Về lí thuyết hàm phức trong một số bài toán đa thức

2 Ứng dụng hàm phức trong một số bài toán đa thức 112.1 Bài toán phương trình hàm đa thức... Giải tích phức được sử dụng trong hình học đại số, lý thuyết số, toán học ứng dụng; cũng như

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ MINH HẰNG

VỀ LÍ THUYẾT HÀM PHỨC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ MINH HẰNG

VỀ LÍ THUYẾT HÀM PHỨC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐA THỨC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN TRƯỜNG THANH

THÁI NGUYÊN - 2019

2 Ứng dụng hàm phức trong một số bài toán đa thức 112.1 Bài toán phương trình hàm đa thức 112.2 Bài toán phân tích đa thức 202.3 Bài toán chia hết đa thức 24

Rez, Imz phần thực và phần ảo tương ứng của số phức z

kết thúc chứng minh của định lí, hệ quả, ví dụ và lời giải

Lời nói đầu

Giải tích phức xuất hiện từ thế kỉ thứ 18, là lý thuyết về các hàm mộtbiến số phức Giải tích phức được sử dụng trong hình học đại số, lý thuyết

số, toán học ứng dụng; cũng như trong thủy động lực học, nhiệt độnglực học, và cơ học lượng tử Các nhà toán học Euler, Gauss, Riemann,Cauchy, Weierstrass, và nhiều hơn nữa trong thế kỷ 20 đã có những đónggóp quan trọng đến các lý thuyết hàm số phức

Trong toán học, đa thức là một biểu thức bao gồm các biến và các hệ

số, chỉ liên quan đến các phép toán cộng, trừ, nhân và lũy thừa số nguyênkhông âm của các biến Đa thức xuất hiện trong nhiều lĩnh vực toán học

và khoa học là một trong những khái niệm lâu đời nhất trong toán học.Tuy nhiên, ký hiệu phổ biến về đa thức mà chúng ta sử dụng ngày naychỉ được phát triển bắt đầu từ thế kỷ 15 Trước đó, các phương trình đathức đã được viết ra bằng lời Ví dụ, một bài toán đại số từ Số học TrungQuốc, khoảng năm 200 trước Công nguyên, "Ba bó lúa của vụ mùa tốt,hai bó lúa của cây trồng tầm thường, và một bó lúa của vụ mùa xấu đượcbán với giá 29 lần." Chúng ta sẽ viết 3x + 2y + z = 29

Việc ứng dụng số phức vào các bài toán sơ cấp đã và đang được nhiềunhà toán học quan tâm Lý thuyết hàm phức thể hiện là một công cụ đầytiềm năng và hiệu quả, khi đưa ra những lời giải độc đáo và ngắn gọn chonhiều bài toán sơ cấp Theo hiểu biết của tác giả, việc ứng dụng số phứcvào các bài toán sơ cấp về đa thức đã và đang được nhiều nhà toán họcquan tâm, tuy nhiên công việc này vẫn chưa được hệ thống một cách đầy

đủ Chính vì lý do này, tác giả mạnh dạn hệ thống lại trong luận văn một

số kiến thức cơ bản của lý thuyết hàm biến phức và áp dụng chúng để giảimột số lớp bài toán sơ cấp về đa thức

Luận văn được chia làm hai chương với những nội dung chính như sau:Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về líthuyết hàm phức

Chương 2, chúng tôi sử dụng lí thuyết hàm phức trong việc giải quyếtmột số dạng bài toán đa thức như phân tích đa thức, bài toán phương

trình hàm đa thức, bài toán chia hết.

Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực học hỏi của bản thân, em

đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ Với tình cảm chân thành

em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới TS Nguyễn Trường Thanh - ngườiThầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt những kiến thức và kinhnghiệm quý báu cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luậnvăn

Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo của trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên, những người đã trực tiếp tham gia giảng dạylớp Cao học Toán K12 khóa 2018 - 2020, các phòng ban chức năng, KhoaToán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ

và tạo điều kiện cho em trong thời gian học tập vừa qua

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể lớp K12, gia đình, bạn

bè và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họctập và hoàn thành khóa luận này

Thái Nguyên, ngày 02 tháng 10 năm 2019

Tác giả luận văn

NGUYỄN THỊ MINH HẰNG

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về

lí thuyết hàm phức Các khái niệm và kết quả trong chương 1 được thamkhảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 6, 7]

Nhà toán học người Ý Gerolamo Cardano là người đầu tiên có công giớithiệu về số phức Ông sử dụng số phức để giải các phương trình bậc batrong thế kỉ 16 Nhà toán học người Ý R Bombelli (1526-1573) đã đưađịnh nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc

"số ảo" trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khiông mất Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các phươngtrình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai của −1

Nhà toán học người Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định đượcdạng tổng quát a + ib của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tạinghiệm phức của một đa thức hệ số phức Nhà toán học Thụy Sĩ L Euler(1707-1783) đã đưa ra ký hiệu " i " để chỉ căn bậc hai của -1, năm 1801Gauss đã dùng lại ký hiệu này trong các công trình của ông 1

1 Giới thiệu về số phức được tham khảo tài liệu [6]

Định nghĩa 1.1.1 Số phức được hiểu là các cặp theo thứ tự (x, y) Chúng

z = x + iy, x, y ∈ R

Ngoài ra, chúng ta cũng biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác

z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|eiϕ,trong đó

• |z| = px2 + y2 là mô đunl của số phức z,

• arg(z) = ϕ là góc theo chiều dương từ tia Ox tới tia Oz

Ví dụ 1.1.2 Xét số phức dưới dạng chính tắc z = 1 + i Chúng ta tìmđược

4 + i sin

π

4) =

√2eiπ/4

Từ biểu diễn chính tắc, các phép toán số phức được viết lại

Giả sử các số phức sau có biểu diễn

• z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2, z1z2 = ¯z1z¯2

• ¯z1 = |z1|(cos ϕ1 − i sin ϕ1), ¯z2 = |z2|(cos ϕ2 − i sin ϕ2)

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử S là một tập con của tập các số phức C Hàm

f : S → C được định nghĩa trên S là quy tắc gán với mỗi z trong S một sốphức w Số w được gọi là giá trị của f tại z và được ký hiệu là f (z).Đặt

2 Hàm mũ cơ số e

ez = ex(cos y + i sin y),trong đó z = x + iy ∈ C, x, y ∈ R

f0(z0) = lim

z→z 0

f (z) − f (z0)

z − z0 .Định nghĩa 1.2.5 Hàm một biến phức f (z) được gọi là giải tích tại điểm

z0 nếu nó có đạo hàm tại mỗi điểm trong của lân cận nào đó của z0.Định lý 1.2.6 [Điều kiện cần để tồn tại đạo hàm] Giả sử f (z) = u(x, y) +iv(x, y) và f0(z) tồn tại ở điểm z0 = x0 + iy0 Khi đó, các đạo hàm riêngbậc nhất của u và v tồn tại ở (x0, y0) và thỏa mãn hệ phương trình Cauchy

- Riemann tại (x0, y0),

u0x = v0y, u0y = −v0x.Hơn thế,

f0(z0) = (u0x + ivx0)

(x ,y )

Định lý 1.2.7 [Điều kiện đủ để tồn tại đạo hàm] Giả sử f (z) = u(x, y) +iv(x, y) xác định trên một lân cận của z0 và

(i) các đạo hàm riêng bậc nhất của các hàm u và v đối với x và y tồn tại

ở mọi nơi trong vùng lân cận;

(ii) các đạo hàm riêng đó liên tục tại (x0, y0) và thỏa mãn hệ phương trìnhCauchy - Riemann tại (x0, y0),

u0x = v0y, u0y = −vx0.Khi đó f0(z0) tồn tại và f0(z0) = (u0x+ ivx0)

(x 0 ,y 0 )

Ví dụ Xét hàm f (z) = z2, và số phức bất kì z0 = x0+ iy0, x0, y0 ∈ R.Chúng ta cần kiểm tra sự tồn tại đạo hàm của hàm f (z) tại điểm z0 vàtìm giá trị này nếu đạo hàm tồn tại Trước hết, đặt

z = x + iy, x, y ∈ R,khi đó chúng ta biểu diễn hàm f (z) bởi các hàm hai biến u, v

f (z) = u + iv,trong đó

u = x2 − y2, v = 2xy

Ta thấy với mọi x, y ∈ R,

u0x = 2x = v0y, u0y = −v0x = −2y,nói cách khác điều kiện Cauchy - Riemann được thỏa mãn tại x0, y0 Ngoài

ra, các đạo hàm bậc nhất này là liên tục tại (x0, y0) Từ đây, hàm f (z) tồntại đạo hàm tại điểm z0, và

f0(z0) = (u0x+ ivx0)

(x0,y0) = 2x0 + i2y0 = 2z0

Do z0 bất kì, chúng ta cũng có

f0(z) = z2, ∀z ∈ C

Ví dụ Xét hàm f (z) = z + |z|2, số phức z0 = 1 + i Chúng ta cần kiểmtra sự tồn tại đạo hàm của hàm f (z) tại điểm z0 và tìm giá trị này nếuđạo hàm tồn tại Trước hết, đặt

z = x + iy, x, y ∈ R,khi đó chúng ta biểu diễn hàm f (z) bởi các hàm hai biến u, v

f (z) = u + iv,trong đó

f (z) không có đạo hàm tại điểm z0

Ví dụ Các hàm đa thức P (z) = c0+ c1z + · · · + cnzn, hàm mũ ez, hàmlượng giác cos z, sin z là các hàm giải tích trên C Hơn thế,

P0(z) = c1 + 2c2z + · · · + ncnzn−1, [ez]0 = ez,

[cos z]0 = sin z, [sin z]0 = cos z

Định lý 1.3.1 [Định lí cơ bản về nghiệm của đa thức] Đa thức khác hằngvới hệ số phức luôn có ít nhất một nghiệm phức

Định lý 1.3.2 Đa thức P (z) khác hằng với hệ số phức bậc n luôn có đúng

n nghiệm phức z1, z2, , zn, kể cả bội Khi đó, chúng ta biểu diễn được

Định lý 1.3.4 [Công thức Viète] Giả sử đa thức hệ số phức

zk = p|zn 0| ei

ϕ

n+

2kπn

, k = 1, n

Chương 2

Ứng dụng hàm phức trong một số

bài toán đa thức

Chương 2, chúng tôi sử dụng tính chất của hàm phức trong việc giảiquyết một số dạng bài toán đa thức như phương trình hàm đa thức, phântích đa thức, bài toán chia hết Các ví dụ về các bài toán đa thức trongluận văn được tham khảo trong các tài liệu [4, 5] và một số tài liệu khác

Bài toán phương trình hàm đa thức là bài toán tìm các đa thức thỏamãn một biểu thức nào đó Phương pháp thường được sử dụng cho bàitoán này là phương pháp đồng nhất hệ số Ngoài phương pháp trên, việc

sử dụng công cụ số phức cũng thể hiện là một phương pháp hiệu quả, đưađến nhiều lời giải hay và thú vị Như chúng ta biết, các phương trình hàm

đa thức sơ cấp thường được xét trên số thực R Do đó cách tiếp cận củachúng ta là mở rộng các phương trình này trên tập số phức C và sau đó

sử dụng lí thuyết hàm phức để giải bài toán

Ví dụ 2.1.1 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P (x) sao cho:

khi và chỉ khi các hệ số của nó là bằng 0 Điều này cũng tương đương với

Q(x) = 0, ∀x ∈ C

Từ nhận định này, phương trình hàm sau là đúng trên toàn mặt phẳngphức

[P (z)]2 = P (z2), ∀z ∈ C (2.1)Lời giải 1 Trong lời giải này, chúng ta sử dụng tính liên tục của hàm

đa thức và hàm mũ trên C và Định lí cơ bản của đại số Theo Định lí

cơ bản về nghiệm của đa thức, đa thức P (z) có đúng n nghiệm phức Tachứng minh bằng phản chứng rằng đa thức P (z) không có nghiệm phứcnào ngoài 0

Thật vậy, giả sử P (z) có nghiệm khác 0 và α 6= 0 là một nghiệm phứccủa đa thức P (z) Từ phương trình (2.1), nếu α là nghiệm thì α2 cũng lànghiệm do

P (α2) = P (α)2 = 0

Từ đây,

α2n, (n = 1, 2, )cũng là nghiệm của đa thức P (z) Do số nghiệm của P (z) là hữu hạn, tậpcác giá trị

n

|α|2n | n = 1, 2, ocũng là hữu hạn Điều này dẫn đến,

|α| = 1,hơn thế

α = eiϕ,với ϕ ∈ R nào đó Sử dụng phương trình (2.1) lại lần nữa, chúng ta cũngthu được tập các số phức

ei

ϕ

2n, n = 1, 2, ,cũng là nghiệm của đa thức P (x) Do đa thức P (z) và hàm mũ ez là liêntục trên C, ta có

0 = lim

ϕ

2n) = P (e0) = P (1)

Nói cách khác, P (z) biểu diễn được dưới dạng

P (z) = (z − 1)mQ(z), m ∈ N, m ≥ 1,trong đó Q(z) là đa thức hệ số thực, Q(1) 6= 0 Từ đẳng thức (2.1), ta thuđược

(z − 1)m[Q(z)]2 = (z + 1)mQ(z2), ∀z ∈ C

Khi thay z = 1, dẫn tới Q(1) = 0 Mâu thuẫn này chỉ ra đa thức P (z) chỉ

có nghiệm không Hệ quả là,

h(z)2 = h(z2), ∀z ∈ C

Do các hàm đa thức là giải tích trên C, đạo hàm hai vế của đẳng thức trên

ta thu được

2h0(z)h(z) = 2zh0(z2), ∀z ∈ C

Nếu h(z) là đa thức khác hằng với hệ số phức thì từ điều kiện h(0) 6= 0

và đẳng thức trên ta có 0 là nghiệm của đa thức h0(z) Giả sử

P (z) = 0 hoặc P (z) = zn

Ví dụ 2.1.2 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P (x) khác hằng số saocho:

P (x)P (x + 1) = P (x2 + x), ∀x ∈ R

Lời giải Lập luận tương tự ví dụ trước, chúng ta cũng có đẳng thức sau

là đúng trên tập số phức

P (x)P (x + 1) = P (x2 + x), ∀x ∈ C (2.2)Theo Định lí cơ bản của đại số, đa thức P (x) có đúng n nghiệm phức Giả

sử α là nghiệm bất kì của đa thức P (x) Từ (2.2), ta có

P (α2 + α) = P (α)P (α + 1) = 0

Nói cách khác

α2 + αcũng là nghiệm của đa thức P (x) Thay x bằng x − 1 trong (2.2), ta có

P (x − 1)P (x) = P (x2 − x), ∀x ∈ C

Điều này dẫn đến,

α2 − αcũng là nghiệm của đa thức P (x) Do số nghiệm của đa thức là hữu hạn,giả sử α là nghiệm có mô đun lớn nhất trong số các nghiệm của đa thức

P (z) Với cách chọn α, và do α2 − α, α2− α, cũng là nghiệm của P (z), tathu được

|α2 + α| = |α2 − α| = |α|

Điều này dễ dàng chỉ ra γ = 1 và như vậy

Ta phân chia lời giải bởi các trường hợp sau

• Trường hợp 1 Nếu a = b = 0 thì P (x) cần tìm là đa thức bất kì

• Trường hợp 2 Nếu a = 0, b 6= 0 thì đa thức cần tìm P (x) ≡ 0

Nói cách khác, α−a cũng là nghiệm của đa thức P (z) Lập luận tương

tự, ta thu được

α − ka, k = 1, 2, ,cũng là nghiệm của đa thức Tập các số này là vô hạn nằm trong tậpnghiệm hữu hạn của P (x) Điều này chỉ ra,

P (x) = 0, ∀x ∈ C

• Trường hợp 4 a 6= 0, b 6= 0

(i) Khi b

a ∈ N Ta thấy x = b là một nghiệm của P (x) Hơn thế, chúng/

ta có các giá trị phân biệt

b − ka, k = 1, 2, ,cũng là nghiệm của P (x) Lập luận như trường hợp trước đó,

Q(x) = Q(x − a), ∀x ∈ C

Điều này dẫn đến Q(x) là hàm hằng số Nói cách khác, đa thức cầntìm có dạng

P (x) = Ax(x − a) · · · (x − (m − 1)a),trong đó A là hằng số thực bất kì

Ví dụ 2.1.4 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P (x) thỏa mãn

P (x)P (x + 1) = P (x2 + x + 1), ∀x ∈ R (2.4)

Lời giải Nếu hàm đa thức là hàm hằng số P (x) ≡ a thì thay vào phươngtrình ta được

|α2 + α + 1| > |a|

Các điều trên mâu thuẫn với cách chọn α Vậy |α2+ α + 1| = |α2− α + 1|

Từ đây, s = 1 và ta có

α2 + α + 1 = −α2 + α − 1 ↔ a = ±i

Nới cách khác, đa thức P (x) có dạng sau

P (x) = (x2 + 1)mQ(x),trong đó Q(x) là đa thức hệ số thực không chia hết cho x2+ 1 Thay biểudiễn này vào phương trình (2.4), ta có

(x2+ 1)mQ(x)(x2+ 2x + 12)mQ(x + 1) = [(x2+ x + 1)2+ 1]mQ(x2+ x + 1),điều này chỉ ra

Q(x)Q(x + 1) = Q(x2 + x + 1), ∀x ∈ R

Nếu Q(x) có nghiệm thì ta làm tương tự trên, nghiệm mô đun lớn nhấtcủa Q(x) phải là i, −i Điều này không thể xảy ra vì Q(x) không chia hếtcho x2 + 1 Nói cách khác, Q(x) là hàm hằng số Giả sử Q(x) ≡ c Thayvào (2.4), ta thu được c = 1 Vậy P (x) = (x2 + 1)m Tổng hợp các trườnghợp, các đa thức thỏa mãn phương trình hàm

P (x) ≡ 0, P (x) ≡ 1, P (x) = (x2 + 1)m, m = 1, 2,

Ví dụ 2.1.5 Tìm tất cả các đa thức P (x) với hệ số thực thỏa mãn

P (x)P (2x2) = P (2x3 + x), ∀x ∈ R (2.5)Lời giải Nếu đa thức là hàm hằng số P (x) ≡ a, thì ta có a = 0 hoặc

a = 1 Dễ dàng thấy rằng

P (x) ≡ 0 và P (x) ≡ 1thỏa mãn phương trình hàm

Nếu đa thức là khác hằng số Giả sử

P (2α3 + α) = P (α)P (2α2) = 0,

ta thu được 2α3 + α cũng là nghiệm của đa thức P (x) Xét dãy số

α0 = α 6= 0; αn+1 = 2α3n+ αn, n ≥ 1

Nếu α > 0 thì (αn) là dãy tăng ngặt, nếu α < 0 thì (αn) là dãy giảm ngặt

Từ đây, nếu P (x) có một nghiệm thực khác không thì P (x) sẽ có vô sốnghiệm Theo Định lí cơ bản của đại số, điều này không thể xảy ra Hơnthế, từ chỗ P (0) = 1 6= 0, ta có

Từ đây, t = π/2 + 2kπ, k ∈ Z Nói cách khác, α = ±i Đa thức P (x) là

đa thức hệ số thực, do đó nếu α là nghiệm thì α cũng là nghiệm Điều nàychỉ ra, đa thức P (x) có dạng

P (x) = (x2 + 1)k, k ∈ N

Thử lại vào phương trình, ta thấy đa thức dạng này thỏa mãn Vậy tất cảcác đa thức thỏa mãn là

P (x) ≡ 0; P (x) = (x2 + 1)k, k ∈ N

Bài toán phân tích đa thức là bài toán biểu diễn đa thức bởi tích các đathức bậc nhỏ hơn Để giải bài toán này, chúng ta có nhiều phương phápnhư phương pháp giải trực tiếp bằng biến đổi đa thức; phương pháp sửdụng số phức, Trong phần này, chúng ta sử dụng số phức để giải các bàitoán phân tích đa thức trong toán sơ cấp

Ví dụ 2.2.1 Phân tích đa thức P (z) = z4 + 1 thành tích các đa thức bậcnhất và bậc hai hệ số thực

Ý tưởng chung để giải các bài toán dạng này là tìm tất cả các nghiệmcủa đa thức, sau đó gộp các cặp nghiệm phức liên hợp với nhau để đưađến các đa thức bậc hai hệ số thực

Lời giải Đầu tiên chúng ta thấy phương trình đa thức

z4 + 1 = 0 ⇐⇒ z4 = 1eiπ

Ứng dụng hàm phức số< /h3>

bài tốn đa thức< /h3>

Chương 2, chúng tơi sử dụng tính chất hàm phức việc giảiquyết số dạng tốn đa thức phương trình hàm đa thức, phântích đa thức, tốn... tính liên tục hàm

đa thức hàm mũ C Định lí đại số Theo Định lí

cơ nghiệm đa thức, đa thức P (z) có n nghiệm phức Tachứng minh phản chứng đa thức P (z) khơng có nghiệm phứcnào ngồi... ví dụ toán đa thức trongluận văn tham khảo tài liệu [4, 5] số tài liệu khác

Bài tốn phương trình hàm đa thức tốn tìm đa thức thỏamãn biểu thức Phương pháp thường sử dụng cho bàitoán phương