Về lí thuyết hàm phức và nghiệm của đa thức

12 2 Áp dụng lí thuyết hàm phức và nghiệm đa thức để giải quyết một số bài toán sơ cấp 16 2.1 Bài toán tính tích phân xác định... Lời nói đầuGiải tích phức cổ điển là lý thuyết về các hà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHẠM THỊ UYÊN

VỀ LÍ THUYẾT HÀM PHỨC

VÀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Trần Việt Cường

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục

Một số ký hiệu và chữ viết tắt ii

1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Số phức 3

1.2 Hàm phức 6

1.3 Giới hạn và liên tục 6

1.4 Đạo hàm và hàm giải tích 7

1.5 Thặng dư 11

1.6 Đa thức hệ số phức 12

2 Áp dụng lí thuyết hàm phức và nghiệm đa thức để giải quyết một số bài toán sơ cấp 16 2.1 Bài toán tính tích phân xác định 16

2.2 Bài toán rút gọn biểu thức 19

2.3 Bài toán phủ 23

2.4 Bài toán đếm số 27

Rez, Imz phần thực và phần ảo tương ứng của số phức z

kết thúc chứng minh của định lí, hệ quả, và lời giải

Lời nói đầu

Giải tích phức cổ điển là lý thuyết về các hàm của một biến phức, làmột trong những nhánh trong toán học, có nguồn gốc từ thế kỷ 18 và chỉtrước đó Nó rất hữu ích trong nhiều ngành toán học, bao gồm hình họcđại số, lý thuyết số, tổ hợp phân tích, toán học ứng dụng; cũng như trongvật lý, bao gồm các nhánh của thủy động lực học, nhiệt động lực học vàđặc biệt là cơ học lượng tử Bằng cách mở rộng, giải tích phức cũng có ứngdụng trong các lĩnh vực kỹ thuật như hạt nhân, hàng không vũ trụ, cơ khí

và kỹ thuật điện Trong thời hiện đại, nó đã trở nên rất phổ biến với sự rađời của hệ động lực phức và hình ảnh của các fractals được tạo ra bởi cáchàm chỉnh hình Một ứng dụng quan trọng khác của giải tích phức trong

lý thuyết dây là nghiên cứu các bất biến tuân thủ trong lý thuyết trườnglượng tử Các nhà toán học đã có những đóng góp quan trọng liên quanđến các số phức bao gồm Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass, vànhiều hơn nữa trong thế kỷ 20

Trong toán học, đa thức là một biểu thức bao gồm các biến và các hệ

số, chỉ liên quan đến các phép toán cộng, trừ, nhân và lũy thừa số nguyênkhông âm của các biến Đa thức xuất hiện trong nhiều lĩnh vực toán học

và khoa học Ví dụ, chúng được sử dụng để hình thành các phương trình

đa thức, mã hóa một loạt các bài toán từ cơ bản đến phức tạp trong khoahọc; chúng được sử dụng để xác định các hàm đa thức, xuất hiện tronghóa học, vật lý đến kinh tế và khoa học xã hội; chúng được sử dụng trongtính toán và phân tích số để tính gần đúng các hàm khác Trong toán họcnâng cao, đa thức được sử dụng để xây dựng các vòng đa thức và các đại

số, các khái niệm trung tâm trong đại số và hình học đại số Một số đathức, chẳng hạn như x2+ 1, không có nghiệm trong tập số thực Tuy nhiên,nếu tập hợp các nghiệm được mở rộng thành các số phức, thì mọi đa thứckhác hằng số có ít nhất một nghiệm phức; đây là định lí có bản của đại số.Như một hệ quả, bất kỳ đa thức nào có hệ số phức đều có thể được viếtdưới dạng tích của các đa thức hệ số phức bậc 1 và số nghiệm phức đượctính với bội số của chúng bằng bậc của đa thức

Luận văn được chia làm hai chương với những nội dung chính như sau:Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về líthuyết hàm phức.

Chương 2, chúng tôi áp dụng lí thuyết hàm phức và nghiệm của đa thứcgiải quyết một số bài toán sơ cấp

Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực học hỏi của bản thân, em

đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ Với tình cảm chân thành

em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới TS Nguyễn Trường Thanh - ngườiThầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt những kiến thức và kinhnghiệm quý báu cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luậnvăn

Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo của trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên, những người đã trực tiếp tham gia giảng dạylớp Cao học Toán K12 khóa 2018 - 2020, các phòng ban chức năng, KhoaToán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ

và tạo điều kiện cho em trong thời gian học tập vừa qua

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể lớp K12, gia đình, bạn

bè và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họctập và hoàn thành khóa luận này

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 12 năm 2019

Tác giả luận văn

PHẠM THỊ UYÊN

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về số phức vàhàm phức Các khái niệm và kết quả trong Chương 1 được tham khảotrong các tài liệu [1, 2, 3, 6]

1.1 Số phức

Định nghĩa 1.1.1 Số phức là biểu thức dạng a + bi trong đó a, b là sốthực và i2 = −1 Đối với số phức z = a + bi thì ta nói a là phần thực, b làphần ảo của z, i là đơn vị ảo Kí hiệu: a = Rez, b = Imz

Tập hợp các số phức kí hiệu là C

C = {z = a + bi|a, b ∈ R} Nhận xét 1.1.2 Mỗi số thực a đều được xem như là số phức với phần ảo

b = 0

Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

Hai số phức bằng nhau:

Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tươngứng của chúng bằng nhau

Mô đun của số phức:

Giả sử M (a; b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi trên mặt phẳng tọađộ

Độ dài của −−−→

|OM | chính là mô đun của số phức z Kí hiệu là |z|

Ta có: |z| =−−−→

|OM | = |a + bi| = √a2 + b2

Dạng lượng giác của số phức:

Trong mặt phẳng phức cho số phức z với z 6= 0 được biểu diễn bởivector −−→

OM với M (a; b)

Góc lượng giác (−→

Ox,−−→

OM ) = ϕ + 2kπ, k ∈ Z

Số đo của mỗi góc lượng giác trên được gọi là một acgumen của z

Gọi ϕ là một acgumen và r > 0 là mô đun của số phức z = a + bi khác 0dạng lượng giác của z là:

z = r(a cos ϕ + i sin ϕ)Với r =√

a2 + b2 và ϕ định bởi cos ϕ = ar và sin ϕ = br

1.2 Hàm phức

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử S là một tập con của C Hàm f : S → C làquy tắc gán với mỗi z trong S một số phức w Số w được gọi là giá trị của

f tại z và được ký hiệu là f (z)

Tập S được gọi là miền xác định của hàm phức f (z) Khi miền xác địnhkhông được đề cập, chúng ta quy ước đó là tập lớn nhất có thể để hàm xácđịnh

ba điều kiện sau đây là thỏa mãn:

(i) f (z0) xác định,

(ii) lim

z→z f (z) tồn tại,

z→z 0

f (z) − f (z0)

z − z0 .Trong trường hợp này, chúng ta kí hiệu đạo hàm này bởi f0(z0) và

f0(z0) = lim

z→z 0

f (z) − f (z0)

z − z0 .Định nghĩa 1.4.2 Hàm f của biến phức z là giải tích tại điểm z0 nếu nó

có đạo hàm tại mỗi điểm trong của một số lân cận nào đó của z0

Tiếp theo, chúng ta giới thiệu điều kiện cần và đủ để tồn tại đạo hàmcủa hàm phức tại một điểm

Định lý 1.4.3 (Điều kiện cần để tồn tại đạo hàm) Giả sử f (z) = u(x, y)+iv(x, y) và f0(z) tồn tại ở điểm z0 = x0 + iy0 Khi đó, các đạo hàm riêngbậc nhất của u và v phải tồn tại ở (x0, y0) và chúng phải thỏa mãn cácphương trình Cauchy - Riemann tại (x0, y0),

u0x = vy0, u0y = −vx0.Hơn thế,

f0(z0) = (u0x + ivx0)

(x 0 ,y 0 )

Chứng minh Giả sử f0(z0) tồn tại Khi đó, các giới hạn sau tồn tại

Điều này dẫn tới điều kiện Cauchy-Riemann và giá trị của f0(z0)

Thoả mãn hệ phương trình Cauchy - Riemann tại một điểm z0 = (x0, y0)

là không đủ để đảm bảo sự tồn tại của đạo hàm của hàm f (z) tại điểm

đó Nhưng, với các điều kiện liên tục nhất định, chúng ta có những khẳngđịnh sau

Định lý 1.4.4 (Điều kiện đủ để tồn tại đạo hàm) Giả sử f (z) = u(x, y) +iv(x, y) xác định trên ε− lân cận của z0 và

(i) các đạo hàm riêng bậc nhất của các hàm u và v đối với x và y tồn tại

ở mọi nơi trong vùng lân cận;

(ii) các đạo hàm riêng đó liên tục tại (x0, y0) và thỏa mãn hệ phương trìnhCauchy - Riemann tại (x0, y0),

u0x = vy0, u0y = −v0x.Khi đó f0(z0) tồn tại và f0(z0) = (u0x+ ivx0)

(x0,y0).Chứng minh Từ công thức Taylor bậc một và điều kiện Cauchy-Riemann

∆x + i∆y

= ux(x0 + t1∆x, y0 + t1∆y)∆x + uy(x0 + t1∆x, y0 + t1∆y)∆y

∆x + i∆y+ ivx(x0 + t1∆x, y0 + t1∆y)∆x + vy(x0 + t1∆x, y0 + t1∆y)∆y

Điều này hoàn tất chứng minh định lí.

Định lý 1.4.5 (Định lí Liouville) Nếu hàm f là giải tích và bị chặn trên

C, thì f (z) là hàm hằng trên C

Ví dụ 1.4.6 Xét hàm f (z) = z2 và số phức z0 = 1 + i Chúng ta kiểm tra

sự tồn tại của đạo hàm hàm f (z) tại điểm z0

Lời giải Ta thấy, với z = x + iy,

f (z) = z2 = (x + iy)2 = x2 − y2 + i2xy = u + iv,trong đó u = x2 − y2, v = 2xy Dễ dàng thấy rằng, các đạo hàm riêng bậcnhất

u0x = 2x, u0y = −2y, v0x = 2y, vy0 = 2xliên tục tại lân cận điểm (1, 1) và điều kiện Cauchy - Riemann thỏa mãntại điểm z0,

u0x

z 0

= v0y

> |cn|

đó Nói cách khác, f (z) là bị chặn trong toàn bộ mặt phẳng phức Bây giờ

áp dụng Định lý Liouville, ta có f (z) là hằng số Nhưng P (z) không phải

là hằng số và mâu thuẫn chỉ ra điều phải chứng minh

Định lý 1.6.2 Đa thức khác hằng với hệ số phức

P (z) = c0 + c1z + · · · + cnzn, (cn 6= 0),luôn có đúng n nghiệm phức z1, z2, , zn, kể cả nghiệm bội Khi đó, chúng

ta biểu diễn được

chúng ta thu được

P (z) = P (z) − P (z1) = (z − z1)Q1(z),trong đó Q1(z) là đa thức bậc n − 1 Do Q1(z) là đa thức, lặp lại lập luậnnhư trên, tồn tại z2 ∈ C sao cho

Q1(z2) = 0, Q1(z) = (z − z2)Q2(z),trong đó Q2(z) bậc (n − 2) Bằng cách này, tồn tại một tập z1, z2, , znsao cho

P (z) = (z − z1)(z − z2) (z − zn)Qn(z),trong đó Qn(z) là đa thức bậc 0 Nói cách khác, tồn tại hằng số A sao cho

Bên cạnh đó, các nghiệm của đa thức này thỏa mãn

(i) Với nghiệm bất kì của đa thức ε 6= 1 thì

Chứng minh Đầu tiên, ta thấy rằng εk là nghiệm của đa thức xn− 1 do

Từ đây, {ε1, , εn} là toàn bộ nghiệm của đa thức xn− 1

(i) Nếu ε 6= 1 là một nghiệm bất kì của đa thức xn − 1 thì ta phải có

Chương 2

Áp dụng lí thuyết hàm phức và

nghiệm đa thức để giải quyết một số bài toán sơ cấp

Chương 2, chúng tôi áp dụng lí thuyết hàm phức và nghiệm của đa thức

để giải quyết một số bài toán sơ cấp Các kết quả và ví dụ trong luận vănđược tham khảo trong các tài liệu [1-6]

2.1 Bài toán tính tích phân xác định

ta cần thực hiện các bước sau

• Đầu tiên, bằng cách đổi biến t = 2πx − a

• Cuối cùng, sử dụng lí thuyết thặng dư để tính tích phân.

2 ,điều này dẫn tới

trong đó C1(0)+ là đường cong C1(0) có hướng ngược chiều kim đồng hồ.Phương trình

Lời giải Đầu tiên, ta đổi biến đưa cận tích phân về trên đoạn [0, 2π].Đặt

z − 1z2i ,chúng ta có

2 , sin t =

z − 1z2i ,điều này dẫn tới

I =

Z

C1(0) +

2(i + 1)z2 + 4iz + i − 1dz,

trong đó C1(0)+ là đường cong C1(0) có hướng ngược chiều kim đồng hồ.Phương trình

2.2 Bài toán rút gọn biểu thức

Ý tưởng chính của phương pháp này là sử dụng nghiệm phức của một

đa thức nào đó và công thức Viète để biểu diễn biểu thức cần tính toándưới dạng đơn giản hơn

Ví dụ 2.2.1 Tính biểu thức

S =15

0

+153

+ · · · +15

15



Lời giải Đặt ε = cos 2π

3 + i sin

2π

3 Khi đó 1, ε, ε

2 là 3 nghiệm phức khácnhau của phương trình x3 = 1

Từ Định lí 1.6.4, ta có

1 + εk + ε2k =

(

3 nếu k chia hết cho 3,

0 nếu k không chia hết cho 3



xk.Khi đó, theo tính chất trên chúng ta có



Lời giải Với n = 1, chúng ta thấy A = 1 Trường hợp, n ≥ 2, ta xétphương trình

zn − 1 = 0,với đúng n nghiệm

+ i



Lời giải Với n = 1, chúng ta thấy A = 1 Trường hợp, n ≥ 2, ta xétphương trình

zn+ 1 = 0,với đúng n nghiệm

.Lời giải Từ công thức

cos(ϕ) = e

iϕ+ e−iϕ

2 =

ei2ϕ + 12eiϕ ,

kπn

= 1 − (−1)

n

2n+1ei

(n − 1)π2

Bài toán đề xuất:

Bài tập 1 Giả sử n ≥ 2, n ∈ N Tính biểu thức

.Bài tập 2 Giả sử n ∈ N, n ≥ 2 Tính biểu thức

.Bài tập 3 Tính biểu thức

S =40

0

+405

+ · · · +40

40



Bài tập 4 Tính biểu thức

S =30

0

+303

+ · · · +30

3



2.3 Bài toán phủ

Để chỉ ra một bảng chữ nhật có thể phủ kín được hay không bởi cácbảng con với kích thước cho trước, chúng ta đánh số các ô trên bảng bởicác số phức thích hợp dựa trên nghiệm phức của một đa thức nào đó Tiếp

đó, bằng cách kiểm tra các số trên bảng dựa trên kết quả về lí thuyết hàmphức ta khẳng định được bài toán phủ là giải được hay không giải được

Ví dụ 2.3.1 Chứng minh rằng bảng 1991 × 2000 không phủ kín được bằngcác bảng con 1 × 7 và 7 × 1

Tại ô vuông (i, j) chúng ta viết số εi+j Khi đó mỗi bảng con 1 × 7 và 7 × 1

sẽ chứa đúng 7 số 1, ε, , ε6, và ngoài ra tổng các số trên bảng này là 0.Điều này dẫn tới, nếu phủ được thì tổng các số trên bảng là 0 Mặt khác,tổng các số trên các ô vuông là

Ví dụ 2.3.2 Tìm số nguyên dương k sao cho bảng 15 × 11 phủ kín đượcbằng các bảng con 1 × k và k × 1

Tại ô vuông (i, j) chúng ta viết số εi+j Khi đó mỗi bảng con 1 × 7 và 7 × 1

sẽ chứa đúng k số 1, ε, , εk−1, và ngoài ra tổng các số trên bảng này là 0.Điều này dẫn tới, nếu phủ được thì tổng các số trên bảng là 0 Mặt khác,tổng các số trên các ô vuông là

Ví dụ 2.3.3 Một bảng vuông có thể được phủ kín bằng các bảng con 1 × 5

và 3 × 1 Chứng minh rằng bảng vuông đó có thể phủ kín chỉ sử dụng bảngcon 1 × 5 hoặc chỉ sử dụng bảng con 3 × 1

Lời giải Giả sử bảng vuông có kích cỡ k × l Đặt

l thì bảng ban đầu phủ kín được mà chỉ sử dụng các bảng con 1 × 5 hoặcchỉ sử dụng bảng con 3.

Ví dụ 2.3.4 Cho bảng vuông 17 × 17 Hỏi có thể phủ bảng vuông đã chobằng các bảng con 1 × 4 và 4 × 1 sao cho ô vuông (1, 2) là ô vuông duy nhấtkhông được phủ

Lời giải Điền các ô vuông (j, k) bởi số phức ij+2k Khi đó, tổng các sốtrên mỗi bảng con 1 × 4 và 4 × 1 đều bằng 0

Giả sử tồn tại cách phủ bảng vuông theo yêu cầu Khi đó, số ghi tại gócdưới cùng bên phải (1, 2) là

Mâu thuẫn này chỉ ra rằng không tồn tại cách phủ như yêu cầu

Ví dụ 2.3.5 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho bảng vuông n × n

có thể phủ được bằng các bảng vuông 3 × 3 và 5 × 5 và cả hai loại bảng conđều được sử dụng

và 5 × 5 đều bằng 0 Bên cạnh đó, tổng các số trên các ô vuông là

Điều này dẫn tới, n chia hết cho 3 hoặc n chia hết cho 5

Gọi x, y lần lượt là số bảng con 3 × 3 và 5 × 5 được sử dụng Khi đó,

32x + 52y = n2.Nếu n chia hết cho 3 thì ta phải có y chia hết cho 32 Khi đó, n2 >

52 · 32 = 152 do cả 2 loại bảng con đều được sử dụng Từ chỗ, n chia hếtcho 3 nên n ≥ 18

Áp dụng lí thuyết hàm phức và< /h3>

nghiệm đa thức để giải số tốn sơ cấp

Chương 2, chúng tơi áp dụng lí thuyết hàm phức nghiệm đa thức

để giải số toán... thấy εk nghiệm đa thức xn− do

Từ đây, {ε1, , εn} toàn nghiệm đa thức xn−

(i) Nếu ε 6= nghiệm đa thức xn −... kích thước cho trước, đánh số ô bảng bởicác số phức thích hợp dựa nghiệm phức đa thức Tiếp

đó, cách kiểm tra số bảng dựa kết lí thuyết hàmphức ta khẳng định tốn phủ giải hay khơng giải