Hệ thống kiến thức toán 12

Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :  nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1  nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2  Đơi khi:Đặ

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TỐN 12

Nhắc lại 1 số cơng hức về đạo hàm cơ bản:

Khảo

KHẢO SÁT

SỐ

1.Tìm tập xác định: D=…

đạo hàm: y’= cho y’=0

và tìm nghiệm

3.Tính giới hạn:

lim lim

o

x x x



 

  với xo là nghiệm mẫu

4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu cĩ)

5.Lập bảng biến thiên

6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến

7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU

8.Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương)

Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’

9.Nhận xét về đồ thị:

 Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị)

 Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox

 Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ

10 Vẽ đồ thị.

1.Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a  0 )

2 / /

2 / / /

/ /

/ / /

/ / /

.

5

) 0 (

4

.

3

.

.

2

.

1

v

v C v

C

v v

u v v u v u

v C v C

v u v u v u

v u v u













































 

 

 

 

 

x x

x x

x x

x x

x x

a x x

e e

a a a

x x

x x

x x

x C

a

x x

x x

2 /

2 /

/ / / / / / / 2 /

1 /

/ /

sin

1 cot

18

cos

1 tan

17

sin cos

16

cos sin

15

1 ln

14

ln

1 log

13

12

ln

11

2

1

10

1 1

9

8

1

7

0

6



















































 

 

 

 

sin cot

cos tan

sin cos

cos sin

ln

ln log

.

ln

2

1

2

/ /

2

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

/ / 2 / /

/ 1 /

u

u u

u

u u

u u u

u u u u

u u

a u

u u

u e e

u a a a

u

u u

v

v v

u x u

a

u u

u u







































 

d cx

b ax y







/

)

bc ad y







2 2

2 2

1 1

2 1

20

c x b x a

c x b x a y









 ta có

2 2

2 2

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2 2

1 1 /

2

c x b x a

c b

c b x c a

c a x b a

b a y











a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT

2 Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a  0 )

3.Hàm phân thức : y = cx axd b ( c  0; ad  bc  0 )

Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :

Yêu Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết

1 Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 ))

 TT có phương trình là : y - f(x0)= f/(x0)(x x0)

 Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?

 P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x x0) + f(x0)

2 Tiếp tuyến có hệ số góc k :

Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a

tiếp tuyến  đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k =  1a

 Giả sử M(x0; f(x0)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0)

 Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ?

 Phương trình tiếp tuyến y = k (x  x0) + f(x0)

Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = 1

+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2

Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :

Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0

 Biến đổi phương trình F(x; m) = 0 về dạng f(x) = g(x) Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) đã vẽ và y=g(x) là 1 đường thẳng song song với Ox

Chú ý:Ở mức độ khĩ hơn thì đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định hoặc quay quanh 1 điểm cố định)

 Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thị (C): y =f(x)

 Dựa vào đồ thị xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = g(x)

Bài toán 4: xét tính đơn điệu

Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :

+ MXĐ: D= ?

+ Đạo hàm : y/ = ?

y= a/c

y= a/c

a> 0

b>0

a< 0

b <0

a< 0 b>0

a> 0

b <0

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm

+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng

Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m):

a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x)  0  x  (a;b)

b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x)  0  x  (a;b)

Bài tốn 5: Cực trị hàm số

 Dấu hiệu I :

+ MXĐ D=?

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?

Chú ý:

1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0

3) x0 là cực trị của hàm số  /( 0) 0

/ ( )









y x

y x

 Dấu hiệu II:

+ MXĐ

+ Đạo hàm : y/ = ? y// = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 …

+ Tính y//(x1); y//(x2)……

Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?

Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?

 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x o :

+ xo là điểm cực trị

/ 0 / / 0

( ) 0 ( ) 0

f x

 



 + xo là điểm cực đại <=>

/ 0 / / 0

( ) 0 ( ) 0

f x





 + xo là điểm cực tiểu <=>

/ 0 / / 0

( ) 0 ( ) 0

f x







 Hàm số đạt cực trị bằng y 0 tại x 0

Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi















 0 ) (

) (

0 ) (

0 //

0 0 0 /

x f

y x f

x f

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )

* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:

y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x)

Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :

Cho h/s y = u

v u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D

Và y/ = u v v u 2  =g(x)2 dấu của y/ là dấu của g(x)

Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/vv/u = 0

đổi dấu qua x0

=> u u

v v





 Do đó giá trị cực trị y(x0) = u (x )v (x )0

0





Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp

- Để hàm số yf x  cĩ 2 cực trị '  0 ĩ nghiêm 0

0

a

 



- Để hàm số yf x cĩ hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung  y CD.y CT 0

- Để hàm số yf x cĩ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung  x CD.x CT 0

- Để hàm số yf x cĩ hai cực trị nằm trên trục hồnh 0

CD CT

CD CT



 





- Để hàm số yf x cĩ hai cực trị nằm dưới trục hồnh 0

CD CT

CD CT



 





- Để hàm số yf x cĩ cực trị tiếp xúc với trục hồnh  y CD.y CT 0

Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s y = f(x) trên [a;b]:

 xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b]

 Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 … chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]

 Tính f(x1) ; f(x2) ……… So sánh  KL

f(a) ; f(b)

 Kết luận: max y

[a;b]  ? min y

[a;b] ?

2 P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :

 Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ

 Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

 Lập BBT:

 Từ BBT kết luận

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT min y[a;b] yct

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ max y[a;b]  yCĐ

* Nếu hàm số luơn tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên khoảng (a;b)

Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :

 nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1

 nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2

 Đơi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = f(x) trên một khoảng nào đĩ thành bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = g(t) trên 1 đoạn khác

Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).

1 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x)

Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có

là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)

 pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung

 pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung

* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong

2 Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt f (x) g(x)

f (x) g (x)



  





 có nghiệm

Bài tốn 8: Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể trịn xoay sinh bởi 1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy

b

C

a

( ) và ( )

( )

b

a

H











d

c

( ) và ( ) ( )

d

c

H











Bài tốn 9: Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)

 Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m

 Toạ độ điểm cần tìm là nghiệm hệ PT gồm tất cả các hệ số bằng 0

 Giải hệ và kết luận

………

PHầN 2: HÀM Số MŨ VÀ LOGARIT

Bài tốn 1:Dùng cơng thức tính các biểu thức cĩ chứa hàm số mũ hoặc logarit

an = n

a

1

; a0 = 1 0 ; amn nam

 ( m; n nguyên dương , n > 1)

 Các quy tắc:

ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx

x

a x y

a

y

a





x

 

 

   x y  y x x.y

 Hàm số mũ : y = ax với a > 0 ; a  1

TXĐ : D = R MGT : (0; + )

+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2  a > x1 a x2

+ 0 < a < 1 ; h/s nghịch biến : x1 > x2  a < x1 a x2

* Hàm số logarit:  = log a N  a = N log a x = b  x= a b

 Đặc biệt : aloga x = x ; loga a x = x ; loga1 = 0

 Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a  1 ta có:

loga(B.C) = logaB + logaC

loga B

C

 

 

  = logaB  loga Cloga B = 

loga B

 Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c  1 ta có :

logca.loga b = logcb  log ba log bc

log ac

 0 < a, b  1 : logab = log a1

b

Chú ý : log10x = lg x ; logex = ln x

 Hàm số Logarit: y = loga x với a > 0 ; a  1

TXĐ : D = (0 ; + ) MGT : R

+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0  loga x1 > loga x2

+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > 0  logax1 <logax2

Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit

(ex) / = ex > ( eu)/ = u/.eu

( ax) / = ax.lna > ( au)/ = u/.au.lna

(lnx) / = 1

x x (0;+) > (lnu)/ = u

u



(logax) / = 1

x ln a > (logau )/ = u

u ln a



Bài tốn 3: Giải phương trình mũ:

Cách 1 S ử dụng định nghĩa a a

log

a = b <=> x=log (a = b <=>a = a a b <=> x=log )

Cách 2 S ử dụng pp đưa về cùng cơ số af (x) ag(x) f (x) g(x)

0 a 1



 







Cách 3 S ử dụng pp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ

.a2f (x) +.af (x) +  = 0 ; Đặt : t = af (x) Đk t > 0

.ab f (x)  +.ab f (x)  +  = 0 ; Đặt : t = af (x) Đk t > 0

.af (x)+.bf (x)+  = 0 và a.b = 1; Đặt: t = af (x);1

t=bf (x)

.a2f (x)+. a.b f (x)+ .b2f (x) = 0 ; Đặt t =

f (x) a b

 

 

 

Bài tốn 4: Giải phương trình logarit :

Cách 1 S ử dụng định nghĩa a

f(x) 0 log f(x)=b<=> 0 1

f(x)=ab a



 







Cách 2 S ử dụng pp đưa về cùng cơ số a a

f (x) 0 (hay g(x) 0)

0 a 1

f (x) g(x)

log f(x) log g(x)











Bài tốn 5: Giải bất phương trình mũ và logarit

Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit cĩ các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit cĩ các cách giải đĩ

Tuy nhiên,ta cần chú ý dạng cơ bản sau:

 Bất phương trình mũ dạng: u(x)f (x) u(x)g(x)



f (x) g(x) TH1 : 0 < u(x) <1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)

f (x) g(x) TH1 : u(x) > 1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)

0 < u(

f (x) g(x) TQuat : u(x) u(x)

[ u(x) -1][f (x) g(x)] 0







 Bất phương trình logarit dạng: log f(x) log g(x)a  a

u(x)

TH1 : 0 < u(x) <1 ; f (x) g(x)

TH1 : u(x) > 1 ; f (x) g(x)

TQuat :

log f(x) log g(x) log f(x) log g(x)

log f(

 

 





u(x)

0 < u(x) 1 f(x) 0 g(x) 0 [ u(x) -1][f (x) g(x)] 0

x) log g(x)







 









Lưu ý:

*) trong trường hợp cĩ ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng thức sau để bài tốn trở nên dễ dàng hơn

1 af (x)> ag(x)  (a1)(f(x)  g(x)) > 0

2 loga f(x) > loga g(x)  (a1)(f(x)  g(x)) > 0

*) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm

số trên

*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số

Bài toán 5: Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cô bản)

Thông thường giải bằng PP thế

PHầN 3: NGUYÊN HÀM.

Bài toán 1:Tìm nguyên hàm cơ bản(dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản)

dx   x C



x dx 



1

x

  

+ C ( -1 )

dx

x

 = lnx + C ( x 0)

x

e dx

 = ex + C

x

a dx

 =

x

a

ln a + C

1 (ax b)

a( 1)









  ( -1)

dx

ax b



 = 1

alnax+ b + C

1

ax b

e dx

a





 eax+b + C

x

a .dx

x b

1 a

C

ln a

 



 Cosx.dx

 = Sinx + C

Sinx.dx

 =  Cos x + C

dx

2

Cos x

 = (tan x 1).dx2  = tanx + C

dx

2

Sin x

 =  (Cot x 1).dx2  = Cotx + C

Cos(ax b).dx 

aSin(ax+ b) + C

Sin(ax b).dx 

aCos(ax+ b) + C

dx 2 Cos (ax b)



 =1

atan(ax+ b) + C

dx 2 Sin (ax b)



 = 1

aCot(ax+ b) + C

Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.

Dạng 1: Tính I =  f[u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x) dt u '(x)dx 

 I =  f[u(x)].u '(x)dx   f (t)dt

Dạng 2: Tính I =  f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:

1

2 2

a x ;

2 2

a x



 thì đặt x = asint

1

2 2

a x ; 2 2

a x



 thì đặt x = atant

CHÚ Ý:

1.f(e u(x) ).u/ (x)dx

Đặt t  u (x)

2 f(lnx).1x dx Đặt t  ln(x)

3 f(n axb).dx

Đặt tn axb

4.f(sinx, cosx)dx

• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx

• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx

• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc:

2

2 cos 1 sin , 2

2 cos

1

x x

• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt

2

t 

5 f( a2  x2 ).dx Đặt xasint

6 f( a2 x2 ).dx Đặt xatant

7 f( x2  a2 ).dx Đặt

t

a x

cos



8 



).

1

(

2

a x

a x x

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

u(x).v'(x)dx u(x).v(x)   v(x).u '(x)dx

Hayudv uv   vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv

@ Dạng 1

sin ( )



ax

f x cosax dx ax e

với f(x) là đa thức:

Đặt

cos



Sau đó thay vào công thức udv uv   vdu để tính

@ Dạng 2:  f x( ) ln(ax b dx ) Đặt

ln( )

( )

( )



 



a dx

ax b

dv f x dx

v f x dx

Sau đó thay vào công thức udv uv   vdu để tính

@ Dạng 3:  sin 

 

 

ax ax

cosax Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax

PHầN 4: TÍCH PHÂN b ( ) ( ) ( ) ( )

a

b

a



Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản.

Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Dạng 1: Tính I = bf[u(x)]u dx/

a bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x) dt u '(x)dx 

 Đổi cận x=a => t = u(a)

x=b => t = u(b)

 I = bf[u(x)]u dx/

a =

u(b)

u(a)

f (t)dt



Dạng 2: Tính I =  f (x)dx

 Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:

1

2 2

a x ;

2 2

a x





thì đặt x = asint

1

2 2

a x ; 2 2

a x



 thì đặt x = atant

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:

Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có

đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I =

udv u.va vdu

a   a

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv

@ Dạng 1

sin ( )



 

 

 

 

ax

f x cosax dx ax e



 với f(x) là đa thức: Đặt

cos



Sau đĩ thay vào cơng thức udv uv   vdu để tính

@ Dạng 2:  f x( ) ln(ax b dx )

 Đặt

ln( )

( )

( )



 



a dx

ax b

dv f x dx

v f x dx

Sau đĩ thay vào cơng thức udv uv   vdu để tính

PHầN 5: DIệN TÍCH HÌNH PHẳNG  THể TÍCH VậT THể TRỊN XOAY.

Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng

 Hình phẳng giới hạn bởi :

y f (x)

x a; x b









hàm số liên tục trên [a;b]

trục hoành y 0; Diện tích : S = b| f (x) | dx

a

Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0

 Hình phẳng giới hạn bởi : f (y) a; y b



hàm số x liên tục trên [a;b]

trục hoành x 0;y Diện tích : S = b| f (y) | dy

a

 Hình phẳng giới hạn bởi :

y f (x)

y g(x)

x b











  



hàm số liên tục trên [a;b]

hàm số liên tục trên [a;b]

x a; Diện tích : S = b| f (x) g(x) | dx

a 

Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)

2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta cĩ thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thơng qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình

 Hình phẳng giới hạn bởi :

f (y)

g(y)











  



hàm số x liên tục trên [a;b]

hàm số x liên tục trên [a;b]

a;y Diện tích : S = b| f (y) g(y) | dy

a 

Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay :

* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :

y f (x)

x a; x b









hàm số liên tục trên [a;b]

trục hoành y 0; quay quanh trục Ox và f(x)  0 trên [a;b] thì V = bf (x) dx2

a

    

PHầN 6: Số PHứC

Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,số phức liên hợp,biểu diễn số phức,…

Cho hai số phức a+bi và c+di

1) a+bi = c+di  a = c và b = d 2) mơđun số phứcz  a bi  a2b2

3) số phức liên hợp của z = a+bi là z = a  bi

* z+z = 2a; z.z= z2 a2 b2

4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i

5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i

6) ) (a+bi )( c+di) = (ac  bd)+(ad+bc)i

7) z a bic di 21 2[(ac+bd)+(ad-bc)i]



  (để thực hiện phép chia:ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của số phức ở mẫu)

Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.

a

b

x y

) y=g(

x)

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 với  = b2  4ac

Nếu  = 0 thì phương trình cĩ nghiệp kép x1 x2 b

2a

 

Nếu  > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm: x b

2a

  



Nếu  < 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm: x b i

2a

  



Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình

 Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình trịn, )

 Tính thể tích khối chĩp V = 1Bh

3 ;

 Tính thể tích khối hộp chữ nhật V= a.b.c

 Tính thể tích khối lăng trụ: V= Bh.

 Khối cầu:

o Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chĩp

 Dựng trục d của đa giác đáy

 Trong mp chứa cạnh bên và trục d,ta dựng đường trung trực d’ (hoặc mp trung trực) của cạnh bên

 Khi đĩ:gọi I  d d' Suy ra I là tâm mc(S) ngoại tiếp hình chĩp

 Tính bán kính r (là khoảng cách từ I đến đỉnh của hình chĩp)

o Tính diện tích mặt cầu S = 4r 2

o thể tích khối cầu V =4 r3

3

 Khối trụ:

o Tính diện tích xung quanh hình trụ S xq = 2rl;

o diện tích tồn phần hình trụ S tp = 2r(r + l).

o thể tích khối trụ V = r 2 h

 Khối nĩn:

o Tính diện tích xung quanh hình nĩn S xq = rl;

o diện tích tồn phần hình nĩn S tp = r(r + l).

Phần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian

a

 = (x;y;z)  a = x.i + y j + z k

Tính chất : Choa = (a1;a2; a3) , b = (b1;b2; b3)

 a b =(a1  b1; a2  b2; a3  b3)

 k.a = (ka1;ka2;ka3) k  R

Tích vô hướng :  a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 +a 3 b 3 =a .b Cos 

Cos  = a2 a b1 1a2 a ba b22 22a b3 3b2 b2

1 2 3 1 2 3

a b

 

  a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0

a

 cùng phương b ;a 0  b = k.a  [a ,b ] = 0

Toạ độ điểm:

M = (x;y;z)  OM = (x;y;z)  OM = x.i + y j + z k

AB = ( xB xA ; yByA;zB zA)