Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 4: Ánh xạ tuyến tính trình bày khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát; ma trận của ánh xạ tuyến tính; thuật toán tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng để nắm chi tiết hơn nội dung kiến thức.

Trang 1

➢ Chương 4 Ánh xạ tuyến tính

§1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát

a) Định nghĩa

Cho X , Y là 2 kgvt trên Ánh xạ T X: Y được

gọi là ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu

thỏa mãn 2 điều kiện sau:

2) (T x y) T x( ) T y( ), x y, X

Trang 2

▪ Chú ý

• Đối với ánh xạ tuyến tính (viết tắt là AXTT),

ký hiệu ( )T x còn được viết là Tx

• Hai điều kiện của định nghĩa tương đương với:

Trang 4

VD 2 Cho ánh xạ f : 2 2 xác định như sau:

Trang 5

VD 3 Các AXTT thường gặp trong mặt phẳng:

• Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox , Oy :

• Phép quay 1 góc quanh gốc tọa độ O :

Trang 6

b) Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

• Tập ( )T X {Tx x: X được gọi là ảnh của T }

Ký hiệu là RangeT hoặc ImT

Vậy ImT {Tx x: X}

Trang 7

▪ Tính chất

Cho ánh xạ tuyến tính T X: Y , khi đó:

• KerT là không gian con của X ;

• ImT là không gian con của Y ;

• Nếu S là tập sinh của X thì ( ) T S là tập sinh của ImT ;

• T là đơn ánh khi và chỉ khi KerT { }X

▪ Định lý

Cho ánh xạ tuyến tính :T X Y , khi đó:

dim(KerT) dim(Im )T dim X

Trang 8

➢ Chú ý

• Khi n m, ta gọi :f n n là phép biến đổi tuyến tính (viết tắt là PBĐTT)

Trang 9

Trang 10

B B

a a a

Trang 11

được gọi là ma trận của PBĐTT f trong cơ sở B

Ký hiệu là: [ ]f hoặc [ ] B f hoặc viết đơn giản là A

Chú ý

cơ sở chính tắc E E thì ( ) n, m f x Ax x, n

Trang 12

VD 6 Cho AXTT f : 4 3 xác định như sau:

f x y z t x y z x y t y z t

4[ ]E E

Trang 13

• Sinh viên tự kiểm tra f v( ) Av v, 4

Trang 14

VD 7 Cho AXTT f : 2 3 xác định như sau:

f x y x x y y

2[ ]f E E ?

Trang 15

VD 8 Cho PBĐTT f : 3 3 xác định như sau:

f x y z x y z x y y z

Tìm ma trận

3[ ]f E ?

Trang 17

15

B E

Trang 18

Giải Gọi biểu thức của f là:

Trang 22

Tìm ma trận 2

1

B B

f , biết hai cơ sở:

2

E E

Trang 23

2

51

= 42

Trang 24

B B

Trang 27

Trang 32

c) Thuật toán tìm ma trận của AXTT

Cho AXTT :f n m và hai cơ sở lần lượt là:

I f

Trang 37

VD 18 Cho AXTT ( ; )f x y (x y y; x x và ; ) cặp cơ sở: A {(1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 1; 1)},

f

Q

Trang 39

d) Hạng của ánh xạ tuyến tính

▪ Định nghĩa

Hạng của AXTT f : n m là số chiều của

không gian ảnh của nó

Trang 40

Vậy ( )r f r f[ ]B B 2

………

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	1,65 MB