Biểu diễn đa thức dương dưới dạng tổng bình phương hai đa thức

Luận văn này có mục tiêu trình bày lịch sử vấn đề cùng một số kếtquả đã đạt được trong hướng nghiên cứu bài toán Hilbert 17 và những mở rộng của nó.. Mặc dù bài toán Hilbert 17 trước đó

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI

THÁI NGUYÊN, 10/2018

Mục lục

1.1 Lịch sử vấn đề 5

1.2 Một số kết quả về biểu diễn đa thức không âm 6

1.2.1 Kết quả của Hilbert 7

1.2.2 Ví dụ của Motzkin 10

1.2.3 Ví dụ của Robinson 12

1.2.4 Ví dụ của Choi-Lam 13

1.2.5 Ví dụ của Lax-Lax và Schm¨udgen 14

1.2.6 Chứng minh của Artin 15

2 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BÀI TOÁN HILBERT 17 29 2.1 Về không điểm của các đa thức nhiều biến không âm 29

2.1.1 Không điểm của dạng psd 29

2.1.2 Phương pháp ma trận Gram 30

2.1.3 Tổng quát hoá của M và S 31

2.1.4 Các ví dụ về dạng đối xứng 32

2.2 Định lý Polya 33

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Hà HuyKhoái Thầy đã hướng dẫn và tạo điều kiện tốt nhất để cho tác giả hoànthành luận văn này Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơnchân thành và sâu sắc tới Thầy

Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo,

cô giáo đã tham gia giảng dạy các lớp cao học Toán K10Q và K11D;trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; khoa Toán - Tin đãtạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt quá trình học tập tạitrường

Cuối cùng, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tập thể lớpcao học Toán K10Q và K11D, gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị côngtác và đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện tốt nhất chotác giả khi học tập và nghiên cứu

Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng do điều kiện thời gianngắn, trình độ và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học còn hạn chế, nênluận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận đượcnhững đóng góp của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để tác giả cóthể tiếp tục nghiên cứu tốt hơn

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018

Tác giả

Cao Hà Dương

Lời nói đầu

Lagrange đã chỉ ra rằng, mọi số nguyên dương a đều luôn biểu diễnđược thành tổng bình phương của bốn số nguyên

Vậy một câu hỏi tự nhiên sinh ra là: "Nếu thay số nguyên bằng đathức, thì khi nào đa thức có thể biểu diễn thông qua một tổng của bìnhphương các đa thức khác? Nếu biểu diễn được thì sẽ cần tối thiểu baonhiêu bình phương của các đa thức để tạo nên biểu diễn ấy? Điều kiệncần và đủ ở đây là gì?"

Đã có rất nhiều công trình khoa học của các nhà toán học nổi tiếngnghiên cứu về vấn đề này, như Motzkin, Robinson, Choi, Lam, ; vàcũng có rất nhiều ví dụ và phản ví dụ đã được đưa ra

Tại Đại hội toán học quốc tế họp ở Paris năm 1900, Hilbert nêu ravấn đề trên như là Bài toán thứ 17 trong danh mục 23 bài toán nổi tiếngcủa ông

Bài toán trên đã được giải quyết bởi Artin, nhưng vẫn còn rất nhiềucách tiếp cận và mở rộng khác được đưa ra

Luận văn này có mục tiêu trình bày lịch sử vấn đề cùng một số kếtquả đã đạt được trong hướng nghiên cứu bài toán Hilbert 17 và những

mở rộng của nó

Mặc dù bài toán Hilbert 17 trước đó đã được đề cập đến trong nộidung Luận văn thạc sĩ toán học của Phan Văn Dân với tên "Về định líHilbert thứ 17" vào năm 2017 tại trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên; nhưng kết quả nghiên cứu của Tác giả trong luận vănnày đối với bài toán Hilbert 17 là khác biệt Trong luận văn của mình,tác giả đã nêu ra các kết quả đã đạt được của các nhà toán học khinghiên cứu bài toán Hilbert 17 một cách chi tiết và cụ thể hơn, ngoài racòn có bổ sung thêm nhiều kết quả khác Hơn nữa, chứng minh định lýArtin trong hai bản luận văn là khác nhau Cuối cùng sự khác biệt đến

từ chương 2 của luận văn này, tác giả quan tâm và trình bày nội dungđịnh lý Polya cùng với những mở rộng trong hướng nghiên cứu bài toán

Hilbert 17 mà trong luận văn của Phan Văn Dân là không có Do vậy,luận văn của tác giả đã bổ sung thêm các kết quả cùng với những tiếpcận khác về bài toán Hilbert 17.

Tên của luận văn này là "Biểu diễn đa thức dương dưới dạng tổngbình phương hai đa thức" Tuy nhiên trong quá trình nghiên cứu thựchiện luận văn, tác giả đã dành phần nhiều thời gian để nghiên cứu vàthấy được rằng những kết quả về biểu diễn một đa thức dương có thểđược nhìn nhận một cách yếu hơn cho những đa thức không âm Do đónội dung trong luận văn có thiên hướng trình bày các kết quả đã đạtđược về đa thức không âm nhiều hơn những kết quả cho các đa thứcdương

Luận văn này gồm hai chương:

Chương 1: Trình bày một cách khái quát lịch sử vấn đề; các ví dụ vềmột đa thức không âm có thể hay không thể biểu diễn được thành tổngcủa bình phương của các đa thức khác; cùng với đó là sự giải quyết bàitoán Hilbert 17 của Artin

Chương 2: Trình bày một số tiếp cận và một số các kết quả mở rộngcủa Bài toán Hilbert 17

đã khẳng định rằng: "Tồn tại các đa thức thực không âm trên toàn bộ

đa thức thực" Mặc dù không có chứng minh nào cho khẳng định trên,nhưng sau đó Hilbert có nói rằng ông đã bị thuyết phục bởi khám phánày

Sau này vào năm 1888, Hilbert đã chứng minh trong một bài báo nổitiếng về sự tồn tại của một đa thức thực hai biến bậc sáu không âm trên

Ví dụ tường minh đầu tiên được đưa ra bởi T.Motzkin vào năm 1967

Đó là đa thức:

M (x, y) = x4y2+ x2y4+ 1 − 3x2y2.Trong bài báo thứ hai về chủ đề này vào năm 1893, Hilbert đã chứngminh bằng một lý luận khéo léo và khó hiểu rằng, mỗi đa thức không âm

phương các hàm hữu tỷ thuộc R (x; y) Mặc dù không nêu rõ, nhưngtrong chứng minh của mình, Hilbert gần như chỉ ra rằng p là tổng củabốn bình phương các hàm hữu tỷ

Năm 1899, Hilbert chứng minh được một kết quả quan trọng, làm

cơ sở cho một khẳng định mà thời điểm đó còn chưa được chứng minh,rằng: "Bất kì hàm hữu tỷ không âm nào trong Q (x1, , xn) đều là tổngcủa bình phương các hàm hữu tỷ trong Q (x1, , xn)"

Dựa trên ý tưởng từ những công trình trước đây, Hilbert đã nêu rabài toán nổi tiếng thứ 17 tại Đại hội toán học quốc tế tại Paris vào năm

1900 với câu hỏi:

thiết biểu diễn được như tổng của bình phương các hàm hữu tỷ trong

R (x1, , xn) hay không?"

Bài toán Hilbert thứ 17 đã được giải quyết bằng câu trả lời khẳngđịnh vào năm 1926 bởi Artin Chứng minh của Artin cũng mang đến sựkhởi đầu cho một số chủ đề mới của hình học đại số thực

1.2 Một số kết quả về biểu diễn đa thức không âm

Trước khi đi vào trình bày những kết quả đã đạt được, chúng ta cócác kí hiệu và định nghĩa sau:

(x1, , xn) ∈ Rn

iii) Tập tất cả các psd trong Hm(Rn) được kí hiệu bởi Pn,m

iv) Đa thức psd p (x1, , xn) được gọi là xác định dương (viết tắt làpd) nếu p (x1, , xn) = 0 chỉ khi xj = 0, với mọi 1 ≤ j ≤ n

các đa thức thì p được gọi là sos

Trước tiên chúng ta có các kết quả quan trọng sau:

Mệnh đề 1.1 Mọi đa thức psd f (x) ∈ R [x] đều là tổng bình phươngcủa các đa thức trong R [x]

Chứng minh,

Chú ý rằng do f (x) là đa thức nửa xác định dương nên mỗi nghiệm thựcnếu có của f (x) đều phải có bội chẵn Thật vậy, ta thấy rằng từ biểu

thực t, do đó các nghiệm của f là số thực (có thể là nghiệm bội) hoặc

xuất hiện trong các cặp số phức liên hợp và hệ số đầu tiên của f làdương Vì vậy chúng ta có sự phân tích:

Nhận xét 1.2 Giả sử trong chứng minh trên, f có 2s nghiệm phức

thành cặp không có thứ tự {Q + iR, Q − iR} của các đa thức phức liên

!2

√3

12

h1k ∈ Hm−2 R3
sao cho pp1 = h211+ h212+ h213

Ta viết lại M như sau:

0x6+ 0x5y + 1x4y2+ 0x3y3+ 1x2y4+ 0xy5+ 0y6+0x5z + 0x4yz + 0x3y2z + 0x2y3z + 0xy4z + 0y5z

+0x4z + 0x3yz2 − 3x2y2z2 + 0xy3z2 + 0y4z2+0x3z3 + 0x2yz3+ 0xy2z3 + 0y3z3+0x2z4 + 0xyz4 + 0y2z4+0xz5+ 0y2z5+1z6

Akx3 + Bkx2y + Ckxy2 + Dky3+Ekx2z + Fkxyz + Gky2z+Hkxz2+ Ikyz2+Jkz3

Do đó:

Bk = Ck = Fk = Jk = 0,nên hk(x, y, z) = 0, ∀x, y, z

Điều này dẫn đến M = 0; ∀x, y, z Mâu thuẫn vì ta có M (0, 0, 1) = 1 6= 0

Cách chứng minh là tương tự đối với trường hợp tổng quát sau:

Mệnh đề 1.6

t21+ + t2n−1− nu2
t2

1 t2n−1+ u2n ∈ ∆n,2n

Nhận xét 1.3 Từ định lý của Hilbert năm 1893, ta thấy M (x, y, z)

z2− y2

Do đó áp dụng bất đẳng thức Schur với r = 1 và (u, v, w) = x2, y2, z2

ta được R ≥ 0 Vậy R là psd

Ta có R = 0 trên tập

Z := {(1; ±1; ±1) , (1, ±1, 0) , (1, 0, ±1) , (0, 1, ±1)}

kh2k, trong đó hk ∈ H3 R3
Vì R = 0 với (x; y; z) ∈ Z nên

Điều này dẫn tới R = 0; ∀x, y, z Mâu thuẫn vì ta có R(1, 0, 0) = 1 6= 0

Ví dụ 1.5 Đa thức

f (x, y, z, w) = x2(x − w)2 + y2(y − w)2+ z2(z − w)2

Hơn nữa Robinson cũng đưa ra tổng quát hoá ví dụ của Motzkin:

Ví dụ 1.6 Nếu f là một đa thức thực n biến với bậc d < 2n mà không

là sos, thì

g (x1, , xn) := x21 x2nf (x1, , xn) + 1cũng không là sos

Hơn nữa, Choi cũng đặc biệt hóa F để đưa ra một số dạng khác trong

1.2.6 Chứng minh của Artin

a) Một vài kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1 (Nhóm)

Một tập G cùng với một phép toán làm thành nhóm nếu nó thỏa mãncác điều kiện:

(i) Phép toán có tính chất kết hợp: a (bc) = (ab) c, ∀a, b, c ∈ G

(ii) G có đơn vị: ∃e ∈ G sao cho ex = xe = x, ∀x ∈ G

sao cho xx−1 = x−1x = e

Một nhóm G được gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) nếu phéptoán là giáo hoán Nếu G có hữu hạn phần tử thì số phần tử của G đượcgọi là cấp của G Nếu G có vô hạn phần tử thì ta nói G có cấp vô hạn.Định nghĩa 1.2 (Nhóm đối xứng)

Cho X là một tập hợp khác rỗng Một phép thế của X hay một hoán

vị của tập X là một song ánh từ X đến X Kí hiệu S(X) là tập cácphép thế của X Khi đó S(X) cùng với phép hợp thành các ánh xạ là

đối xứng của X hay nhóm các phép thế của X Khi X có n phần tử thìS(X) được kí hiệu là Sn

Định nghĩa 1.3 (Nhóm con)

Cho G là một nhóm Tập con H của G được gọi là nhóm con của G nếu

Như vậy, một nhóm con của G là một bộ phận ổn định H của G saocho H cùng với phép toán đó là một nhóm

Nhóm con {e} là nhóm con bé nhất của G và ta gọi nó là nhóm con tầmthường Nếu H là nhóm con của G và H 6= G thì H được gọi là nhómcon thực sự của G

Định nghĩa 1.4 (Vành)

Một tập hợp R được gọi là một vành nếu trên R có hai phép toán haingôi, một gọi là phép cộng và một gọi là phép nhân, sao cho các điềukiện sau được thỏa mãn:

i) Tập hợp R là một nhóm Abel đối với phép cộng

ii) Phép nhân trên R là kết hợp và có đơn vị

iii) Luật phân phối Phép nhân là phân phối đối với phép cộng Tức là

với các phần tử x, y, z ∈ R tùy ý, ta luôn có (x + y) z = xz + yz và

z (x + y) = zx + zy

Thông thường ta kí hiệu phần tử đơn vị đối với phép nhân của R là

R đã xác định cụ thể trước thì ta kí hiệu đơn giản 1 cho phần tử đơn vị

và 0 cho phần tử không của R

Một vành R được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân của R thỏamãn thêm điều kiện xy = yx, ∀x, y ∈ R

Định nghĩa 1.5 (Miền nguyên)

Vành giao hoán V được gọi là một miền nguyên nếu V 6= {0} và Vkhông có ước của không

Định nghĩa 1.6 (Trường)

Một vành K được gọi là một trường nếu K là một vành giao hoán cóđơn vị và mọi phần tử khác không của K đều có phần tử nghịch đảo

Z không phải là một trường vì nghịch đảo của mọi số nguyên lớn hơn

1 đều không nằm trong Z Nhưng Q, R là các trường vì mọi số hữu tỷhay số thực khác không đều có nghịch đảo là số hữu tỷ hay số thực.Định nghĩa 1.7 (Đặc số của vành)

Với mọi số tự nhiên n > 0 và các phần tử x của một vành R, ta dùng

kí hiệu nx để chỉ tổng x + + x (n lần)

Số 0 được gọi là đặc số của R nếu n1 6= 0 với mọi số tự nhiên n Nếu

có một số tự nhiên n sao cho n1 = 0 thì số n nhỏ nhất với tính chất nàyđược gọi là đặc số của R, kí hiệu là ch(R)

Vành số nguyên Z có đặc số 0; vành thương Z/nZ có đặc số n Cáctrường Q, R đều có đặc số 0

mãn điều kiện này

Định nghĩa 1.8 (Đa thức một biến)

Với V là một vành giáo hoán Một đa thức một biến với hệ số trên V cóthể được viết dưới dạng f (x) = anxn+ an−1xn−1+ + a1x + a0, trong đó

a0, , an ∈ V và x là một kí hiệu gọi là biến (hay biến không xác định)

Ta cũng viết đa thức này dưới dạng f (x) =

∞

P

i=0

aixi hoặc f (x) = P aixi,

trong đó ai = 0 với mọi i > n Hai đa thức P aixi và P bixi là bằngnhau nếu ai = bi với mọi i.

Kí hiệu V [x] là tập các đa thức một biến x với hệ số trên V Cho

f (x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0 ∈ V [x] Ta gọi a0 là hệ số tự

Ta không định nghĩa bậc cho đa thức 0 Nếu f (x) = a ∈ V thì f (x)được gọi là đa thức hằng Các đa thức bậc 1 được gọi là đa thức tuyếntính

Định nghĩa 1.9 (Vành đa thức một biến)

Với hai đa thức f (x) , g (x) ∈ V [x] Ta có V [x] là vành giáo hoán vớiphép cộng và nhân đa thức sau:

f (x) + g (x) = X(ai+ bi)xi

i+j=k

aibj với mọi k

Vành V [x] được gọi là vành đa thức một biến x với hệ số trong V Phần

tử không của vành đa thức 0, phần tử đơn vị là đa thức 1

Định nghĩa 1.10 (Nghiệm của đa thức một biến)

nghiệm của f (x) trong S nếu f (c) = ancn+ an−1cn−1+ + a1c + a0 = 0.Trong trường hợp này ta cũng nói c là một nghiệm của phương trình

f (x) = 0

của f (x) và ±i ∈ C là các nghiệm của g(x)

Định nghĩa 1.11 (Đa thức bất khả quy)

Cho f (x) ∈ V [x] là đa thức khác 0 và không khả nghịch Ta nói f (x)

là bất khả quy trên V nếu nó không có ước thực sự Ta nói f (x) là khảquy nếu f (x) có ước thực sự

Chú ý rằng tính bất khả quy của đa thức phụ thuộc vào vành cơ sở.Chẳng hạn, đa thức 2x + 2 là bất khả quy trên trường Q Tuy nhiên

2x + 2 không bất khả quy trên vành Z bởi vì các đa thức 2 và x + 1 đều

R nhưng không bất khả quy trên C

Định nghĩa 1.12 (Vành đa thức nhiều biến)

Kí hiệu V [x1, , xn] là tập các đa thức n biến x1, , xn với hệ số trong

V Với i, j ∈ Nn0, trong đó i = (i1, , in) và j = (j1, , jn), ta định nghĩa

i + j = (i1 + j1, , in+ jn) Khi đó V [x1, , xn] là một vành với phépcộng và phép nhân:

aixiX

i∈N n 0

bixi = X

k∈N n 0

aixi, P

i∈N n 0

bixi ∈ V [x1, , xn] Vành V [x1, , xn] đượcgọi là vành đa thức n biến x1, , xn với hệ số trong V

Định nghĩa 1.13 (Đa thức đối xứng)

biến x1, , xn với hệ số trong V Kí hiệu Sn là tập các song ánh từ tập{1, 2, , n} đến chính nó

Đa thức f (x1, , xn) ∈ V [x1, , xn] được gọi là đa thức đối xứngnếu f (x1, , xn) = f xπ(1), , xπ(n)
với mọi π ∈ Sn, trong đó ta hiểu

f xπ(1), , xπ(n)
là đa thức được suy ra từ f (x1, , xn) bằng cách thay

xi bởi xπ(i) với mọi i = 1, , n

Các đa thức sau đây là các đa thức đối xứng đơn giản nhất, do đóchúng ta gọi chúng là các đa thức đối xứng sơ cấp hay đa thức đối xứng

Định nghĩa 1.14 Với K là một trường Nếu E là một trường chứa Kthì ta viết K ⊆ E hay E/K, khi đó ta E/K gọi là một mở rộng trường.

Rõ ràng E có cấu trúc tự nhiên như một K-không gian vectơ Chiềucủa không gian này được gọi là bậc của mở rộng E/K và kí hiệu là[E : K] Nếu [E : K] < ∞ thì ta nói E/K là mở rộng hữu hạn Chú ýrằng nếu E/K và T /K là các mở rộng hữu hạn thì ta có công thức bậc[T : K] = [T : E] [E : K] Nếu mỗi phần tử của E đều đại số trên K thì

ta nói E/K là mở rộng đại số

Chú ý: Giả sử E/K là một mở rộng trường Nếu E/K là mở rộng hữu

Do đó tồn tại a0, a1, , at ∈ K với ít nhất một hệ số ai 6= 0 sao cho

a0+ a1α + + atαt = 0 Như vậy, a0+ a1x + + atxt ∈ K[x] là đa thứckhác 0 nhận α làm nghiệm, vì thế α đại số trên K

K (α1, , αn) (và K [α1, αn]) là giao của tất cả các trường con (vànhcon) của E chứa K và chứa α1, , αn Ta thấy rằng K (α1, , αn) là

phần tử (g (α))−1 ∈ E được kí hiệu là g(α)1 Khi đó:

K[α] = {g (α) |g (x) ∈ K[x]} ,

h (α)

g(x), h(x) ∈ K[x], h (α) 6= 0



lần lượt là vành con bé nhất và trường con bé nhất của E chứa K và α

Định nghĩa 1.15 Một trường K được gọi là thực hình thức nếu có

tương đương là: −1 không thể biểu diễn bằng tổng của bình phương cácphần tử trong K

Chú ý rằng một trường thực hình thức phải có đặc số 0 Thật vậy,

số hạng, ta có −1 = 12 + + 12

p−1

, điều này là mâu thuẫn

Ta có các trường R, Q, R (x) là thực hình thức; còn C thì không phải

tương đương là: −1 khơng thể biểu diễn tổng bình phương cácphần tử K

Chú ý trường thực hình thức phải có đặc số Thật vậy,

số... 12

p−1

, điều mâu thuẫn

Ta có trường R, Q, R (x) thực hình thức; cịn C khơng phải