Đa thức và nội dung dạy học đa thức trong chương trình toán 7, toán 8

Trong ch÷ìng tr¼nh phê thæng ð Vi»t Nam, nëi dungv· a thùc ÷ñc gi£ng d¤y tªp trung ð bªc trung håc cì sð.. Hi»n nay mæn To¡n ¢ ÷ñc chuyºn sang h¼nh thùc thi tr­c nghi»mcho ký thi x²t tèt

H  Nëi  N«m 2018

Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu ho n th nh khâa luªn vîi ·

t i "a thùc v  nëi dung d¤y håc a thùc trong ch÷ìng tr¼nhto¡n 7, to¡n 8", ngo i sü cè g­ng cõa b£n th¥n, em cán nhªn ÷ñc sügióp ï cõa th¦y gi¡o, cæ gi¡o v  b¤n b±

Em xin b y tä láng k½nh trång v  bi¸t ìn s¥u s­c tîi cæ gi¡o - ThS.D÷ìng Thà Luy¸n ¢ tªn t¼nh gióp ï, ch¿ d¨n em trong suèt qu¡ tr¼nhnghi¶n cùu v  ho n th nh khâa luªn

çng thíi em xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håcS÷ ph¤m H  Nëi 2, khoa To¡n, quþ th¦y cæ ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y v gióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh khâaluªn n y

Do ch÷a câ kinh nghi»m n¶n khâa luªn cõa em khæng tr¡nh khäi cánnhi·u thi¸u sât c¦n ÷ñc gâp þ v  sûa chúa, em r§t mong nhªn ÷ñcnhúng þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y cæ gi¡o

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2018

Sinh vi¶n

Ho ng Thà Kh¡nh Linh

Khâa luªn n y l  k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa b£n th¥n em d÷îi sü h÷îngd¨n v  ch¿ b£o tªn t¼nh cõa cæ gi¡o ThS D÷ìng thà Luy¸n Trongkhi thüc hi»n · t i nghi¶n cùu n y em ¢ tham kh£o mët sè t i li»u ¢ghi trong ph¦n t i li»u tham kh£o Em xin kh¯ng ành k¸t qu£ cõa ·

t i a thùc v  nëi dung d¤y håc a thùc trong ch÷ìng tr¼nhto¡n 7, to¡n 8 l  k¸t qu£ cõa vi»c nghi¶n cùu, håc tªp v  né lüc cõab£n th¥n, khæng câ sü tròng l°p vîi k¸t qu£ cõa c¡c · t i kh¡c N¸usai em xin ho n to n chàu tr¡ch nhi»m

H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2018

Sinh vi¶n

Ho ng Thà Kh¡nh Linh

Líi mð ¦u 1

1 Nëi dung d¤y håc v· a thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n 7,

1.1 Nëi dung d¤y håc v· a thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n 7,

to¡n 8 3

1.1.1 Kh¡i ni»m a thùc 4

1.1.2 Bªc cõa a thùc 8

1.1.3 C¡c ph²p to¡n v· a thùc 11

1.1.4 Nghi»m cõa a thùc 23

1.2 a thùc têng qu¡t 24

1.2.1 V nh a thùc mët ©n 24

1.2.2 Bªc cõa a thùc 32

1.2.3 Nghi»m cõa a thùc 34

1.2.4 X¥y düng v nh a thùc nhi·u ©n 36

2 H» thèng hâa c¡c d¤ng b i tªp v· a thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n 7, to¡n 8 38 2.1 C¡c b i to¡n v· t½nh to¡n, t¼m gi¡ trà 38

2.1.1 Rót gån biºu thùc v  t½nh gi¡ trà biºu thùc 38

2.1.2 T½nh nhanh 39

2.1.3 T¼m x thäa m¢n ¯ng thùc cho tr÷îc 40

2.1.4 Ph÷ìng ph¡p têng b¼nh ph÷ìng 40

2.1.5 T¼m gi¡ trà nhä nh§t, lîn nh§t cõa mët biºu thùc 41 2.2 C¡c b i to¡n v· chùng minh 42

2.2.1 Chùng minh gi¡ trà biºu thùc khæng phö thuëc v o gi¡ trà cõa bi¸n 42

2.2.2 Chùng minh ¯ng thùc 43

2.2.3 Chùng minh b§t ¯ng thùc 44

2.3 C¡c b i to¡n v· ph²p chia a thùc 45

2.3.1 Chia a thùc mët bi¸n ¢ s­p x¸p 45

2.3.2 T¼m sè nguy¶n n º biºu thùc A(n) chia h¸t cho biºu thùc B(n) 46

2.3.3 T¼m c¡c h» sè º a thùc f(x) chia h¸t cho g(x) 47 2.3.4 T¼m d÷ trong ph²p chia a thùc 48

2.3.5 p döng v o sè håc 49

2.3.6 Mët sè h¬ng ¯ng thùc têng qu¡t 50

2.4 C¡c b i to¡n v· ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû 51

2.4.1 Ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû 51

2.4.2 p döng v o sè håc 52

2.4.3 T¼m c¡c c°p sè nguy¶n (x, y) thäa m¢n ¯ng thùc cho tr÷îc 52

2.4.4 Ph÷ìng ph¡p °t ©n phö 53

2.4.5 Ph÷ìng ph¡p h» sè b§t ành 54

2.4.6 p döng ành lþ Bezout º ph¥n t½ch a thùc ra

thøa sè 54

2.4.7 Ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû b¬ng ph÷ìng ph¡p x²t gi¡ trà ri¶ng 56

3 X¥y düng h» thèng b i tªp tr­c nghi»m 59 3.1 Nhúng iºm c¦n l÷u þ khi x¥y düng h» thèng b i tªp tr­c nghi»m 60

3.1.1 V· nëi dung 60

3.1.2 V· h¼nh thùc 60

3.2 H» thèng b i tªp tr­c nghi»m v· a thùc 60

LÍI MÐ †U

a thùc l  mët trong nhúng kh¡i ni»m quan trång cõa to¡n håc,khæng ch¿ håc sinh ð n÷îc ta m  cán ð t§t c£ c¡c n÷îc tr¶n th¸ giîi ÷ñcti¸p cªn kh¡ sîm Trong ch÷ìng tr¼nh phê thæng ð Vi»t Nam, nëi dungv· a thùc ÷ñc gi£ng d¤y tªp trung ð bªc trung håc cì sð Kh¡i ni»m

a thùc b­t ¦u ÷ñc ÷a v o ch÷ìng IV ph¦n ¤i sè lîp 7 C¡c v§n ·

cì b£n kh¡c v· a thùc ÷ñc ti¸p nèi ð ch÷ìng tr¼nh lîp 8 Nhúng b ito¡n v· a thùc th÷íng xu§t hi»n trong c¡c ký thi håc sinh giäi quècgia, Olympic quèc t¸ v  luæn ÷ñc ¡nh gi¡ l  b i to¡n khâ

Hi»n nay mæn To¡n ¢ ÷ñc chuyºn sang h¼nh thùc thi tr­c nghi»mcho ký thi x²t tèt nghi»p trung håc phê thæng v  tuyºn sinh ¤i håc,cao ¯ng º ¤t ÷ñc k¸t qu£ cao th¼ håc sinh c¦n ÷ñc l m quen vîih¼nh thùc n y c ng sîm c ng tèt °c bi»t l  ng÷íi d¤y c¦n ph£i câ sülüa chån ph÷ìng ph¡p, c¡ch thùc d¤y håc phò hñp v  h» thèng b i tªp

a d¤ng, phong phó èi vîi måi èi t÷ñng håc sinh Do â º gi£ng d¤y

÷ñc tèt nëi dung v· a thùc cho håc sinh th¼ ng÷íi gi¡o vi¶n c¦n ph£i

câ ki¸n thùc v· a thùc mët c¡ch ¦y õ công nh÷ c¦n hiºu s¥u v· nëidung ch÷ìng tr¼nh d¤y håc a thùc ð phê thæng, çng thíi câ c¡i nh¼n

a chi·u v· möc ½ch d¤y håc cõa ph¦n a thùc º ¤t ÷ñc nhúng i·utr¶n th¼ mët kÿ n«ng khæng thº thi¸u èi vîi ng÷íi gi¡o vi¶n l  ph¥nt½ch ch÷ìng tr¼nh s¡ch gi¡o khoa

Vîi nhúng lþ do tr¶n, công vîi láng say m¶ nghi¶n cùu v  ÷ñc sügióp ï, ch¿ b£o tªn t¼nh cõa ThS D÷ìng Thà Luy¸n em ¢ m¤nh d¤nchån · t i: "a thùc v  nëi dung d¤y håc a thùc trong ch÷ìng tr¼nh

to¡n 7, to¡n 8" º l m khâa luªn tèt nghi»p nh¬m ph¥n t½ch nëi dungd¤y håc v· a thùc còng nhúng t½nh ch§t cõa nâ trong ch÷ìng tr¼nh ¤i

sè lîp 7, lîp 8 Tø â câ thº sû döng nhúng ki¸n thùc cõa to¡n cao c§p

º soi s¡ng l¤i v  ph¥n lo¤i, h» thèng mët sè b i to¡n v· a thùc côngnh÷ c¡c ùng döng cõa nâ trong mæn to¡n ð nh  tr÷íng phê thæng.Nëi dung cõa khâa luªn ÷ñc chia l m 3 ch÷ìng

Ch÷ìng 1 Nëi dung d¤y håc v· a thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n 7,to¡n 8

Ch÷ìng 2 H» thèng hâa c¡c d¤ng b i tªp v· a thùc trong ch÷ìngtr¼nh to¡n 7, to¡n 8

Ch÷ìng 3 X¥y düng h» thèng b i tªp tr­c nghi»m

Do thíi gian câ h¤n v  n«ng lüc b£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶n khâa luªnkhæng tr¡nh khäi sai sât Em r§t mong ÷ñc sü gâp þ cõa th¦y cæ v  c¡cb¤n

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

Nëi dung d¤y håc v· a thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n 7, to¡n 8

1.1 Nëi dung d¤y håc v· a thùc trong ch÷ìng tr¼nh

to¡n 7, to¡n 8

Nëi dung d¤y håc a thùc b­t ¦u ÷ñc tr¼nh b y ch½nh thùc ð ch÷ìng

IV s¡ch ¤i sè lîp 7, tªp 2, chi¸m thíi l÷ñng l  20 ti¸t v  chi¸m 25%l÷ñng ki¸n thùc C¡c v§n · cì b£n cõa nâ ÷ñc ti¸p nèi trong ch÷ìng Is¡ch ¤i sè lîp 8, tªp 1, chi¸m thíi l÷ñng l  21 ti¸t v  chi¸m 30% l÷ñngki¸n thùc Do â vi»c d¤y nëi dung ki¸n thùc v· a thùc theo mët c¡ch

n o â º ¤t hi»u qu£ cao nh§t cõa ng÷íi håc l  v§n · c¦n thi¸t cõang÷íi gi¡o vi¶n º câ ph÷ìng thùc d¤y håc v· a thùc theo mët c¡chhi»u qu£ th¼ nëi dung ta c¦n ph¥n t½ch ¦u ti¶n l  kh¡i ni»m a thùc.Trong ch÷ìng tr¼nh to¡n 7 câ ÷a ra kh¡i ni»m a thùc v  kh¡i ni»m

a thùc mët bi¸n, kh¡i ni»m a thùc ÷ñc tr¼nh b y tr÷îc kh¡i ni»m athùc mët bi¸n

Trong kh¡i ni»m a thùc câ ành ngh¾a a thùc l  têng cõa nhúng

ìn thùc, n¸u khæng bi¸t kh¡i ni»m ìn thùc th¼ håc sinh s³ khæng thºhiºu ÷ñc kh¡i ni»m cõa a thùc Do â s¡ch gi¡o khoa ¢ tr¼nh b ykh¡i ni»m ìn thùc tr÷îc ti¶n

Sau khi ÷ñc t¼m hiºu v· kh¡i ni»m ìn thùc, s¡ch gi¡o khoa giîithi»u luæn v· kh¡i ni»m ìn thùc thu gån

* ìn thùc thu gån

"ìn thùc thu gån l  ìn thùc ch¿ gçm t½ch cõa mët sè vîi c¡c bi¸n,

m  méi bi¸n ¢ ÷ñc n¥ng l¶n lôy thøa vîi sè mô nguy¶n d÷ìng."

Sè nâi tr¶n gåi l  h» sè, ph¦n cán l¤i gåi l  ph¦n bi¸n cõa ìn thùcthu gån. [[1], tr.33]

V½ dö: ìn thùc 10x6y3 l  ìn thùc thu gån, 10 l  h» sè v  x6y3 l ph¦n bi¸n cõa ìn thùc â

Tø ¥y, ta c¦n ÷a ra mët sè chó þ cho håc sinh.

Chó þ:

- Ta công coi mët sè l  ìn thùc thu gån

- Trong ìn thùc thu gån, méi bi¸n ch¿ ÷ñc vi¸t mët l¦n Thængth÷íng, khi vi¸t ìn thùc thu gån ta vi¸t h» sè tr÷îc, ph¦n bi¸nsau v  c¡c bi¸n ÷ñc vi¸t theo thù tü b£ng chú c¡i

Tø nay khi nâi ¸n ìn thùc, n¸u khæng nâi g¼ th¶m, ta hiºu â l 

ìn thùc thu gån

* ìn thùc çng d¤ng

Trong qu¡ tr¼nh l m vi»c vîi ìn thùc, håc sinh s³ b­t g°p nhúng

ìn thùc câ sü gèng nhau v· ph¦n bi¸n, ch¯ng h¤n: ìn thùc 3x2yz câph¦n bi¸n gièng vîi ìn thùc 5

3x

2yz Hai ìn thùc n y ÷ñc gåi l  hai

ìn thùc çng d¤ng Do â º cho håc sinh th§y ÷ñc sü têng qu¡t, s¡chgi¡o khoa công ÷a ra kh¡i ni»m ìn thùc dçng d¤ng

"Hai ìn thùc çng d¤ng l  hai ìn thùc câ h» sè kh¡c v  câ còngph¦n bi¸n." [[1] tr.33]

ìn thùc çng d¤ng rçi mîi ÷a ra quy t­c º tø â, håc sinh th§y

÷ñc c¡ch thùc thüc hi»n chóng v  th§y ÷ñc sü têng qu¡t º ¡p döngcho nhúng tr÷íng hñp cëng, trø c¡c ìn thùc çng d¤ng kh¡c

Quy t­c: "º cëng (hay trø) c¡c ìn thùc çng d¤ng, ta cëng (haytrø) c¡c h» sè vîi nhau v  giú nguy¶n ph¦n bi¸n." [[1], tr.34]

Quay trð l¤i kh¡i ni»m v· ìn thùc, trong kh¡i ni»m ìn thùc câ ·cªp ¸n cöm tø "biºu thùc ¤i sè" T÷ìng tü nh÷ ph¥n t½ch kh¡i ni»m

a thùc, n¸u ch÷a bi¸t tîi kh¡i ni»m biºu thùc ¤i sè th¼ håc sinh s³ l¤ikhæng thº hiºu ÷ñc kh¡i ni»m cõa ìn thùc Do â tr÷îc khi tr¼nh b ykh¡i ni»m ìn thùc, s¡ch gi¡o khoa ¢ tr¼nh b y kh¡i ni»m biºu thùc

¤i sè V  "kh¡i ni»m v· biºu thùc ¤i sè" công ch½nh l  b i ¦u ti¶ncõa ch÷ìng IV - ch÷ìng m  ta b­t ¦u vîi nëi dung v· a thùc

V¼ biºu thùc ¤i sè l  mët kh¡i ni»m mîi n¶n º håc sinh câ thº hiºu

÷ñc theo mët c¡ch tü nhi¶n b¬ng c¡ch li¶n h» nhúng ki¸n thùc cô ¢håc, â l  biºu thùc, s¡ch gi¡o khoa To¡n 7 ¢ nh­c l¤i nh÷ sau:

"Ð c¡c lîp d÷îi ta ¢ bi¸t: c¡c sè ÷ñc nèi vîi nhau bði d§u c¡c ph²pt½nh (cëng, trø, nh¥n, chia, n¥ng l¶n lôy thøa l m th nh mët biºu thùc.Ch¯ng h¤n: 5 + 3 − 2; 12 : 6.2; 153.47; 4.32− 5.6; 13.(3 + 4) l  nhúngbiºu thùc

Nhúng biºu thùc nh÷ tr¶n gåi l  biºu thùc sè." [[1], tr.34]

º ti¸p töc, s¡ch gi¡o khoa ¢ ÷a ra kh¡i ni»m biºu thùc ¤i sè.c) Kh¡i ni»m biºu thùc ¤i sè

"Trong to¡n håc, vªt lþ, ta th÷íng g°p nhúng biºu thùc m  trong

â ngo i c¡c sè, c¡c kþ hi»u ph²p to¡n cëng, trø , nh¥n, chia, n¥ng l¶nlôy thøa, cán câ c£ c¡c chú (¤i di»n cho c¡c sè) Ng÷íi ta gåi nhúngbiºu thùc nh÷ vªy l  biºu thùc ¤i sè" [[1], tr.24]

V½ dö: C¡c biºu thùc: 5x; 3(a+8); 2(x+y+z); x2y; 1

x − 0, 2 l  nhúngbiºu thùc ¤i sè

Nh÷ vªy, º thuªn ti»n hìn trong vi»c vi¸t c¡c biºu thùc ¤i sè, tac¦n ÷a ra mët sè chó þ cho håc sinh

Chó þ: "º cho gån, khi vi¸t c¡c biºu thùc ¤i sè, ng÷íi ta th÷íngkhæng vi¸t d§u nh¥n giúa c¡c chú, công nh÷ giúa sè v¢ chú" [ ] Thængth÷íng, trong mët t½ch, ng÷íi ta khæng vi¸t thøa sè 1, cán thøa sè (−1)

÷ñc thay b¬ng d§u "−"." [[1], tr.25]

Xu§t ph¡t tø nhúng biºu thùc ìn gi£n m  håc sinh ¢ ÷ñc ti¸pxóc kh¡ nhi·u ð bªc tiºu håc, mâc nèi vîi c¡c chú º ÷a ra kh¡i ni»mbiºu thùc ¤i sè º tø â, håc sinh câ thº ti¸p cªn vîi kh¡i ni»m mîimët c¡ch g¦n gôi v  tü nhi¶n nh§t Khi â, håc sinh ¢ hiºu v  n­m rãkh¡i ni»m biºu thùc ¤i sè, tø â hiºu ÷ñc kh¡i ni»m ìn thùc, v  cuèicòng l  kh¡i ni»m a thùc

d) Kh¡i ni»m a thùc mët bi¸n

"a thùc mët bi¸n l  têng cõa nhúng ìn thùc cõa còng mët bi¸n."[[1], tr.41]

Do ¢ n­m ÷ñc kh¡i ni»m ìn thùc n¶n håc sinh d¹ d ng l§y ÷ñcv½ dö v· nhúng ìn thùc cõa còng mët bi¸n, ch¯ng h¤n: 2x5; −7

2x

3;5x0 = 5; l  nhúng ìn thùc mët bi¸n Têng cõa chóng l  mët a thùcmët bi¸n x, l  a thùc: P (x) = 2x5 − 7

2x

3 + 5 Nh÷ vªy håc sinh khængqu¡ khâ kh«n trong vi»c n­m ÷ñc kh¡i ni»m a thùc mët bi¸n v  câh¼nh dung rã hìn v· nâ

* S­p x¸p a thùc mët bi¸n

º thuªn lñi cho vi»c t½nh to¡n èi vîi c¡c a thùc mët bi¸n, ng÷íi

ta th÷íng s­p x¸p c¡c h¤ng tû cõa chóng theo lôy thøa t«ng ho°c gi£mcõa bi¸n S¡ch gi¡o khoa ¢ ÷a ra v½ dö

"V½ dö: èi vîi a thùc P (x) = 6x + 3 − 6x2+ x3+ 2x4, khi s­p x¸p

c¡c h¤ng tû cõa nâ theo lôy thøa gi£m cõa bi¸n, ta ÷ñc:

P (x) b¬ng 5 n¶n h» sè cõa lôy thøa bªc cán gåi l  h» sè cao nh§t." [[1],tr.42-43]

Tø ¥y håc sinh n­m ÷ñc kh¡i ni»m h» sè v  x¡c ành ÷ñc h» sècao nh§t cõa mët a thùc mët bi¸n

Chó þ:

"- Sè 0 công ÷ñc gåi l  a thùc khæng v  nâ khæng câ bªc

- Khi t¼m bªc cõa mët a thùc, tr÷îc h¸t ta ph£i thu gån a thùc

â." [[1], tr.38]

* Thu gån a thùc

Trong kh¡i ni»m bªc cõa a thùc câ nh­c tîi d¤ng thu gån cõa athùc Do â tr÷îc khi giîi thi»u kh¡i ni»m bªc cõa a thùc, s¡ch gi¡okhoa ¢ h÷îng d¨n thu gån a thùc b¬ng v½ dö v· mët a thùc m  cânhúng h¤ng tû l  c¡c ìn thùc çng d¤ng (gåi t­t l  h¤ng tû çng d¤ng),sau â thüc hi»n ph²p cëng c¡c ìn thùc çng d¤ng ¸n khi a thùc âkhæng cán hai h¤ng tû n o çng d¤ng, khi â thu ÷ñc d¤ng thu gåncõa a thùc ¢ cho

V½ dö: Trong a thùc M = 5x2y5+ 2xy4+ 5

3− 4x2y5+ y6− 3xy4− 2

3cán nhúng h¤ng tû l  c¡c ìn thùc çng d¤ng Thüc hi»n ph²p cëng c¡c

Trong a thùc M = x2y5 − xy4 + y6 + 1 khæng cán hai h¤ng tû n o

çng d¤ng Ta gåi â l  d¤ng thu gån cõa a thùc M

Theo nh÷ ành ngh¾a a thùc, méi h¤ng tû cõa a thùc l  mët ìnthùc, do â º t¼m hiºu ti¸p kh¡i ni»m bªc cõa a thùc, ta ph£i t¼m hiºukh¡i ni»m bªc cõa ìn thùc Kh¡i ni»m bªc cõa ìn thùc ÷ñc s¡ch gi¡okhoa giîi thi»u ngay sau ph¦n ìn thùc thu gån

b) Bªc cõa ìn thùc

"Bªc cõa ìn thùc câ h» sè kh¡c 0 l  têng sè mô cõa t§t c£ c¡c bi¸n

câ trong ìn thùc â

Sè thüc kh¡c 0 l  ìn thùc bªc khæng

Sè 0 ÷ñc coi l  ìn thùc khæng câ bªc." [[1], tr.31]

V½ dö: Trong ìn thùc 2x5y3z, bi¸n x câ sè mô l  5, bi¸n y câ sè mô

l  3, bi¸n z câ sè mô l  1 Têng c¡c sè mô cõa c¡c bi¸n l  5 + 3 + 1 = 9

Ta nâi 9 l  bªc cõa ìn thùc ¢ cho

Do â, düa v o ành ngh¾a, håc sinh bi¸t c¡ch x¡c ành bªc cõa mët

ìn thùc b§t ký (câ h» sè kh¡c 0) â l  t½nh têng sè mô cõa c¡c bi¸n câtrong ìn thùc â Tø ¥y håc sinh công câ thº d¹ d ng x¡c ành bªccõa mët a thùc b§t ký b¬ng c¡ch thu gån a thùc â (èi vîi a thùcch÷a ð d¤ng thu gån) rçi so s¡nh bªc cõa c¡c ìn thùc trong d¤ng thugån cõa a thùc â Bªc cõa ìn thùc n o cao nh§t th¼ â ch½nh l  bªccõa a thùc ¢ cho

ành ngh¾a bªc cõa a thùc mët bi¸n ÷ñc x¥y düng düa tr¶n ànhngh¾a bªc cõa a thùc

1.1.3 C¡c ph²p to¡n v· a thùc

Tø tr÷îc ¸n nay, nâi ¸n t½nh to¡n ð phê thæng, ta th÷íng hiºu l nâi ¸n kÿ n«ng thüc hi»n c¡c ph²p t½nh, m  c¡c ph²p to¡n v· a thùcch½nh l  bèn ph²p t½nh: cëng, trø, nh¥n, chia hai a thùc Ð bªc tiºuhåc, lîp 6, lîp 7, håc sinh ÷ñc håc c¡c ph²p t½nh vîi sè tü nhi¶n, vîi

sè nguy¶n, vîi sè húu t theo thù tü: ph²p cëng, ph²p trø, ph²p nh¥n

v  cuèi còng l  ph²p chia Khi d¤y håc c¡c ph²p to¡n v· a thùc, s¡chgi¡o khoa to¡n 7, to¡n 8 công tu¥n thõ theo thù tü nh÷ vªy, â l : Ph²pcëng a thùc, ph²p tø a thùc, ph²p nh¥n a thùc v  ph²p chia a thùc.Düa v o quy t­c "d§u ngo°c" v  t½nh ch§t cõa c¡c ph²p t½nh tr¶n sè,håc sinh câ thº cëng, trø, nh¥n chia c¡c biºu thùc sè B¬ng c¡ch t÷ìng

tü, chóng câ thº thüc hi»n c¡c ph²p to¡n cëng, trø nh¥n, chia c¡c athùc

a) Ph²p cëng, trø a thùc

* Cëng, trø a thùc

Tr÷îc â, håc sinh ¢ n­m ÷ñc quy t­c ph²p cëng, trø c¡c ìn thùc

çng d¤ng Khi håc sinh thu¦n thöc kÿ n«ng cëng, trø c¡c ìn thùc

çng d¤ng th¼ s³ d¹ d ng hìn trong vi»c thüc hi»n cëng, trø c¡c a thùcv¼ b£n ch§t cõa cëng, trø a thùc l  ¡p döng c¡c t½nh ch§t cõa c¡c ph²pt½nh rçi cëng, trø c¡c ìn thùc çng d¤ng S¡ch gi¡o khoa to¡n 7 khængtr¼nh b y quy t­c cëng, trø a thùc m  ÷a ra hai v½ dö cö thº º håcsinh th§y ÷ñc mët c¡ch t÷íng minh vi»c thüc h nh cëng, trø a thùc

v  ành h¼nh rã r ng hìn

+) "º cëng hai a thùc M = 5x2y + 5x − 3v  N = xyz −4x2y + 5x −1

2,

ta l m nh÷ sau:

M + N = (5x2y + 5x − 3) +

xyz − 4x2y + 5x − 1

2



= 5x2y − 4xy2 + 5x − 3 − xyz + 4x2y − xy2 − 5x + 1

2(bä d§u ngo°c)

= 9x2y − 5xy2 − xyz − 21

2(Cëng, trø c¡c ìn thùc çng d¤ng)

Ta nâi a thùc 9x2y − 5xy2 − xyz − 21

2 l  hi»u cõa hai a thùc P ,

Q." [[1], tr.39-40]

* Cëng, trø a thùc mët bi¸n

Ph²p cëng, trø a thùc mët bi¸n ho n to n t÷ìng tü nh÷ ph²p cëng,

trø a thùc Do â khæng qu¡ khâ kh«n èi vîi håc sinh khi thüc hi»n.S¡ch gi¡o khoa ÷a ra hai a thùc mët bi¸n P (x), Q(x) rçi l¦n l÷ñt thüchi»n ph²p cëng, trø giúa chóng b¬ng hai c¡ch.

C¡ch 1: Thüc hi»n theo c¡ch cëng, trø a thùc ¢ håc

C¡ch 2: S­p x¸p c¡c h¤ng tû cõa hai a thùc còng theo lôy thøagi£m (ho°c t«ng) cõa bi¸n, rçi °t ph²p t½nh theo cët dåc t÷ìng tü nh÷cëng, trø c¡c sè (°t c¡c ìn thùc çng d¤ng ð còng mët cët)

Håc sinh câ thº chån mët trong hai c¡ch º thüc hi»n, c¡ch 2 tuyph£i °t ph²p t½nh theo cët dåc nh÷ng khi mîi l m quen vîi ph²p cëng,trø a thùc mët bi¸n s³ gióp håc sinh h¤n ch¸ vi»c cëng, trø nh¦m c¡cbi¸n Cán khi håc sinh ¢ th nh th¤o th¼ vi»c thüc hi»n c¡ch 2 l  khængc¦n thi¸t v¼ nâ g¥y m§t thíi gian hìn so vîi c¡ch 1

b) Ph²p nh¥n a thùc

Trong d¤y håc ph²p nh¥n a thùc, s¡ch gi¡o khoa h÷îng d¨n nh¥n

ìn thùc vîi ìn thùc ¦u ti¶n, sau â h÷îng d¨n nh¥n ìn thùc vîi

a thùc, v  cuèi còng l  nh¥n a thùc vîi a thùc Vi»c i tø ìn gi£n

¸n phùc t¤p nh÷ vªy gióp cho håc sinh ti¸p thu hi»u qu£ hìn v  li¶nh» ÷ñc r¬ng: º nh¥n a thùc vîi a thùc, ph£i n­m ÷ñc nh¥n ìnthùc vîi a thùc v  º nh¥n ìn thùc vîi a thùc, ph£i n­m ÷ñc nh¥n

ìn thùc vîi ìn thùc

* Nh¥n ìn thùc vîi ìn thùc

"º nh¥n hai ìn thùc, ta nh¥n c¡c h» sè vîi nhau v  nh¥n c¡c ph¦nbi¸n vîi nhau." [[1], tr.32]

V½ dö: º nh¥n hai ìn thùc 2x2y v  9xy4, ta l m nh÷ sau:

(2x2y).(9xy4) = (2.9)(x2y)(xy4) = 18(x2x)(yy4) = 18x3y5

Ta nâi ìn thùc 18x3y5 l  t½ch cõa hai ìn thùc 2x2y v  9xy4.



= −2x3 − 10x4 + x3

* Nh¥n a thùc vîi a thùc

"Muèn nh¥n mët a thùc vîi mët a thùc, ta nh¥n méi h¤ng tû cõa

a thùc n y vîi tøng h¤ng tû cõa a thùc kia rçi cëng c¡c t½ch vîi nhau."[[2], tr.7]

(A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D

V½ dö: º nh¥n a thùc 1

2xy − 1 vîi a thùc x3 − 2x − 6, ta l m nh÷

 1

2xy − 1

.(x3 − 2x − 6) =  1

a thùc vîi a thùc

* C¡c h¬ng ¯ng thùc ¡ng nhî

Tø ph²p nh¥n hai a thùc, s¡ch gi¡o khoa to¡n 8 ¢ giîi thi»u b£yh¬ng ¯ng thùc ¡ng nhî v  chóng ÷ñc sû döng r§t nhi·u trong gi£ic¡c b i tªp cì b£n, n¥ng cao ð lîp 8 công nh÷ ð c¡c lîp cao hìn

Vîi A, B l  c¡c biºu thùc tòy þ, ta câ: (A−B)3 = A3−3A2B +3AB2−B3.+) Têng hai lªp ph÷ìng

Vîi A, B l  c¡c biºu thùc tòy þ, ta câ: A3+B3 = (A+B)(A2−AB +B2).+) Hi»u hai lªp ph÷ìng

Vîi A, B l  c¡c biºu thùc tòy þ, ta câ: A3−B3 = (A−B)(A2+AB +B2).B¬ng ph²p nh¥n a thùc ta chùng minh ÷ñc c¡c h¬ng ¯ng thùcsau:

1 an− bn = (a − b)(an−1+ an−2b + · · · + abn−2+ bn−1) vîi måi sè nguy¶nd÷ìng n

2 an+ bn = (a + b)(an−1− an−2b + · · · − abn−2+ bn−1) vîi måi sè nguy¶nd÷ìng l´ n

gåi l  tê hñp chªp k cõa n ph¦n tû)

Tø ¥y, c¦n chó þ cho håc sinh r¬ng b£y h¬ng ¯ng thùc ¡ng nhî

l  c¡c tr÷íng hñp °c bi»t cõa c¡c h¬ng ¯ng thùc tr¶n

* Ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû

Ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû (hay thøa sè) l  bi¸n êi a thùc

â th nh mët t½ch cõa nhúng a thùc B i to¡n ph¥n t½ch a thùc th nhnh¥n tû l  mët trong nhúng b i to¡n trång t¥m cõa ch÷ìng tr¼nh to¡n

8 S¡ch gi¡o khoa ¢ giîi thi»u mët sè ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch a thùc

th nh nh¥n tû th÷íng dòng

+) °t nh¥n tû chung

- T¼m nh¥n tû chung l  nhúng ìn, a thùc câ m°t täng t§t c£ c¡ch¤ng tû

- Ph¥n t½ch méi h¤ng tû th nh t½ch cõa nh¥n tû chung v  mët nh¥n

V½ dö: Ph¥n t½ch a thùc sau b¬ng ph÷ìng ph¡p sû döng h¬ng ¯ngthùc

a) x2 − 4x + 4 = x2 − 2x.2 + 22 = (x − 2)2

b) x2 − 2 = x2 − (√2)2 = (x −√

2)(x +√

2).c) 1 − 8x3 = 13 − (2x)3 = (1 − 2x)(1 + 2x + 4x2)

+) Nhâm h¤ng tû

Dòng c¡c t½nh ch§t giao ho¡n, k¸t hñp cõa ph²p cëng c¡c a thùc,

ta k¸t hñp nhúng h¤ng tû cõa a thùc th nh tøng nhâm th½ch hñp rçidòng c¡c ph÷ìng ph¡p kh¡c ph¥n t½ch nh¥n tû theo tøng nhâm rçi ph¥nt½ch chung èi vîi c¡c nhâm

Trong d¤y håc ph²p chia a thùc, t÷ìng tü nh÷ d¤y håc ph²p nh¥n

a thùc, s¡ch gi¡o khoa công tr¼nh b y quy t­c chia ìn thùc cho ìnthùc tr÷îc, rçi sau â tr¼nh b y quy t­c chia a thùc cho ìn thùc, v cuèi còng l  quy t­c chia a thùc mët bi¸n ¢ s­p x¸p

* Chia ìn thùc cho ìn thùc

Tr÷îc khi i v o ph²p chia ìn thùc cho ìn thùc, s¡ch gi¡o khoa

÷a ra mët sè chó þ sau:

"- Cho A v  B l  hai a thùc, B 6= 0 Ta nâi a thùc A chia h¸t cho

a thùc B n¸u t¼m ÷ñc mët a thùc Q sao cho A = B.Q

- A ÷ñc gåi l  a thùc bà chia, B ÷ñc gåi l  a thùc chia, Q ÷ñcgåi l  a thùc th÷ìng (gåi t­t l  th÷ìng) Kþ hi»u Q = A : B ho°c

Quy t­c:

"Muèn chia ìn thùc A cho ìn thùc B (tr÷íng hñp A chia h¸t cho

B, ta l m nh÷ sau:

- Chia h» sè cõa ìn thùc A cho h» sè cõa ìn thùc B

- Chia lôy thøa cõa tøng bi¸n trong A cho lôy thøa cõa còng bi¸n âtrong B

- Nh¥n c¡c k¸t qu£ vøa t¼m ÷ñc vîi nhau." [[2], tr.26]

V½ dö: T¼m th÷ìng trong ph²p chia, bi¸t ìn thùc bà chia l  15x3y5z,

ìn thùc chia l  5x2y3

Ta câ: 15 : 5 = 3; x3 : x2 = x3−2 = x;

y5 : y3 = y5−3 = y2; z1 : z0 = z1−0 = z

"Muèn chia a thùc A cho ìn thùc B (tr÷íng hñp c¡c h¤ng tû cõa

a thùc A ·u chia h¸t cho ìn thùc B, ta chia méi h¤ng tû cõa A cho

B rçi cëng c¡c k¸t qu£ vîi nhau." [[2], tr.27]

câ ph²p chia h¸t v  ph²p chia câ d÷

+) Ph²p chia h¸t

"Ph²p chia câ d÷ b¬ng 0 l  ph²p chia h¸t." [[2], tr.30]

Vªy ph²p chia h¸t thüc ch§t l  ph²p chia câ d÷, nh÷ng d÷ cõa nâb¬ng 0

V¼ chia a thùc mët bi¸n ¢ s­p x¸p kh¡ phùc t¤p n¶n s¡ch gi¡o khoa

khæng tr¼nh b y quy t­c m  tr¼nh b y mët v½ dö cö thº º håc sinh câthº theo dãi t÷íng minh v  h¼nh dung rã hìn c¡c b÷îc thüc hi»n.

V½ dö: "º chia a thùc (2x4 − 13x3 + 15x2 + 11x − 3) cho a thùc(x2 − 4x − 3), ta l m nh÷ sau:

i t½ch vøa nhªn ÷ñc:

2x4 −13x3 +15x2 +11x −3 x2 − 4x − 3

−5x3 +21x2 +11x −3Hi»u vøa t¼m ÷ñc gåi l  d÷ thù nh§t

• Chia h¤ng tû bªc cao nh§t cõa d÷ thù nh§t cho h¤ng tû bªc caonh§t cõa a thùc chia, cö thº l :

−5x3 : x2 = −5x

L§y d÷ thù nh§t trø i t½ch cõa −5x vîi a thùc chia ta ÷ñc d÷ thùhai:

2x4 −13x3 +15x2 +11x −3 x2 − 4x − 32x4 −8x3 −6x2 2x2 − 5x

−5x3 +21x2 +11x −3

−5x3 +20x2 +15x

x2 −4x −3Thüc hi»n t÷ìng tü nh÷ tr¶n, ta ÷ñc:

2x4 −13x3 +15x2 +11x −3 x2 − 4x − 32x4 −8x3 −6x2 2x2 − 5x + 1

¢ n­m ÷ñc c¡c b÷îc thüc hi»n ph²p chia mët bi¸n ¢ s­p x¸p

V½ dö: "Thüc hi»n ph²p chia a thùc (5x3 − 3x2 + 7) cho a thùc(x2 + 1)

L m t÷ìng tü nh÷ tr¶n, ta ÷ñc:

¸n ¥y ta th§y a thùc −5x + 10 câ bªc b¬ng 1 nhä hìn bªc cõa

a thùc chia (b¬ng 2) n¶n ph²p chia khæng thº ti¸p töc ÷ñc

Ph²p chia trong tr÷íng hñp n y ÷ñc gåi l  ph²p chia câ d÷, ÷ñcgåi l  d÷ v  ta câ:

(5x3 − 3x2 + 7) : (x2 + 1) = (x2 + 1)(5x − 3) − 5x + 10.” [[2], tr.31]

Tø ¥y ta c¦n chó þ håc sinh nh÷ sau:

- Ng÷íi ta chùng minh ÷ñc r¬ng èi vîi hai a thùc tòy þ A v  Bcõa còng mët bi¸n (B 6= 0), tçn t¤i duy nh§t mët c°p a thùc Q

v  R sao cho A = B.Q + R, trong â R = 0 ho°c bªc cõa R nhähìn bªc cõa B (R ÷ñc gåi l  d÷ trong ph²p chia A cho B)

- Khi R = 0, ph²p chia A cho B l  ph²p chia h¸t

* Nghi»m cõa a thùc mët bi¸n

"N¸u t¤i x = a, a thùc P (x) câ gi¡ trà b¬ng 0 th¼ ta nâi a (ho°c

x = a) l  mët nghi»m cõa a thùc â." [[1], tr 47]



= 2



−12

+ 1 = 0

x = −1 v  x = 1 l  c¡c nghi»m cõa a thùc Q(x) = x2 − 1, v¼Q(−1) = 0 v  Q(1) = 0

Khi â, c¦n ph£i chó þ håc sinh nh÷ sau:

"- Mët a thùc (kh¡c a thùc khæng) câ thº câ mët nghi»m, hainghi»m, ho°c khæng câ nghi»m

- Sè nghi»m cõa mët a thùc (kh¡c a thùc khæng) khæng v÷ñt qu¡bªc cõa nâ Ch¯ng h¤n a thùc bªc nh§t ch¿ câ mët nghi»m, athùc bªc hai câ khæng qu¡ hai nghi»m, " [[1], tr 47]

Cho A l  v nh giao ho¡n câ ìn và (kþ hi»u l  1).

°t P = {(a0, a1, , an, ) |ai ∈ A} , ai = 0 t§t c£ trø mët sè húuh¤n ∀ i ∈ N

Ta ành ngh¾a hai ph²p to¡n trong P nh÷ sau

Ta th§y f l  mët ìn c§u v nh Do vªy, ta çng nh§t a ∈ A vîi ph¦n

tû f(a) = (a, 0, , 0, ) Khi â ta câ thº coi A l  v nh con cõa P

P = {a0x0 + a1x + · · · + anxn|ai ∈ A, i = 1, n},

k½ hi»u P l  A[x] v  gåi l  v nh a thùc cõa ©n x, l§y h» tû trong A.Méi ph¦n tû thuëc A[x] gåi l  a thùc cõa ©n x ÷ñc kþ hi»u l : f(x),g(x),

Tø ¥y gi¡o tr¼nh ¤i sè ¤i c÷ìng ¢ ành ngh¾a v· a thùc mëtc¡ch têng qu¡t

"V nh P gåi l  v nh a thùc cõa ©n x l§y h» tû trong A, hay v­n t­t

v nh a thùc cõa ©n x tr¶n A, v  k½ hi»u l  A[x] C¡c ph¦n tû cõa v nh

â gåi l  a thùc cõa ©n x l§y h» tû trong A Trong mët a thùc

f (x) = a0x0 + a1x + · · · + anx

C¡c ai, i = 0, 1, n gåi l  c¡c h» tû cõa a thùc C¡c aixi gåi l  c¡ch¤ng tû cõa a thùc, °c bi»t a0x0 = a0 gåi l  h¤ng tû tü do." [[3],tr.100]

Ta gåi f(x) = a0x0+ a1x + · · · + anxn l  d¤ng ch½nh t­c cõa a thùc.Trong c¡ch x¥y düng v nh a thùc mët ©n tr¶n, ta ¢ k½ hi»u x l d¢y (0, 1, 0, , 0, ) n¶n ta ÷ñc v nh a thùc mët ©n A[x] l§y h» tûtrong A, x ÷ñc gåi l  ©n N¸u ta khæng k½ hi»u d¢y (0, 1, 0, , 0, )

l  x m  k½ hi»u l  y ho°c z th¼ ta ÷ñc v nh a thùc mët ©n A[y] ho°c

v nh a thùc mët ©n A[z] Do â s¡ch gi¡o khoa ¢ d¨n d­t håc sinh

¸n vîi kh¡i ni»m da thùc mët bi¸n

Trong c¡ch x¥y düng a thùc têng qu¡t, ta ¢ chån v nh h» tû A

l  v nh giao ho¡n câ ìn và Khi chån A l  v nh sè th¼ ta ÷ñc v nh

a thùc vîi h» tû l  c¡c sè Trong ch÷ìng tr¼nh trung håc cì sð ta ch¿nghi¶n cùu c¡c a thùc tr¶n c¡c v nh sè Z, Q, R

Tø ¥y ta th§y l¤i c¡c c¡c t½nh ch§t c¡c quy t­c v  c¡c ph²p to¡n v·

a thùc

b) C¡c ph²p to¡n v· a thùc

Tø c¡ch x¥y düng v nh a thùc mët ©n, ta th§y tr¶n â câ hai ph²pto¡n: ph²p cëng v  ph²p nh¥n l  c¡c ph²p to¡n hai ngæi, ngh¾a l  chohai a thùc ta luæn x¡c ành ÷ñc têng v  t½ch cõa chóng Trø i mët

a thùc ch½nh l  cëng vîi a thùc èi cõa nâ

* Ph²p cëng, trø a thùc

+) Ph²p cëng a thùc ÷ñc x¥y düng tr¶n ph²p to¡n cëng trong v nh

max m,n

X

k=0

(ak+ bk)xk s³ xu§t hi»n nhúng k½ hi»u nh÷ P, max{m, n},

ak, bk, xk khi¸n håc sinh c£m th§y n°ng n·, khâ hiºu, khâ h¼nh dung v·c¡ch thüc hi»n cëng hai a thùc Do â s¡ch gi¡o khoa ¢ ÷a ra v½ dö

cö thº º håc sinh câ ÷ñc sü ành h¼nh rã r ng hìn

+) Ph²p trø hai a thùc b£n ch§t l  ph²p cëng cõa a thùc trø vîi

a thùc èi cõa a thùc bà trø Do â vi»c thüc hi»n ph²p trø hai athùc công t÷ñng tü nh÷ ph²p cëng hai a thùc

m  tr¼nh b y l¦n l÷ñt quy t­c nh¥n hai ìn thùc ð ch÷ìng tr¼nh to¡n 7,sau â l  nh¥n ìn thùc vîi a thùc, nh¥n hai a thùc ÷ñc ti¸p nèi ðch÷ìng tr¼nh to¡n 8.

* Ph²p chia a thùc

+) Ph²p chia vîi d÷

Trong möc 1.2.2, ta ¢ th§y n¸u A l  mët mi·n nguy¶n th¼ A[x] công

l  mët mi·n nguy¶n Ta tü °t c¥u häi: n¸u A l  mët tr÷íng th¼ A[x] câph£i l  mët tr÷íng hay khæng? C¥u häi ÷ñc tr£ líi ngay tùc kh­c, A[x]khæng ph£i l  mët tr÷íng v¼ a thùc x ch¯ng h¤n khæng câ nghàch £o.Tuy vªy trong tr÷íng hñp n y A[x] l  mët mi·n nguy¶n °c bi»t, nâ l mët v nh ìclit ngh¾a l  mët v nh trong â câ ph²p chia vîi d÷ Khi â

ta câ ành lþ v· ph²p chia vîi d÷

ành lþ 1.1 Gi£ sû A l  mët tr÷íng, f(x) v  g(x) 6= 0 l  hai a thùccõa v nh A[x]; th¸ th¼ bao gií công câ hai a thùc duy nh§t q(x) v  r(x)thuëc A[x] sao cho

f (x) = q(x).g(x) + r(x), vîi deg(r(x)) < deg(g(x)) n¸u r(x) 6= 0.Chùng minh: Tr÷îc h¸t ta h¢y chùng minh t½nh duy nh§t Gi£ sû

f (x) = g(x)q0(x) + r0(x), vîi deg r(x) < deg g(x) n¸u r0(x) 6= 0

Cán sü tçn t¤i cõa q(x) v  r(x) th¼ suy ra tø thuªt to¡n d÷îi ¥y.T¼m q(x) v  r(x) gåi l  thüc hi»n ph²p chia f(x) cho g(x) a thùc q(x)gåi l  th÷ìng, a thùc r(x) l  d÷ cõa f(x) cho g(x) Vi»c t¼m th÷ìng

v  d÷ l  tùc kh­c n¸u deg f(x) < deg g(x) Ta ch¿ c¦n °t q(x) = 0,r(x) = f (x) Trong tr÷íng hñp tr¡i l¤i ta dòng nhªn x²t sau ¥y:

N¸u ta bi¸t mët a thùc h(x) sao cho

f (x) = g(x)(h(x) + q1(x)) + r1(x)

tø â

q(x) = h(x) + q1(x), r(x) = r1(x)Trong thüc ti¹n, vîi

f (x) = amxm+ am−1xm−1+ + a0

g(x) = bnxn+bn−1xn−1+ +b0, bn 6= 0v  n ≤ m l§y h(x) = am

bn x

m−n, th¼deg f1(x) = f (x) − g(x)h(x) < deg f (x), ho°c f1(x) = 0 Trong tr÷ínghñp f1(x) = 0, d÷ r(x) = 0 v  th÷ìng q(x) = h(x) N¸u f(x) 6= 0 ta ti¸ptöc vîi f1(x), ta ÷ñc f2(x) D¢y a thùc f1(x), f2(x) câ bªc gi£md¦n Khi ta i ¸n mët a thùc câ bªc thüc sü b² hìn bªc cõa g(x) th¼

a thùc â ch½nh l  d÷ r(x) º nh¼n th§y rã hìn ta h¢y vi¸t ra c¡c b÷îc

m  ta ¢ thüc hi»n º ÷ñc d¢y f1(x), f2(x)

f1(x) = f (x) − g(x)h(x)

f2(x) = f1(x) − g(x)h1(x)

Trong ph²p chia f(x) cho g(x), n¸u d÷ sè r(x) çng nh§t b¬ng 0 th¼

ta nâi a thùc f(x) chia h¸t cho a thùc g(x) Nh÷ vªy,f(x) chia h¸t cho

g(x) n¸u tçn t¤i a thùc q(x) sao cho f(x) = q(x).g(x) Trong tr÷ínghñp n y ta công nâi g(x) chia h¸t f(x), g(x) l  ÷îc cõa f(x) ho°c f(x)

l  bëi cõa g(x) Kþ hi»u t÷ìng ùng l  g(x)|f(x) v  f(x) g(x) Tø ¥y ta

câ kh¡i ni»m ÷îc chung lîn nh§t, bëi chung nhä nh§t

ành lþ 1.2.3 ch¿ óng khi A l  mët tr÷íng, nh÷ vªy èi vîi ch÷ìngtr¼nh ¤i sè ð trung håc cì sð, khi x²t c¡c a thùc vîi h» sè húa t¿, h» sèthüc, h» sè phùc, ành lþ 3 luæn ¡p döng ÷ñc v¼ tªp Q, R câ c§u trócmët tr÷íng

ành lþ tr¶n v¨n óng n¸u v nh cì sð A l  mi·n nguy¶n væ h¤n v h» tû cao nh§t cõa g(x) = 1 n¶n ành lþ tr¶n óng trong Z[x] khi h» tûcao nh§t cõa g(x) = 1 Do â trong ch÷ìng tr¼nh trung håc cì sð, ta v¨nthüc hi»n chia hai a thùc vîi h» sè nguy¶n công nh÷ h» sè húu t¿, h» sèthüc M°c dò ành lþ 1.2.3 khæng ÷ñc ÷a v o gi£ng d¤y cho håc sinhnh÷ng thüc ch§t thüc hi»n ng¦m theo ành lþ n y khi chia hai a thùc

1.2.2 Bªc cõa a thùc

Quay trð l¤i c¡ch x¥y düng v nh a thùc mët ©n, x²t mët d¢y(a0, a1, , an) thuëc v nh P V¼ c¡c ai b¬ng 0 t§t c£ trø mët sè húuh¤n n¶n n¸u (a0, a1, , an) 6= (0, 0, , 0) th¼ bao gií công câ mëtch¿ sè n sao cho an 6= 0 v  ai = 0, i > n Theo nh÷ tr¶n, ta vi¸t(a0, a1, , an, 0, ) = (a0x0 + a1x + · · · + anxn)

Tø ¥y ta câ ành ngh¾a bªc cõa a thùc kh¡c 0

"Bªc cõa a thùc kh¡c 0 vîi f(x) = (a0x0 + a1x + · · · + an−1xn−1+

anxn), l  n H» tû an gåi l  h» tû cao nh§t cõa f(x)." [[3], tr.100]

K½ hi»u: deg f(x) = n

Nh÷ vªy ta ch¿ ành ngh¾a bªc cõa mët a thùc kh¡c 0 èi vîi athùc 0 ta b£o nâ khæng câ bªc Do â s¡ch gi¡o khoa ¢ d¨n d­t håcsinh ¸n vîi kh¡i ni»m bªc cõa a thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n 7.

Tø ¥y ta câ t½nh ch§t v· bªc cõa a thùc têng v  t½ch, thº hi»n quahai ành lþ sau ¥y

ành lþ 1.2 Cho f(x), g(x) l  c¡c a thùc kh¡c 0, câ bªc m, n t÷ìngùng Khi â:

a) N¸u m 6= n th¼ f(x) + g(x) 6= 0 v  deg(f + g) = max{m, n}

N¸u m = n v  n¸u th¶m núa f(x) + g(x) 6= 0 th¼ deg(f ± g) ≤max{m, n}

b) N¸u f(x).g(x) 6= 0, th¼ ta câ deg(f.g) ≤ m.n

ành lþ 1.3 N¸u A l  mët mi·n nguy¶n, f(x) v  g(x) l  hai a thùckh¡c 0 cõa v nh A[x], th¼ f(x).g(x) 6= 0 v  deg(f(x).g(x)) = m + n.Trong ch÷ìng tr¼nh to¡n 7, to¡n 8 th¼ håc sinh khæng ÷ñc håc ành

lþ n y nh÷ng công ¢ ng¦m vªn döng nâ trong gi£i to¡n Tø â ta câh» qu£ sau:

"N¸u A l  mi·n nguy¶n, th¼ A[x] công l  mi·n nguy¶n." [[3], tr.101].N¸u A l  mi·n nguy¶n th¼ A[x] công l  mi·n nguy¶n, ngh¾a l  t½chcõa hai a thùc kh¡c 0 l  mët a thùc kh¡c 0 Trong ch÷ìng tr¼nh phêthæng, v nh cì sð A l  Z, Q, R l  c¡c mi·n nguy¶n n¶n t½ch hai a thùckh¡c 0 luæn l  mët a thùc kh¡c 0 ¥y l  cì sð quan trång khi gi£i to¡nv· a thùc