Mối quan hệ giữa hệ số và nghiệm của đa thức qua các bất đẳng thức

Bất đẳng thức liên quan đến nghiệm của đathức ..... Bất đẳng thức liên quan đến hệ số của đa thức.. Bat đăng thức liên quan đến mômen và hệ số của các đa thức eôsin không âm ..... Nhận x

Mục lục Qui 1 Lời cảm ơn Q Q Q Q Q HQ ee 2

Bảng các ký hiệu 3

Mở đầu Q Q QQ Q o 4 Chương | Bất đẳng thức liên hệ giữa hệ số và nghiệm của đa thức đại số 7 1.1 Bất đẳng thức với đa thức bậc thấp 7

1.11 Bất đẳng thức với tam thức bậchai 7

1.1.2 Bất đẳng thức với đa thức bậc ba 10

1.1.3 Bất đẳng thức với đa thức bậc bốn 12

1.2 Một số tam thức quan trọng 17

1.3 Bất đẳng thức với đa thức có các nghiệm thực 21

1.4 Bất đẳng thức liên quan đến nghiệm của đathức 35

1.5 Bất đẳng thức với đa thức không âm 42

1.6 Bất đẳng thức liên quan đến hệ số của đa thức 44

Phu luc 2.2 0.00.00 002 ee ee 52 Chương 2 Bất đẳng thức liên hệ giữa hệ số và nghiệm của đa thức lượng giác 54 2.1 Bất đẳng thức về tổng lượng giác 54

2.2 Bat dang thức với chuẩn” 63

2.3 Bất đẳng thức cho nhân Dirichlet 68

2.4 Bài toán cực trị trong các đa thức lượng giác 70

2.5 Bat đăng thức liên quan đến mômen và hệ số của các đa thức eôsin không âm co 74 Kết luận 79

Tài liệu tham khảo 80

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS TS Ta Duy Phượng

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo -

PGS TS Tạ Duy Phượng, người đã luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tôi làm luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu Tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân, bạn bè cùng học ,

đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận

văn này

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Nguyễn Đình Quang

1 Lí do chọn đề tài

Trước tiên ta xét một số ví dụ đơn giản sau đây

Thí dụ 1 (Schoenberg, 1960)

Kí hiệu # là tập tất cả các đa thức thực P(z) = az? + bz + e không

âm trên đoạn [—1, I] thỏa mãn điều kiện 1) P(z)dz = I Khi đó

—4a3e + a?b? + 18abe — 4b3 — 27c? > 0

Thí dụ 5 (Đề thi chọn đội tuyển Olympic Việt Nam, 1994)

Giả thiết rằng đa thức bậc bốn có bốn nghiệm dương Chứng minh

rằng phương trình

l1—-4z

+2 | mộ) P'(x) — P"(x) =0

Pie) (0- x cũng có bốn nghiệm dương

Thí dụ 6 (Olympic Hungari, 1979)

Đa thức P (+) có bậc không lớn hơn 2ø Biết rằng với mỗi số nguyên k€[—n,n] bất đẳng thức |P(E)| < 1 được thỏa mãn Chứng minh rằng với mọi số z € [—n,n] ta có bất đẳng thức

|P(x)| < 2”

Nhận xét

Những ví dụ trên cho chúng ta thấy mối quan hệ giữa các hệ số của

đa thức và các nghiệm của nó, mô tả thông qua các bất đẳng thức nào

đó Qua đó chúng ta có thể hiểu sâu sắc hơn về đa thức và nghiệm của

nó

Theo chúng tôi, đây là một cách tiếp cận hay trong lý thuyết đa

thức Vì vậy tôi chọn đề tài này làm đề tài luận văn cao học

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu và trình bày tổng quan về các bất đẳng thức liên quan đến

hệ số và nghiệm của đa thức.

Tìm hiểu lý thuyết đa thức và các vấn đề liên quan

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Đa thức P„(2)

Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu liên quan đến quan

hệ giữa nghiệm của đa thức và hệ số của đa thức

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, hình học giải tích và

giải tích phức để tiếp cận và giải quyết vấn đề Thu thập và nghiên cứu

các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về vấn đề mà luận

văn đề cập tới

6 Đồng góp của luận van

Luận văn được viết chủ yếu dựa trên Chương 2 (trang 85-172) của cuốn sách [12], có tham khảo thêm các tài liệu khác

Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học, giáo viên và học sinh về các bất

đẳng thức liên quan đến quan hệ giữa hệ số của đa thức và nghiệm của nó

Bổ sung và hoàn chỉnh hai chương trong bản thảo bộ sách Phuong trình đa thúc của tác giả PGS TS Tạ Duy Phượng

Bất đẳng thức liên hệ giữa hệ số và

nghiệm của đa thức đại số

1.1 Bất đẳng thức với đa thức bậc thấp

Mục này trình bày các kết quả cơ bản cho đa thức với bậc không quá

bốn, cùng với các tính chất của chúng như tính dương, tính đơn diệp,

- Hơn nữa, ta cũng xét các mở rộng tương ứng cho các đa thức có bậc

cao hơn

1.1.1 Bất đẳng thức với tam thức bậc hai

Dinh ly 1.1.1 (Moser va Pounder, 1962) Néu ax? + bx +c 1a mot tam

thức bậc hai với các hệ số thực và có các nghiệm thực, thì

9

a+b+c< q max {a,b,c}

Bài toán thú vị trên được Dixon tổng quát hóa thành:

Dinh ly 1.1.2 (Dixon) Néu P(x) = a,x" + ay_yx"7! + + + ar + ay

là một đa thức bậc n với các hệ số thực và chỉ có các nghiệm thực, thì

So a < A, max a, va min a, < B, max a;

0<k<n 0<k<n 0<k<n k=0

A), = — mn+UỤ Đụ — + s— ñ

Tiếp theo ta có

Định lý 1.1.3 Nếu P(z) = az° + bz + c là một tam thức bậc hai với

các hệ số phức khác không thì nghiệm của nó phải nằm trong đĩa đóng

b

|z|< P| + Fl a b (1.1.1) Thật vậy, ta có

Schoenberg đã xét bài toán cực trị thú vị sau đây

Dinh ly 1.1.4 (Schoenberg, 1960) Ki hiéu F 1A tap tat ca cdc da thitc

thuc P(x) = ax* + be + c không âm trên [—1;1] thỏa mãn điều kiện

Ji, P (a) dx = 1 Khi đó

2

min (mạn 2) ==

-I<r<1 \ Per 3 Chứng minh

Dễ dàng kiểm tra được rằng cả ba đa thức

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = +3

Suy ra max P(r) > 2 voi Pe F

Do đó max P max P (5) = 3 hay min max P (5) = 5 =2hay min max P (4) =2

Vay min max P (x) = l Điều phải chứng minh

~1<z<1 PeF

Nhận xét 1.1.1

Bài toán Schoenberg có thể được giải quyết bằng cách biểu diễn của các

đa thức không âm trên đoạn [—I, 1] dưới dạng

Do đó, nếu nghiệm z;,¿ = 1,2,3 của đa thức P (z) là những số thực và

< 2V⁄a3—3ai—a¿

U¿ = đi — À =1, +7 <~ TV SH — 2 /—

Vì p và q là những số thực v va Y1 > Yo Sy 1a là các nghiém thuc cia Q(y)

Lj thi nenien¢ của đa thức ° (y) citing la nhitng s6 thuc va

nén

Qy =" +pyta=(y-wWly + my + yi +P):

Từ đó ta thấy:

e Hai nghiệm còn lại 12; của Q() là các nghiệm thực của phương trình bậc hai ÿ” + + + gu +p = 0 Suy ra A= y? —4(y? +p) > 0,

hay yj < —48, tiie la yy < 2\/- Py a ni = San Vậy

nghiệm thực, tức là A = gÿ — 4(wƒ + p) < 0 hay yÿ > —'"

Như vậy trong bài toán ban đầu ta có thể nói rằng: Hoặc tất cả ba

nghiệm của (*) là thực và chúng thỏa mãn bất đẳng thức (**) hoặc (*)

chỉ có một nghiệm thực là z¡ thỏa mãn bất đẳng thức

2

, va =3ar = a2)

1> ¬————

Định lý 1.1.6 (Verblunsky, 1950) Điều kiện cần và đủ để đa thức bậc

ba z”+p+?+qg#-+1 > 0 với mọi z > 0, trong đó p € ]R, ạC€ ]R, p+rq+3 > 0

là:

pq +6(p+q) +9+2p+q+3): > 0

Định lý 1.1.7 (Wrona, 1966) Xét đa thức thực bậc ba: P(z) = + +

pz + q với các nghiệm +, #a,+3 Đặt

3) Nếu D > 0 và p >0 thì /p< d< \[p+ 12:

4) Nếu D > 0 và p< 0 thì v3V=†~ v=p< d<9\|p+3W12

1.1.3 Bất đẳng thức với đa thức bậc bốn

Đối với đa thức thực bậc bốn, ta có:

Định lý 1.1.8 (Mafisk) Cho P (#) = aạ#* + 4aizở + 6aa#° + 4as# + dạ

là đa thức có các hệ số thực với ag > 0, |aa| + |a4| > 0 Đặt

Da thitc (1.1.2) théa man diéu kién P (x) > 0 vdi moi x > 0 nếu một và

chỉ một điều kiện sau được thỏa mãn:

C, bất đẳng thức |P.(z)| < 1 luôn đúng trừ điểm z = 0 Một thời gian

sau Ơ Lowener đã thiết lập một đa thức (1.1.3) có tính chất: Trên mọi

bán kính của đĩa đơn vị luôn tồn tại một điểm mà tại đó |P(z)| > 1

Trong khi đó, Erdös, Herzog, và Piranian cũng đã thảo luận câu hỏi sau

day: Tén tại hay không hằng số L sao cho uới mọi đa thức (1.1.3) bat đẳng thức |P{(2)| < L đúng trên một đường nối gốc tọa độ tới Ở nà có

chiều đài lớn nhất là L?

Erdös, Herzog, và Piranian giải quyết câu hỏi này với đa thức (1.1.3)

trong trường hợp n < 4 và thu được kết quả sau |6]

Định lý 1.1.10 Cho P(z) = [|] (z— z,), với |z„| = 1 Với n < 4, tồn

val

tai hai gid tri 6’ va 0" sao cho với < r < +œ ta có

|P (rei) | <|l—r"| va |P (re”’)| >1+r' (1.1.4)

Chứng minh

Ta chỉ cần chứng minh (1.1.4) cho trường hợp n = 3 va n = 4

Trường hợp ø = 1 và ø = 2 bất đẳng thức (1.1.4) dé dang thỏa mãn

Trường hợp n = 3: Gọi œ, Ø,+ là ba góc tạo bởi các bán kính 0z„, với

2->œ>j8>x~>0vàa+8+>*x=2m Suy raa > 2

Ching minh sy t6n tai cia 6’: Dé chttng minh sự tồn tại của Ø', ta

ip dat 2) =1, 2 =e’, 2; =e Ta sé chitng minh rang |P (r)| < |L— r3|

và vì vậy giá tri 6’ = 0 thỏa mãn tính chất đòi hỏi

Chứng minh sự tồn tại của 6“ Giả sử œ, 9,+ là các góc xác định như

, =e? VA 2 = el(=*9) Ta sé chi ra rang|P (r)| >

Phần còn lại của chứng minh œ sẽ nằm trong khoảng = <a< 1 Khi

dé: Dat t = cos 5, suy ra cos 2 = 4ƒ — 3f và < £ <

Vir S$ +8 < 8, tacé |r — 25] 2 [r— 3e#

là không âm với 0 < r< œ và 0< f <š

Từ đó ta có A“= Air (1+?!) + 4¿r? (L+r?) + 4sr?, trong đó

A, = 2t(1—4t?) >0; Ay = (1-4?) (3-80?) >0; As = —24-4t+8t°—-328°

Do đó, A” > r? (2Ay + As) > 0

Trudng hgp n = 4: Goi a, 6,7, 6 theo thit tu 1A bén góc không âm tạo

Suy ra điều phải chứng minh

Chứng minh sự tồn tại của 6“: Chọn œ,đ,+,ðổ tương tự như trên

Giả sử

œ+Ø>xz>;+ðœ+ô>z>8+*>,8> (1.1.6)

Ta chia ra hai trường hợp :

e Nếu œ > ta chứng minh |P(r)| > 1+r với U <r< œ

— Với œ > ø ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 1.1.2 Trong trường hop nø = 4 bất đẳng thức |P(z)| > 1

không nhất thiết đúng mọi nơi trên đường phân giác của góc lớn nhất trong bốn góc trên Thí dụ, chọn z¡ =6°, z= -1, 2%=2%=e3 ta

có P ()| = V3 < 1 Thậm chí cho phép tính liên tục, ta thấy rằng

nếu œ > Ø > + > 65> 0 thì bất đẳng thức |P(z)| > 1 không nhất thiết

thỏa mãn tại mọi điểm trên đường phân giác của góc œ

Bài toán xác định giá trị lớn nhất của øœ là bậc của đa thức (1.1.3) luôn

luôn thoả mãn bất đẳng thức (1.1.4) trên hai bán kính tương ứng của đĩa đơn vị hoặc trên hai tia từ gốc tọa độ dường như là một vấn đề thú

vi

1.2 Một số tam thức quan trọng

Chúng ta bắt đầu với kết quả đáng chú ý sau:

Với mọi số thực œ uà số chăn n bất kù luôn có:

Chẳng hạn, khi ta thay z bởi (=) ” với ụ># >0 và ” = À, ta thu được

bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân có trọng số (AG)

Dilcher, Nulton va Stolarsky đã nghiên cứu sự phân bố nghiệm của đa

thức (1.2.2) Dưới đây là các kết quả của họ

Cho đường tròn C = {z€C | |z]}=1} va ki hiéu gced(m,n) là ước

chung lớn nhất của hai s6 nguyén m va n

Dinh ly 1.2.1 (Dilcher, Nulton va Stolarsky) Gia stta > b > 0 là các

so thuc van > m > 0 IA cdc 86 nguyén Khi đó số nghiệm của tam thức

P (z) = bz" — az" +a—b nam han trong C lA m—ged(m,n) néu ¢ > 2

và là mm nếu TS

Hệ qua 1.2.1 Néun > m > 0 là hai sỗ nguyên nguyên tố cùng nhau

thì tam thức T{z)trong (1.2.3) có m — 1 nghiệm nằm hẳn bên trong Œ

và m — mm — 1 nghiệm nằm hẳn bên ngoài C và một nghiệm kép z = 1

Thay ø bởi e! ta được đa thức hàm số mũ P (£) = I— À+ Àe! — e*, Tiếp

tuc thay e’ béi (1+ £)", khi đó P() có dạng

dần đến về trái của (1.2.4) khi — +œ

Kết quả sau đây cho ta thấy khi giá trị ø nhỏ (phụ thuộc À), sự phân

bố các nghiệm của đa thức Q„ (z) không phụ thuộc vào X

Định lý 1.2.2 Nếu 0 < À < 1 là một số thực bắt kì cho trước, thì đa

thức Q„ (z) = Àz"+1—À—(Àz+1—À)” vô nghiệm bên trong đường

tron don vi C khin < = +1

Dinh ly 1.2.3 (Dilcher, Nulton và Stolarsky) Nếu À cho trước và n đủ

lớn, thì đa thức Q„(z) = Àz" +1 — À— (Az~+1—À)” có nghiệm bên

trong đường tròn Œ khi và chỉ khi À không là nghịch đảo của một số nguyên dương

Brannan đã nghiên cứu tính đơn điệp (univalence) của họ đa thức phụ thuộc tham số £ dạng 3 (z) = z + asz? + tzỶ trong đĩa đơn vị, với f

là số thực dương

Định lý 1.2.4 (Brannan) Với 0 < † < }, tam thức P; (z) là đơn diệp

trong |z| < 1 khi va chi khi ay nim trong ellipse

Định lý 1.2.5 (Dấu hiệu Dieudonné)

Đa thức P(z) = z + a¿z? + - + a,z" là đơn diệp trong |z| < 1 khi và

chỉ khi với mọi giá trị 0 € [0,5] đa thức liên kết

0 (2,8) + sing 022 + sind ”"*

không triệt tiêu trong |z| < 1 Khi 0 = 0, ð(z,8) có thể hiểu là P,' (z) Dinh lí 1.2.4 cũng được tìm ra bởi Cowling và Royster bằng một cách

khác Trong khi đó, Ruscheweyh và Wirths, Rahman và 5zynal đã xét tam thức tổng quát hơn là

P(z)=2+Qnz" + „z?"~!, với mm € ÑN\ {1}, a„,Ø„ € C

Dinh ly 1.2.6 (Rahman và Szynal) Gia sit P (z) = z+a,2™+t2""!,

với t là số thực đương va a, € C Néu

, Ở đây Sj, (wu) 1a da thitc Chebyshev loai 2 bac k, thi P (z) don diệp trong

mién |z| <1 khi va chi khia,, ném trong giao Dn = (),, Emu Cla cdc

Thay m = 2, ta thu được Định lí 1.2.4 cha Brannan

Để chứng minh Định lí 1.2.6, Rahman và 5zynal sử dụng các bổ đề sau

Bổ đề 1.2.1 Nếu P(z) =1+az+bz? (bE R, a €C) khong triét tiêu

trong mién |z| < 1 thi a nam trong ellipse

Rahman và Waniurski đã xét tam thức bất kì dạng z + a„z” +

Dinh lý 1.3.1 (Peyser) Cho P(z) = (œ— zi) -(œ— #„), ở đây

Z4, ,®„ là các số thực thỏa mãn z„ < z;.¡với mọi k = 1, ,m — 1

Đặt

P'(a) =n (a= yi) +++ ("= Yur)

VỚI # S Yp S Cpa, VA Avy = Vey — 2p, kK = 1, ,n —1 Khi do, voi

Hệ quả 1.3.1 Nghiệm y (1 < k <n— 1) của P' thỏa mãn bất đẳng thức #y + n < yy, < eye — A n

Điều này có nghĩa là mỗi nghiệm y, khong thể bằng z¿ hoặc z¿¡ và khoảng cách giữa z;và #;„¡ lớn hơn 4, Đánh giá này không phụ thuộc vào chỉ số k mà nó chỉ phụ thuộc vào bậc của đa thức P

Định lý 1.3.3 (Olds và Starke) Nếu các nghiệm của phương trình

aye” — Chaya" | + CPag a”? — + + (-1)"a, = 0, (1.3.3)

là dương và phân biệt thì

Ay > OAs

với mọi p,q,r, s sao cho p+ q=r + s và |p — q| < |r — sỊ

Đặc biệt,

Gpd„—p > dọạđ, (p = 1, trẻ T —— 1)

Jolliffe đã xét đẳng thức (1.3.3) khi øạ = 1 và chứng minh được ø„? >

a„_a,.¡, với điều kiện các nghiệm là những số thực

Fransén và Lohne đã chứng minh một bất đẳng thức đơn giản sau:

Cho da thúc thực

P(x) = apt" + aya! Fe + Gy 10 + On (aoa, # 0),

tới tất củ các nghiệm x1, ,€n, déu dudng, ta cé:

đy 1Ùy < dyÐy_ 1 (k = Ì, ,T — 1) :

Bat dang thitc sau cho ta thay méi lién hé gitta P (x), P’ (x) va P” (x)

là các đa thức với nghiệm thực:

Nếu tất cả các nghiệm của đa thức thực P (z) bậc ø là thực thì

(n — 1) P'(x)? — nP (x) P" (x) > 0

Gọi z„ (u = 1, ,m) là tất cả các nghiệm của đa thức P bậc n Ding

đạo hàm logarit cho đa thức ?, ta có:

n

P(x)? — P(x) P" (x) = P(x) ` !

v=1 (x ~ Ly)

Nếu P là đa thức với nghiệm thực thì ta được bất đẳng thức Laguerrc:

P(z)}— P(z)P"(z)>0 (œeR)

Dilcher và Stolarsky đã nghiên cứu chỉ tiết về nghiệm của đa thức đặc

biệt

Q(x) = P(x)’ — P(x) P" (2)

Cho P(z) là đa thức thực bậc n với các nghiệm thực 2, ,2, va cho là

các nghiệm của đạo hàm / sao cho #ị < : < #„ Và ị < - < „-ạ

đối với các đa thức trong nhóm trên

Với đa thitc 4 Ft) ta GÓ:

Đẳng thức xảy ra khi ƒ (z) = 32

Như vậy, bất đẳng thức đầu tiên trong (1.3.9) đã được chứng minh

Tuong tu, dit d(x) = —f (x) + 4M 2”, ching ta chitng minh duge bat

Người ta còn gọi số ø (P) là span của đa thức P

Định lý 1.3.6 Véi moi P € P,, (a1, a2) ta co:

Bất đẳng thức bên trái trở thành đẳng thức khi và chỉ khi

đa thức ?„ (ø,ø;¿) Trước tiên ta chứng mỉnh rằng

Nếu P € P,, (a1, a2) c6 dang P (#) = (œ — #¡) (# — #„)(œ — #)""”thì xây

ra dấu bằng Dặt tên các thành phan trong P,, (a1, a2) chỉ gồm một dang

như trên là P* Công thức (1.3.12) chứng minh xong

Mặt khác, k ¬ k) < pq với dẫu bằng xảy ra khi và chỉ khi k = p= [š ] hoic k = q = [ett nfl

A< mot PP

Cuối cùng, đặt P, chứa các thành phần trong ?„ (a¡,a;) chỉ gồm một

] Diéu nay cho phép ching ta khang dinh rang

dang (x — x) (« — an, k = p hoặc k = g

Vậy thì

A min o(P)=oa(P,) =,4/—

Pe P,, (a1,a2) ( ) ( ) pq

Lupas nghiên cứn phiếm hàm m va thu được kết quả như sau:

Định lý 1.3.7 (Lupas) Nếu P € P„ (am,a¿) thì m(P) <S 4/3*

đa thức đã được cho tự động Ở đây chỉ cần xét đa thức một biến với

nghiệm nằm trong đoạn [—1; 1] Khi đĩ tất cả các nghiệm của P#) đều nằm trong đoạn ấy

Bài tốn là hiển nhiên nếu ø > 2k + 2

Trong trường hợp này, ta đặt k + 1 nghiệm của P tại mỗi đầu mút + = +1, do đĩ Pử) sẽ cĩ nghiệm là hai đầu mút, và do đĩ nĩ cĩ spàn là

2

Nếu ø > 2k + 2 thì một vài nghiệm của P là tùy ý

V6i n = 2k +2 thi span cia o (P™) đạt cực đại chỉ khi P(x) = (2? _ là

Robinson đã xét trường hợp khơng tầm thường trong bài tốn này, tức

là khi k+2 < n < 2k + 1, và ơng đã chứng minh rằng ø (P) cĩ thể

đạt cực đại chỉ khi tất cả các nghiệm của P ở tại các đầu mút x = +1,

tức là khi P(z) = (z — 1)”(z + 1) với p+ q = n

Cho k = ø — 2 hoặc k = n — 3 Robinson đã xác định được giá trị đúng của các spøn tương ứng như sau

Gọi ?„„ là một lớp các đa thức P(z) = e [[ (a — #,) với nghiệm thực

( —*——cos0,, nếu m„ là sô lẻ

6 day, 0, = 3 arcsin m-2vna

Bay giờ chúng ta xét bài toán xác định spam nhỏ nhất của đạo hàm cấp

k của đa thức trong lớp ?„.„, tức là đi tìm

min o (P“) (k = 1, ,.n —2) (1.3.14)

PEP rs

Giá trị chính xác của (1.3.14) với mọi k đã được tìm ra bởi 5z.-Nagy Kết quả tương tự như vậy cũng được chứng minh bởi Meir và Sharma

Khi k = 1, Ahmad đã tìm ra một cận trên cho (1.3.14)

Dinh lý 1.3.8 Cho k = I1, ,n — 2, ta có:

min z(P") =„(= TH), Pc?„„ n n=— (1.3.15)

và chỉ đạt được với các đa thúc có dạng:

c{( — a)"? (tz —a)— s*) (acc R)

Chứng mình

Meir và Sharma kết luận rằng chỉ cần chứng minh (1.3.15) cho trường hợp k = 1 va n > 3 That vay, 4p dung (1.3.15) cho

PU-) (jf =1, ,k)

ta có:

> (P”) So (Pe) (+) , (j =1, È),

cÁn)>en (Sim) canh 25 71):

với đăng thức xảy ra chi khi o (P’) = o (P) (= 2), Trước hết ta chứng

Do đó

minh (1.3.15) với k = 1, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử

ø = Ì và nghiệm của P € ?„¡ thuộc đoạn [—1; 1] Khi đó:

P(ø)= TT») ,„—l<#‡< -<z„ s < 1

Giả sử ị < - < 0„_¡ là nghiệm của P' Rõ ràng giá trị nhỏ nhất của

ø(P') không thể xảy ra nếu z¡ = —I1 và #„_; = 1 Từ định lí Rolle ta suy ra một trong hai điều sau:

(i) Ca y, va 0„_¡ là các nghiệm cực trị của phương trình

Ta thấy giá trị nhỏ nhất của ø(P') không xảy ra trong trường hợp

#ị < #„-s Cụ thể trong trường hợp phân biệt giữa một phần ; đối với

z¡ trên siêu phẳng #¡ + #„_;¿ = const, ta có (1.3.16)

mm (1 — 2p) (m1 Yi — 21) (wi — Tạng)”

Vi ị < #¡ < #„_¿ nên on > 0 Bang cách tương tự ta thấy trường hợp () cũng như trường hợp (i1) chỉ có Pham <0, vi vay

Giả thiết biết sự phân bố các nghiệm của các đa thức, Meir và Sharma

đã chứng minh các kết quả sau:

Định lý 1.3.9 Giả sử ?} là lớp con của tất cả đa thức có bậc n, với nghiệm z„,(u = 1, ,m) thỏa mãn điều kiện

Định lý 1.3.10 Giả sử ?? là lớp con của tất cả đa thức có bậc n, với nghiệm #„ (0 = 1, ,m) thỏa mãn điều kiện 3) #ø} < n Nếu k < n — 9

với e # 0 là một hằng số tùy ý và Q là một đa thức có bậc lớn nhất

bằng k — 1

Meir va Sharma đã nghiên cứu về span của tổ hợp tuyến tính của các

đạo hàm của đa thức Cụ thể, họ xét các toán tử vi phân có dạng:

h(D) =]] (D+a0,;)(D=—, ala hing sé i (D) II: + a;) ( qq’ © le hing so

với bài toán xác định spøn lớn nhất của h(D)P(z) khi P € ”} và PC7? Khi tất cả œ; cùng dấu và P € P!, Meir va Sharma da chi ra n2

ở đây p, q, r 1a cdc sé nguyén khong 4m, p+qg+r=n >0 vac lA mot

số thực Cho ||P|| và # định nghĩa như sau :

(œ6) =(Eta+Ø)7720+a=Ø) 7® 70=<e+@) 01 =a=8)

với < œ,Ø,œ + 8 <1, Elbert thu được các kết quả sau:

Định lý 1.3.12 Nếu # > a với 0 < œạ < 1 thì

[Pll > sli (a0, 0)

Dấu bằng xảy ra khi vã chỉ khi ay = 1 hay lA p =n hoac q = n

Dinh ly 1.3.13 Cho 2 sé p, q va |z| = aj Giả sử p < q khi đó:

|P|| =

afi (o/nay amy — a¿ (q/n)” — ae? } , khi g? — pỲ > a’n?

afi (Vou? + (win ay? + (p/n)? Fon) khi q? — p < a?n?,

Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi ay? = 1 — 2F

Trong trường hợp q < ø chỉ cần hoán đổi vai trò của p và q

Cho đa thức thực P bậc ø với tất cả các nghiệm thực dương

#„ (0 = 1, ,m), Aihara nghiên cứu dấu của biểu thức

Ta lay vi du P (x) = (2 — a) (a —b)""* (a, b > 0), ta thay, F, = 2(

Do đó, F3 c6 thé bang không, dương hoặc là số âm

Dinh ly 1.3.14 (Aihara) D„„ = 0 vdim = 1,2, ,p

Dinh ly 1.3.15 (Erdés) Néu da thtte P(x) = c + ae +++: +

Crt", CoC, # 0, chỉ có các hệ số nguyên và tất cả các nghiệm nằm

trong khoảng (—1; 1) thì |e„| > 2"

Tổng quát hơn, là kết quả của Reddy:

Định lý 1.3.16 (Reddy) Nếu

P(z) = Œ„ (% — #1) (& — #a)-©'(œ — #„), với n > 1,

có tắt cả các nghiệm nằm trong đoạn [—1; 1] và thỏa mãn điều kiện

|P (m%)| > a> 0, véin, = cos —,k = 0,1, ,m(m> 1)

m (m=1)n

Dé thay, khi thay a = 1 va m = 2 ta được Định lí 1.3.15

1.4 Bất đẳng thức liên quan đến nghiệm của đa

thức

Néu z, = &, + im (v =1, ,n) là các nghiệm của đa thức P(z) =

S2 a„z", Ostrowski đã chứng minh các bất đẳng thức sau đây cho tất cả

Ngoài ra, nếu „ # 0 hoặc €, # 0 ( = I, ,m) thì ta có:

> (4) > pro Po =P le) P(e)

Định lý 1.4.1 (De Bruijin) Cho đa thúc P (z) bậc n > 1, có các nghiệm

Zi, vZ„ Và 10Ị, ,t0„_+ là các nghiệm của đa thức đạo hàm P' (z)

Dé thay rằng Dinh lí 1.4.1 là đúng khi mọi nghiệm của P (z) nằm trong

miền Imz > 0 Bởi vì khi đó, dựa vao Dinh If Gauss-Lucas [12, trang

180], điều này cũng đúng với nghiệm của P/(z), vì vậy phần ảo của

ZI, ,Zn, 104, ,10,_¡ đều cùng dấu Dịnh lí được suy ra từ mối quan

Néu z 1A 86 thuc thi |P (x)| = |P* (z)| suy ra |P’ (x)| < |P*'(2)|

Đăng thức xảy ra với mọi số thực z chỉ khi R = 0 hoặc 7 = 0 Nói cách

khác, nếu mọi nghiệm của P (z) nằm trong Imz < 0 hoặc nằm trong

Imz > 0

Ap dụng bổ đề trên, Định lí 1.4.1 được chứng minh như sau.

Chứng minh Định lí 1.4.1 Cho đa thức P" (z) được định nghĩa như

Đây là điều phải chứng minh Đẳng thức trong (1.4.7) xảy ra khi và

chỉ khi đẳng thức trong (1.4.4) xảy ra, tức là, nếu |P'(z)| = |P*7()|

với mọi số thực # Sử dụng bổ đề (1.4.2) ta có tất cả các nghiệm của P(z)đều nằm trong Imz > 0 hoặc Imz < 0 Định lí (1.4.1) đã được chứng minh

Nhận xét 1.4.1

- Ý nghĩa hình học của Định lí 1.4.1 là nghiệm của đa thức P’(z) nim

giữa gần trục thực hơn nghiệm của đa thức P (z)

- Áp dụng tương tự về một đường bất kì khi ta thay |Imz| bởi

|Im (œz + Ø)|, ở đây œ, Ø là các số phức Có thể suy ra điều này khi

ta áp dụng Dịnh lí 1.4.1 cho hàm số P (=) a

Các định lí sau đây được chứng minh một cách tương tự

Dinh ly 1.4.2 (Bruijn va Springer) Giả sử zị, ,z„ là các nghiệm của đa thúc P(z), t, ,t0„_ + là các nghiệm của đa thức P'(z) và

Trường hợp đặc biệt, khi j (z) = |z|” (r > 1), ta có

Dinh ly 1.4.3 (Bruijn va Springer) St dụng các ký hiệu của Định lí 1.4.1, với mọi r > 1, ta có

với mọi r > 1 Đẳng thức xảy ra trong hai trường hợp sau:

a)r = 1 và tất cả các nghiệm của P đều nằm trongcùng nửa mặt phẳng

với điểm cuối 0

b) Khi z¡ = - = zạ

Chứng minh Gọi đ là đường thẳng đi qua điểm 0 và tạo với trục thực

dương một góc a Khi đó, khoảng cách từ điểm z € C tới d là

|cosa Im z — sina Rez]

Cho a,b, va c la ba diém trong mặt phẳng phức

Ki hiéu A (a,b,c) 1a dién tich cha tam giác tạo bởi ba điểm trên

Định lý 1.4.5 (Kramer) Cho P(z) là đa thức bậc n với các nghiệm

ZI, ,Z„ VÀ 10+, ,1U„_¡ là các nghiệm của đa thúc đạo hầm P' Khi