x4 + 4c) x x- 3x + 4 x-2 với x > 0

Bài 2 : (1,5điểm)

Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:

2 2

2 1

2 + + + + + + +

+

=

c ac

c b

bc

b a

ab

a A

Bài 3: (2điểm)

Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0

Tính: 4a2 b2

ab P

a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm

b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân

c) Tính : ANB + ACB = ?

d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ∆ ABC

để cho AEMF là hình vuông

Bài 5: (1điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :

52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23

Đề số 5

Bài 1: (2điểm)

Cho biểu thức:

30 11

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

2

=

x x

x x x

x x

x M

1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra.2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu

Bài 3: (1điểm)

Tìm x, y nguyên sao cho: x2 + 2xy+x+y2 + 4y = 0

Bài 4: (3điểm)

Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh là a E là điểm di chuyển trên đoạn

CD (E khác D) Đờng thẳng AE cắt BC tại F, đờng thẳng vuông góc với AE tại A cát CD tại K

1) Chứng minh tam giác ABF bằng tam giác ADK

2) Gọi I là trung điểm KF, J là trung điểm của AF Chứng minh rằng:

JA = JB = JF = JI

3) Đặt DE = x (a ≥x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x

4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất

Bài 5: (1điểm)

Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: 1 + 1 + 1 = 0

zx yz xy

Tính

xy

z zx

y yz

x N

2 2 2

+ +

1

+ +

−

x x

x x x

2)

3 ) 2 ( 18 ) 1 (

3

30 ) 1 ( 11 ) 1 (

2 4

2 4

a a

Câu II: (4 điểm)

1) Cho a, b là các số nguyên, chứng minh rằng nếu a chia cho 13 d 2 và b chia cho

13 d 3 thì a2 +b2 chia hết cho 13

2) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn abc = 1 Tính giá trị của biểu thức:

ac c

c bc

b

b ac

a

a A

+ +

+ + +

+ + +

=

1 1

1

3) Giải phơng trình:

6

7 3 2

2 2 2

2

1 2

2

2 2

2

= + +

+ + + + +

+ +

x x

x x x

x

x x

Câu III: (4 điểm)

Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3) Hai tổ công nhân lắp máy đợc giao làm một khối lợng công việc Nếu hai tổ làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ Nếu tổ I làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đ-

ợc 30% công việc

Nếu công việc trên đợc giao riêng cho từng tổ thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành

Câu IV: (3 điểm)

Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lợt là hình chiếu của C trên AB và AD

1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ?

2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA

3) Chứng minh AC2 = AB.AH +AD.AK

Câu V: (2 điểm)

Giải phơng trình: x− 20022002 + x− 20032003 = 1

Đề số 7

Câu I: (2điểm)

1 Thực hiện phép chia A= 2x4 −x3 −x2 −x+ 2 cho B= x2 + 1 Tìm x ∈ Z để A chia

hết cho B

2 Phân tích đa thức thơng trong câu 1 thành nhân tử

Câu II: (2điểm)

2 Chứng minh rằng: 1919 + 69 69 chia hết cho 44

Câu III: (2điểm)

1 Cho một tam giác có ba cạnh là a, b, c thoả mãn: (a+b+c) 2 = 3 (ab+bc+ca) Hỏi tam giác đã cho là tam giác gì ?

2 Cho đa thức f(x) = x100 +x99 + +x2 +x+ 1 Tìm d của phép chia đa thức f(x) cho

đa thức x2 − 1

Câu IV: (3điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của H lên AB và AC Gọi M là giao điểm của BF và CE

1 Tứ giác AEHF là hình gì ? Tại sao ?

2 Chứng minh AB CF = AC AE

3 So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC

2004 2

2005 2003

4 2004

3 2005

x

b c b

a b a

c b

a c a

c b c

b a A

Câu 3: (2 điểm)

Một ô tô phải đi quãng đờng AB dài 60 km trong thời gian nhất định Nửa quãng ờng đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h Nửa quãng đờng sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h

đ-Tính thời gian ô tô đi trên quãng đờng AB biết ngời đó đến B đúng giờ

Câu 4: (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc vơi

AE cắt đờng thẳng CD tại F Gọi I là trung điểm của EF AI cắt CD tại M Qua E dựng ờng thẳng song song với CD cắt AI tại N

đ-a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi

b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC

Câu 5: (1 điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

x6 + 3x2 + 1 = y4

§Ò sè 9

Bµi 1: (2 ®iÓm)

Cho

3 3 3

6 6 6

1 1

2 1 1

x

x x x

x

x x

x M

+ +

2 1

b a

P

20072006

20062005

Cho h×nh vu«ng ABCD Gäi E lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC (E kh¸c B vµ C) Qua A kÎ

Ax vu«ng gãc víi AE, Ax c¾t CD t¹i F Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K êng th¼ng kÎ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G

a) Chøng minh tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi

1 4 4

1 2

4

1 19

4

1 3 4

1 1

4 4

4

4 4

2006 2006

+ +

+ +

+

+ +

z y

yz

y x

1

1

1 1

1 1

3 3

2 2

x x

x x

x x

x B

a) Rút gọn B

b) Tìm giá trị lớn nhất của B

Câu 4: (3 điểm)

Cho M là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ

là AB vẽ các hình vuông AMCD và BMEF

a) Chứng minh: AE ⊥ BC

b) Gọi H là giao điểm của AE và BC, chứng minh rằng: D, H, F thẳng hàng

c) Chứng minh rằng đờng thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB

Câu 5: (1 điểm)

a) Chứng minh rằng với ∀n ∈ N và n > 3 thì:

2

1

5

1 4

1 3

1 2

3 )(

2 )(

1 ( ) 4 )(

3 )(

2 )(

1 (x− x− x− x− = x+ x+ x+ x+

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

2

=

x x

x x x

x x

x A

5 2

2 3 2

+

+ + +

=

x

x x x A

4 98

2 95

5 97

3 99

1 1 1

2

1 4

16 2 + +

= (víi x > 0)

2 2

4

+

+ +

− + +

x

x x

a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác HIN

b) Tính các góc của tam giác MNI

c) Giả sử góc BAC = 900 , AB = a, AC = b Tính diện tích tam giác MIN theo a, b

45 12 7

2

2 3

2 3

− +

x

x x

Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nớc

b) Giải phơng trình: 2x+a − x− 2a = 3a (a là hằng số).

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C ngời ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB Đờng thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lợt tại các điểm M, N

a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN

b) So sánh hai tam giác ABC và INC

09

00 1

99 224

9 số 2 -

n là số chính phơng (n≥ 2)

Đề số 15

Câu 1: (2 điểm)

Cho

8 14 7

4 4

2 3

2 3

− +

a

a a a P

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên

Câu 2: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập

ph-ơng của chúng chia hết cho 3

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức:

) 6 )(

3 )(

2 )(

1 30

11

1 20

9

1

2 2

+ +

+ + +

+ +

+

− +

+

− +

=

c b a

c b

c a

b a

c b

a A

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E Chứng minh:

a)

4

2

BC CE

Đề số 16

Bài 1: (2 điểm)

a, Giải phơng trình

0 ) 10 6 ( ) 1 ( ) 9 6 (x2 − x+ 3 + −x2 3 + x− 3 =

b) Cho x, y thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy− 6x− 2y+ 13 = 0

Tính giá trị của biểu thức:

y x

xy x

3 )

3 1 (

2

x y

x y y x

y x

Bài 4: (3 điểm)

Cho ∆ABC cân tại A (AB = AC > BC) Trên cạnh BC lấy M sao cho MB < MC Từ

M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB ở E, kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC ở

F Gọi N là điểm đối xứng của M qua đờng thẳng EF

a) Cho AB =1002,5 cm Tính chu vi tứ giác AEMF

b) Chứng minh tứ giác ANEF là hình thang cân

c) AN cắt BC tại H Chứng minh HB HC = HN HA

Bài 5: (1 điểm)

Cho đa thức f(x) =x3 +ax2 +bx+c

Tìm a, b, c biết f( 1 ) = 5 ; f( 2 ) = 7 ; f( 3 ) = 9

1 ( ) 1 )(

( ) 1 )(

(

2 2 2

2

y x

y x x

y x

y y

y x

x M

− +

− + +

−

− +

1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra.2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu

Bài 4: (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C) Qua A kẻ

Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K ờng thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G

a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi

b) Chứng minh ∆AKF đồng dạng với ∆CAF và AF2 = FK FC

c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi

Bài 5: (1 điểm)

Cho a là một số gồm 2n chữ số 1, b là một số gồm n + 1 chữ số 1, c là một số gồm n chữ số 6 (n là số tự nhiên, n≥ 1)

Chứng minh rằng: a+b+c+ 8 là số chính phơng

x x A

Hai anh em Trung vµ Thµnh cïng cuèc mét m¶nh vên, vµ sÏ hoµn thµnh trong 5 giê

50 phót Nhng sau 5 giê lµm chung Trung bËn viÖc kh¸c nªn kh«ng lµm n÷a, mét m×nh anh thµnh ph¶i lµm tiÕp trong 2 giê n÷a míi cuèc xong m¶nh vên

Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi anh ph¶i lµm trong bao l©u?

10n + n− chia hÕt cho 27 víi n lµ sè tù nhiªn

1

7 5

1 5 3

1 3 1

=

A

Câu 2: (2 điểm)

a) Cho a, b, c là hai số khác nhau và khác 0 thoả mãn: 3a2 +b2 = 4ab

Tính giá trị của biểu thức:

b a

b a A

a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3

b) Tìm n với n < 10 để A chia hết cho 15

Câu 4: (3 điểm)

Cho ∆ABC vuông tại A và điểm H di chuyển trên BC Gọi E, F lần lợt là điểm đối xứng của H qua AB, AC

a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng

b) Chứng minh BEFC là hình thang

c) Tìm vị trí của H trên BC để BEFC là hình thang vuông, hình bình hành

= +

13 3

14 3

2 3

2 3

b a b

ab a

Tính giá trị của : P=a2 −b2

−

− +

−

x x

x x B

Bµi 2: (2 ®iÓm)

Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ nguyªn cña x th× biÓu thøc

6 5 2 1978 3

1985 )