Chương I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài tập 1: Cho 2 ma trận A và B Tính: a) At – 2BA + 3Bt b) 2AB - 3BA + 2ABt c) Cho f(x) = x3 + 3x – 2 Tính f(A) , f(B)
Trang 1Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ
Chương I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài tập 1: Cho 2 ma trận A và B
0 1 1
1 0 3
1 1 2
A
0 0 1
1 2 1
1 1 2
B
Tính:
a) A t – 2BA + 3B t
b) 2AB - 3BA + 2AB t
c) Cho f(x) = x 3 + 3x – 2 Tính f(A) , f(B)
Ta có:
0 1 1
1 0
1
1 3
2
t
0 1 1
0 2 1
1 1 2
t
1 1 2
3 2 9
3 3 8
BA
2 2 4
6 4 18
6 6 16
0 3 3
0 6 3
3 3 6
2 3 3
3 3 5
3 4 4
AB
4 6 6
6 6 10
6 8 8
2 0 0
0 2 0
0 0 2 2
3 9 6
9 6 27
9 9 24
1 3 3
3 2 5
2 3 4
t
0 0 3
3 6 3
3 3 6
3B
2 6 6
6 4 10
4 6 8
2 1 5
3 2 5
3 1 6
6 3 11
7 2 13
7 3 12
3
A
0 3
3
3 0
9
3 3
6
1 1 2
3 5 5
3 4 6
3 4 6
10 15 18
10 14 19
3
B
2 0 2
7 2 14
10 0 8 3
9 9 6
21 4 7
19 5 8 2
3
2AB BA AB t
Trang 2
8 6 14
10 0 22
10 6 16 2 3 )
(A A3 A
1 4 9
13 19 21
13 17 23 2 3 )
(B B3 B f
Bài tập 2: Tính A-1B + ABt + At +2 khi
a)
1 1 0
2 1 3
1 0 1
0 1 1
1 1 0
0 1 1
B
b)
1 2 1
1 1 3
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1 0 2
B
c)
2 1 1
3 1 2
2 0 1
0 2 0
1 1 3
1 2 0
B
CÂU A:
1 1 0
2 1 3
1 0 1
0 1 1
1 1 0
0 1 1
B
A Tìm A-1 theo 2 cách:
Cách 1 :
3 1 1
2 1 )
1
( 1 1
1 0
2 3 ) 1 ( 1 2
1 0
1 3 ) 1 ( 1 3
C
1 1 1
1 0 )
1
( 2 1
1 0
1 1 ) 1 ( 2 2
1 1 0
0 1 ) 1 ( 2 3
C
1 2 1
1 0 )
1
( 3 1
2 3
1 1 ) 1 ( 3 2
1 3
0 1 ) 1 ( 3 3
C
6
1 6
1 6
5 6
1 6
1 6
1 6 3
1 1 3
5 1 3
1 1 3 6
1 1
5 1
1 1
1
3 3 3
1
A C
Cách 2
6
1 6
1 6
3 1
0 0
6
5 6
1 6
3 0
1 0
6
1 6
1 6
3 0
0 1
5 6
1 6
1 6
3 1
0 0
0 1
3 5
1
1 6
1 6
3 0
0 1
6
1
6
1
1 1
3 6
0 0
0 1
3 5
1 0
0 0
1 1
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
3 5
1 0
0 0
1 1
0 1
3 1
0 0
1 1
0
0 1
0 2
1 3
0 0
1 1
0 1
3 3
2 2
3
1 1
3 3
2 2
1 1
3
3 3
2
2 2
1 1
3 3
2 2
1
1 1
h h
h h
h
h h
h h
h h
h h
h
h h
h
h h
h h
h h
h h
h
h h
Ta có:
Trang 3Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ
1 2
1
1 1
0
0 3
1
t
0 1 0
1 1 1
1 0 1
t
1 0 1
2 3 4
1 1 1
t
6
1 6
1 6
1 6
7 6
1 6
5 6 2
1B A
Vậy
6
13 6
11 6
17 6
29 6
5 6
17 6 26 2
1B AB t A t
A
CÂU B:
1 2 1
1 1 3
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1 0 2
B
A Tìm A-1 theo 2 cách:
Cách 1 :
3 1 2
1 1 )
1
( 1 1
1 1
1 3 ) 1 ( 1 2
7 2 1
1 3 ) 1 ( 1 3
C
3 1 2
2 1 )
1
( 2 1
1 0
2 0 ) 1 ( 2 2
2 1
1 0 ) 1 ( 2 3
C
3 1 1
2 1 )
1
( 3 1
2 3
2 0 ) 1 ( 3 2
1 3
1 0 ) 1 ( 3 3
C
12
3 12
1 12
6 12
2 12
3 12
3 12 3
3 1 7
6 2 2
3 3 3 12
1 3
6 3
1 2 3
7 2 3
1
A C
Cách 2
7 7
12 7 1
0 0
12 6 12
2 12
2 0
1 0
12 3 12
3 12
3 0
0 1
7 3 12
3 12
1 12
7 1
0 0
12 6 12
2 12
2 0
1 0
7 7
0 7
0 1
7
12 3 12
1 12
7 1
0 0
7 7
0 7
1 0
7 7
0 7
0 1
2 12
3 12
1 12
7 1
0 0
7 7
0 7
1 0
1 0
0 1
2 1
12
7
7 7
1 7
12 0
0
7 7
0 7
1 0
1 0
0 1
2 1
0 0
1 2
1
0 7
1 0
1 0
0 1
2 1
7
0 0
1 2
1 0
3 1
0 2
7 0
1 0
0 1
2 1
3 0
0 1
2 1
0
0 1
0 1
1 3
1 0
0 1
2 1
1 0
0 1
2 1
0 1
0 1
1 3
0 0
1 2
1 0
3 3
2 2
1 1
3
3 3
2 2
3
1 1
3 3
2 2
1 1
2
3 3
2 2
1 1
3 2
3
2 2
1 1
3 3
2 2
1 1
3 3
2 2
1
1 1
3 1
2 2
3 1
h h
h h
h h
h h
h
h h
h
h h
h h
h h
h h
h h
h
h h
h h
h h
h
h h
h h
h h
h h
h h
h h
h h
h
h h
h h
h h
h h
Ta có:
Trang 4
1 1
2
2 1
1
1 3
0
t
1 2 1
1 1 0
1 1 2
t
2 1 3
1 6 7
1 3 2
t
1 12
4 1
1 12
8 0
0 0 0
1B A
Vậy
6 12
20 6
2 12
92 8
0 6 4 2
1 t t
A AB
B
A
CÂU C:
2 1 1
3 1 2
2 0 1
0 2 0
1 1 3
1 2 0
B
A Tìm A-1 theo 2 cách:
Cách 1 :
1 2 1
3 1 )
1
( 1 1
2 1
3 2 ) 1 ( 1 2
1 1 1
1 2 )
1
( 1 3
C
2 2 1
2 0 )
1
( 2 1
2 1
2 1 )
1 ( 2 2
1 1 1
0 1 )
1
( 2 3
C
2 3 1
2 0 )
1
( 3 1
3 2
2 1 )
1 ( 3 2
1 2
0 1 )
1 ( 3 3
C
3
1 3
1 3
7 3
4 3
2 3
2 3 1
1 1 1
7 4 1
2 2 1 3
1 1
7 2
1 4 2
1 1 1
1
A C
Cách 2
3 1 3
1 3
1 1
0 0
0 1
2 7
1 0
0 0
1 2
0 1
6 1 2
2 2
6 0
0
0 1
2 7
1 0
0 0
1 2
0 1
2 1
0 1
1 0
0 1
2 7
1 0
0 0
1 2
0 1
2 2 1
0 0
2 1
1
0 1
0 3
1 2
0 0
1 2
0 1
3 3
2 2
1 1
3 3
2
2 2
1 1
3 2
3
2 2
1
1 1
h h
h h
h h
h h
h
h h
h h
h h
h
h h
h
h h
Trang 5Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ
3
1 3
1 3
1 1 0 0
3
7 3
4 3
1 0
1 0
3
2 3
2 3
1 0
0 1 2
3
1 3
1 3
1 1
0 0
3
7 3
4 3
1 0
1 0
0 0
1 2
0 1 7
3 3
2 2
1 1
3
3
3
2 2
3
1
1
h h
h h
h h
h h
h
h h
h
h
h
Ta có:
2 3
2
1 1
0
1 2
1
t
0 1 1
2 1 2
0 3 0
t
2 4 4
2 8 5
0 1 2
t
3
2 3
1 3
5 3
16 3
1 3
8 3
6
1B A
Vậy
3
8 3
4 3
14 3
49 3
2 3
5 5 2
1B AB t A t
A
Trang 6Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau
8 3
2
1 2
4
5 3
3
8 2
4
4 3
2 1
4 3
2 1
4 2
1
3 2
1
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
0 2
1 2
6 3
4
2 3
0 4
2 2
3 2
1
4 3
2 1
4 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x
3.
0 10 3
6 3
3
8 3
2 2
7 2
5 4
3 2
1
5 4
2 1
4 3
1
5 4
3 1
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
Trang 7Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ
CÂU 1
8 3
2
1 2
4
5 3
3
8 2
4
4 3
2 1
4 3
2 1
4 2
1
3 2
1
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
Ta có
0 44
192 0
0 0
0 5 5
22 0
0
10 5
7 5
0
1 2 4
1 1
22
5
0 2
11 1
0 0
0 5 5
22 0
0
10 5 7 5
0
1 2 4
1 1
4
65
4 12 8 17 6
0
8 9 12 4
0
10 5 7 5 0
1 2 4 1 1
4
3
2
8 0 1 2 4
5 3 0 1 3
8 1 1 3 2
1 2 4 1 1
8 1 1 3
2
1 2 4 1
1
5 3 0 1
3
8 0 1 2
4
4 4
3
3
3
2
2
1
1
4 4 3
3 3 2
2 2
1 1
4 4
1
3 3
1
2 2
1
1
1
4 1
3 2
2 4
1 3
h h
h
h
h
h
h
h
h
h h h
h h h
h h
h h
h h
h
h h
h
h h
h
h
h
h h
h h
h h
h h A
r(A) = r(A) = 4 vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:
0 2 0
44 192
0 5
5 22
10 5
7 5
1 2
4 )
1
(
4 2
4 4 3
4 3
2
4 3
2 1
x x x
x x
x x
x
x x
x x
CÂU 2
0 2
1 2
6 3
4
2 3
0 4
2 2
3 2
1
4 3
2 1
4 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x
Ta có:
Trang 8
0 0 0 0
5 4
15 2
3 0 0
2 1 2 4 0
0 0 2 1 1
4
7 0 0 0 0 0
1 2 2 7 0
2 1 2 4 0
0 0 2 1 1
2
4
0 0 4 2 2
1 2 6 3 4
2 1 0 3 1
0 0 2 1 1
0 0 2 1
1
1 2 6 3
4
2 1 0 3
1
0 0 4 2
2
4 4
3 3 2
2 2
1 1
4 4
1
3 3
1
2 2
1
1
1
4 1
3 3
2 2
1 4
h h
h h h
h h
h h
h
h
h
h h
h
h
h
h
h
h
h h
h h
h h
h h A
r(A) = r(A) = 3 vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:
2 4
1 5 2
2 2
4
0 2
)
2
(
4 3
4 3
2
3 2
1
x x
x x
x
x x
x
(*)
Chọn x4 làm biến phụ; x1, x2, x3 làm biến chính Cho x4 với là tham số tuỳ ý.
3 2
3 4
2 2
4 15 2
2 2
4
0 2
(*)
3 2 1
4 4 3
4 3
2
3 2
1
x x
x x x
x x x
x x
x
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm có nghiệm tổng quát là:
3
5 2
5
; 3
4 4
;
CÂU 3:
0 10 3
6 3
3
8 3
2 2
7 2
5 4
3 2
1
5 4
2 1
4 3
1
5 4
3 1
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
Ta có:
22 2 1 0 0 0
7 0 1 1 0 0
31 0 0 3 3 0
7 1 2 0 1 1
7 0 1 1 0 0
22 2 1 0 0 0
31 0 0 3 3 0
7 1 2 0 1 1
7 0 1 0 1 0
22 2 1 0 0 0
31 0 0 3 3 0
7 1 2 1 0 1
7 0 1 0 1 0
31 0 0 3 3 0
22 2 1 0 0 0
7 1 2 1 0 1 3
2 0 1 1 1 1
1
10 3 6 0 3
3
8 0 3 2 0
2
7 1 2 1 0
1
4
3
3
4
2
2
1
1
3 2
4
4
3
2
2
3
1
1
4 4 1
3 3 1
2 2 1
1 1
h
h
h
h
h
h
h
h
c c h
h
h
h
h
h
h
h
h h h
h h h
h h h
h h A
r(A) = r(A) = 4 vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:
Trang 9Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ
2 2 2
7 31 3
3
0 2
)
3
(
5 4
4 2
3 2
5 4
3 1
x x
x x
x x
x x
x x
(**) Chọn x5 làm biến phụ; x1, x2, x3, x4 làm biến chính Cho x5 với là tham số tuỳ ý
22 2
3
1 4 2
1 5 2
2 3
9 7 22
2
7 31 3
3
0 2
(* *)
4 2
5 4
4 2
3 2
5 4
3 1
x x
x
x x
x x
x x
x x
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm có nghiệm tổng quát là:
; 2 22 ;
3
14 2
; 15 2
;
2
3
97
Với là tham số tuỳ ý.
Bài tập 4: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo a
2
1) (a
1)z (a
y x
1 a z 1)y (a
x
1 z y 1)x ( a
Ta có:
a a
a
a a a a a
a a
h
h
h
h
h
h
h
a a a
a
a a a a a
a a
C C a a a a
a a a a a
a a
h h
h
h h
)h
(a
h
h
) (a a
a
a a
h h
h h
h h ) (a a
a a
a
A
3 0
0
2 2
0
1 1
1 1
0
2 2
0
1 1
1 1 0
2 2
0
1 1
1 1
1
2 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2
2 2
3
3
2
2
2
1
1
2
2 2
3 2 2
2 2
3 3
1
2 2 1
1
1
3 3
2 1
1 2
Biện luận:
Nếu ( a 2 3a) 0 (a 0 ) (a 3 )
Khi a = 0 thì:
0 0
0
0
0 0
0
0
1 1
1
1
A r A r
Với nghiệm tổng quát có dạng: (1 ; ; ) với , là các tham số tuỳ ý
Khi a = -3
3 0
0
0
3 3 3
0
2 2 1
1
A r A
r
Nếu( a 2 3a) 0 (a 0 ) và (a 3 ), khi đó ta có
a a a a a
a a
h h a a
h h a
h h a
a a
a a a a a
a a
A
3 1
0 0
2 2
1 0
1 1
1 1
3 1
1 3
0
0
2 2
0
1 1
1
1
2 3
3 2
2 2
1 1
2
2 2
Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
3 1 3 3 3
2 )
2
(
1 )
1
(
a y a x
a a a y
a z y
a
a z y
a
x
Kết luận:
Khi a = 0 : Hệ có vô số nghiệm có dạng (1 ; ; ) với , là các tham số tuỳ ý
Khi a = -3 : Hệ vô nghiệm
Trang 10 Khi a 0 và a 3 : Hệ có nghiệm duy nhất (
3
7 3
a
a
,
3
1
a ,a 3)
Trang 11Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ
Chương II: HÀM MỘT BIẾN THỰC
Bài tập 1:Tính các giới hạn sau:
x Cos
x
x
tan
1 tan2
2
lim
Cotx x
Sin
2
lim
2
0
tan
x
4
x
x Cos
x 1 2
0 1 1
1 1
x
6
2 tan
2 1
2 0
lim xSinx x Cos x
x
7
x Sin
Cosx Cosx
3 0
8
1 1
1 2
2 0
lim
x Cos
12 6 2
10 2
3 2
lim
x x
x Sinx
x 1
0 1
tan 1
11
2 1 2
2
1 7
1 4
lim
x
x x x
x x
Bài 1:
)
1 (
1
) tan
1 tan
.(
1
) tan
1 tan
(
tan
1 tan
) tan
1 tan
(
) tan
1 tan
).(
tan
1 tan
( tan
1 tan
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2
lim lim lim
lim lim
Cosx
Sinx Cosx
x Cos
x Sin Cosx
x Cosx
x Cosx
x Cosx
x
x Cosx
x
x Cosx
x
x Cosx
x x
Cosx
x x
Cosx x
x x x
x x
2
1 1 0 1 1
) (
1
) (
1 )
1 (
1
2 2
2
2 2
2
2 2
lim
lim lim
Sinx Cosx
x Sin
Cosx
Sinx x
Cos
Cosx x
Sin Cosx Cosx
Sinx Cosx
x Cos
x Sin Cosx
x
x x
Trang 12Vậy tan2 1 tan 21
2
x Cosx
x
x
Bài 2:
tgx
Cosx
Sinx Cosx
Sinx
x Sin
Cosx Sinx
x Cos
Sinx
Cosx Cosx
Sinx
Sinx
Cosx Cosx
Sinx
Cotx x
Sin
x
x x
x x
x x
lim
lim lim
lim lim
lim lim
2
2
2
2
2
2 2
2 2
1 1
2
2 2
2
Bài 3:
2
1
2 1
2
) 1
(
tan
lim
lim lim
lim lim
lim
0
3 2
0
3 0
3 0
3 0
3 0
Cosx
Cosx x
x x Cosx
x
Cosx Sinx
Cosx x
Cosx Sinx Sinx
x
Sinx Cosx
Sinx x
Sinx x
x
x x
x x
x
Bài 4:
2 1
2 2 1
lim
1 1
x Sin x
x Cos
x x
Trang 13Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ
Bài 5:
2 3
) 1 1
(
) ) 1 ( 1
1 (
) 1 1
.(
) ) 1 ( 1
1 (
) 1 1
).(
1 1 (
) ) 1 ( 1
1 ).(
1 1
(
) ) 1 ( 1
1 ).(
1 1 ).(
1 1
.(
) ) 1 ( 1
1 ).(
1 1
).(
1 1
( 1
1
1 1
3 2 3
0
3 2 3
0
3 2 3
0
3 2 3
3
3 2 3
0 3
0
lim lim lim
lim lim
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
X X X
X X
Bài 6:
8
1 ) 2
1 4
1 (
2 1
) 2 (
2 ) 2 (
1 2 1
2
2 2
2 2
1
2
2 ).
2 (
2 1
1
2 tan
) 2 (
2 1
1
2 1
2 tan
2
2 1
2 tan
2 1
2 1
2 tan
) 2 1
).(
2 1
( 2
tan
2 1
2 2 0 2
2 0
2 2 0 2
0
2 0
2
2 2
0 0
2 2 0
0
2
2 0
2 0
2 0
2 0
lim lim
lim lim
lim
lim lim
lim lim
lim lim
lim lim
x
x x
x
x Sin
x Sin x
Sin
xSinx x
Cos
x Sin
x Cos x Sin xSinx x
Cos xSinx
x
x Sin xSinx x
Cos xSinx
x Cos xSinx
x
x Sin xSinx
x Cos xSinx
x
x Cos xSinx
x Cos xSinx
x
x Cos xSinx
x Cos xSinx
x
x Cos xSinx
X X
X X
X
X X
X X
X X X X