GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP C1 - CHƯƠNG III. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ pps

Định nghĩa hàm số nhiều biến số gọi là miền giá trị của hàm số f... Tính liên tục của hàm số hai biến sốCho hàm số f x y , xác định trong miền D... Hàm số f x y , được gọi là liên tụ

CHƯƠNG III HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

§1 KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số

gọi là miền giá trị của hàm số f

Chú ý: Theo định nghĩa trên thì miền xác định của f thuộc 2

 , còn miền giá trị của nóthuộc 

Hàm số n biến số f x 1, , ,x2 x n được định nghĩa tương tự

Ví dụ 3: Hàm số zlnx y 1 được xác định khi x  y 1 0 hay x y 1, miền xácđịnh của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng x y 1 (hình 2)

1 O

y

x

1

1 O

y

x

1.3. Giới hạn của hàm số hai biến số

Ta nói rằng điểm M nx y n, n dần tới diểm M0x y o, 0 trong 2 và viết M n M0

(hay x y n, n  x y0, 0)khi n  nếu

1.4. Tính liên tục của hàm số hai biến số

Cho hàm số f x y , xác định trong miền D M0x y0, 0 là điểm thuộc D Ta nói rằnghàm số f x y , liên tục tại M0 nếu:

Hàm số f x y , được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền

D

Ví dụ 6: Xét tính liên tục của hàm số      

   

2 2, , 0, 0,

  (xem ví dụ 5) nên G x y , không liên tục tại

 0, 0 Tóm lại G x y , liên tục tại mọi điểm    x y,  0, 0

Nói cách khác, hàm số f x y , liên tục tại M0x y0, 0 nếu hệ thức (2) được thỏa mãn

§2 ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN TOÀN PHẦN

Ví dụ 1: Tính các đạo hàm riêng của 4 3 2 4

Ví dụ 4: Tính các đạo hàm riêng của hàm số ue x ycosz

2.1.2 Đạo hàm riêng cấp cao

Các đạo hàm riêng f x, f y gọi là đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số z f x y , Chúng lànhững hàm số của  x y, Vì vậy có thể xét các đạo hàm riêng của chúng:  f x x,  f x y,

 f y x,  f y y gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f x y , Ta dùng các ký hiệu sau:

Ta thừa nhận mà không chứng minh định lý quan trọng sau

Định lý 1(Schwarz): Nếu hàm số f x y , có các đạo hàm riêng f xy và f yx trong một miền D và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tịa điểm x y0, 0D thì

2.2.1 Định nghĩa: Biết rằng nếu hàm số của một biến số f x  xác định trong khoảng

I   và nếu tồn tại đạo hàm f ' x0 , x0I thì số gia f x 0  f x 0  x f x 0 , trong

đó x0  x I, có thể được biểu diễn dưới dạng:

 0 ' 0

f x f x x  x

     , trong đó   0 khi  x 0 Biểu thức f ' x0 x ( phần chínhcủa f x 0 khi  x 0) gọi là vi phân của f x  tại x0 Vậy nếu đạo hàm f ' x0 tồn tịa thì f x  khả vi tại x0

Bây giờ, xét hàm số hai biến số f x y , xác định trong miền 2

trong đó A B, là những số không phụ thuộc  x, y, còn   0 và   0 khi

  x, y  0, 0 (tức là M M ) thì ta nói rằng hà số f x y , khả vi tại M , biểu thức

A x  B y gọi là vi phân toàn phần của hàm số f x y , tại x y0, 0 ứng với các số gia

Hàm số f x y , gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D

Chú ý 2: Nếu f x y , khả vi tại x y0, 0 thì nó tồn tại các đạo hàm riêng

   

2 2, , 0, 0,

2.2.2 Điều kiện khả vi của hàm số nhiều biến số

Định lý 2: Nếu hàm số f x y , có đạo hàm riêng trên một miền D chứa điểm M0x y0, 0

và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M0 thì hàm số f x y , khả vi tại M0, vi phân toàn phần của f x y , tại M0 được tính bằng công thức:

 0, 0 x 0, 0 y 0, 0

df x y  f x y  x f x y y (2.2)

Chú ý 4: Cũng như đối với hàm số một biến số, vì x y, là biến số độc lập nên ta có

liên tục trên toàn 3

 nên hàm số u khả vi trên toàn 3

 và

xz yz xz yz

due dxxze dyxye dze dxxzdyxydz

2.2.3 Ứng dụng vi phân toàn phần vào tính gần đúng

Từ định lý 2 ta có công thức:

 0, 0 x 0, 0 y 0, 0

f x y f x y x f x y y  x  y

Ta thấy rằng f xx y0, 0 x f yx y0, 0y là vô cùng bé bậc nhất đối với 2 2

x y

   khi   0, còn   x  y là vô cùng bé cấp cao đối với  Vì vậy, khi  x, y khá nhỏ,

Ta biết rằng vi phân toàn phần của hàm số khả vi f x y , là

P x y dx Q x y dy là một vi phần toàn phần của một hàm số f x y , nào đó

Định lý 3: Giả sử các hàm số P x y , , Q x y , có các đạo hàm riêng liên tục trong một miền D nào đó Biểu thức P x y dx Q x y dy ,   , là một vi phân toàn phần khi và chỉ khi:

df P x y dx Q x y dy Việc tìm hàm số f x y , được trình bày trong ví dụ sau

Ví dụ 12: Chứng minh rằng biểu thức sau đây là vi phân toàn phần

Lấy nguyên hàm theo x hai vế của (*) ta được

f x y x  y x y (***)

Trong đó  y là một hàm số khả vi bất kì của biến số y,  y được xem là hằng số tùy

ý đối với x, vì x và y là hai biến số độc lập Lấy đạo hàm đối với y của hai vế của(***) ta được:

Định lý 1: Nếu z f u v , là hàm số khả vi của u v, và nếu uu x , vv x  là nhữnghàm số khả vi của x thì z là hàm số khả vi của x và ta có

Theo công thức trên ta có:

Chú ý 1: Nếu z f x y , là hàm số khả vi của x y, và nếu yy x  là hàm số khả vi của

x thì z f x y x ,    là hàm số hợp của x, khả vi dối với x và ta có:

Để tính đạo hàm riêng của x đối với hàm số z ta xem y không đổi, khi đó

Chú ý 2: Quy tắc tính đạo hàm của ham số hợp cũng được mở rộng cho trường hợp hàm

số f phụ thuộc vào nhiều biến số trung gian hơn và các biến số trung gian phụ thuộcnhiều biến số độc lập hơn

Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số F x y , khả vi trừ một số điểm, hàm số

F x y y

F x y x y  axy khả vi trên toàn 2

 nên theo công thức (3.3) ta có

F x y x ay x ay y

,

x x

y y

F x y y e y

F x y z khả vi thì trừ tại một số điểm đặc biệt hàm số f x y , khả vi Lấy đạo hàm hai

vế phương trình (3.4) đối với x và đối với y ta được lần lượt

x z

F x y z z

y z

F x y z z

Vì F x y z , , xyzcosx y z khả vi trên 3

 nên công thức trên cho ta

F x y z yz x y z z

F x y z xz x y z z

4.1 Cực trị của hàm số hai biến số

4.1.1 Định nghĩa: Ta nói rằng hàm số z f x y , đạt cực trị tại điểm M0x y0, 0 nếu vớimọi điểm M x y , khá gần với M0 nhưng khác M0 một hiệu f M  f M 0 có dấukhông đổi, nếu f M  f M 0 0 thì f M 0 là cực tiểu, nếu f M  f M 0 0 thì

 0

f M là cực đại Cực đại và cực tiểu được gọi chung là cực trị và điểm M0 được gọi là

điểm cực trị.

Ví dụ 1: Hàm số 2 2

zx y đạt cực tiểu tại  0, 0 vì 2 2

0

x y  ,    x y,  0, 0

4.1.2 Điều kiện cần của cực trị

Định lý 1: Nếu hàm số f x y , đạt cực trị tại điểm M0x y0, 0 và tại đó các đạo hàm riêng tồn tại thì:

 0, 0 0;  0, 0 0

f x y  f x y  (4.1)

Điều kiện (4.1) là điều kiện cần của cực trị, nó không là điều kiện đủ vì tại những điểm

mà các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 chưa chắc hàm số đạt cực trị Tuy nhiên định lý 2 sauđây cho phép ta chỉ tìm cực trị tại những điểm mà ở đó các đạo hàm riêng cấp 1 đều bằng

0, gọi là điểm dừng.

4.1.3 Điều kiện đủ của cực trị

Định lý 2: Giả sử rằng M0x y0, 0 là một điểm dừng của hàm số f x y , và hàm số

2 4 0

x y

 



Vậy điểm dừng duy nhất là điểm 2, 1

0 0

Phương trình này có hai nghiệm x 0; x 1

Vậy ta có hai điểm dừng M0 0, 0 và M1 1, 1

Chú ý: Cực trị của hàm số 3 biến số (*) trong đó các biến số x y z, , thỏa mãn điều kiện

(**) gọi là cực trị có điều kiện (hay cực trị tương đối) Trong ví dụ 5, ta đã thấy bài toán

tìm cực trị có điều kiện của hàm số 3 biến số f x y z , ,  vào điều kiện z x y, đượcđưa về bài toán tìm cực trị của hàm số hai biến số f x y , , x y, :F x y ,

Cũng vậy, bài toán tìm cực trị tương đối của hàm số hai biến số f x y , với điều kiện

 

y x được đưa về bài toán tìm cực trị của hàm số một biến số f x , x :F x 

Ví dụ 6: Trong các hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính R, hình nào có diệntích lớn nhất

Giải:

Gọi x y, là chiều dài hai cạnh của hình chữ nhật Diện tích của hình chữ nhật là S xy

Vì hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính R nên theo định lý Pytago, ta có

4

x y  R Vậy ta cần tìm cực đại của hàm số Sxy (i)

Với điều kiện: 2 2 2

4

x y  R (ii)

dS dx x

Ta thấy S đạt cực đại khi xR 2 Vậy hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn có diệntích lớn nhất khi nó là hình vuông

Cực trị mà chúng ta định nghĩa ở mục trước chỉ có tính chất địa phương Chúnglớn hơn hay bé hơn những giá trị khác của hàm số ở lân cận điểm cực trị Người ta

thường gọi đó là những cực trị địa phương Bây giờ người ta muốn tìm giá trị lớn nhất và

bé nhất của hàm số trong toàn bộ một miền nào đó Ta biết rằng nếu hàm số f x y , liêntục trong một miền đóng giới nội D thì nó đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trong miền ấy.Nếu các giá trị ấy đạt được tại những điểm bên trong miền D thì những điểm ấy phải làđiểm cực trị, do đó là điểm dừng của hàm số Nhưng các giá trị ấy cũng có thể đạt đượctrên biên của miền D Do đó muốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của hàm số

 ,

f x y trong miền đóng giới nội D ta thực hiện các bước:

1) Tính giá trị của f tại các điểm dừng của f nằm trong miền D

2) Tính giá trị lớn nhất và bé nhất của f trên biên của miền D

3) Số lớn (bé) nhất trong các giá trị được tính ở 1) và 2) là giá trị lớn (bé) nhất phảitìm