Rút gọn biểu thức P... Học sinh có thể rút gọn từng phần hoặc cả bài cùng lúc.
Trang 1Đề kiểm tra chơng I
A
= + ữ ữ − ữữ
a Rút gọn A b Tính A biết x= +4 2 3 c Tìm x để A > 1.
P
a Rút gọn P b Tìm m để P =2 c Tìm m ∈ N để P ∈ N.
Bài 3 Cho biểu thức: P = 1 3 2
x −x x +x x
a Rút gọn P b Chứng minh 0≤P≤1.
Bài 4 Cho biểu thức: M = ( )( ) ( ) ( )2
2
2 1
x x
a Tìm điều kiện của x để M có nghĩa b Rút gọn M c Chứng minh M≤ 1
4
Bài 5 Cho biểu thức: D =(2 42 2 2 )
2
2 3
3 2
x x
−
−
a) Rút gọn biểu thức D b) Tính giá trị của D khi x−5 = 2.
a Rút gọn A b Tính A với: a= (4+ 15)( 10− 6) ( 4− 15)
a Rút gọn A b Tìm a để A < 1 c Tìm a để A ∈ Z.
a Rút gọn A b So sánh: A với 1
A.
−
−
− + − − − Tính A biết: 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0
Bài 10 Cho: A=
x y
Bài 11 Cho biểu thức A= (x x 1
−
-1
x x
+ + ):
2 2
x x
+
−
a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn A b, Tìm x để A có giá trị nguyên.
Bài 12 Cho biểu thức A = (x x 1
−
-1
x x
+ + ):
2 2
x x
+
−
a, Nêu đ/kiện XĐ của x và rút gọn A b, Tìm x ∈ Z để A ∈ Z.
Bài 13: Cho biểu thức: A = + − 4 +
4
2 2
x
x
4 4
2 2
−
− x x
a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa b) Tìm giá trị bé nhất của A.
+
− +
−
+
ab
b a ab
b a
1
+ + +
ab
ab b a
1 2 1
Trang 2a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D b) Tính D với a = 2−2 3 c) Tìm Max của D
Bài 15 Cho biểu thức A = ( 2 3)22 12 2
x
x
x − + + (x+ 2 ) 2 − 8x2
a Rút gọn biểu thức A b, Tìm x ∈ Z để A ∈ Z
Bài 16: a Xác định x ∈ R để biểu thức: A =
x x
x x
− +
−
− +
1
1 1
2 2
là một số tự nhiên
b Cho biểu thức: P = 2 1+ +22 +2
+ +
+ +
z y
yz
y x
xy
x
Biết x.y.z = 4, tính P.
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
−
−
−
+
−
−
+
x x
x x
x x
x
a Rút gọn P b Tìm x để P < 1/2 c.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
−
+
−
+
+
−
−
−
1
1 2 2 : 1 1
x
x x x
x
x x x x
x x
a, Rút gọn P b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.
Bài 20 : Cho biểu thức: P = ( )
( 4) 1 4 3
4 1 4
3
2 2
2 3
2 2
2 3
+
−
− +
−
−
−
− + +
x x
x x
x x
x x
Với x / 1, x ≠ 2.
xy x
y x
y y
y x
x P
− +
− + +
−
− +
=
1 1 1
) )
1 )(
(
a) Tìm đ.kiện của x và y để P x.định Rút gọn P b) Tìm x, y ∈ Z để P = 2.
Bài 22: Cho P = 2
1
x
x x
+
− +
1 1
x
+ + + -
1 1
x x
+
−
a/ Rút gọn P b/ Chứng minh: P < 1
3 với x ≥ 0 và x ≠1.
Bài 23 a Rút gọn biểu thức 2 ( )2
1
1 1 1
+ + +
=
a a
100
1 99
1 1
3
1 2
1 1 2
1 1
1
=
B
1
1 1
1
2
2 2 3
3
−
−
+
+
−
−
x
x x x x
x x x
x
Với x≠ 2;±1
a, Rút gọn A b, Tính giá trị BT khi cho x= 6 + 2 2 c Tìm giá trị của x để A=3
−
−
− +
−
2
1 1 ) 1
( 4
1 2 : 1 ) 1
( 4
a a
a a
a a
1 Tìm a để P có nghĩa 2 Rút gọn biểu thức P.
Bài 26: a) Hãy so sánh: 6 2 5 13 + − + 48 và 3 1 + .
1.2006 + 2.2005 + + k.(2006 k + 1) >
−
Bài 27 : Tính giá trị của biểu thức: A = 3+1 5+ 5+1 7 + 71+ 9+ + 97+1 99
B = 35 + 335 + 3335 + +
3 99
35
3333
số
2
Trang 3a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng: 0 < A < 38 với mọi x≥0, x ≠1.
Bài 29 : Cho biểu thức: P = 1 1 3 1+ − 2 +1
+
−
x
a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh rằng: 0≤ P ≤ 1
c) Giải phơng trình: 2 + 2x− 1 = x
Bài 30: Cho biểu thức: A = − + −
−
−
−
+
1
: 1
1 1
1
x
x x x
x x
x x
với x > 0 và x ≠ 1 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị của x để A = 3
Bài 31 : Cho biểu thức A =
2
1
1 4( 1)
x
−
a) Tìm điều kiện của x để A xác định b) Rút gọn A
Bài 32 = − − .1− 1−1
) 1 ( 4
2
x
x A
a/ rút gọn biểu thức b/ Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 33 Cho biểu thức: A =x x x x x − −x+x
−
+
− +
−
−
3
1 2 2
3 6
5
9 2
a Tìm TXĐ của A b Rút gọn A c Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Hớng dẫn
*****@*****
Bài 1.a - Cần chỉ rõ ĐKXĐ của A là: x≥0;x≠ ±1
- Rút gọn A từng phần ta đợc kết quả: 1
1
A
x
+ +
=
−
- Thay vào và rút gọn A ta có: A=2 3 3.+
c Xét hiệu: 1 2
1
x A
x
+
− =
−
Để A > 1 tức: A - 1 > 0 mà: x≥0 buộc: x− > ⇔ >1 0 x 1
Bài 2 a ĐK: m≥0;m≠1
- Biến đổi rút gọn: 1
1
m P m
+
=
−
b P =2.Ta có:
9
9
m
m
=
=
c Viết P dới dạng : 1 2
1
P
m
= +
−
Suy ra: m−1 là ớc của 2 Từ đó tìm ra m = 4 hoặc 9.
Bài 3 Điều kiện x ≥ 0.
Rút gọn P =
1
x
x− x+
b Chứng tỏ: P≥0 và 1-P ≥0
Bài 4
a Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi:
x ≥ 0 và x≠1
Trang 4c Ta có: M = x x− =
2
− − ữ ≤
Bài 5.
a Học sinh có thể rút gọn từng phần hoặc cả bài cùng lúc.
- Điều kiện: x≠ ±2;x≠0;x≠3
- Rút gọn biểu thức bị chia ta có: ( 2 2 )
+ − − −
2
Vậy: D = 4 : 22 3 3 4 (22 ) 4 2
b) x−5 = 2 5 2 7
• Với x = 7 tính đợc D = 49.
• Với x = 3 thì D không xác định.
Bài 6.
a Rút gọn ta dợc kết quả: A = 4a.
Vậy: A = 8.
Bài 7 a Rút gọn: A = a 1
a 3
+
−
b Xét hiệu: A - 1 = 4
a 3−
Để A < 1 buộc A - 1 < 0 ⇒ a 3 0− < ⇒ ≤ <0 a 9,a≠2
c Ta có: A = 1 + 4
a 3⇒
− a 3− là ớc của 4.
Các ớc của 4 là: ± ± ±1; 2; 4
Xét các trờng hợp ta có các giá trị sau của a thoã mãn: 16; 4; 25; 1; 49.
Bài 8 a Rút gọn A ta có: A = 9
6
a a
+
.
b Xét hiệu: ( )
( )
2
9
9
a
−
+
Bài 9 - Trớc tiên cần rút gọn A trớc.
-Ta có: 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = (x - y)2 + (x - 2)2 = 0 0 2 2 1
x y
x
− =
⇒ − = ⇔ = = ⇒ = =
Bài 10 a Rút gọn A = x y
xy
+
4
x
+
4
t
t At t
+ ⇔ − + = (1)
Khi đó t = 2 tức là x = 4; y = 4.
Chuyên đề rút gon biểu thức
Trang 5Bài tập 1: Rút gọn biểu thức:
+
−
a
a
a
1
1
−
−
a
a
1
1
+
+ +
1
1
a
a a
+
−
−
1
1
a
a a
KQ: 1- a
A3=
−
+ +
− +
+
y x
y x xy
y x
y y
x
x
b a
b b
a ab b
a
b b a a
− +
−
− +
KQ: 1
+
−
+
ab
b a a ab
b ab
a b a
ab b
KQ: b − a
+
+
−
− + +
− +
ab a
b ab
a
b ab
b a ab
a
b a
2 1
KQ:
a
1
A7=
y y x x
y x y
x
y y x x y x
y
x
+
−
−
−
−
−
.
KQ:
y xy
x
xy
+
−
1 2 1
2
1 2 1
2
−
−
− +
− +
−
− +
− +
x x
x x
x
x x x
x
KQ: x>2, A= 2x− 2 1<x<2, A= 2 Bài tập 2 Cho biểu thức:
B1=
−
−
+ +
+
− +
xy
y x x xy
y y xy
x y
x
xy y
a)Rút gọn biểu thức B1
b)Tính giá trị của biểu thức B1 biết x=3,
y= 4 + 2 3
KQ:
a) y − x; b) 1
Bài tập 3 Cho biểu thức:
B2=
x
x x
x x
x
x
−
+
−
−
+
− +
−
−
3
1 2 2
3 6
5
9 2
a)Rút gọn B2
b)Tìm x để B2<1
KQ:
a)
3
1
−
+
x
x
; b) 0 < x < 9
Bài tập 4 Cho biểu thức:
+
− +
−
+
− + +
+
−
−
−
1
1 1
1 1
1 1 1
a
a a
a a a
a
a a a
a
a
a
a)Rút gọn B3
b)Tìm a để B2=7
KQ:
a)
a
a
b) GPTBH ta đợc a=4;
4
1
Bài tập 5 Cho biểu thức:
−
+
−
+ +
− +
b a b
a a b a
1 1
a)Rút gọn B4
b)Tính giá trị của B4 khi a= 5 + 4 2,
b = 2 + 6 2
Bài tập 6 Cho biểu thức:
B5=
x
x x
x x
x
x
+
+
−
−
− +
− +
−
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
a)Rút gọn B5
b)Tìm giá trị của x khi B5 =
2
1
KQ:
a)
3
5 2
+
−
x
x
; b) x =
121 1
Trang 6
Bài tập 7 Cho biểu thức:
+
−
+ +
−
+ +
−
+
+
−
6 5
2 3
2 2
3 :
1
1
x x
x x
x x
x x x
a)Rút gọn B6
b)Tìm x để B6 < 0
KQ:
a)
x
x
+
−
1
2
; b)
Bài tập 8 Cho biểu thức:
B7=
2
1 2 1 2
2 1
+
−
+
−
−
x x
x x
x
a)Rút gọn B7
b)Chứng minh với 0 < x < 1 thì B7 > 0
c)Tính số trị của B7 khi x= 0,16
KQ:
a) -3x - 3; b)
c)
Bài tập 9 Cho biểu thức:
B8=
y x
xy y
x x
y
y x y x
y
x
+
+
−
−
− + +
− 3 3 ( ) 2
: a)Xác định x,y để B8 tồn tại;
b)Rút gọn B8;
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của B8;
d)So sánh B8 và B8;
e)Tính số trị của B8 khi x = 1,8; y = 0,2
KQ:
b)
y xy x
xy
+
c) B8 = 0; d) B8 < B8; e)
Bài tập 10 Cho biểu thức:
B9= x+ 4 x− 4 + x− 4 x− 4
a)Rút gọn B9;
b)Tìm x để N=4
Bài tập 11 Cho biểu thức:
B10=
−
−
−
+
− + +
−
+
−
1 2
) 1 )(
( 1
2 1
1
2
x
x x
x x
x
x x x x x
x x
a)Tìm x để B10 có nghĩa;
b) Rút gọn B10
KQ:
a) ; b)
x
x +
−
1
1
Bài tập 12 Cho biểu thức:
−
+
− +
−
−
1 1
2
1
a a a
a a a a
a)Rút gọn B11;
b) Tìm giá trị của a để B10 = -4
KQ:
a) -2 a; b) a = 4
Bài tập 13 Cho biểu thức:
+ +
−
−
−
+
a a a a
a a
4 1
1 1
1 a)Rút gọn B12;
b) Tìm giá trị của B12 biết a =
6 2
9
c)Tìm giá trị của a để B12 >B12.
KQ:
a) 4a ; b)
6 2
12
c) 0 < a <
4 1
Trang 7
Bài tập 14 Cho biểu thức:
B13= + − − − + +
−
−
−
+
1
1 1 1
2 : 1
1 1
1
x x
x
x x
x
a)Rút gọn B13;
b) Tìm giá trị của B13 biết x = 3 + 8 ;
c)Tìm giá trị của x khi B13 = 5
KQ:
1
4
x
x
− ; b) -2;
c) GPTBH ta đợc x1=
5
1
, x2 = - 5
Bài tập 15 Cho biểu thức:
−
+
+
+
−
−
−
a
a a a
a a a a
a
a
a)Rút gọn B14;
b)Với giá trị nguyên nào của a thì B14 ∈Z
KQ:
a)
2
4 2
+
−
a
a
; b) ;
Bài tập 16 Cho biểu thức:
−
− +
−
−
+
+
1
2 1
1 : 1
1
x x x x
x x
x
x
a)Rút gọn B15;
b) Tìm giá trị của x sao cho B15 >3;
c)Tìm giá trị của x khi B15 = 7
KQ:
a)
1
1
−
+ +
x
x x
; b) ( x− 1 ) 2 + 3 > 0 ∀x; c) Không tồn tại x TMBT
Bài tập 17 Cho biểu thức:
B16=
1 1
1 1
−
− + +
−
+
−
x x x x
x x
a)Rút gọn B16;
b) Tìm giá trị của x sao cho B16 =4;
c)Tìm x∈Z+ để B16∈Z+
KQ:
a) -2 x− 1; b); Không tồn tại x TMBT;
c) …
Bài tập 18 Cho biểu thức:
−
+
−
+
− +
− +
−
2
2 2
4
4 2
2 2
2 3
2
a
a a
a a
a a
a
a
a)Rút gọn B17;
b) Tìm giá trị của a sao cho B17 =1;
c)Khi nào B17 có giá trị dơng, âm
KQ:
a)
3
4 2
+
a
a
; b)Giải PTBH đợc a=
4
3
, a=-1;
Bài tập 19 Cho biểu thức: B18=
+ +
− +
−
+
a a b
a
a a
b
a
b
a
a
2 :
a)Rút gọn B18;
b) Biết rằng khi
4
1
=
b
a
thì B18 =1, hãy tìm các giá trị a, b
KQ:
a)
)
a
b a
−
−
−
; b)a=4, b=36
Bài tập 20 Cho biểu thức:
B19 =
a
a a
a a a
a a
+
−
−
−
−
+ +
+
1
1 : 1 1
1 1 a)Rút gọn B19;
b) Tính giá trị của biểu thức B19
biết a = 27 + 10 2
KQ:
a) ( a + 1 ) 2; b) 38 + 12 2
Bài tập 21 Cho biểu thức:
B20 = 33 22 22 33
b ab b a
a
b ab b a
a
−
− +
+
−
−
a)Rút gọn B20;
b) Tìm tỉ số giữa a và b để sao cho B20 =
2
1
KQ:
a)
b a
b a
+
−
; b) = 3
b a
Trang 8
Bài tập 22 Cho biểu thức:
B21 =
x
x x
x x
1
1 1 : 1
1
−
−
−
− +
−
a)Rút gọn B21;
b)Tính giá trị của B21 khi x = 6 + 20;
c) Tìm x∈Z để B21∈Z
KQ:
a)
2
2
+
−
x
x
; b)
3 5
1 5
+
c)…
Bài tập 23 Cho biểu thức:
B22 =
x x
x x
x
−
+
− +
−
+
+
2
1 6
5 3
2
2
a)Rút gọn B22;
b)Tính giá trị của B22 khi x =
3 2
2
+
c) Tìm x∈Z để B22∈Z
KQ:
a)
2
4
−
−
x
x
; b)
3
1 3
c)…
Bài tập 24 Cho biểu thức:
+
+
−
− +
x
x x x
x x
x
x
1
1 1
1 : 1
) 1
2
2 2
a)Rút gọn B23;
b)Tính giá trị của B23 khi x = 3 + 2 2 ;
c) Tìm giá trị của x để 3.B23=1
KQ: a) 2
1 x
x
+ ; b)
2 2 4
1 2
+
c)GPTBH
2
5 3
; 2
5 3
2 1
−
= +
Bài tập 25 Cho biểu thức:
2 2
2
2
3 : 2
2 4
4 2
2
x x
x x x
x x
x x
x
−
−
+
−
−
−
−
−
+
a)Rút gọn B24;
b)Tính giá trị của B24 khi x = x− 5 = 2
KQ:
a)
3
−
x x
Bài tập 26 Cho biểu thức:
B25 = + + − − + −
−
−
−
+
1
2 1
1
1 : 1
1 1
1
2
x x
x x
x
x x
x
a)Rút gọn B25;
b)Tính giá trị của B25 khi x = 4 + 2 3;
c)Tìm x để B25 = -3
1
4
x
x
b)
3 2 3
) 1 3 ( 4
−
− +
c) GPTBH
3
13 2
; 3
13 2
2 1
−
= +
x
Bài tập 27 Cho biểu thức:
+
−
−
−
+ +
−
−
−
1 3
2 3 1 : 1 9
8 1 3
1 1 3
1
x
x x
x x
x
x
a)Rút gọn B26;
b)Tính giá trị của B26 khi x =6+2 5;
c)Tìm x để B25 =
5
6
a)
1
+
x
x x
;
b)
2 5 3
5 3 7
+ +
c) GPTBH
25
9
;
1 = x =
x
Bài tập 28 Cho biểu thức:
−
+
− + +
+ +
−
+
1
1 1
1 1
2
x
x x
x
x x
x
x
a)Rút gọn B27;
b)Chứng minh B27 >3 với mọi x>0; x khác 1
a)
x
x
x+ + 1; b) …
Trang 9Bài tập 29 Cho biểu thức:
B28 =
1
1 1
1 1
1 : 1
1 1
1
+ +
+
−
−
+
+
a)Rút gọn B28;
b)Tính giá trị của B28 khi x =1+ 2;
c)Tìm x để B28 =
2
3
KQ:
a)x2(x x++11); b)
) 2 2 )(
2 1 (
3 2 2
+ +
+
;
c)GPTBH ta đợc: x=1 và x=
3
2
−
Bài tập 30 Cho biểu thức:
B29 =
x
x x
x x x
x x
1
1 4 1
1 1
1
2
−
−
− + +
−
−
−
+
a)Rút gọn B29;
b) Tìm x∈Z để B29∈Z
KQ:
a)
x
x+ 2003
; b) x=2003 và x = -2003 Bài tập 31 Cho biểu thức:
2
2 : 1 2
2 1
2
a a
a
a a
a
A
−
+ +
+
−
−
−
=
a)Rút gọn ; b)Tìm Max A
a a A
KQ: 1 = −
Bài tập 32 Cho biểu thức:
−
− +
−
−
+
+
=
1
2 1
1 : 1
1
2
a a a a
a a
a
a
a) Rút gọn
b) Tìm a sao cho A2 > 1
c) Tính A2 với a= 19 − 8 3
1
1 : 2
−
+ +
=
a
a a A KQ
Bài tập 33 Cho biểu thức:
≠
>
>
+ +
+
−
−
−
−
−
=
y x
0 y
0
x Với
xy y x
y y x
x y x
y y x x y
x
y
x
A
2
:
gọn
b)Chứng minh: 0 <A3 < 1(hoặc so sánh A với3 A3 )
y xy x
xy A
KQ
+
−
=
3 :
Bài tập 34 Cho biểu thức:
x x
x x
x x
x x
x
A
−
−
−
− +
−
−
−
+
=
2
3 :
4
4 2
2 2
2
a) Rút gọn
b) Tìm x để A4 > 0
c) Tìm x để A4 = 1
3
4 : 4
−
=
x
x A
KQ
Bài tập 35 Cho biểu thức:
2 1
3
5
−
−
−
=
x
x
a) Rút gọn
b) Tìm Min A5
2 1 : A5 = x− +
KQ
Trang 10Bài tập 36 Cho biểu thức:
+
−
−
−
+ +
−
−
−
=
1 3
2 3 1 : 1 9
8 1 3
1 1
3
1
6
x
x x
x x
x
x
a) Rút gọn
b) Tìm x để
5
6
6 =
A
1 3
: 6
−
+
−
=
x
x x A KQ
Bài tập 37 Cho biểu thức:
+
+
−
−
− +
− +
−
−
−
−
=
3
2 2
3 6
9 : 1 9
3
7
x
x x
x x
x
x x
x x
A
a) Rút gọn
b) Tìm x để A7 <1
c) Tìm x∈ Z để A7 ∈ Z
2
3 : 7
−
=
x A KQ
Bài tập 38 Cho biểu thức:
−
− + +
+
−
− +
−
−
−
−
=
3
5 5
3 15
2
25 :
1 25
5
8
x
x x
x x
x
x x
x x
a) Rút gọn
b) Tìm x∈ Z để A8 ∈ Z
3
5 : 8
+
=
x A KQ
Bài tập 39 Cho biểu thức:
−
−
+ +
+
− +
=
xy
y x x xy
y y
xy
x y
x
xy y x
a) Rút gọn
b) Tính giá trị của A9 với x= 3 , y= 4 + 2 3
x y A
KQ: 9 = −
Bài tập 40 Cho biểu thức:
−
− +
−
−
−
+
−
+
−
+
−
=
4
2 2
2 2
2 :
2
1 4
7
10
a
a a
a a
a a
a
a
a
A
a) Rút gọn
b) So sánh
10 10
1
A
A Với
a
a A KQ
6
9
+
−
+
−
−
2
2 :
2
3 2
4
x
x x
x x
x
x
x
a> Rút gọn A11
b> Tính A11 với x=6 - 2 5
c> Tìm giá tri của n để ( x+ 1)P< x +n đúng với mọi x để A11có nghĩa