Về tập nghiệm của họ đa thức trên một trường

Chương 1 trình bày khái niệm và ví dụ tậpđại số, đồng thời nêu lại chứng minh Định lí cơ sở Hilbert về tính hữuhạn sinh của các iđêan trong vành đa thức.. Định lí cơ sở Hilbert chophép t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ ĐÀI TRANG

VỀ TẬP NGHIỆM CỦA HỌ ĐA THỨC

TRÊN MỘT TRƯỜNG

THÁI NGUYÊN, THÁNG 10 NĂM 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ ĐÀI TRANG

VỀ TẬP NGHIỆM CỦA HỌ ĐA THỨC

TRÊN MỘT TRƯỜNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

GS TS LÊ THỊ THANH NHÀN

THÁI NGUYÊN, THÁNG 10 NĂM 2018

2.1 Định lý không điểm Hilbert 142.2 Mối quan hệ giữa tập đại số và iđêan căn 212.3 Tập đại số bất khả quy 24

đa thức nhiều biến 33

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn, người đã tậntình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm kiến thức, khả năngnghiên cứu, tổng hợp tài liệu trong suốt quá trình tôi thực hiện luậnvăn Mặc dù rất bận rộn trong công việc nhưng cô vẫn dành nhiều thờigian và tâm huyết trong việc hướng dẫn, động viên, khuyến khích tôi từkhi tôi tiếp cận đề tài đến khi tôi hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới cô

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán - Tin và PhòngĐào tạo của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xintrân trọng cảm ơn các Thầy, Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thứcquý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thiệnluận văn này

Cuối cùng tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn

bè, những người đã không ngừng động viên, hỗ trợ tạo mọi điều kiệntốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Thái Nguyên, ngày 04 tháng 10 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Đài Trang

LỜI MỞ ĐẦU

Đối với đa thức một biến trên trường K, bài toán tìm nghiệm làbài toán cơ bản Trong khi đó đa thức nhiều biến nhìn chung có vô sốnghiệm và việc nghiên cứu một nghiệm riêng lẻ là không khả thi Thayvào đó, người ta nghiên cứu tập các nghiệm của một đa thức hay một

họ đa thức Cho K là một trường, cho S là một tập con của vành đathức n biến với hệ số trên K Tập nghiệm của S được gọi là một tậpđại số và được kí hiệu là Z(S)

Mục đích của luận văn là trình bày lại một số vấn đề cơ bản về tập

một trường K) Luận văn thuộc lĩnh vực Hình học đại số, ở đó người

ta dùng công cụ của Đại số (vành đa thức, iđêan, iđêan nguyên tố, )

để nghiên cứu các vật Hình học (tập đại số, tập đại số bất khả quy, ).Luận văn gồm hai chương Chương 1 trình bày khái niệm và ví dụ tậpđại số, đồng thời nêu lại chứng minh Định lí cơ sở Hilbert về tính hữuhạn sinh của các iđêan trong vành đa thức Định lí cơ sở Hilbert chophép ta quy mỗi tập đại số về tập nghiệm của một họ gồm hữu hạn đathức

Chương 2 trình bày lại Định lý không điểm Hilbert Định lí này phátbiểu rằng tập nghiệm của một iđêan thực sự trong vành đa thức trênmột trường đóng đại số bao giờ cùng là tập khác rỗng Định lý khôngđiểm Hilbert là sự tổng quát của Định lý cơ bản của Đại số Nhờ Định

lí này, chúng ta thiết lập được một quan hệ song ánh giữa các tập đại

số trong Kn và các iđêan căn trong vành đa thức n biến trên K, khi K

là đóng đại số Phần tiếp theo của Chương 2 dành để tập trung nghiên

cứu tập đại số bất khả quy (tức là tập đại số khác rỗng và không làhợp của hai tập đại số bé hơn) và Định lí phân tích duy nhất tập đại sốthành hợp của hữu hạn tập đại số bất khả quy Sử dụng Định lí cơ sởHilbert, chúng ta có thể chỉ ra mối quan hệ song ánh giữa các tập đại

biến trên trường đóng đại số K

Hai tiết cuối Chương 2 trình bày những ứng dụng xét tính bất khảquy của đa thức nhiều biến và tính nguyên tố của iđêan trong vành đathức nhiều biến (xem Định lí 2.4.5, Định lí 2.5.1) Kết quả trong hai tiếtnày là những đóng góp mới của luận văn

Tài liệu tham khảo chính của luận văn là cuốn sách [2] Riêng phầnĐịnh lí không điểm của Hilbert, chúng tôi chủ yếu dựa vào cuốn sách [4]

Thái Nguyên, ngày 04 tháng 10 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Đài Trang

Chương 1

Tập nghiệm của họ đa thức

Trong suốt chương này luôn giả thiết V là một vành giao hoán Kýhiệu V [x1, , xn] là tập các đa thức n biến x1, , xn với hệ số trong

V Chú ý rằng vành V [x1, , xn] là một vành giao hoán với phép cộng

và nhân đa thức, với phần tử đơn vị là đa thức 1 và phần tử không là

đa thức 0 Cho V1 là một vành giao hoán chứa V Cho K là một trường.Các tài liệu tham khảo chính của Chương 1 là [1] và [2]

f (x1, , xn) = 0

Định nghĩa 1.1.2 Cho đa thức f (x1, , xn) ∈ V [x1, , xn] Khi đó

ta có ánh xạ f : Vn → V cho ứng mỗi phần tử (a1, , an) ∈ Vn vớiphần tử f (a1, , an) ∈ V Ta gọi f là hàm đa thức n biến trên V tươngứng với đa thức f (x1, , xn)

Kết quả quan trọng sau đây cho phép ta có thể đồng nhất mỗi đathức với một hàm đa thức, dưới giả thiết V là một miền nguyên vô hạn

Nhắc lại rằng vành giao hoán V được gọi là một miền nguyên nếu Vkhác vành 0 và nếu a, b ∈ V là hai phần tử khác 0, thì ab 6= 0.

Định lý 1.1.3 Nếu V là miền nguyên vô hạn thì ánh xạ ϕ cho tươngứng mỗi đa thức f (x1, , xn) ∈ V [x1, , xn] với hàm đa thức f là mộtsong ánh từ tập các đa thức V [x1, , xn] đến tập các hàm đa thức nbiến trên V Đặc biệt, đa thức f (x1, , xn) là đa thức 0 khi và chỉ khihàm đa thức f là hàm không

Chứng minh Nếu f (x1, , xn) là đa thức 0 thì rõ ràng hàm đa thứctương ứng là hàm 0 Ta chứng minh chiều ngược lại bằng quy nạptheo n Giả thiết rằng f là hàm 0, tức là f (a1, , an) = 0 với mọi(a1, , an) ∈ Vn Cho n = 1 Khi đó f (a1) = 0 với mọi a1 ∈ V Do đó

vô hạn nên f (x1) có vô hạn nghiệm Suy ra f (x1) = 0 Cho n > 1 và giảthiết kết quả đúng cho trường hợp n − 1 biến Biểu diễn

Theo giả thiết, ga(xn) là đa thức một biến nhận mọi phần tử của V

thức 0 Vì thế fi(a1, , an−1) = 0 với mọi i ∈ {1, , k} Như vậy,

đa thức fi(x1, , xn−1) ∈ V [x1, , xn−1] nhận mọi phần tử của Vn−1làm nghiệm Theo giả thiết quy nạp, fi(x1, , xn−1) là đa thức 0 vớimọi i ∈ {0, , k} Do đó f (x1, , xn) là đa thức 0

Cuối cùng ta chứng minh ánh xạ ϕ cho tương ứng đa thức f (x1, , xn)với hàm đa thức f là song ánh từ V [x1, , xn] đến tập các hàm đa thức

từ Vn đến V Rõ ràng ϕ là toàn ánh Nếu hai đa thức f (x1, , xn) vàg(x1, , xn) cho hai hàm đa thức bằng nhau thì đa thức

f (x1, , xn) − g(x1, , xn)

cho hàm đa thức 0 Theo kết quả trên, f (x1, , xn) − g(x1, , xn) là

đa thức 0, tức là f (x1, , xn) = g(x1, , xn) Vì thế ϕ là đơn ánh.Chú ý rằng nếu V có hữu hạn phần tử thì ánh xạ trong Định lý 1.1.3nói chung không là song ánh Thật vậy, nếu V = {a1, , ar} thì vớimỗi số tự nhiên n, ta có đa thức n biến khác 0

Chú ý 1.1.4 Đối với đa thức một biến trên trường K, bài toán tìmnghiệm là bài toán cơ bản Chú ý rằng mỗi đa thức khác không trongK[x] chỉ có hữu hạn nghiệm (số nghiệm không vượt quá bậc của nó).Trong khi đó đa thức nhiều biến nhìn chung có vô số nghiệm và việcnghiên cứu một nghiệm riêng lẻ là không khả thi Thay vào đó, người tanghiên cứu tập các nghiệm của một đa thức hay một họ đa thức Nhữngtập nghiệm như vậy gọi là tập đại số Ký hiệu

Kn = {(a1, , an) | ai ∈ K, i = 1, , n}

đường thẳng affin, K2 được gọi là mặt phẳng affin Với mỗi tập con Scủa K[x1, , xn], ký hiệu

Z(S) = {(a1, , an) ∈ Kn | f (a1, , an) = 0, ∀f ∈ S}

Tập Z(S) được gọi là tập nghiệm của S (hay tập các không điểm chungcủa S)

đa tạp affin) nếu tồn tại S ⊆ K[x1, , xn] sao cho X = Z(S) Khi đó

ta nói X là tập đại số định nghĩa bởi S

Cho X = Z(S) là một tập đại số trong Kn Nếu S = {f } thì ta viết

X = Z(f ) Nếu f khác hằng thì Z(f ) được gọi là một siêu mặt trong

Kn Nếu S = {f1, , fk} là tập hữu hạn thì ta viết X = Z(f1, , fk).Chú ý rằng mỗi tập đại số (khác ∅ và khác Kn) đều là giao của một họ

f ∈S

Z(f )

Ví dụ 1.1.6 (i) Tập X = {(0, 0)} ⊆ R2 là tập đại số Vì nó là tậpnghiệm của họ gồm hai đa thức {x1, x2} ⊆ K[x1, x2].

(ii) Tập X = {tm, tn) | t ∈ R} với m, n là hai số nguyên tố cùng nhau

là tập đại số (Chúng ta có thể xem Hệ quả 2.4.7 ở Chương 2, ở đó cóchứng minh chi tiết X là tập đại số)

Ví dụ 1.1.7 (i) Trong mặt phẳng affin Rn, tập đại số Z(x2+ y2− 4) làđường tròn bán kính bằng 2 và tâm là gốc tọa độ Trong hình học giảitích, các đường tròn, đường elip, parabol, hypebol đều là các tập đại số.(ii) Trong không gian affin 3-chiều R3, tập đại số Z(z − x2− y2) là mặt

truc z Các mặt bậc hai ellipsoid, hyperboloid cũng là các tập đại số

tập đại số trong R2 Thật vậy, giả sử X là tập đại số Khi đó tồn tạitập con S của vành đa thức hai biến R[x, y] sao cho X = Z(S) Lấy

f (x, y) ∈ S tùy ý Đặt g(t) = f (t, t) và xét g(t) như đa thức một biến

t với hệ số thực Vì f (x, y) ∈ S nên f (x, y) triệt tiêu trên X Do đó ta

có f (a, a) = 0 với mọi a ∈ R và a 6= 1 Suy ra g(a) = 0 với mọi a ∈ R

và a 6= 1 Do R là trường (và do đó nó là miền nguyên) có vô hạn phần

tử, nên g(t) là đa thức một biến nhận vô hạn nghiệm Do đó g(t) là đathức 0 Do đó g(1) = 0 Suy ra f (1, 1) = 0 Như vậy, (1, 1) là nghiệmcủa mọi đa thức trong S Do đó (1, 1) ∈ Z(S) Suy ra (1, 1) ∈ X Điềunày là vô lí Vậy, X không là tập đại số

Bằng các lập luận tương tự như trong Ví dụ 1.1.8, ta có các ví dụ sauđây về các tập con của Rn không là tập đại số

Ví dụ 1.1.9 Các tập hợp sau đây không là tập đại số trong Rn

(i) X = {(a, a) ∈ R2 | a 6= r}, trong đó n = 2 và r là một số thực tùy

ý cho trước

(ii) Y = {(a, sa) ∈ R2 | a 6= r}, trong đó n = 2 và r, s là các số thựctùy ý cho trước

(iii) Z = {(s1a, s2a, , sna) ∈ Rn | a 6= r}, trong đó r, s1, , sn làcác số thực tùy ý cho trước với ít nhất một chỉ số i sao cho si 6= 0

1.2 Mối quan hệ giữa tập đại số và iđêan

trong vành đa thức K[x1, , xn]

Chứng minh Giả sử X = X(S) là tập đại số, trong đó S ⊆ K[x1, , xn].Đặt I = (S) là iđêan của K[x1, , xn] sinh bởi S Ta có

(S) = {f1g1+ + fkgk | k ∈ N, fi ∈ S, gi ∈ K[x1, , xn],∀i}.Suy ra X = Z(S) = Z(I)

Các phát biểu (i), (ii), (iii) trong mệnh đề sau đây chỉ ra rằng họ các

gọi tôpô này là tôpô Zariski

Mệnh đề 1.2.2 Trong không gian affin Kn, các phát biểu sau là đúng(i) Giao của một họ tùy ý các tập đại số là một tập đại số

(ii) Hợp của một họ hữu hạn tập đại số là tập đại số

(iii) Ø và Kn đều là tập đại số

(iv) Mỗi tập hữu hạn trong Kn là tập đại số

Chứng minh (i) Giả sử {Xi} là một họ những tập đại số trong Kn Khi

đó Xi = Z(Si) với mọi i, trong đó Si ⊆ K[x1, xn] Ta có

(iii) Vì Ø = Z(1) và Kn = Z(0) nên Ø và Kn là các tập đại số.(iv) Với mỗi điểm a = (a1, , an) ∈ Kn ta có

Chứng minh Ta có 0 ∈ I(X), do đa thức 0 là đa thức triệt tiêu trên

Kn Vì vậy I(X) 6= ∅ Giả sử, f, g ∈ I(X) và h ∈ K[x1, , xn] Cho(a1, , an) ∈ X Khi đó

f (a1, , an) + g(a1, , an) = 0 + 0 = 0,h(a1, , an)f (a1, , an) = h(a1, , an).0 = 0

Do đó, I(X) là iđêan của K[x1, , xn]

Định nghĩa 1.2.4 Với kí hiệu như trên, ta gọi I(X) là iđêan định nghĩacủa tập đại số X

Ví dụ 1.2.5 (i) Với X = {(0, 0)} ⊆ R2, ta có I(X) = (x, y)

(iii) Với X = Z(y − x2, z − x3) ⊆ R3, ta có I(X) = (y − x2, z − x3).Chứng minh (i) Cho X = {(0, 0)} Rõ ràng (x, y) ⊆ I(X) vì x và y đềutriệt tiêu tại (0, 0) Cho f (x, y) ∈ I(X) với f (x, y) = P aijxiyj, trong

đó aij ∈ R Khi đó f(0, 0) = 0 Suy ra a00 = 0 Vì thế f ∈ (x, y)

(ii) Cho X = Kn Rõ ràng 0 ∈ I(X) Cho f ∈ I(X) Khi đó f triệt tiêu

trên Kn Vì K vô hạn nên theo Định lý 1.1.3 ta suy ra f = 0.

(iii) Cho X = Z(y − x2, z − x3) Rõ ràng (y − x2, z − x3) ⊆ I(X) Cho

f (x, y, z) ∈ I(X) Với i, j, k ∈ N0 ta có

xiyjzk = xi(y − x2+ x2)j(z − x3 + x3)k

= xi((y − x2)g + x2j)((z − x3)h + x3ktrong đó g, h ∈ R[x, y, z] Suy ra

xiyjzk = (y − x2)g1 + (z − x3)h1 + xi+2j+3k,trong đó g1, h1 ∈ R[x, y, z] Do f là tổng hữu hạn từ nên f có biểu diễn

f = (y − x2)g2 + (z − x3)h2 + q, trong đó g2, h2 ∈ R[x, y, z] và q ∈ R[x].Với mỗi a ∈ R, vì (a, a2, a3) ∈ X nên f (a, a2, a3) = 0 Suy ra q(a) = 0với mọi a ∈ R Do đó q(x) = 0 Vì thế f ∈ (y − x2, z − x3)

Với mỗi tập đại số X ta có iđêan I(X), từ đó ta có tập đại số Z(I(X))định nghĩa bởi I(X) Mệnh đề sau đây đưa ra mối quan hệ giữa X vàZ(I(X))

Chứng minh Rõ ràng X ⊆ Z(I(X)) Do X là tập đại số nên tồn tạiiđêan J của K[x1, , xn] sao cho X = Z(J ) Như vậy, J triệt tiêutrên X, trong khi đó I(X) là iđêan lớn nhất triệt tiêu trên X Suy ra

J ⊆ I(X) Do đó X = Z(J ) ⊇ Z(I(X))

Kết quả sau đây chỉ ra một song ánh bảo toàn ngược quan hệ baohàm giữa các tập đại số và tập các iđêan định nghĩa của các tập đại số

Hệ quả 1.2.7 Cho X, Y là hai tập đại số trong Kn Khi đó X ⊆ Y nếu

và chỉ nếu I(X) ⊇ I(Y ) Đặc biệt, X = Y nếu và chỉ nếu I(X) = I(Y ).Chứng minh Rõ ràng nếu X ⊆ Y thì I(X) ⊇ I(Y ) Giả sử ta có quan

hệ I(X) ⊇ I(Y ) Theo Mệnh đề 1.2.6 ta có

X = Z(I(X)) ⊆ Z(I(Y )) = Y

Mệnh đề 1.2.8 Cho J là iđêan của K[x1, , xn] Khi đó J ⊆ I(Z(J ))

Chứng minh Cho f (x1, , xn) ∈ J Khi đó f (a1, , an) = 0 với mọi(a1, , an) ∈ Z(J ) Suy ra f ∈ I(Z(J )).

1.3 Định lý cơ sở Hilbert

Mục tiêu của tiết này là chứng minh Định lý cơ sở Hilbert Theo định

lý cơ sở Hilbert, mỗi iđêan trong vành đa thức K[x1, , xn] đều hữuhạn sinh Vì thế ta có thể quy mỗi tập đại số thành tập nghiệm chungcủa một hệ hữu hạn đa thức

Trước khi phát biểu Định lý cơ sở Hilbert ta cần nhắc lại khái niệmvành Noether

Định nghĩa 1.3.1 Ta nói V là vành Noether nếu nó thỏa mãn điềukiện dãy tăng dừng trên các iđêan, tức là với mọi dãy tăng

I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ các iđêan của V, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho In = In 0 với mọi

(ii) Mỗi iđêan của V là hữu hạn sinh

(iii) Mỗi họ khác rỗng những iđêan của V đều có phần tử cực đại(theo quan hệ bao hàm)

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Cho I là iđêan của V Giả sử I không hữu hạnsinh Lấy a1 ∈ I Do I không hữu hạn sinh nên (a1) 6= I, vì thế tồn tại

a2 ∈ I\(a1) Do I không hữu hạn sinh nên (a1, a2) 6= I, vì thế tồn tại

a3 ∈ I\(a1, a2) Cứ tiếp tục như vậy ta được một dãy tăng không dừng

(a1) ⊂ (a1, a2) ⊂ ⊂ (a1, a2, , an) ⊂ các iđêan của V , điều này mâu thuẫn với giả thiết (i)

(i) ⇒ (iii) Cho Γ 6= ∅ là một họ những iđêan của V Giả sử Γ không

có phần tử cực đại Lấy I1 ∈ Γ Do I1 không cực đại nên tồn tại I2 ∈ Γsao cho I1 ⊂ I2 và I1 6= I2 Do I2 không cực đại nên tồn tại I3 ∈ Γ saocho I2 ⊂ I3 và I2 6= I3 Cứ tiếp tục quá trình trên ta được một dãy tăngkhông dừng I1 ⊂ I2 ⊂ ⊂ In ⊂ các phần tử của Γ Đặt I = S

n≥1

In.Khi đó I là iđêan của V Theo giả thiết (ii), I hữu hạn sinh Giả sử

I = (a1, , ak) Với mỗi i = 1, 2, , k, do ai ∈ I nên tồn tại ni saocho ai ∈ Ini Chọn n0 là số lớn nhất trong các ni với i = 1, , k Khi

đó ai ∈ In0 với mọi i = 1, , k Suy ra I ⊆ In0 Do đó In = In 0 với mọi

n ≥ n0 Điều này là vô lí

(iii) ⇒ (i) Cho I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ là dãy tăng các iđêan của V Đặt Γ = {In}n≥1 Theo giả thiết (iii), Γ có phần tử cực đại In0 Suy ra

In = In0 với mọi n ≥ 0

Định lý 1.3.3 (Định lý cơ sở Hilbert) Cho V là vành Noether Khi đó

V [x] cũng là vành Noether

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.3.2, ta cần chứng minh mọi iđêan của

V [x] đều hữu hạn sinh Cho J là iđêan của V [x] Nếu J = {0} thì rõràng J là hữu hạn sinh Cho J 6= {0} Gọi m là số bé nhất trong cácbậc của các đa thức khác 0 thuộc J Với n ≥ m ta định nghĩa

Rõ ràng (A) ⊆ J Cho 0 6= p(x) ∈ J với a là hệ số cao nhất của p(x) Khi

đó deg p(x) ≥ m Ta chứng minh p(x) ∈ (A) bằng quy nạp theo deg p(x).Cho deg p(x) = m Khi đó a ∈ Im Do đó tồn tại c1, , cim ∈ V sao cho

Khi đó q(x) hoặc bằng 0 hoặc có bậc bé hơn m Chú ý rằng q(x) ∈ J Do

đó q(x) = 0 theo cách chọn m Suy ra p(x) ∈ (A) Cho deg p(x) = n > m

và giả thiết rằng với mọi đa thức trong J với bậc nhỏ hơn n đều thuộc(A) Khi đó a ∈ In Đặt t = min{n, k} Suy ra In = It và vì thế a ∈ It

Do đó tồn tại c1, , cit ∈ V sao cho a =

it

P

j=1

cjat,j Đặtq(x) = p(x) −

ta có X = Z(S) = Z(I) Theo Định lý cơ sở Hilbert, I là hữu hạn sinh,chẳng hạn I = (f1, , fk) Khi đó

X = Z(f1, , fk) = \

i=1, ,k

Z(fi)

Trước khi mô tả các tập đại số trong K1 = K, ta chứng minh vành

đa thức một biến trên một trường là miền iđêan chính Nhắc lại rằngmột miền nguyên được gọi là miền iđêan chính nếu mọi iđêan của nó làiđêan chính (tức là iđêan sinh bởi một phần tử)

Bổ đề 1.3.5 Vành K[x] là vành chính

Chứng minh Cho I là iđêan của K[X] Nếu I = {0} thì I = (0) là mộtiđêan chính Giả sử I 6= {0} Khi đó ta chọn được f (x) là đa thức khác

0 có bậc bé nhất trong I Ta sẽ chứng minh I = (f (X)) Vì f (x) ∈ Inên (f (x)) ⊆ I Cho g(x) ∈ I Theo Định lí phép chia với dư, tồn tạiq(x), r(x) ∈ K[x] sao cho g(x) = f (x)q(x) + r(x), trong đó r(x) = 0hoặc degr(x) < degf (x) Vì f (x), g(x) ∈ I nên ta có

r(x) = g(x) − f (x)q(x) ∈ I

Do đó theo cách chọn f (x) ta suy ra r(x) = 0 Vì thế

g(x) = f (x)q(x) ∈ (f (x))

Do đó I ⊆ (f (x)), tức là I = (f (x)) là iđêan chính Vậy K[x] là vànhchính

hữu hạn của K

Chứng minh Vì Ø = Z(1) và K = Z(0) nên Ø và K đều là các tập đại

số Cho X = {a1, , an} ⊆ K Khi đó X là tập đại số vì X = Z(f )với f (x) = (x − a1), , (x − ak) ∈ K[x] Ngược lại, giả sử X là tậpđại số trong K Do K[x] là vành chính nên theo Hệ quả 1.3.4, tồn tại

f ∈ K[X] sao cho X = Z(f ) Nếu f (x) = 0 thì X = K Nếu f (x) 6= 0thì số nghiệm của f (x) không vượt quá bậc của f (x), do đó Z(f ) là tậphữu hạn

Cho V là vành và V1 là vành chứa V Cho α1, , αn ∈ V1 Đặt

V [α1, , αn] = {f (α1, , αn) | f (x1, , xn) ∈ V [x1, , xn]}Chú ý rằng V [α1, , αn] là vành con của V1

Từ Định lý 1.3.3 và bằng quy nạp theo số biến ta suy ngay hệ quảsau.

Hệ quả 1.3.7 Các phát biểu sau đây là đúng

(i) Nếu V là vành Noether thì V [x1, , xn] cũng là vành Noether.(ii) Nếu V là vành Noether, V1 là vành chứa V và α1, , αn ∈ V1 thì

V [α1, , αn] cũng là vành Noether

Chứng minh i) Vì V [x1, , xn] = (V [x1])[x2, , xn] nên theo Định lý

cơ sở Hilbert và bằng quy nạp ta suy ra điều phải chứng minh

ii) Cho α1, , αn ∈ V1 Xét ánh xạ

ϕ : V [x1, , xn] → V1xác định như sau

f (x1, , xn) 7→ ϕ(f ) = f (α1, , αn)

Khi đó ta có Imϕ = V [α1, , αn] Theo Định lý đồng cấu vành ta có

V [x1, , xn]/ ker ϕ ∼= V [α1, , αn] Chú ý rằng vành thương của mộtvành Noether là vành Noether Do V [x1, , xn] là Noether nên ta có

Bổ đề 1.3.8 Nếu X ⊆ X0 là hai tập đại số thì tồn tại hai iđêan I ⊇ I0của K[x1, , xn] sao cho X = Z(I), X0 = Z(I0)

Chứng minh Cho X1 ⊇ X2 ⊇ là một dãy giảm các tập đại sốtrong Kn Viết Xi = Z(Ii), với mọi i ∈ N, trong đó Ii là iđêan củaK[x1, , xn] Vì Xi ⊇ Xi+1, nên ta có

Xi+1 = Xi ∩ Xi+1 = Z(Ii) ∩ Z(Ii+1) = Z(Ii + Ii+1)

Suy ra Xn = X(I1+ + In) Dãy tăng I1 ⊆ I1+ I2 ⊆ các iđêan củaK[x1, x2, , xn] dừng theo Định lý cơ sở Hilbert Suy ra tồn tại n0 saocho

Trước khi trình bày chi tiết mối quan hệ này, chúng ta cần một kếtquả nổi tiếng của Hilbert về tập nghiệm của một họ đa thức trên trườngđóng đại số, đó là Định lý không điểm của Hilbert.

Các tài liệu tham khảo chính của Chương 2 là [2], [3] và [4]

2.1 Định lý không điểm Hilbert

Để phát biểu và chứng minh Định lý không điểm Hilbert, chúng tacần nhắc lại một số khái niệm và kết quả về môđun Noether và mở rộngtrường

Định nghĩa 2.1.1 Cho V là vành giao hoán Một tập hợp M cùng vớiphép cộng và ánh xạ V × M −→ M (gọi là phép nhân vô hướng), trong

đó ảnh của phần tử (a, u) ∈ V × M được ký hiệu là au, được gọi là một

V -môđun nếu M là nhóm giao hoán với phép cộng và các tính chất sau

thỏa mãn:

(i) (ab)u = a(bu) với mọi a, b ∈ V, u ∈ M

(ii) a(u + v) = au + av, (a + b)u = au + bu với mọi a, b ∈ V, u, v ∈ M (iii) 1u = u với mọi u ∈ M

Chú ý rằng mỗi iđêan của V là một V -môđun Cho M1, , Mt là các

Định nghĩa 2.1.2 Cho M là V -môđun Một tập con N của M đượcgọi là V -môđun con của M nếu N là V -môđun với phép cộng và tích vôhướng đóng kín trong N

Chú ý 2.1.3 i) Giao của một họ khác rỗng những môđun con của M

là môđun con của M

ii) Nếu M1, M2 là hai môđun con của M thì

M1 + M2 := {u + v | u ∈ M1, v ∈ M2}

là môđun con của M

iii) Cho L là tập con của V -môđun M Giao của các môđun con của

M chứa L, kí hiệu là (L), là môđun con bé nhất của M chứa L và đượcgọi là môđun con sinh bởi L

iv) Ta nói M là môđun hữu hạn sinh nếu M sinh bởi một tập hữuhạn {u1, , ut} Trong trường hợp này ta viết

M = V u1 + + V ut

hay M = (u1, , ut) Khi đó mỗi phần tử u ∈ M được viết dưới dạng

u = a1u1 + + atutvới a1, , at ∈ V